Kalkulus I

Oleh :Epha Diana Supandi, M.Sc

Pokok Bahasan Sistem Bilangan Real Pertaksamaan dan Nilai Mutlak Fungsi Real Limit Fungsi Kekontinuan Fungsi Limit Tak Hingga Bentuk tak tentu Limit Fungsi Aplikasi Turunan (Masalah maksimum, minimum,

laju, nilai ekstrim, kemonotonan, kecekungan, asimtotik, menggambar grafik)

Daftar Referensi

Martono, K.1999. Kalkulus. Erlangga.Jakarta Purcell, Edwin J. 2004. Kalkulus edisi 8. Erlangga. Jakarta Leithod,L. 1996. The Calculus with Analytic Geometry.Harper and Row Publisher. New York.

Sistem Penilaian

UTS = 30% UAS = 30% Tugas = 20% Tugas Kelompok = 20%

Pendahuluan Untuk mempelajari kalkulus diperlukan berbagai

sifat bilangan real dan fungsi. Konsep utama kalkulus tentang limit, kekontinuan, turunan, differensial dan integral dikaitkan dengan fungsi real sebagai obyeknya.

Dalam kalkulus bilangan real diperlukan untuk dapat memberi ruang gerak pada berbagai operasinya

Pada perrtemuan 1, dipelajari sistem bilangan real, pertaksamaan, nilai mutlak dan fungsi yang merupakan pengetahuan dasar untuk mempelajari konsep limit fungsi.

Sistem Bilangan RealSistem Bilangan : himpunan dari bilangan – bilangan

beserta sifat2nya. Himpunan Bilangan Asli (N) = {1, 2, 3, …} Himpunan Bilangan Cacah = {0, 1, 2, 3, … } Himpunan Bilangan Bulat (Z) = { …,-3,-2,-1,0,1,2,3, …} Himpunan Bilangan Rasional (Q) : Suatu bilangan yang

dinyatakan p/q dengan p dan q bilangan bulat dan q ≠ 0 Himpunan Bilangan Irrasional : bilangan yang tidak dapat dinyatakan ke bentuk rasional

Himpunan Bilangan Real : Gabungan himpunan bilangan rasional dengan himpunan bilangan irrasional.

Sistem BilanganBil Real

Bil Rasional

Bil Bulat

Bil Asli

Selang Suatu himpunan bagian dari himpunan bilangan real.

Penulisan Himpunan Selang Grafik

{x| a < x < b} (a,b){x| a ≤ x < b } [a, b){x | a < x ≤ b } (a, b]{x| a ≤ x ≤ b } [a, b]

{x | x ≤ b } (-∞, b]{x | x < b } (-∞, b){x | a ≤ x } [a, +∞){x | a < x } (a, +∞)

a b

a b

a b

a b

b

b

a

a

Pertaksamaan

Bentuk Umum Pertaksamaan :

banyaksukuDCBAxDxC

xBxA ,,,;

)()(

)()(

Himpunan semua bilangan real x yang memenuhi pertaksamaan (yaitu bila digantikan ke pertaksamaan menghasilkan pernyataan yang benar)

Prosedure Baku menyelesaikan pertaksamaan adalah :

1. Ubahlah bentuk menjadi : dengan P dan Q adalah suku banyak2. Uraikan P dan Q atas faktor linear dan/atau

kuadrat definit positif3. Tentukkan tanda pertaksamaan pada garis

bilangan4. Tentukan himpunan jawabnya dan tampilkan

dalam bentuk selang

0)()(

xQxP

Nilai Mutlak

Nilai mutlak dari bilangan real x, ditulis |x|, didefinisikan sebagai berikut :

;|| 0,0,

xbilaxxbilaxx

Sifat-sifat Nilai Mutlak1. Untuk setiap bilangan real x berlaku

a) |x| 0b) |x| = |- x|c) - |x| ≤ x ≤ |x|d) |x|2 = |x2| = x2

2. Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku :

a) |x| = |y| ↔ x = ± y ↔ x2 = y2

b) |x – y | = |y – x |

Sifat-sifat Nilai Mutlak3. Jika a 0, maka

a) |x| ≤ a ↔ -a ≤ x ≤ a ↔ x2 ≤ ab) |x| a ↔ x a atau x ≤ - a ↔ x2 a2

4. Ketaksamaan segitiga. Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku :

a) |x + y| ≤ |x| + |y| b) |x – y| ≤ |x| + |y|

c) |x| - |y| ≤ |x – y |d) | |x| - |y| | ≤ |x – y |

Sifat – sifat nilai mutlak

5. Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku:

a) |xy| = |x| |y|b) |x/y| = |x| / |y|; y ≠ 0

FUNGSI

DefinisiFungsi f adalah suatu aturan

korespodensi yang menghubungkan tiap obyek x dalam suatu himpunan (daerah asal) dengan sebuah nilai unik (tunggal) f(x) dari himpunan kedua yaitu himpunan nilai yang disebut daerah hasil fungsi tersebut.

Jenis – jenis Fungsi

Fungsi linier Fungsi kuadrat Fungsi trigonometri Fungsi eksponential Fungsi logaritma

Fungsi linier

Fungsi linear memiliki gambar grafik sebagai garis lurus. Notasinya adalah sbb:y = f(x) = a1x + a0; a1 ≠ 0

contoh : y = 4x + 3 a1 disebut gradien atau koefisien

kemiringan

Fungsi kuadrat

Grafik bentuk kuadrat berupa parabola, dimana bentuk rumusnya adalh:y = f(x) = a2x2 + a1x +a0; a2 ≠ 0

Contoh : y = x2 – 4x + 3

Fungsi Eksponential

Persamaan umum fungsi eksponen :y = f(x) = ax; a > 0, a ≠ 1

Fungsi Logaritma

Fungsi ligaritma didefinisikan dengan persamaan :y = f(x) = logax , a > 0 , a ≠ 1

Fungsi ini terdefiniskan untuk x > 0, dan merupakan invers dari fungsi eksponen.

Operasi Fungsi

1. Jumlah dan SelisihMisalkan f dan g adalah sebuah fungsi, maka :(f + g) (x) = f(x) + g(x)(f – g) (x) = f(x) – g(x)

catatan :Daerah asal (f + g) dan (f - g) adalah irisan dari daerah asal f dan g

Operasi Fungsi

2. Hasil kali, Hasil Bagi dan Pangkat

Dengan anggapan bahwa f dan g mempunyai daerah asal, maka(f • g) (x) = f(x) • g(x)(f/g) (x) = f(x) / g(x) ; g(x) ≠ 0

Operasi perpangkatan pada dasarnya adalah perkalian berulang. fn artinya f kali f sebanyak n kali.

Komposisi Fungsi

3. Komposisi fungsi bisa diibaratkan sebagai dua fungsi yang berurutan artinya fungsi yang kedua dioperasikan setelah setelah fungsi yang pertama bekerja.

Komposit g dengan f, dinyatakan oleh (g◦f)Jadi (g◦f) (x) = g (f(x)) dan(f ◦ g) (x) = f(g(x))