web viewtransformasi laplace. definisi. misalkan . author: acer created date: 06/06/2010 19:49:00...
TRANSCRIPT
TRANSFORMASI LAPLACE
VIII. 1.DEFINISI
Misalkan f ( t ) terdefinisi untuk semua t≥0 , maka transformasi Laplace dari f ( t )
dirumuskan :
L{f ( t )}=
F (s )=∫0
∞
e−st f ( t )dt(8.1)
Fungsi F (s )disebut transformasi Laplace dari fungsi f ( t )dan dilambangkan L{f ( t )} dan
inversnya dilambangkan dengan L-1{F (s )}=f ( t ).Catatan : fungsi asli dalam kawasan waktu ditulis dengan huruf kecil sedangkan hasil
transformasinya ditulis dengan huruf kapital. Contoh Y ( s ) adalah transformasi Laplace
dari y ( t ).
Contoh : f ( t )=1untuk t≥0 . Hitung F (s )!Jawab :
F (s )=∫0
∞
e−st f ( t )dt
F (s )=∫0
∞
e−st . 1.dt
F (s )=[−1s
e−st ]0∞
=1s
, dengan s>0
Latihan : hitung transformasi Laplace dar fungsi : y ( t )=eat untuk t≥0 .
VIII. 2.LINIERITAS TRANSFORMASI LAPLACE
Terdapat fungsi f ( t )dan g( t ) maka transformasi Laplace dari a . f ( t )+b. g( t ) adalah
a .F( s )+b .G( s )
a . f ( t )+b. g( t )↔a. F (s )+b .G(s ) (8.2)
Contoh : hitung Transformasi Laplace dari f ( t )=cosh at= eat+e−at
2 .
Jawab :
misalkan f ( t )=cosh at=eat+e−at
2=1
2{x ( t )+ y ( t )}=1
2x ( t )+1
2y ( t )
sehinggax ( t )=eat dan y ( t )=e−at
X ( s )=∫0
∞
e− ste at dt=∫0
∞
e−( s−a )t dt=[−1s−a
e−( s−a) t]0
∞
=1s−a
untuk s>a>0
dengan cara yang sama diperoleh :
Y ( s )=1s+a
untuk s>0 , a>0
sehingga
F (s )=12 X (s )+1
2 Y (s )=12
1s−a +
12
1s+a =
ss2−a2
Latihan :
Tentukan transformasi laplace dari fungsi berikut :
a. f ( t )=3 t+4
b. f ( t )=2 cosωt
VIII. 3.TRANSFORMASI LAPLACE BEBERAPA FUNGSI DASAR
Tabel 8.1 Transformasi Laplace sinyal dasar
f ( t ) F (s )1 1
st 1
s2
t2 2!s3
t n(n=1,2,3 , .. ) n !sn+1
eat 1s−a
cosωt ss2+ω2
sinωt ωs2+ω2
cosh at ss2−a2
sinhat as2−a2
Latihan : Hitung f ( t ) dari fungsi F (s ) beikut :
a.F (s )= 5
s+3
b.F (s )= 1
s4
c.F (s )= 2
s2+16
d.F (s )= s+1
s2+1
e.F (s )= s−4
s2−4
VIII. 4.TRANSFORMASI LAPLACE DARI TURUNAN
Jika f ( t ) kontinu untuk t≥0 dan f ' ( t )adalah turunan dari f ( t ) maka transformasi
Laplace dari f ' ( t ) adalah
L{f ' ( t )}=sF (s )−f ( 0) (8.3)
Contoh :
v (t )=sinωt ,t≥0
i(0 )=1
Gambar 8.1
v (t )=L δi (t )δ ( t )
+Ri( t )
Transformasi Laplace dari dua ruas persamaan di atas :
L{v (t )}= L {L δi ( t )δ ( t )
+Ri ( t )}= L.L {
δi( t )δ( t ) }+ R. L{i( t )}
ωs2+ω2
= L {s.I(s) - i(0)} + R.I(s)
ωs2+ω2
= L.s.I(s) – L.i(0) + R.I(s)
ωs2+ω2
= {L.s + R }.I(s) – L.1.
{L.s + R }.I(s) =
ωs2+ω2
+ L
I (s )=
ωs2+ω2
+L
Ls+R
Secara umum :
Jika f ( t )dan turunannya merupakan fungsi kontinu untuk t≥0 , maka :
L{f(n)( t )}=snF( s )−sn−1 f ( 0)−sn−2 f ' (0 )−. ..−f (n−1)(0) (8.4)
VIII. 5.TRANSFORMASI LAPLACE DARI INTEGRAL
Jika f ( t ) kontinu maka :
L{∫0
t
f (τ )δτ}=
F ( s )s
, s>0(8.5)
Contoh :
Gambar 8.2
v (t )=sinωt ,t≥0
Persamaan tegangan pada rangkaian tersebut adalah :
v (t )=vC ( t )+vR( t )
v (t )=1C ∫ i( t )δt+R .i( t )
Transformasi Laplace dari persamaan di atas :
L{sinωt }=
1C L{∫ i ( t )δt }+R.L{i(t)}
ωs2+ω2 =1
CI ( s )s
+R . I (s )
ωs2+ω2 =(1Cs +R) . I (s )
sehingga diperoleh :
I (s )=
ωs2+ω2
(1Cs +R)=ωcs( s2+ω2 )(1+RCs)
VIII. 6.SIFAT PERGESERAN FREKUENSI
Jika transformasi Laplace dari f ( t ) adalah F (s )dan jika g( t )=eat f ( t ) maka
transformasi Laplace dari g( t ) dirumuskan :
G( s )=F( s−a ) (8.6)
dengan syarat s>a
Contoh :
f ( t )=1 , untuk t≥0
maka F ( s )=1s
g( t )=e5 t f ( t )=e5 t
maka G(s )=F (s−5 )=1s−5
dengan s>5
VIII. 7.SIFAT PERGESERAN WAKTU
Jika transformasi Laplace dari f ( t ) adalah F (s )dan jika g( t )= f ( t−a) maka
transformasi Laplace dari g( t ) dirumuskan :
G( s )=e−asF (s ) (8.7)
Contoh :
Gambar 8.3.
vC ( t )=0 , untuk t<1 . Tentukan i( t )!Jawab :
v (t )=vC ( t )+vR( t )
v (t )=1C ∫ i( t )δt+Ri( t )
V ( s )=I (s )Cs
+RI (s )
Dari gambar 8.3 diperoleh v (t )=1 , untuk 1≤t≤2atau v (t )=u( t−1)−u( t−2) sehingga
diperoleh V ( s )= e−s
s− e−2 s
s
Diperoleh :
e−s
s−e−2 s
s=I (s )(1Cs +R)
I (s )=
e−s
s−e−2 s
s
(1Cs +R)=e−s−e−2 s
s (Cs1+RCs )=e−s−e−2s (1R
1RC
+s )sehingga diperoleh :
i( t )=1Re−
(t−1)RC u ( t−1 )−1
Re−
(t−2)RC u ( t−2)
Gambar 8.4
VIII. 8.TRANSFORMASI LAPLACE PADA FUNGSI PERIODIS
Gambar 8.5
Misalkan f ( t ) sinyal periodis dengan periode T>0sedemikian sehingga f ( t+T )=f ( t )
maka :
F (s )=∫0
T
e−st f ( t )δt
1−e−sT
(8.8)
Contoh :
Sinyal f ( t )={sin t ,0≤t≤π
0 , π≤t≤2π periodis dengan periode 2.
a) Gambarkan sinyal f ( t )!
b) Tentukan transformasi Laplace dari f ( t )!Jawab :
a)
gambar 8.6
b) Transformasi Laplace dari f ( t )dihitung sebagai berikut :
F (s )=∫0
T
e−st f ( t )δt
1−e−sT
F (s )=∫0
π
e−stsin tδt
1−e−sT
F (s )=[e−st (−ssin t−cos t )s2+1 ]
0
π
1−e−s 2π
F (s )=11−e−s 2π (1+e−πs
s2+1 )=1(1−e−sπ )( s2+1 )
VIII. 9. INVERS TRANSFORMASI LAPLACE
Diberikan sebuah sinyal x ( t ) dengan hasil transformasi Laplacenya X ( s ), maka x ( t )
dapat dihitung dari X ( s ) dengan invers transformasi Laplace X ( s ). Invers transformasi
Laplace dihitung sebagai berikut :
x ( t )= 12πj ∫
c− j∞
c+ j∞
X ( s )est ds(8.9)
Integral pada persamaan 8.9 dihitung sepanjang kurva s=c+ jω pada bidang
kompleks dari c− j∞ sampai c+ j∞dengan c adalah sembarang bilangan riil yang
mana kurva s=c+ jω terletak pada daerah konvergensi (ROC).
Pada dasarnya terlalu sulit menghitung invers transformasi Laplace dengan persamaan
8.9, sehingga digunakan cara lain dengan menggunakan pecahan parsial dan tabel
transformasi Laplace sinyal dasar.
VIII. 10. INITIAL VALUE PROBLEM
Contoh : Tentukan f ( t ) jika diketahui persamaan diferensial sebagai berikut :
f ''+4 f '+3 f=0f (0)=3f ' (0 )=1
Jawab :
L{f ''+4 f '+3 f }=L{0}
L{f '' }= s2F−sf (0 )−f ' (0 )=s2F−3 s−1
L{f ' }= sF−f (0)=sF−3
Sehingga diperoleh persamaan :
s2F−3 s−1+4 ( sF−3)+3 F=0(s2+4 s+3 )F=3 s+1+12
F=3 s+13s2+4 s+3
=3 s+13(s+3 )(s+1)
Dengan pecahan parsial :
F=As+3
+Bs+1
As+3
+Bs+1
=A (s+1)+B( s+3 )( s+3 )(s+1)
=(A+B)s+( A+3 B )(s+3)( s+1 )
sehingga diperoleh persamaan :( A+B) s+(A+3B )=3 s+13A+B=3 .. . .. ..( pers . 1)A+3B=13 .. .. . .(pers. 2 )(pers .1 )−(pers. 2 ) diperoleh : -2B=-10B=5A=-2
Y=-2s+3
+5s+1
sehingga diperoleh :y ( t )=-2e-3t+5e-t
VIII. 11. APLIKASI PADA RANGKAIAN LISTRIK
Gambar 8.7 Rangkaian RLC sederhana
Rangkaian listrik sederhana seperti gambar 8.7 terdiri atas elemen rangkaian yang
terhubung seri dengan saklar K. Elemen tersebut adalah :
Sumber tegangan E (volt)
Resistor R (ohm)
Induktor L (henry)
Kapasitor C (farad)
Ketika saklar K ditutup, maka muatan Q (coulomb) akan mengalir ke kapasitor.
Kecepatan aliran muatan tersebut :
δqδt
=i( t )(8.10)
disebut sebagai arus (dengan satuan ampere).
Masalah terpenting adalah menentukan muatan pada kapasitor dan arus sebagai fungsi
waktu. Untuk itu didefinisikan tegangan drop pada elemen rangkaian sebagai berikut :
vR( t )=i ( t )R=R δq( t )δt
vL( t )=L δi( t )δt
=L δ2 i( t )δt2
vC ( t )=q ( t )C
= 1C∫ i( t )δt
(8.11)
(8.12)
(8.13)
Kemudian digunakan hokum kirchoff untuk mendapatkan persamaan diferensial.
Untuk rangkaian gambar 8.7 diperoleh :
vS ( t )=vC ( t )+vR( t )+v L( t )
vS ( t )=q ( t )C
+Rδq( t )δt
+Lδ2q ( t )δt2
atau
vS ( t )=1C∫ i ( t )δt+Ri( t )+L δi( t )
δt
Contoh :
Gambar 8.8
Sebuah induktor 2 henry dan kapasitor 0,02 farad dihubungkan seri dengan resistor 16
ohm dan sumber tegangan E volts. Pada t = 0, muatan kapsitor dan arus pada
rangkaian adalah nol. Tentukan muatan dan arus untuk t > 0, jika :
a. E = 300 volts
b. E = 100 sin 3t volts
Jawab :
Misalkan q(t) dan i(t) adalah muatan dan arus sesaat. Dengan hukum kirchoff
diperoleh :
e ( t )=vC( t )+vR( t )+vL( t )
e ( t )=q ( t )C
+Rδq( t )δt
+Lδ2 q( t )δt2
Dengan kondisi awal q(0) = 0, i (0 )=0=q '(0 )
a. Jika E = 300 volts
300=q ( t )0,02
+16 δq ( t )δt
+2 δ2q( t )δt2
Dengan transformasi Laplace diperoleh :
300s
=Q0,02
+16( sQ−q(0 ))+2( s2Q−sq (0 )−q ' (0 ))
300s
=50Q+16 sQ+2 s2Q
300s
=2(25+8 s+s2)Q
Q=150s (25+8 s+s2 )
150s(25+8 s+s2)
=As
+Bs+C(25+8 s+s2 )
A=150(25+8 s+s2)
|s=0=15025
=6
Untuk s=1diperoleh
15034
=6+B+C34
⇔−54=B+C . . .. ..( pers .1 )
Untuk s=2diperoleh
15090
=3+ 2B+C45
⇔−60=2 B+C . .. . ..( pers. 2)
(pers. 1) – (pers. 2) diperoleh : 6=−B⇔B=−6 sehingga diperoleh C=−48
sehingga :
Q=6s−6 s+48
(25+8 s+s2 )=6s−
6(s+4 )+24(s+4 )2+9
=6s−
6(s+4 )(s+4 )2+9
−24( s+4 )2+9
sehingga : q ( t )=6−6e−4 tcos3 t−8 e−4t sin 3 t
i( t )=δq ( t )δt =24 e−4 t cos3 t+18 e−4 t sin3 t+32 e−4 t sin 3 t−24e−4 t cos3 t=50 e−4t sin 3 t
b. Silahkan dicoba
Latihan :1. Sebuah resistor R ohm dan kapasitor C farad dihubungkan seri dengan sumber
tegangan E volts. Saat t = 0, muatan kapasitor juga nol. Tentukan muatan dan arus
untuk t > 0, jika :
a. E = E0
b. E = E0e-at, a>0
Gambar 8.9
2. Perhatikan gambar berikut :
Gambar 8.10
E = 500 sin 10t volts
R1 = R2 =10 ohm
L = 1 Henry
C = 0,01 farad
Jika muatan kapasitor dan arus i1 dan i2 bernilai nol saat t = 0, tentukan muatan
kapasitor saat t > 0.
LATIHAN 5
Sebuah sistem mempunyai impuls respon h( t )=3(u( t )−u ( t−2) ).
a. Tentukan transformasi laplace dari h( t ) !
b. Tentukan keluaran sistem y ( t ) jika diberi masukan sinyal x ( t )=10δ ( t ).
c. Tentukan keluaran sistem y ( t ) jika diberi masukan sinyal x ( t )=10u( t )
d. Tentukan keluaran sistem y ( t ) jika diberi masukan sinyal x ( t )=10 sin 50 t