Semoga Bermanfaat – http://bermanfaatsemoga.blogspot.com

Kalkulus-1 : Sistem Bilangan Real A. Sistem Bilangan B. Pertidaksamaan C. Nilai Mutlak

A. Sistem Bilangan

Himpunan bilangan asli N = {1, 2, 3, 4,...} Himpunan bilangan bulat I = {..., -2, -1, 0, 1, 2,...} Himpunan bilangan rasional

Q = {

|

1) Sifat-sifat Bilangan Real

- Komutatif (pertukaran), hanya untuk penjumlahan dan perkalian

- Asosiatif (pengelompokan), hanya untuk penjumlahan dan perkalian ( ) ( ) ( ) ( )

- Distributif, perkalian terhadap penjumlahan ( )

- Unsur identitas Terhadap operasi jumlah yaitu Terhadap operasi kali yaitu

- Invers

Terhadap penjumlahan yaitu – ( )

Terhadap perkalian yaitu

2) Sifat-sifat Urutan Bilangan Real

- Trikotomi Jika x dan y bilangan real, maka berlaku

- Transitif Jika

- Penambahan

- Perkalian

Semoga Bermanfaat – http://bermanfaatsemoga.blogspot.com

Sistem Bilangan Real Himpunan bilangan real dengan semua operasi dan sifat-sifat yang berlaku di dalamnya dinamakan sistem bilangan real Penulisan himpunan dalam bentuk interval/selang: { | [ ] disebut selang tutup { | ( ) disebut selang buka { | [ ) keduanya disebut selang setengah buka / setengah tutup { | ( ] { | [ ) keduanya disebut selang tak terbatas { | ( ] Supremum Infimum a. Definisi unsur maksimum dan unsur minimum

-

-

b. Definisi batas atas dan batas bawah - -

c. Definisi supremum infimum

- -

Supremum bisa juga disebut batas atas terkecil - - Infimum bisa juga disebut batas bawah terbesar Contoh:

𝐴 5 𝐴

A = {1, 2, 3, 4, 5} Unsur maksimum = 5 Unsur minimum = 1 Batas atas = 𝑝 5 Batas bawah = 𝑞

𝐵 4 𝐵

B = (0,4) Unsur maksimum = 4 Unsur minimum = tak ada Batas atas 𝑝 4 Batas bawah 𝑞

𝐶

2

3

4 …

𝐵 𝑡𝑎𝑘 𝑎𝑑𝑎 𝐵

𝐶 {

𝑛|𝑛 𝑁 (N = bilangan Asli

Unsur maksimum = 1 Unsur minimum = tak ada Batas atas 𝑝 Batas bawah 𝑞

Semoga Bermanfaat – http://bermanfaatsemoga.blogspot.com

B. Pertidaksamaan

Pertidaksamaan tidak boleh dikalikan atau dibagi oleh suatu variabel karena variabel tersebut bisa

bernilai positif atau negatif.

Pertidaksamaan akan berubah tanda apabila variabel pengali/pembagi bernilai negatif.

Contoh pertidaksamaan

- ( ) ( )

- ( )

( )

( )

( )

- ( )

- ( ) ( ) ( )

Dan lain sebagainya

C. Nilai Mutlak

Definisi nilai mutlak

Nilai mutlak dengan notasi | | didefinisikan sebagai:

| |

Contoh:

- | |

- | 4| ( 4) 4 4

- | |

- | |

( )

Akibat definisi nilai mutlak

| |

| |

Sifat-sifat Nilai Mutlak

1. | | | | | |

2. |

|

| |

| |

3. | | | | | |

4. | |

5. | | | |