109703387 diktat kalkulus 1

24
7/23/2019 109703387 Diktat Kalkulus 1 http://slidepdf.com/reader/full/109703387-diktat-kalkulus-1 1/24 - Kalkulus I - I. SISTEM BILANGAN 1.1 Pengertian Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Ada beberapa jenis bilangan a. Bilangan Asli  1, 2, 3, 4, … b. Bilangan Caa!  !impunan gabungan bilangan asli dan n"l . Bilangan Bulat  …, -3, -2, -1, #, 1, 2, 3, … d. Bilangan $asi"nal  bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk n m  dengan m dan n bilangan bulat dan n  # e. Bilangan %ea!an   jenis bilangan berbentuk n m , dengan m dan n bilangan bulat, m bukan kelipatan dari n, dan n  #. f. Bilangan &ak $asi"nal  ... , 6 , 5 , 3 , 2  3 g. Bilangan $iil  bilangan rasi"nal dan tak rasi"nal yang dapat 'engukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan n"l !. Bilangan K"mple(  bilangan yang berbentuk 1 + b a  ) a dan b bilangan riil* 1

Upload: aditama-haidir-siregar

Post on 18-Feb-2018

241 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

Page 1: 109703387 Diktat Kalkulus 1

7/23/2019 109703387 Diktat Kalkulus 1

http://slidepdf.com/reader/full/109703387-diktat-kalkulus-1 1/24

- Kalkulus I -

I. SISTEM BILANGAN

1.1 Pengertian

Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Ada

beberapa jenis bilangan

a. Bilangan Asli   ⇒ 1, 2, 3, 4, …

b. Bilangan Caa!   ⇒ !impunan gabungan bilangan asli dan n"l

. Bilangan Bulat   ⇒ …, -3, -2, -1, #, 1, 2, 3, …

d. Bilangan $asi"nal   ⇒ bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk

nm  

dengan m dan n bilangan bulat dan n ≠ #

e. Bilangan %ea!an   ⇒  jenis bilangan berbentukn

m , dengan m dan n

bilangan bulat, m bukan kelipatan dari n, dan

n ≠ #.

f. Bilangan &ak $asi"nal ⇒   ...,6,5,3,2   3

g. Bilangan $iil   ⇒ bilangan rasi"nal dan tak rasi"nal yang dapat

'engukur panjang, bersama-sama dengan

negatifnya dan n"l

!. Bilangan K"mple(   ⇒ bilangan yang berbentuk 1−+ba  ) a dan b

bilangan riil*

1

Page 2: 109703387 Diktat Kalkulus 1

7/23/2019 109703387 Diktat Kalkulus 1

http://slidepdf.com/reader/full/109703387-diktat-kalkulus-1 2/24

- Kalkulus I -

1.2 Sifat-sifat Bilangan Riil1. +ifat-sifat 'edan 

a. ukum k"mutatif    ⇒ ( y / y ( dan (y / y(

b. ukum as"siatif    ⇒ ( )y 0* / )( y* 0 dan ()y0*

/ )(y*0

. ukum distribusi   ⇒ ( )y 0* / (y (0

d. lemen-elemen identitas ⇒ # dan 1 ( # / ( dan ( . 1 / (

e. Balikan )iners*   ⇒ 1. balikan aditif 

  ( kebalikan dari (, se!ingga ( )-

( * / #

2. balikan perkalian

( kebalikan dari (-1 atau x

1 , se!ingga

( . (-1 / 1

2. +ifat-sifat rutan

a. &rik"t"mi   ⇒ ( 5 y, ( / y, ( 6 y

  b. Ketransitifan   ⇒ ( 5 y dan y 5 0 ⇒ ( 5 0

  . %enamba!an   ⇒ ( 5 y ⇔ ( 0 5 y 0

  d. %erkalian   ⇒ ( 5 y ⇔ (0 5 y0 )bilangan 0 p"sitif*

( 5 y ⇔ (0 6 y0 )bilangan 0 negatif*

2

Page 3: 109703387 Diktat Kalkulus 1

7/23/2019 109703387 Diktat Kalkulus 1

http://slidepdf.com/reader/full/109703387-diktat-kalkulus-1 3/24

- Kalkulus I -

1.3 Persaaan Kua!rat

%ersamaan Kuadrat a"2 # $" # % & ' ( a '

Aturan

1. Akar-akar 1 x   dan 2 x   dengan rumus ab

aacbb x

24

2

2,1−±−=   atau

a

 Db x

22,1

±−=

  7imana 7 )diskriminan* / b2  4a

2. 8ika 7 6 #, maka %ersamaan Kuadrat mempunyai dua akar real berlainan

) 21   x x   ≠  *

3. 8ika 7 / #, maka %ersamaan Kuadrat mempunyai dua akar real kembar

) 1 x  / 2 x *

4. 8ika 7 5 #, maka %ersamaan Kuadrat tidak mempunyai akar real

9.a

c x x

a

b x x   =

−=+   2121   ;

1.) *ungsi Kua!rat

:ungsi Kuadrat + & a"2 # $" # % ( a '

Aturan 

3

Page 4: 109703387 Diktat Kalkulus 1

7/23/2019 109703387 Diktat Kalkulus 1

http://slidepdf.com/reader/full/109703387-diktat-kalkulus-1 4/24

- Kalkulus I -

1. ;ra<k berupa parab"la dengan titik punak % )a

 D

a

b

4,

2

−−*, sumbu simetri (

/a

b

2

2. 8ika a 6 # maka gra<k parab"la membuka ke atas dana

 D y

4min

−=

3. 8ika a 5 # maka gra<k parab"la membuka ke ba=a! dana

 D y

4max

−=

4. 8ika 7 6 # maka y mem"t"ng sumbu ( di dua titik yang berlainan

9. 8ika 7 / # maka y menyinggung sumbu (

>. 8ika 7 5 # maka y tidak mem"t"ng sumbu (

?. 8ika a 6 # dan 7 5 # maka gra<k parab"la seluru!nya diatas sumbu (

@. 8ika a 5 # dan 7 5 # maka gra<k parab"la seluru!nya diba=a! sumbu (

Aturan k,usus 

ntuk fungsi kuadrat dengan bentuk " & +2 # + # r ( ' / 0 & 2 

) r

1. 'embuka ke kanan jika p 6 #

2. 'embuka ke kiri jika p 5 #

3. 8ika 7 6 # maka parab"la mem"t"ng sumbu y di dua titik

4. 8ika 7 / # maka parab"la menyinggung sumbu y

9. 8ika 7 5 # maka parab"la tidak mem"t"ng sumbu y

>. &itik punak % ) p

q

 p

 D

2

,

4

−−* dengan sumbu simetri y /

 p

q

2

4

Page 5: 109703387 Diktat Kalkulus 1

7/23/2019 109703387 Diktat Kalkulus 1

http://slidepdf.com/reader/full/109703387-diktat-kalkulus-1 5/24

- Kalkulus I -?. 'endapatkan titik p"t"ng dengan sumbu y didapat dengan memasang (

/ # pada ( / py2  y r titik p"t"ng dengan sumbu ( dengan

memasang y / # pada ( / py2  y r

II. *NGSI4 LIMIT4

KEK5NTINAN

2.1 *ungsi

2.1.1 Pengertian

  +uatu aturan padanan yang meng!ubungkan tiap "byek ( dalam satu

!impunan yang disebut daera! asal dengan sebua! nilai unik f)(* dari

!impunan kedua. impunan nilai yang diper"le! seara demikian disebut

daera! nilai fungsi tersebut

+imb"l ntuk memberi nama fungsi dipakai sebua! !uruf tunggal

seperti

5

Page 6: 109703387 Diktat Kalkulus 1

7/23/2019 109703387 Diktat Kalkulus 1

http://slidepdf.com/reader/full/109703387-diktat-kalkulus-1 6/24

- Kalkulus I -  f, )atau g atau :*. 'aka f)(* yang dibaa f dari (D atau f 

pada (D,

menunjukkan nilai yang diberikan "le! f kepada (

7"main, K"d"main, $ange

7"main daera! asal

K"d"main daera! la=an

$ange daera! !asil

2.1.2 5erasi a!a *ungsi

Bila ada 2 fungsi yang disimb"lkan dengan f)(* dan g)(*, maka

1. f(x)  g(x) / (f + g) (x)

2. f(x)  g (x) / (f – g) (x)

3. f(x) . g(x)/ (f . g) (x)

4. ( ) x g 

 f  

 x g 

 x f     

  

 =

)(

)(

2.1.3 K66sisi *ungsi

 8ika f bekerja pada ( untuk meng!asilkan f)(* dan kemudian g bekerja pada

f)(* untuk meng!asilkan g)f)(**, dikatakan ba!=a kita tela! menyusun  g

dengan f. :ungsi yang di!asilkan disebut k66sit g dengan f, dinyakan

"le! g E f, jadi

) g E f * )(* / g ) f )(* *

2.2 Liit

2.2.1 Pengertian

6

Page 7: 109703387 Diktat Kalkulus 1

7/23/2019 109703387 Diktat Kalkulus 1

http://slidepdf.com/reader/full/109703387-diktat-kalkulus-1 7/24

- Kalkulus I -

ntuk mengatakan ba!=a  L x  f  c x

=→

)(lim   berarti ba!=a bilamana (

dekat tetapi berlainan dari , maka f)(* dekat ke F.

2.2.2 Te6rea Liit

Andaikan n bilangan bulat p"sitif, k k"nstanta, dan f dan g adala! fungsi-

fungsi yang mempunyai limit di , maka

1.   k k c x

=→lim

2.   c xc x

=→lim

3.   )(lim)(lim   x  f  k  xkf  c xc x   →→

=

4.   [ ]   )(lim)(lim)()(lim   x g  x  f   x g  x  f  c xc xc x   →→→

+=+

9.   [ ]   )(lim)(lim)()(lim   x g  x  f   x g  x  f  c xc xc x   →→→

−=−

2.3 Kek6ntinuan *ungsi

7ikatakan ba!=a f k6ntinu di jika beberapa selang terbuka di sekitar

terkandung dalam daera! asal f dan )()(lim   c  f   x  f  c x

=→

 

III. TRNAN

3.1 Pengertian

  &urunan adala! fungsi yang merupakan laju peruba!an sesuatu. &urunan

adala! sala! satu bagian dari kalkulus yang sangat banyak digunakan di

berbagai bidang, misalnya digunakan untuk meng!itung keepatan,

perepatan, dan lain-lain.

7

>.   [ ]   )(lim.)(lim)(.)(lim   x g  x  f   x g  x  f  c xc xc x   →→→

=

?.)(lim

)(lim

)(

)(lim

 x g 

 x  f  

 x g 

 x  f  

c x

c x

c x

→= ,asal 0)(lim   ≠

→ x g 

c x

@.   [ ]   n

c x

n

c x x f   x f     )(lim)(lim

→→=

G.   n

c x

n

c x

 x  f   x  f     )(lim)(lim

→→

=   asalkan

0)(lim   >→

 x  f  c x

, bilamana n genap

Page 8: 109703387 Diktat Kalkulus 1

7/23/2019 109703387 Diktat Kalkulus 1

http://slidepdf.com/reader/full/109703387-diktat-kalkulus-1 8/24

- Kalkulus I -:ungsi yang nilainya di setiap bilangan sembarang ( di dalam d"main f 

diberikan "le!

 x

 x  f   x x  f   x  f  

 x ∆

−∆+=

→∆

)()(lim)('

0  )jika limitnya ada*

H"tasi yang sering digunakan untuk turunan fungsi y / f)(* adala!

1. f’(x) atau y ‘ H"tasi FA;$AH;

2.dx

df   atau 

dx

dy H"tasi FIBHIJ

3. D x  (f) H"tasi perat"r 7

C"nt"! &entukan fL)(* dari f)(* / 2( 3

 8a=ab

fL)(* / x

 x  f   x x  f  

 x ∆

−∆+→∆

)()(lim

0

/ x

 x x x

 x ∆

+−+∆+→∆

)32()3)(2(lim

0

/ x

 x x x

 x ∆

−−+∆+→∆

32322lim

0/ 2lim

2lim

00   →∆→∆=

∆∆

 x x  x

 x

/ 2

3.2 Be$eraa aturan tentang Turunan 

1. 0)(   =cdx

d , k"nstan

2. 1)(   −=   nn  xn xdx

'isal u dan adala! fungsi ( yang dapat diturunkan, maka

3. fL)(* / M N   ⇒ fL)(* / L M NL

4. fL)(* / . N   ⇒ fL)(* / LN NL

8

Page 9: 109703387 Diktat Kalkulus 1

7/23/2019 109703387 Diktat Kalkulus 1

http://slidepdf.com/reader/full/109703387-diktat-kalkulus-1 9/24

- Kalkulus I -

9. fL)(* /V 

U ⇒ fL)(* /

2

''

U V V U    −

3.3 Turunan Tingkat Tinggi

  &urunan dari y / f)(* yaitu yL /dx

dy  adala! turunan pertama dari y

ter!adap (. &urunan pertama dari y mungkin juga dapat diturunkan )disebut

turunan ke!ua ter!adap (* dan turunannya adala!

'"

dx

dy    y   ==

 8ika yD dapat diturunkan )disebut turunan ketiga  ter!adap (, maka

turunannya

3

3

2

2'''''

dx

 yd 

dx

 yd 

dx

dx

dy y   =  

 

  

 ==

ingga, jika y mempunyai turunan-turunan yang dapat diturunkan, maka

disebut turunun ke-n dari y ter!adap (, untuk n bilangan bulat p"sitif

I7. APLIKASI TRNAN

).1 Pengertian &urunan dalam aplikasinya dapat digunakan untuk menentukan gradien

garis singgung suatu fungsi di satu titik, meng!itung limit dengan te"rema

9

( )n

n

n

 ynnn

dx

 yd 

dx

dx

d  y

dx

d  y   =  

 

  

 ==

−−

1

1)1()(

Page 10: 109703387 Diktat Kalkulus 1

7/23/2019 109703387 Diktat Kalkulus 1

http://slidepdf.com/reader/full/109703387-diktat-kalkulus-1 10/24

θ

$%

O

( ( ∆(

∆(

∆yy / f)(*

(

y

#

- Kalkulus I -FL"pital, mengukur laju peruba!an yang berkaitan, menentukan nilai

maksimum dan minimum suatu fungsi, dan menggambar gra<k suatu fungsi.

%er!atikan kembali arti ge"metri berikut

θ tg  x

 y=

∆ dinamakan laju perubahan rata-rata (average rate of change* dari

fungsi y dalam interal )(, ( ∆(* sedangkan !arga limit untuk ∆( → #,

dinamakan laju perubahan (rate of change* dari fungsi y ter!adap (m pada

suatu titik ( )misalkan ( / ("*, dengan simb"l matematik

Laju perubahan (rate of change) pada ( / (" adala!

o x xdx

dy

 x

 y

=→∆

     

  =

∆∆

0lim

Atau sama dengan turunan pertama dari y ter!adap ( pada suatu titik ( / ("

10

%andang % )(, y* dan O )( ∆(, y

∆y*, maka

 yQR

 x PR

∆=

∆=

Page 11: 109703387 Diktat Kalkulus 1

7/23/2019 109703387 Diktat Kalkulus 1

http://slidepdf.com/reader/full/109703387-diktat-kalkulus-1 11/24

- Kalkulus I -%emakaian dalam bidang teknik

)1* Fintasan s dipandang sebagai fungsi dari =aktu t, maka s / f)t*

  ecepatan rata-rata (average veloc!ty) /t 

 s

∆ )!arga rata-rata keepatan

dalam

suatu jangka =aktu persatuan =aktu*

  ecepatan (veloc!ty) pada suatu =aktu t / vdt 

ds

 s

t ==

∆∆

→∆   0lim

  "ercepatan (accelerat!on)   a /dt 

dv )perepatan pada suatu =aktu

t*

)2* Banyak air dalam tangki air )reser"ir* pada =aktu t iala! O dengan Osebagai fungsi dari t. Bila air mengalir masukPkeluar dari tangki air dari t

ke t ∆t, maka peruba!an dari O adala! ∆O

'aka laju peruba!an rata-rata dari O /dt 

dQ

Q

t =

∆∆

→0lim

).2 La8u Peru$a,an 9ang Berkaitan

7e<nisi 8ika y / f)(*, maka laju peruba!an sesaat dari y tiap satuan

peruba!an dalam ( di ( / (1 adala! f L)(1*

Fangka!-langka! penyelesaian

1. +ketsa gambar yang ber!ubungan dengan permasala!an, berikan ariabel

dan k"nstantanya

2. &uliskan inf"rmasi numerik yang diberikan

3. &uliskan apa yang akan diari )nyatakan dalam turunan*

11

Page 12: 109703387 Diktat Kalkulus 1

7/23/2019 109703387 Diktat Kalkulus 1

http://slidepdf.com/reader/full/109703387-diktat-kalkulus-1 12/24

- Kalkulus I -4. &uliskan persamaan yang meng!ubungkan ariabel yang diberikan

9. &urunkan persamaan langka! 4, sesuaikan dengan langka! 3

>. +ubstitusikan inf"rmasi numerik yang diketa!ui

).3 Maksiu !an Miniu *ungsi

7e<nisi 'isalkan fungsi f mempunyai d"main selang I dan titik ∈ I

a. Hilai f)* disebut nilai maksimum jika f)* ≥ f)(*, setiap ( ∈ I

b. Hilai f)* disebut nilai minimum jika f)* ≤  f)(*, setiap ( ∈ I

. Hilai f)* disebut nilai ekstrim fungsi f di I jika f )* nilai

maksimum atau minimum.

Titik kritis

'isalkan fungsi f dide<nisikan pada selang I yang memuat . &itik disebut

titik kritis dari fungsi f jika memenu!i sala! satu berikut ini

1. &itik ujung selang I

2. &itik stasi"ner dari fungsi f )yaitu fL)* / #*

3. &itik singular dari fungsi f )yaitu fL)* tidak ada*

:ara enentukan nilai ekstri

1. &entukan semua titik kritis dari fungsi f pada selang I

2. itung semua nilai f)(* dengan ( tidak kritis

3. Hilai fungsi yang terbesar dari langka! 2 disebut merupakan nilai

maksimum. Hilai fungsi yang terkeil dari langka! 2 merupakan nilaiminimum

12

Page 13: 109703387 Diktat Kalkulus 1

7/23/2019 109703387 Diktat Kalkulus 1

http://slidepdf.com/reader/full/109703387-diktat-kalkulus-1 13/24

- Kalkulus I -

).) Kasus

1. +ebua! bak air berbentuk tabung dengan tinggi 1# m dan jari-jari

alasnya 9 m. 8ika mula-mula berisi penu! air, kemudian air dikeluarkan

dengan laju 2m3Pmenit, berapa laju turunnya ketinggian air di dalam bak

pada saat ketinggian air 9 m

2. +e"rang peternak mempunyai ka=at @# meter. %eternak tersebut akan

membuat tiga kandang identik yang dipagari "le! ka=at. Berapa lebar

dan panjang pagar !arus dibuat agar luas daera! yang dipagari

maksimumQ

7. INTEGRAL13

Page 14: 109703387 Diktat Kalkulus 1

7/23/2019 109703387 Diktat Kalkulus 1

http://slidepdf.com/reader/full/109703387-diktat-kalkulus-1 14/24

- Kalkulus I -

;.1 Pengertian

'enentukan suatu fungsi :)(* se!ingga turunannya )()(

 x  f  

dx

 xdF =  

Ma%a 

1. Integral Ti!ak Tertentu

+eara simb"l ditulis ∫    +=   C  x F dx x  f     )()(  

dengan keterangan

•   ∫  dibaa integral

• f )(* adala! integran, yaitu yang dikenai "perasi integral

• d( adala! diferensial integrat"r yaitu kepada ariabel apa kita akan

mengintegralkan

• :)(* C adala! !asil dari pr"ses pengintegralan dengan C adala!

k"nstanta integrasi

;.2 Ruus-ruus Integral

  1. ∫    =+=   aC axdxa   , k"nstanta

2. ∫    ++

=   + C  xn

dx x   nn   1

1

1

  3. ∫    +=   C edxe   x x

  4. C a

adxa

 x x +=∫    ln

, a k"nstanta, a 6 #

  9. ∫    +=   C  xdx x

ln1

  8ika a k"nstanta sembarang dan f)(*, g)(* adala! sebarang fungsi dalam (

maka

1. ∫ ∫ =   dx x  f  adx x  f  a   )()(

14

Page 15: 109703387 Diktat Kalkulus 1

7/23/2019 109703387 Diktat Kalkulus 1

http://slidepdf.com/reader/full/109703387-diktat-kalkulus-1 15/24

- Kalkulus I -

2.   { } ∫ ∫ ∫    ±=±   dx x g dx x  f  dx x g  x  f     )()()()(

C"nt"! s"al

( )   ( )∫ ∫    ++=+   dx x xdx x   912432   22

  ∫ ∫ ∫ ++=   dxdx xdx x   9124  2

  C  x x x   +++=   963

4   23

;.3 Teknik Integrasi

1. 'enguba! ke bentuk dasar dengan substitusi

C"nt"! +elesaikan ∫    +   dx x   2)32(

  ⇒ misal 2( 3 / 0 , 2 d( / d0

 

( )

( )   C  x

C  z 

dz  z 

dz  z dx x

++=

+=

=

   

  =+

∫ 

∫ ∫ 

3

3

2

22

32

6

1

6

1

2

1

2

132

 

2.  &eknik Integrasi dengan menggunakan "perasi aljabar

C"nt"! +elesaikan ∫    +−   522  y y

dy

⇒  y2  - 2y 9 / ) y - 1 *2  4 )melengkapkan kuadrat

sempurna*

 ( )∫ ∫  +−

=+−   4152   22

 y

dy

 y y

dy 

15

Page 16: 109703387 Diktat Kalkulus 1

7/23/2019 109703387 Diktat Kalkulus 1

http://slidepdf.com/reader/full/109703387-diktat-kalkulus-1 16/24

- Kalkulus I -

  ;unakan teknik substitusi, misal y - 1  / t , dy / dt

  ∫ ∫    +=

+−   222 24)1(   t 

dt 

 y

dy

 C 

 y

C t 

+−

=

+=

2

1arctan

2

1

2arctan

21

3.  &eknik integrasi untuk integran fungsi irrasi"nal

C"nt"! +elesaikan ∫  −1 x

dx x

  ⇒  misal t  x   =−1   ⇔  ( 1  / t2  dimana d( / 2t dt,

disubstitusikan se!ingga

( )∫ ∫ 

  −=

−  dt t t 

 x

dx x2

1

1

2

  ( )∫    ++=+

+=−=   C t t C t t dt t    2

3

2

3

121

  332

Integral Tertentu

  +ifat-sifat

1.   ∫ ∫    −=a

b

b

a

dx x  f  dx x  f     )()(

2.   ∫ ∫ ∫    +=b

c

c

a

b

a

dx x  f  dx x  f  dx x  f     )()()(

3.   ∫ ∫    −=aa

dx xa  f  dx x  f  00

)()(

16

Page 17: 109703387 Diktat Kalkulus 1

7/23/2019 109703387 Diktat Kalkulus 1

http://slidepdf.com/reader/full/109703387-diktat-kalkulus-1 17/24

- Kalkulus I -

4.   ∫ ∫ ∫    −+=aaa

dx xa  f  dx x  f  dx x  f  00

2

0

)2()()(

5.  8ika f ) 2a ( * / f )(*, maka ∫ ∫    =aa

dx x  f  dx x  f  0

2

0

)(2)(

 8ika f ) 2a ( * / - f )(*, maka 0)(

2

0

=∫ a

dx x  f  

6.  8ika f)(* fungsi peri"dik dengan peri"de p, f)(* / f)( p*, maka

∫ ∫   =

 pnp

dx x  f  ndx x  f  00

)()(

7.  8ika f)(* fungsi genap, maka ∫ ∫    =−

aa

a

dx x  f  dx x  f  0

)(2)(

 8ika f)(* fungsi ganjil, maka 0)(   =∫ −

a

a

dx x  f  

17

Page 18: 109703387 Diktat Kalkulus 1

7/23/2019 109703387 Diktat Kalkulus 1

http://slidepdf.com/reader/full/109703387-diktat-kalkulus-1 18/24

B

CA

a

b

B

A C

2a a

a 3

>#°

3#°

A

B

C

a

a

2a

- Kalkulus I -

7I. TE5REMA

*N0AMENTAL

<.1 Te6rea P+t,ag6ras

+egitiga ABC siku-siku dititik C, ∠ ACB / G#°

%anjang sisi siku-siku BC / a, AC / b

%anjang sisi miring )!ip"tenusa* AB /

 &e"rema %yt!ag"ras 2 / a2 b2

7ari &e"rema %yt!ag"ras diper"le!

22 bac   +=

a2  / 2  b2⇒  22

bca   −=

b2  / 2  a2⇒  22

acb   −=

 8ika segitiga ABC siku-siku di C dan ∠ BAC / 3#°, maka AB / 2BC atau / 2a,

se!ingga

22acb   −=   ⇒

33

)2(

2

22

aa

aab

==

−=

 8ika segitiga ABC siku-siku di C dan ∠ BAC / 49°, maka AC / BC atau b / a,

+e!ingga

 2222

aabac   +=+=

  / 22   2 aa   =

18

49°

49°

Page 19: 109703387 Diktat Kalkulus 1

7/23/2019 109703387 Diktat Kalkulus 1

http://slidepdf.com/reader/full/109703387-diktat-kalkulus-1 19/24

B

A

B )   ),  B B   y x *

A )   A A   y x   , *

C

 A B   y y   −

 A B   x x   −R

 S

#

- Kalkulus I -

kuran sudut dalam radian

Fingkaran satuan )jari-jari / 1*

∩ AB / 1 ⇒ ∠ AB / 1 radian

2 π rad / 3>#°3

1 π rad / >#°

  π rad / 1@#° 4

1π rad / 49°

2

1π rad / G#° 

6

1 π rad / 3#°

1 radian / =°=° )14159,3(2360

2360

π   9?° 1?L 49LL

<.2 Garis Lurus

Aturan 

1. 8arak dari A ke B atau panjang garis lurus AB adala!

22 )()(  A B A B   y y x x AB   −+−=

2. %ersamaan garis lurus yang melalui 2 titik A dan B adala!

)(  A

 A B

 A B A   x x

 x x

 y y y y   −

−=−

19

menit detik

1

1

1 radian

Page 20: 109703387 Diktat Kalkulus 1

7/23/2019 109703387 Diktat Kalkulus 1

http://slidepdf.com/reader/full/109703387-diktat-kalkulus-1 20/24

 S

R#

B )#, b*

A )a, #*

1=+b

 y

a

 x

- Kalkulus I - 

dengan gradien P k"e<sien ara! ) m * / tg α / A B

 A B

 x x

 y y

 AC 

 BC 

−=

3. %ersamaan bentuk eksplisit garis lurus y / m( n dengan k"e<sien ara!/ m

4. %ersamaan bentuk implisit garis lurus a( by / # dengan gradien m

/b

a−

9. %ersamaan garis lurus yang melalui A )a, #* dan B )#, b* adala!

1=+b

 y

a

 x

>. Bila terdapat dua garis lurus yang sejajar )g dan !*, bila p"sisinya sejajar )

// * ⇒  21   mm   =

  Bila g dan ! saling tegak lurus )g ⊥ !*, maka 1. 21   −=mm

20

Page 21: 109703387 Diktat Kalkulus 1

7/23/2019 109703387 Diktat Kalkulus 1

http://slidepdf.com/reader/full/109703387-diktat-kalkulus-1 21/24

- Kalkulus I -

0A*TAR ISI

7A:&A$ I+I …………………… i

Ba

b

1 +I+&' BIFAH;AH 1

1.

1

%engertian …………………… 1

1.

2

+ifat-sifat Bilangan $iil …………………… 2

1.

3

%ersamaan Kuadrat …………………… 3

1.

4

:ungsi Kuadrat …………………… 3

Ba

b

2 :H;+I, FI'I& 7AH KKH&IHAH …………………… 9

2.

1

:ungsi …………………… 9

2.1.1 %engertian …………………… 92.1.2 perasi pada :ungsi …………………… 92.1.3 K"mp"sisi :ungsi …………………… >

2.

2

Fimit …………………… >

2.2.1 %engertian …………………… >2.2.2 &e"rema Fimit …………………… >2.

3

Kek"ntinuan :ungsi …………………… >

21

Page 22: 109703387 Diktat Kalkulus 1

7/23/2019 109703387 Diktat Kalkulus 1

http://slidepdf.com/reader/full/109703387-diktat-kalkulus-1 22/24

- Kalkulus I -

Ba

b

3 &$HAH …………………… ?

3.

1

%engertian …………………… ?

3.

2

Beberapa Aturan &entang Aturan …………………… @

3.

3

 &urunan &ingkat &inggi …………………… @

Ba

b

4 A%FIKA+I &$HAH …………………… G

4.1

%engertian …………………… G

4.

2

Faju %eruba!an yang Berkaitan …………………… 1#

4.

3

'aksimum dan 'inimum :ungsi …………………… 11

4.

4

Kasus …………………… 12

Ba

b

9 IH&;$AF …………………… 13

9.

1

%engertian …………………… 13

9.

2

$umus-rumus Integral …………………… 13

9.

3

 &eknik Integrasi …………………… 14

9.

4

Integral &entu …………………… 19

Ba

b

> &$'A :H7A'H&AF …………………… 1?

22

Page 23: 109703387 Diktat Kalkulus 1

7/23/2019 109703387 Diktat Kalkulus 1

http://slidepdf.com/reader/full/109703387-diktat-kalkulus-1 23/24

- Kalkulus I ->.

1

 &e"rema %yt!ag"ras …………………… 1?

>.

2

;aris Furus …………………… 1@

23

Page 24: 109703387 Diktat Kalkulus 1

7/23/2019 109703387 Diktat Kalkulus 1

http://slidepdf.com/reader/full/109703387-diktat-kalkulus-1 24/24

- Kalkulus I -

%HS+H S+'IA TI7IA+&&I, +%, ''

:AKF&A+ &KHIK 

HIN$+I&A+ 1? A;+&+ BAHSTAH;I

ntuk kalangan sendiri

2#1#P 2#11

24