arniatiu.files.wordpress.com€¦ · web viewmenerapkan konsep barisan dan deret geometri. 11 x...

Kelompok

Mata Pelajaran

Kelas / Semester

Standar Kompetensi

Kompetensi Dasar

Waktu

:

:

:

:

:

:

5.

5.1

.

5.2

.

5.3

.

Bisnis Manajemen dan Parwisata

Matematika

XI / 3

Menerapkan konsep barisan dan deret

dalam pemecahan masalah

Mengidentifikasi pola, barisan dan

deret bilangan


aritmatika


geometri

11 x pertemuan (1 x pertemuan =

2 x 40 menit)

1

BAHAN AJAR

INDIKATOR

5.1.1.Menentukan pola bilangan jika diketahui barisannya

5.1.2.Mengubahkan deret bilangan ke dalam notasi sigma

TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Siswa mampu menjelaskan pengertian barisan bilangan

2. Siswa mampu menentukan pola bilangan dari suatu barisan

3. Siswa mampu menentukan deret bilangan jika diketahui barisannya

4. Siswa mampu mengubahkan deret bilangan ke dalam notasi sigma

5. Siswa mampu menggunakan sifat – sifat notasi sigma

WAKTU

4 x 40 menit (2 x pertemuan)

2

KOMPETENSI DASAR

5.1. Mengidentifikasi pola, barisan dan deret bilangan

A. BARISAN, POLA, DAN DERET BILANGAN, NOTASI SIGMA.

1. BARISAN BILANGAN

Untuk memahami pengertian suatu barisan bilangan, perhatikan contoh urutan

bilangan berikut ini :

a) 2, 4, 6, 8, 10, . . . . . . . . d) 1, 4, 9, 16, 25, . . . . . . .

b) 3, 6, 9, 12, 15, . . . . . . . e) 3, 2,5 ,4, 7, 8, . . . . . . . .

c) 1, 3, 5, 7, 9, . . . . . . d) 12, 15, 13, 18, 25, . . . . .

Urutan bilangan – bilangan pada contoh a, b, c, dan d di atas mempunyai aturan

tertentu, misalnya pada contoh a) dengan urutan bilangan 2, 4, 6, 8, 10,.. mempunyai

aturan tertentunya adalah ditambahkan dengan 2. Sedangan pada contoh c) dengan

urutan 3, 6, 9, 12, 15,… mempunyai aturan tertentunya adalah ditambah dengan 3.

Urutan bilangan yang memiliki aturan tertentu itu disebut barisan bilangan .

Sedangkan urutan bilangan – bilangan pada contoh e) dan f) di atas tidak mempunyai

aturan tertentu, sehingga bukan merupakan suatu barisan bilangan.

Bentuk umum barisan bilangan dapat dinyatakan dengan :

Dengan : U1 = suku ke - 1

U2 = suku ke - 2

U3 = suku ke – 3

.

.

.

Un-1 = suku ke – (n-1)

Un = suku ke – n (suku umum barisan bilangan)

Latihan 11. Tuliskan tiga suku berikutnya pada setiap barisan berikut ini

a) 6, 7, 8, 9, ……

b) 3, 9, 27, …….

c) 1, 10, 100, . . . . .

d)12, 14, 18,……

3

U1, U2, U3, . . . . . . . . . .,Un-1, Un

e)14, 1

9, 116,……

2. POLA BILANGAN

Dari bentuk umum barisan suatu bilangan, dapat kita tentukan pola barisan bilangan

itu.

Contoh 1:Untuk barisan bilangan pada contoh a)

Urutan ke - Besar Bilangan Pola1 2 2•12 4 2•23 6 2•3...

.

.

.

.

.

.10 . . . 2•10...

.

.

.

.

.

.n . . . 2•n

Jadi pola untuk bilangan yang ke – n pada contoh a) adalah 2•n atau 2n atau Un = 2n

Contoh 2 :Untuk barisan bilangan pada contoh c)

Urutan ke - Besar Bilangan Pola1 1 2•1 – 1 2 3 2•2 – 1 3 5 2•3 – 1 ...

.

.

.

.

.

.10 . . . 2•10 – 1 ...

.

.

.

.

.

.n . . . 2•n – 1

Jadi pola untuk bilangan yang ke – n pada contoh a) adalah (2•n – 1) atau (2n – 1) atau

Un = 2n – 1.

4

Contoh 3 :Carilah tiga suku pertama pada setiap barisan berikut ini, jika rumus suku ke – n diketahui

sebagai berikut :

a. Un = 4n + 3

b. Un = n2 – 1

Jawab :

a. U n = 4n + 3

U 1=¿4.1 + 3 = 4 + 3 = 7

U 2=¿4.2 + 3 = 8 + 3 = 11

U 3=¿4.3 + 3 = 12 + 3 = 16

Jadi, tiga suku pertamanya adalah 7, 11, 16

b. U n = n2 – 1

U 1=¿ 12 - 1 = 1 – 1 = 0

U 2=¿ 22 - 1 = 4 – 1 = 3

U 3=¿ 32 - 1 = 9 – 1 = 8

Jadi tiga suku pertamanya adalah : 0, 3, 8

Contoh 4 :Hitunglah nilai n jika,

a) U n = 3n + 5 = 95

b) U n = n2 - 4 = 21

Jawab :

a. U n = 3n + 5 = 95

3n + 5 = 95

3n = 95 – 5

3n = 90 ⇒ n = 30

b. U n = n2 - 4 = 21

n2 - 4 = 21

n2 = 21 + 4

n2 = 25

n = 5

5

Latihan 2 :1. Tentukan lima suku yang pertama dari barisan bilangan berikut :

a. Un = n3

b. Un = 2n + 5

c. Un = 2n2 – 2

d. Un = (−1 )n+1

2. Hitunglah nilai n jika ,

a. Un = 4n – 3 = 157

b. Un = 1 – 2n = −41

c. Un = 2n – 1 = 31

d. Un = 3n2 – 8 = 19

e. Un = n2 – 4n = 12

3. Tentukan pola bilangan (rumus suku ke – n) dari barisan bilangan berikut :

a. 2, 4, 8, 16, . . . .

b. 1, 4, 9, 16, . . . .

c.12, 14, 16, 18, 110,……

d. 1 , 13, 19, 127 , . . . .

4. Diketahui barisan bilangan 4, 10, 16, . . . . tentukan :

a. Rumus suku ke – n – nya

b. Suku ke – 100 – nya

c. Suku keberapa yang nilainya 100?

5. Diketahui suatu barisan bilangan 2, 5, 10, 13, . . . tentukan :

a. Rumus suku ke – n – nya

b. Suku ke – 50 – nya

c. Suku keberapa yang nilainya 50?

3. DERET BILANGAN

Deret suatu barisan bilangan dan jumlah n suku pertamanya

Jika suku – suku suatu barisan dijumlahkan maka penjumlahan berurut dari suku – suku

barisan itu disebut Deret

6

Secara Umum : U1, U2, U 3, . . . . ,U n adalah suku –suku dari suatu barisan, makaU1+ U 2+

U 3+ . . . + Un adalah deret yang bersesuaian dengan barisan itu. Jumlah n suku pertama

dari suatu barisan dilambangkan dengan Sn, atau

Misal :

Barisan : 1, 2, 3, 4, 5, ………

Deret : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ………

Barisan : 1, 4, 9, 16, 25, ………

Deret : 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + ……

Contoh 5:Diketahui suatu deret 1 + 3 + 5 + 7 +…hitunglah:

a. jumlah dua suku yang pertama

b. jumlah lima suku yang pertama

c. jumlah sepuluh suku yang pertama

d. jumlah n suku yang pertama

e. jumlah 20 suku yang pertama

Jawab:

a. S2 = 1 + 3 = 4

b. S5 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52

c. S10 = 102 = 100

d. Sn = n2

e. S20 = 202 = 400

Latihan 3 :1. Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret berikut ini

a. 2 + 7 + 17 +…

b. 2 + 4 + 6 + 8 + …

c. 10 + 8 + 6 + 4 +…

d. 1 + 4 + 7 + 10 +…

e.12+ 1

4+ 1

8+. ..

7

Sn = U1 + U2 + U3 + … + Un

2. Tentukan jumlah 6 suku yang pertama dari deret berikut ini:

a. Sn = n2 - 4

b. Sn = n2 + 4

c. Sn = n3 – 2n

d. Sn = 2n + 1

3. Tulislah tiap deret berikut ini, kemudian hitunglah jumlahnya

a. 10 bilangan asli genap pertama

b. 5 bilangan asli kelipatan 5 yang pertama

c. 7 bilangan prima yang pertama

4. NOTASI SIGMA

a. Pengertian notasi sigma

Perhatikan bentuk penjumlahan sepuluh bilangan asli pertama, yaitu 1 + 2 + 3 + 4 +

5 6 + 7 + 8 + 9 +10, jika yang dijumlahkan bukan sepuluh bilangan asli, melainkan

100 bilangan asli pertama, menuliskan secara lengkap tentu akan terlalu panjang dan

memakan waktu yang lama.

Dalam matematika komunikasi dapat dilakukan dengan menggunakan symbol,

misalnya menuliskan jumlah seratus bilangan asli yang pertama, disingkat dengan 1 +

2 + 3 + 4 + 5 + . . . . . . . + 100

Menuliskan penjumlahan bilangan beruntun secara singkat ialah dengan

menggunakan tanda ∑ (dibaca sigma).

Dengan menggunakan notasi sigma, maka penjumlahan beruntun sepuluh bilangan

asli pertama dapat disingkat sebagai berikut :

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = ∑k=1

10

k

Bilangan 1 disebut batas bawah

Bilangan 10 disebut batas atas

Untuk seratus bilangan asli yang pertama dapat ditulis

1 + 2 + 3 + . . . . . . . . + 100 = ∑k=1

100

k

Contoh 6 :Nyatakan deret berikut kedalam notasi sigma

a. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13

8

b. 2 + 4 + 6 + 8 + 9

Jawab :

a. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13

Dari deret 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13, dapat diubah menjadi (2(1) – 1) +

(2(2) – 1) + (2(3) – 1) + (2(4) – 1) + (2(5) – 1) + (2(6) – 1) + (2(7) -1) atau

ditulis (2k – 1) dengan mulai k = 1 sampai k = 7. Dalam notasi sigma. Dalam

notasi sigma disingkat 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = ∑k=1

7

(2k−1)

b. 2 + 4 + 6 + 8 + 9

Notasi sigma dari 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12, dapat diubah menjadi 2(1) + 2(2) +

2(3) + 2(4) + 2(5 ) + 2(6) atau ditulis (2k) dengan mu;ai k = 1 sampai k = 6.

Dalam notasi sigma disingkat : 2 + 4 + 6 + 8 +10 + 12 = ∑k=1

6

(2k )

Contoh 7. Tuliskan bentuk notasi sigma berikut ke dalam bentuk penjumlahan beruntun, dan

kemudian hitunglah jumlahnya

a. ∑k=1

6

5 k

b. ∑k=1

3 1k+2

c. ∑k=1

3

2k

Jawab :

a .∑k=1

6

5k=¿ (5x 1 )+(5 x 2 )+(5 x3 )+(5 x 4 )+(5 x5)¿

¿5+10+15+20+25=75

b. ∑k=1

3 1k+2

= 11+2

+ 12+2

+ 13+2

¿13+ 1

4+ 1

5

¿ 20+15+1260

=4760

9

d. ∑k=1

3

2k=¿21+22+23¿

¿2+4+8=14

b. Sifat – sifat notasi sigma

Misalkan ak dan bk merupakan suku ke – k dan C suatu konstanta

1. Jika ak = C, maka ∑k=1

n

C = nC

2. ∑k=1

n

C ak = C ∑k=1

n

ak

3. ∑k=1

n

¿¿ = ∑k=1

n

ak + ∑k=1

n

bk

4. ∑k=1

n

(ak+bk )2 = ∑

k=1

n

(ak)2 + 2.∑

k=1

n

ak . bk + ∑k=1

n

(bk)2

5. ∑k=1

n

ak = ∑k=1

n−1

ak+an

Contoh 8 :Dengan menggunakan penjumlahan beruntun, tunjukkan bahwa :

a. ∑k=1

6

(2 k+3) = 2.∑k=1

6

k+18

b. ∑k=3

8

k = ∑k=1

6

(k+2)

Jawab :

a. ∑k=1

6

(2 k+3) = 2.∑k=1

6

k+18

∑k=1

6

(2 k+3) = 2.∑k=1

6

k+18

{(2.1+3 )+ (2.2+3 )+ (2.3+3 )+(2.4+3 )+(2.5+3 )+(2.6+3)} 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 2(21) + 18

60 = 42 + 18

60 = 60

10

b. ∑k=3

8

k = ∑k=1

6

(k+2)

∑k=3

8

k = ∑k=1

6

(k+2)

3+4+5+6+7+8 = (1+2)+(2+2)+(3+2)+(4+2)+(5+2)+(6+2)

33 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8

33 = 33

Latihan 4 ;1. Tulislah jumlah berikut ini dengan satu notasi sigma

a.∑k=1

4

k +∑k=1

4

k2

b. ∑n=2

10

(a3+1 )+∑a=2

10

(a2+1)

c. ∑k=1

15

(k2−1)−∑k=1

15

(k+1 )

2. Tulislah jumlah-jumlah berikut ini sebagai jumlah monomial (suku satu)

a. ∑k=1

n

(4ak+bk )

b. ∑k=1

5

(3 k2−7k )

c. ∑k=1

n

(k2+2k+4 )

3. Tulislah jumlah berikut ini dengan satu notasi sigma

a. ∑k=1

n

(2k+5)+∑k=1

n

(4k−15 )

b. ∑b=7

13

(b2+4 )−∑b=1

6

(b2+4 b−5 )

c. ∑k=1

5

(4k 2+k )−∑k=6

10

(k2+2)

4. Tulislah jumlah berikut dengan batas bawah ini.

a. ∑a=5

16

a

11

b. ∑k=4

10

( k+2)

c. ∑n=2

10 nn−1

5. Buktikan

a. ∑k=1

n

(2k+1)2=4∑k=1

n

k2+4∑k=1

n

k+n

b. ∑k=1

10

(3 k−1 )2=9∑k=1

10

k2−12∑k=1

10

k+40

c. ∑a=6

12

a2=∑a=1

7

a2+10∑a=1

7

a+175

INDIKATOR

5.2.1.Mendidentifikasi antara barisan dengan deret aritmatika

5.2.2.Menentukan nilai suku ke – n dari barisan aritmatika dengan menggunakan rumus

5.2.3.Menentukan jumlah n suku suatu deret aritmatika dengan menggunakan rumus.

12

KOMPETENSI DASAR

5.2. Menerapkan mkonsep barisan dan deret aritmatika

5.2.4.Menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan deret aritmatika

TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Siswa mampu menjelaskan pengertian barisan aritmatika

2. Siswa mampu menentukan rumus suku ke – n barisan aritmatika

3. Siswa mampu menjelaskan deret aritmatika

4. Siswa mampu menentukan jumlah n suku pertama deret aritmatika

5. Siswa mampu menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan deret

aritmatika.

WAKTU


B. BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

1. Pengertian barisan dan deret aritmatika

Perhatikan beberapa barisan bilangan berikut ini

a) 1, 3, 5, 7, …….

b) 6,10,14,18, ……..

c) 11, 8, 5, 2,……….

d) 20, 15, 10, 5, …….

Pada setiap barisan di atas, tampak bahwa selisih dua suku berurutan selalu tetap.

Barisan bilangan yang mempunyai cirri seperti itu disebut Barisan Aritmatika, dan

selisih dua suku berurutan itu disebut beda yang biasa dilambangkan dengan huruf b.

Misal :

13

a) 1, 3, 5, 7, ……..,b = 3 – 1 = 5 – 3 = 7 – 5 = 2

b) 6,10,14,18,……, b = 10 – 6 = 14 – 10 = 18 – 14 = 4

c) 11,8,5,2,………, b = 8 – 1 = 5 – 8 = 2 – 5 = -3

d) 20, 15, 10, 5,…, b = 15 – 20 = 10 – 15 = 5 – 10 = -5

Suku pertama dari barisan aritmatika biasanya dilambangkan dengan huruf a.

Secara umum barisan aritmatika didefinisikan sebagai berikut:

U 1, U2, U 3, ……………,U n disebut barisan aritmatika untuk n bilangan asli dan n¿ 1

dan berlaku b = U n - Un−1 dengan

U 1 = suku pertama

U2 = suku kedua

U 3 = suku ketiga

.

.

U n = suku ke – n

Contoh 9.Tentukan suku pertama dan beda dari tiap barisan aritmatika berikut ini!

a) 7, 8, 9, 10, ……………..

b) 3, 8, 13, 18, ……………

c) 9, 6, 3, 0, ……………….

Jawab :

a) 7, 8, 9, 10, ……………..

suku pertama : a = 7 dan beda : b = 8 – 7 = 9 – 8 = 10 – 9 = 1

b) 3, 8, 13, 18, ……………

Suku pertama : a = 3 dan beda : b = 8 – 3 = 13 – 8 = 18 – 13 = 5

c) 9, 6, 3, 0, ……………….

Suku pertama : a = 9 dan beda : b = 6 – 9 = 3 – 6 = 0 – 3 = - 3

Contoh 10.Tentukan 5 suku pertama barisan aritmatika berikut, jika diketahui :

a) a = 3 dan b = -4

14

b) a = 8 dan b = 3

Jawab :

a) a = 3 dan b = -4

U 1 = a = 3

U2 = 3 + (-4) = - 1

U 3 = (-1) + (-4) = -5

U 4 = (-5) + (-4) = -9

U 5 = (-9) + (-4) = -13

Jadi lima suku pertama barisan itu adalah : 3, -1, -5, -9, -11.

b) a = 8 dan b = 3

U 1 = a = 8

U2 = 8 + 3 = 11

U 3 = 11 + 3 = 14

U 4 = 14 + 3 = 17

U 5 = 17 + 3 = 20

Jadi lima suku pertama barisan itu adalah : 8, 11, 14, 17, 20.

Latihan 51. Tentukan suku pertama dan beda dari barisan areitmatika di bawah ini

a. 2, 8, 14, 20, . . . . .

b. 8, 11, 14, 17, . . . .

c. −6 ,−3 ,0 ,3 ,… . .

d. 2 12,3 ,3 1

2,4 ,……

2. Tulis lima suku pertama dari masing – masing barisan aritmatika berikut, jika

diketahui :

a. a = 8 dan b = 3

b. a = −7 dan b = 2,5

c. a = −12 dan b =

23

2. Suku ke – n barisan aritmatika

Dari bentuk umum barisan aritmatika U 1, U 2, U 3, . . .,Un

15

U 1 = a

U2 = U 1 + b = a + b

U 3 = U2 + b = a + b + b = a + 2b

U 4 = U 3 + b = a + 2b + b = a + 3b

.

.

U n = a + (n – 1)b

Jadi pola bilangan barisan aritmatika adalah

U 1, U2, U 3, U 4, . . . . . . . . . Un

a, a + b, a + 2b, a + 3b, . . . . . . ., a + (n – 1)b

Jadi rumus suku ke – n dari barisan aritmatika adalah

Dengan : n = banyak suku, n ∈ bilangan asli

a = suku pertama

b = beda atau selisih

U n = suku ke – n

Contoh 11.Tentukan rumus suku ke – n dari barisan aritmatika berikut jika di diketahui :

a) a = 3 dan b = -4

b) a = 8 dan b = 3

Jawab :

a) a = 3 dan b = -4

U n = a + (n – 1)b

U n = 3 + (n – 1).(-4)

U n = 3 + (-4n + 4)

U n = 3 – 4n + 4

U n = 1 – 4n

b) a = 8 dan b = 3

U n = a + (n – 1)b

U n = 8 + (n – 1).3

16

U n = a + (n – 1)b

U n = 8 + 3n – 3

U n = 3n + 5

Contoh 12.Tentukan suku pertama, beda, rumus suku ke – n dan suku ke – 12 dari barisan aritmatika

10, 15, 20, 25, ….

Jawab :

Suku pertama : a = 10

Beda : b = 15 – 10 = 5

Rumus suku ke n : U n = a + (n – 1)b

= 10 + (n – 1)5

= 10 + 5n – 5

U n = 5n + 5

Suku ke – 12 : U12 = 5.12 + 5

= 60 + 5

= 65

Contoh 13. Suku pertama dari suatu barisan aritmatika sama dengan 2, sedangkan suku ke – 10 sama

dengan 29.

a) Carilah beda dari barisan aritmatika itu

b) Carilah suku ke – 25

c) Suku keberapakah yang nilainya sama dengan 101?

Jawab :

a) Beda dari barisan aritmatika itu

a = 2 dan U 10 = 29

U 10 = 29

a + 9b = 29

2 + 9b = 29

9b = 29 – 2

9b = 27

b = 279

17

b = 3 (beda =3)

b) Suku ke – 25

U n = a + (n – 1)b

U 25 = 2 + (25 – 1)3

= 2 + 24.3

= 2 + 72

= 74 (suku ke – 25 = 74)


U n = 101

a + (n – 1)b = 101

2 + (n – 1)3 = 101

2 + 3n – 3 = 101

-1 + 3n = 101

3n = 101 + 1

3n = 102

n = 1023 = 34

Jadi 101 adalah suku yang ke – 34

Latihan 6:1. Tentukan rumus suku ke – n dari barisan aritmatika di bawah ini

a. 2, 8, 14, 20, . . . . .

b. 8, 11, 14, 17, . . . .

c. −6 ,−3 ,0 ,3 ,… . .

d. 2 12,3 ,3 1

2,4 ,……

2. Tentukan nilai n jika diketahui

a. a = 19 , b = - 5 dan Un = - 41

b. a = - 2, b = 7 dan Un = 138

c. a = 6, b = 4 dan Un = 58

3. Jika suku ke – 7 barisan aritmatika adalah 14 dan suku ke – 13 adalah 2, tentukanlah

tiga suku pertama barisan tersebut.

4. Suku ke – 6 dari barisan aritmatika sama dengan 50 dan suku ke – 41 sama dengan

155. Tentukan suku ke – 20 barisan tersebut.

18

5. Diketahui barisan aritmatika dengan U3 = 9 dan jumlah suku ke – 5 dan suku ke –

7 adalah 48. Tentukan rumus suku ke – n dan suku ke – 10 barisan .

3. Jumlah n suku pertama deret aritmatika

Jika U1+ U2+ U 3+ U 4+ . . . + Un adalah deret aritmatika

Jika jumlah n suku pertama deret aritmatika dilambangkan dengan Sn, maka Sn dapat

ditentukan dengan rumus :

atau


a = suku pertama

b = beda atau selisih

U n = suku ke – n

Sn = Jumlah n suku pertama deret aritmatika

Contoh 14Hitunglah jumlah 20 suku pertama pada deret 9 + 12 + 15 + 18 + . . . . .

Jawab :

a = 9 b = 12 – 9 = 3 dan n = 20

Sn = n2 (2a +(n – 1)b)

S20 = 202 (2.9 +(20 – 1)3)

= 10(18 + 19.3)

= 10(18 + 57)

= 10(75) = 750

Contoh 15Hitunglah jumlah dari deret 5 + 7 + 9 + …. + 61

Jawab :

19

Sn = n2 (a + U n)

Sn = n2 (2a +(n – 1)b)

a = 5, b = 7 – 5 = 2 dan U n = 61

U n = 61

a + (n – 1)b = 61

5 + (n – 1)2 = 61

5 + 2n – 2 = 61

3 + 2n = 61

2n = 61 – 3

2n = 58

n = 582

n = 29 (banyak suku = 29)

Sn = n2 (a + U n)

S29 = 292 (5 +61)

= 292 (66)

= 29 (33)

S29 = 957

Jadi jumlah deret itu adalah 957

Contoh 16Hitunglah jumlah semua bilangan asli antara 5 dan 100 yang habis dibagi 7

Jawab :

Bilangan asli antara 5 dan 100 yang habis dibagi 7 adalah

7 + 14 + 21 + . . . . . + 98

a = 7, b = 14 – 7 = 7 dan U n = 98

U n = 98

a + (n – 1)b = 98

7 + (n – 1)7 = 98

7 + 7n – 7 = 98

7n = 98

20

n = 987 = 14 (banyak bilangan yang habis dibagi 7 antara 5 dan 100 ada 14

buah)

Sn = n2 (a + U n)

S14 = 142 (7 +98)

= 7(105)

S14 = 735

Jadi, jumlah bilangan antara 5 dan 100 yang habis dibagi 7 adalah 735

Latihan 7 :1. Hitunglah jumlah 20 suku pertama pada setiap deret aritmatika berikut :

a. 2 + 5 + 8 + 11 + . . . . . .

b. 50 + 45 + 40 + 35 + . . . . .

c. −7−14−21−28−……

2. Hitunglah jumlah setiap deret aritmatika berikut ini :

a. 6 + 8 + 10 + . . . . + 100

b. 85 + 80 + 75 + . . . . + 10

c. −20−16−12−…+8

3. Hitunglah jumlah semua bilangan asli

a. Antara 10 dan 250 yang habis dibagi 3

b. Antara 100 dan 500 yang habis dibagi 6

c. Antara 10 dan 250 yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 4

4. Hitunglah jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika berikut ini, jika diketahui

a. U3 = 7 dan U6 = 16

b. U5 = 40 dan U8 = 25

4. Penerapan deret aritmatika

Penerapan barisan dan deret aritmatika yang dapat digunakan dalam bidang keuangan,

pertanian, dan lain sebagainya.

21

Contoh 17Pada bulan Januari 2001 Anto menabung Rp. 10.000,00. Jika setiap bulan berikutnya

Anto menabung Rp. 5.000,00 lebihnya dari bulan sebelumnya. Berapakah jumlah seluruh

tabungan Anto sampai akhir tahun?

Jawab :

Tabungan Anto dalam bentuk deret adalah

10.000 + 15.000 + 20.000 + . . . . . . . .

a = 10.000, b =5.000 dan n = 12

Sn = n2 (2a +(n – 1)b)

S12 = 122 (2.(10.000) +(12 – 1)5.000)

= 6(20.000 + 11.(5.000))

= 6(20.000 + 55.000)

= 6(75.000)

S12 = 450.000

Jadi, jumlah seluruh tabungan Anto sampai akhir tahun adalah Rp. 450.000,00

Latihan 81. Harga pembelian sebuah sepeda motor baru adalah Rp. 12.000.000,00. Setelah

digunakan selama 3 tahun, sepeda motor itu dijual dengan harga Rp. 8.400.000,00.

Jika penyusutan harga sepeda motor tiap tahun besarnya sama maka tentukan harga

jual sepeda motor tersebut setelah digunakan selama 5 tahun.

2. Untuk membuat kerajinan tangan , Jaka memerlukan 16 potong kawat yang tidak

sama panjang. Potongan kawat terpanjang 90 cm dan potongan kawat terpendek 15

cm. Jika potongan – potongan kawat dijajarkan dari yang terpanjang hingga terpendek

maka perbedaan panjang dua potong kawat yang berdekatan harus sama. Berapa

panjang kawat yang diperlukan Jaka? Berapa perbedaan panjang kawat?

22

KOMPETENSI DASAR

5.3. Menerapkan mkonsep barisan dan deret geometri

INDIKATOR

5.3.1.Mengidentifikasi antara barisan dengan deret geometri

5.3.2.Menentukan nilai suku ke – n dari barisan geometri dengan menggunakan rumus

5.3.3.Menentukan jumlah n suku suatu deret geometri dengan menggunakan rumus.

5.3.4.Menyelesaikan deret geometri yang mempunyai suku tak hingga

5.3.5.Menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan deret geometri.

TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Siswa mampu menjelaskan pengertian barisan geometri

2. Siswa mampu menentukan suku pertama dari barisan geometri yang diberikan

3. Siswa mampu menentukan rasio dari barisan geometri yang diberikan

4. Siswa mampu menentukan rumus suku ke – n barisan geometri

5. Siswa mampu menjelaskan deret geometri

6. Siswa mampu menentukan jumlah n suku pertama deret geometri

7. Siswa mampu menghitung deret geometri tak hingga

8. Siswa mampu menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan deret

geometri.

WAKTU


C. BARISAN DAN DERET GEOMETRI

1. Pengertian barisan dan deret geometri

23

Pada setiap barisan di atas, tampak bahwa perbandingan dua suku berurutan selalu tetap.

Barisan bilangan yang mempunyai ciri seperti itu disebut Barisan Geometri, dan

perbandingan dua suku berurutan itu disebut rasio yang biasa dilambangkan dengan huruf

r.

Misal :

a) 1, 4, 16, . . . . . . . . . ., r = 41 =

164 = 4

b) 16, 8, 4, . . . . . . . . . .,r = 8

16 = 48 =

12

Suku pertama dari barisan geometri biasanya dilambangkan dengan huruf a.

Contoh 18Tentukan suku pertama dan rasio dari barisan geometri berikut :

1. 1, 2, 4, 8, . . . . . .

2. 2, 6, 18, 54, . . . . .

3. 3, -6, 12, -24, . . . . . .

Jawab :

1. 1, 2, 4, 8, . . . . . .

suku pertama : a = 1 dan rasio : r = 21 = 2

2. 2, 6, 18, 54, . . . . .

suku pertama : a = 2 dan rasio : r = 62 = 3

3. 3, -6, 12, -24, . . . . . .

suku pertama : a = 3 dan rasio ; r = −63 = -2

Latihan 9Tentukan suku pertama dan rasio dari barisan geometri berikut

1. 3, 6, 12, 24, . . . . .

2. 1, 3, 9, 27, . . . . . .

3. 27 ,−9 ,3 ,−1 ,……

4. 1 ,−1 ,1,−1 ,……

5. 2 ,−4 ,8 ,−16 ,……

2. Suku ke – n barisan geometri

24

Secara umum barisan geometri didefinisikan sebagai berikut:

U 1, U 2, U3, ……………,Un disebut barisan geometri untuk n bilangan asli dan n¿ 1 dan

berlaku : r = U n

U n−1 dengan

U 1 = suku pertama

U2 = suku kedua

U 3 = suku ketiga

.

.

.

U n = suku ke - n

Dari bentuk umum barisan geometri U1, U2, U 3, . . .,Un

U 1 = a

U2 = U 1.r = ar

U 3 = U2.r = ar.r = ar2

U 4 = U 3.r = ar2.r = ar3

.

.

.

U n = arn−1

Jadi pola bilangan barisan aritmatika adalah

U 1, U2, U 3, U 4, . . . . . . . . . Un

a, ar, ar2, ar3, . . . .. . . . . . arn−1

Jadi rumus suku ke – n dari barisan geometri adalah


a = suku pertama

r = rasio atau perbendingan

U n = suku ke – n

25

U n = arn−1

Contoh 19Tentukan rumus suku ke – n dan suku ke – 7 pada barisan geometri : 1, 2, 4, 8, . . . . .

Jawab :

a = 1 dan r = 2

Rumus suku ke – n : U n = arn−1

= 1.2n−1

U n = 2n−1

Suku ke – 7 : U 7 = 27−1

U 7 = 26

U 7 = 64

Contoh 20 Suku pertama dari suatu barisan geometri sama dengan 128, sedangkan suku ke – 4 sama

dengan 16,

a) Carilah rasio barisan geometri tersebut

b) Carilah suku ke – 6


Jawab :

a) Rasio barisan geometri tersebut

a = 128 ….(i)

U 4 = 16 = ar3 ….(ii)

Persamaan (ii) dibagi persamaan (i) diperoleh

U 4

a = a . r

3

a =

16128

r3 = 18 = ( 1

2)

3

r = 12 (rasio =

12 )

b). Suku ke – 6

U 6 = ar5 = 128. ¿ = 128. 1

32 = 4 (suku ke- 6 adalah 4)

c) Suku yang nilainya sama dengan 1?

U n = 1

arn−1 = 1

26

128. ¿ = 1

¿ = 1

128

¿ = ¿

n – 1 = 7

n = 8

Jadi, 1 adalah suku ke – 8

Contoh 21Diketahui barisan geometri dengan suku pertama a = 1 dan U 7 = 64. Tentukan suku ke

– 10 barisan itu.

Jawab :

U7

a = a . r

6

a =

641

r6 = 64

r6 = (±2)6

r = ± 2

Suku ke – 10 = U10 = a.r9

Untuk r = 2 → U 10 = 1.(2)9 = 512

Untuk r = -2 → U10 = 1.(−2)9 = - 512

Latihan 10 :1. Tentukan rumus suku ke – n dan suku ke – 7 dari barisan aritmatika di bawah ini.

a. 3, 6, 12, 24, . . . . .

b. 1, 3, 9, 27, . . . . . .

c. 27 ,−9 ,3 ,−1 ,……

d. 1 ,−1 ,1,−1 ,……

e. 2 ,−4 ,8 ,−16 ,……

2. Tulislah empat suku pertama dari barisan geometri yang ditentukan oleh rumus

berikut :

a. U n=2n+1

b. U n=2.3n−1

27

c. U n=2.(13 )

n−1

3. Tentukan suku pertama, rasio dan Un , jika

a. U3 = 18 dan U5 = 162

b. U4 = 2 dan U6 = 12

4. Suku pertama dari suatu barisan geometri sama dengan 5, sedangkan suku ke – 6

sama dengan −160.

a. Carilah rasio

b. Carilah suku ke – 8

c. Suku keberapakah yang nilainya sama dengan ¿)?

3. Jumlah n suku pertama deret geometri

Jika U 1+ U2+ U 3+ U 4+ . . . + U n adalah deret geometri. Jika jumlah n suku pertama

deret geometri dilambangkan dengan Sn, maka Sn dapat ditentukan dengan rumus :

atau


a = suku pertama

r = rasio atau perbandingan

Sn = Jumlah n suku pertama deret geometri

Contoh 22Hitunglah jumlah 7 suku pertama pada deret geometri berikut ini.

a) 1 + 3 + 9 + . . . . . .

b) 16 + 8 + 4 + . . . . .

Jawab :

28

Sn = a(rn−1)r−1

, untuk r ¿

1

Sn = a(1−rn)1−r

, untuk r ¿

1

a. a = 1 dan r = 3

Oleh karena r ¿ 1 maka rumus yang

digunakan adalah

Sn = a(rn−1)r−1

S7 = 1(37−1)3−1

S7 = 1(2187−1)2

S7 = 1(2186)

2

S7 = 2186

2

S7 = 1.093

Jadi, jumlah 7 suku pertama deret

geometri itu adalah 1.093

b. a = 16 dan r = 8

16 = 12

Oleh karena r ¿ 1, maka rumus

yang digunakan adalah :

Sn = a(1−rn)1−r

S7 = 16¿¿

S7 = 16(1− 1

128)

12

S7 = 32.(127128 )

S7 = 127

4

S7 = 3134

Jadi, jumlah 7 suku pertama

deret itu

Contoh 23Hitunglah jumlah deret geometri 3 + 6 + 12 + . . . . . . . + 192

Jawab :

a = 3, r = 63 = 2 dan U n = 192

U n = 192

a . rn−1 = 192

3.2n−1 = 192

2n−1 = 1923

2n−1 = 26

n−1 = 6

n = 6 + 1

n = 7

Sn = a (rn−1 )r−1

S7 = 3 ( 27−1 )2−1

S7 = 3 (128−1 )

1

S7 = 3(127)

S7 = 381

Jadi, jumlah deret geometri itu adalah

381

Contoh 24

29

Jumlah deret geometri 2 + 22 + 23 + . . . . . + 2n = 510. Carilah nilai n.

Jawab :

a = 2, r = 22

2 = 2 dan Sn = 510

a(r n−1)r−1

= 510

2(2n−1)2−1

= 510

2(2n−1)1

= 510

2(2n - 1) = 510

2n - 1 = 510

2

2n - 1 = 255

2n = 255 + 1

2n = 256

2n = 28

n = 8

Jadi, nilai n = 8

Latihan 111. Hitunglah jumlah 8 suku pertama pada setiap deret geometri berikut ini :

a. 5 + 10 + 15 + . . . . . .

b. 1−2+4−…

c. 27−9+3−…

2. Hitunglah jumlah setiap deret geometri berikut ini:

a. 2 + 6 + 18 + . . . + 4374

b. 1−12+ 1

4−…+ 1

64

3. Carilah nilai n jika :

a. 3 + 32 + 33 + . . . + 3n = 120

b. 12+ 1

4+ 1

8+…+ 1

2n=127

128

30

4. Suku ke lima dari suatu deret geometri sama dengan 8, sedangkan suku kesepuluh

sama dengan −256. Tentukan :

a. Suku pertama dan rasio deret geometri itu

b. Jumlah sepuluh suku pertama

4. Deret geometri tak hingga

Deret geometri tak hingga adalah deret geometri yang mempunyai suku – suku yang tak

hingga banyaknya. Perhatikan contoh deret geometri berikut ini.

a) 1 + 2 + 4 + 8 + . . . . .

b) 1 + 12 +

14 +

18 + . . . . . . .

Pada contoh a), niliai r ¿ 1 dan bilangannya makin lama makin besar (Un → ∞). Jika

n menuju bilangan yang cukup besar (n → ∞) maka deret geometri yang seprti itu

disebut deret geometri naik tak terhingga.

Pada contoh b) nilai r¿ 1dan bilangannya makin lama makin kecil (U n → 0). Jika

n menuju bilangan yang cukup besar (n →∞) maka deret yang seperti itu disebut

deret geometri turun tak berhingga.

Jika jumlah deret geometri tak hingga dilambangkan dengan Sn, maka Sn dapat

ditentukan dengan rumus :

Dengan :

Sn = Jumlah n suku pertama deret geometri

a = suku pertama

r = rasio atau perbandingan

Contoh 25 Hitunglah jumlah dari setiap deret geometri tak hingga berikut ini.

a) 1 + 12 +

14 +

18 + . . . . . . .

b) 5 + 52 +

54 +

58 + . . . . . . .

31

S∞ = a

1−r , -1 ¿ r ¿ 1

c) 4 – 2 + 1 - 12 + . . . . . . .

Jawab :

a) 1 + 12 +

14 +

18 + . . . . . . .

a = 1 dan r = 12 berarti berada pada interval -1 ¿ r ¿ 1

S∞ = a

1−r

S∞ = 1

1−12

= 112

= 2

b) 5 + 52 +

54 +

58 + . . . . . . .

a = 5 dan r = 12 berarti berada pada interval -1 ¿ r ¿ 1

S∞ = a

1−r

S∞ = 5

1−12

= 512

= 10

c) 4 – 2 + 1 - 12 + . . . . . . .

a = 4 dan r = - 12 berarti berada pada interval -1 ¿ r ¿ 1

S∞ = 4

1−r

S∞ = 4

1−(−12

) = 432

= 83 = 2

23

Contoh 26Suatu deret geometri tak hingga dengan S∞ = 10 dan a = 5. Tentukanlah :

a) Rasio

b) Jumlah 4 suku pertama deret geometri tersebut

Jawab :

a. Rasio

32

S∞ = a

1−r

10 = 5

1−r

10(1-r) = 5

10 – 10r = 5

- 10r = 5 - 10

- 10r = -5

r = −5−10 =

12

Jadi, rasionya adalah 12

b. Jumlah 4 suku pertama deret geometri tersebut

Sn = a(1−rn)1−r

S4 = 5¿¿

S4 = 5(1− 1

16)

12

S4 = 10(1516 ) =

15016 =

758 = 9

38

Jadi, jumlah 4 suku pertama deret tersebut adalah 938

Latihan 121. Hitunglah jumlah dari setiap deret geometri tak hingga berikut ini :

a. 1+ 14+ 1

16+…

b. 5+1+ 15+…

c. 100−10+1−…

2. Dari deret geometri tak hingga diketahui a = 3 dan S = 9. Tentukan lima suku pertama

deret tersebut.

5. Penerapan deret geometri

33

Penerapan barisan dan deret geometri yang dapat digunakan dalam bidang keuangan,

pertanian, dan lain sebagainya.

Contoh 27Sebuah bola tenis dijatuhkan ke lantai dari suatu tempat dengan ketinggian 4 meter.

Setiap kali setelah bola itu memantul akan mencapai 34 dari tinggi yang dicapai

sebelumnya. Hitunglah panjang lintasan yang dilalui bola itu sampai berhenti.

Jawab :

Bola jatuh : a = 4 dan r = 34

Bola memantul : a = 34 . 4 = 3 dan r =

34

Panjang lintasan bola jatuh adalah :

S∞ = a

1−r

S∞ = 4

1−34

S∞ = 414

= 16 meter (panjang lintasan bola jatuh)

Panjang linatasan bola memantul (naik) adalah :

S∞ = 3

1−r

S∞ = 3

1−34

S∞ = 314

= 12 meter (panjang lintasan bola memantul)

Jadi, panjang lintasan seluruhnya yang ditempuh bola adalah panjang lintasan bola jatuh

+ panjang lintasan bola memantul = 16 + 12 = 28 meter.

Latihan 13

34

1. Sebuah bola tenis dijatuhkan ke lantai dari suatu tempat dengan ketinggian 1 meter.

Setiap kali setelah bola itu memantul akan mencapai 23 dari tinggi yang dicapai

sebelumnya. Hitunglah panjang lintasan yang dilalui bola itu sampai berhenti.

2. Sebuah bank swasta memberikan bunga sebesar 2,5% per bulan untuk tabungan

nasabahnya. Seorang nasabah menabung sebesar Rp. 500.000,00. Tentukan total

tabungan nasabah tersebut setelah 6 bulan tanpa pengambilan.

Alat / Bahan / Sumber

1. Buku Matematika tingkat 1 bidang keahlian Bisnis dan Manajemen, penerbit Armico

Bandung, halaman 143 – 148.

2. Buku Matematika SMK non teknik tingkat 2, penerbit PT. Galaxy Puspa Mega Jakarta,

halaman 72 - 74

3. Buku Matematika untuk SMK dan MAK kelas XI, penerbit Erlangga Jakarta, halaman

89 – 98

4. Buku Matematika untuk SMK Kelas XI, penerbit Grafindo Medi Pratama, halaman

75 – 84

35

arniatiu.files.wordpress.com€¦ · web viewmenerapkan konsep barisan dan deret geometri. 11 x...

Documents