BAB I

PENDAHULUAN

A. Pengantar

Aljabar telah digunakan matematikawan sejak beberapa ribu tahun yang lalu. Sejarah mencatat penggunaan aljabar telah dilakukan bangsa Mesopotamia pada 3.500 tahun yang lalu. Nama Aljabar berasal dari kitab yang ditulis pada tahun 830 oleh Matematikawan Persia Muhammad ibn Musa al-Kwarizmi dengan judul “Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala” (yang berarti The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing), yang menerapkan operasi simbolik untuk mencari solusi secara sistematik terhadap persamaan linier dan kuadratik. Salah satu muridnya, Omar Khayyam menerjemahkan hasil karya Al-Khwarizmi ke bahasa Eropa. Beberapa abad yang lalu, ilmuwan dan matematikawan Inggris, Isaac Newton (1642-17 27) menunjukkan, kelakuan sesuatu di alam dapat dijelaskan dengan aturan atau rumus matematika yang melibatkan aljabar, yang dikenal sebagai Rumus Gravitasi Newton.

Aljabar (Algebra) adalah cabang matematika yang mempelajari struktur, hubungan dan kuantitas. Untuk mempelajari hal-hal ini dalam aljabar digunakan simbol (biasanya berupa huruf) untuk merepresentasikan bilangan secara umum sebagai sarana penyederhanaan dan alat bantu memecahkan masalah. Contoh, x mewakili bilangan yang diketahui dan y bilangan yang ingin diketahui. Sehingga bila Andi mempunyai x buku dan kemudian Budi mempunyai 3 buku lebih banyak daripada Andi, maka dalam aljabar, buku Budi dapat ditulis sebagai y = x + 3. Dengan menggunakan aljabar, kita dapat menyelidiki pola aturan aturan bilangan umumnya. Aljabar dapat diasumsikan dengan cara memandang benda dari atas, sehingga kita dapat menemukan pola umumnya.

Aljabar bersama-sama dengan Geometri, Analisis dan Teori Bilangan adalah cabang-cabang utama dalam Matematika. Aljabar Elementer merupakan bagian dari kurikulun dalam sekolah menengah dan menyediakan landasan bagi ide-ide dasar untuk Ajabar secara keseluruhan, meliputi sifat-sifat penambahan dan perkalian bilangan, konsep variabel, definisi polinom, faktorisasi dan menentukan akar pangkat.

Sekarang ini istilah Aljabar mempunyai makna lebih luas daripada sekedar Aljabar Elementer, seperti Ajabar Abstrak, dan Aljabar Linier. Seperti dijelaskan di atas dalam aljabar, kita tidak bekerja secara langsung dengan bilangan melainkan bekerja dengan menggunakan simbol, variabel dan elemen-elemen himpunan. Sebagai contoh Penambahan dan Perkalian dipandang sebagai operasi secara umum dan definisi ini menuju pada struktur bilangan seperti Grup, Ring, dan Medan (fields).

B. Tujuan

Tujuan penyusunan makalah ini adalah sebagai berikut.

1. Untuk memperdalam pengetahuan tentang aljabar dan sejarah perkembangannya.

2. Sebagai referensi pembelajaran matematika sekolah yang berkaitan dengan topik tertentu.

BAB II

PERKEMBANGAN ALJABAR

A. Sejarah Aljabar

1. Babilonia

Matematika Babilonia merujuk pada seluruh matematika yang dikembangkan oleh bangsa Mesopotamia (kini Iraq) sejak permulaan Sumeria hingga permulaan peradaban helenistik. Dinamai “Matematika Babilonia” karena peran utama kawasan Babilonia sebagai tempat untuk belajar. Pada zaman peradaban helenistik, Matematika Babilonia berpadu dengan Matematika Yunani dan Mesir untuk membangkitkan Matematika Yunani.

Bukti terdini matematika tertulis adalah karya bangsa Sumeria, yang membangun peradaban kuno di Mesopotamia. Mereka mengembangkan sistem rumit metrologi sejak tahun 3000 SM. Dari kira-kira 2500 SM, bangsa Sumeria menuliskan tabel perkalian pada lempengan tanah liat dan berurusan dengan latihan-latihan geometri dan soal-soal pembagian. Jejak terdini sistem bilangan Babilonia juga merujuk pada periode ini. Sebagian besar lempengan tanah liat yang sudah diketahui berasal dari tahun 1800 sampai 1600 SM, dan meliputi topik-topik pecahan, aljabar, persamaan kuadrat dan kubik, dan perhitungan bilangan regular, invers perkalian, dan bilangan prima kembar. Lempengan itu juga meliputi tabel perkalian dan metode penyelesaian persamaan linear dan persamaan kuadrat. Lempengan Babilonia 7289 SM memberikan hampiran bagi √2 yang akurat sampai lima tempat desimal.

Matematika Babilonia ditulis menggunakan sistem bilangan seksagesimal (basis-60). Melalui keunggulan orang Babylonia pada bidang astronomi, sistem perhitungan berbasis 60 mereka masih ada sampai sekarang, yakni dengan diturunkannya penggunaan bilangan 60 detik untuk semenit, 60 menit untuk satu jam, dan 360 (60 x 6) derajat untuk satu putaran lingkaran, juga penggunaan detik dan menit pada busur lingkaran yang melambangkan pecahan derajat.

Pada 200 SM, aritmetika Babilonia sudah menjadi aljabar dalam bentuk gaya retorika. Pada suatu loh terdapat daftar pangkat dua dan pangkat tiga dari bilangan 1 sampai 30, kemudian disusun dari n3 + n2. Pada loh Yale yang terdapat soal dari persamaan simultan yang menuju ke persamaan derajat empat tetapi belum diselesaikan. Sebagai contoh didapati persamaan dua peubah.

xy = 600, 150(x – y) – (x + y)2 = -100

bentuk lain dari persamaan itu adalah :

xy = a,

2. Mesir Kuno

(1). Mengalikan

Kebanyakan soal-soal dari 110 soal pada Papirus Moskow dan Papirus Rhind mengenai hitungan yang berkenaan dengan soal praktek, namun beberpa diantaranya sudah bersifat teori. Papirus itu ditulis oleh Ames kira-kira 1700 BC. Pada perkalian dua bilangan dipakai azas melipat- duakan. Tetapi salah satu dari factor perkalian harus dapat dinyatakan sebagai jumlah bilaangan berpangkat dua. Perkalian diganti dengan menjumlah. Misalnya,

14 x 17.

14 = 2 + 4 + 8. Dengan azas melipat-duakan perkalian itu dikerjakan sebagai:

17 x 2 + 34 x 2 + 68 x 2 = 34 + 68 + 136 = 238

Proses melipat-duakan itu dapat disusun ke bawah.

47 x 22 ; 22 = 2 + 4 + 16

Perkalian disusun sebagai berikut :

1 47 47 x 22 = 94

2 94 188

4 188 752 +

1034

8 376

16 752

Dengan cara melipat-duakan ini orang Mesir tidak menyusun tabel perkalian. Metode melipat-duakan ini kemudian berkembang menjadi melipat –duakan dan metoda bilangan tengah.

Contoh :

49 X 35 = ……metodanya sebagai berikut.

49 * 35 (*)Maka 49 X 35 = 35 + 560 + 1120 =

24 701175. Yang dijumlah ialah pasangan

12 140dari bilangan ganjil di kiri.

3* 560 (*)Bilangan tengah diambil bilangan

1* 1120 (*)bulat hasil pembulatan ke bawah dari

Hasil bagi dua bilangan sebelumnya.

(2). Membagi

Azas melipat-duakan juga digunakan untuk membagi dua bilangan.

Contoh :

637 : 24.Proses melipat-duakan dikerjakan ke bawah.

1 24Karena 637 = 384 + 192 +48 + 13

2 48Maka hasil baginya adalah

4 962 + 8 + 16 = 26 dan sisa 13

8 192

16 384

(3). Pecahan

Lambang-lambang pecahan antara lain adalah : =

=

Lambang pecahan lain ditulis untuk memudahkan saja sebagai :

= : = = dan sebagainya.

Dalam papyrus Rhind terdapat tabel yang menyatakan bentuk ke dalam pecahan satuan. Melalui tabel itu , soal-soal dalam papyrus Rhind dapatb diselesaikan. Misalnya pada tabel itu didapati :

= + ; = + + ;

= +

(4). Menyelesaikan persamaan dalam aljabar

Di antara soal-soal persamaan dalam papyrus Rhind terdapat juga persamaan linier dan persamaan kuadrat. Ada aturan dengan letak (posisi) salah .

Contoh :

Terdapat sustu kumpulsn benda. Jika dijumlahkan bagian bagian dan bagian maka jumlahnya 26. Berapa banyaknya benda itu ?

Soal seperti ini dijumpai dalam papyrus itu yang diselesaikan dengan letak salah sebagai berikut :

Disebut saja dulu , maka

= 6 + 4 + 3 = 13. Sedangkan 26 adalah 2 kali 13.

Maka juga harus dilipat-duakan. Jadi jawabnya

Pada papyrus yang berasal dari 1950 BC ditemukan di Kahun berbunyi : Sebidang tanah luasnya 100 satuan dinyatakan sebagai jumlah luas dua bujur sangkar yang perbandingan sisinya . Jika sisi-sisinya dan , maka dan . Jika kedua persamaan diselesaikan dengan cara eliminasi, maka akan terdapat persamaan kuadrat. Jika diselesaikan dengan metoda posisi salah. Sebut maka , sehingga Tetapi adalah x 25. Maka jawabnya adalah , dan . Bahwa bangsa Mesir purbakala juga sudah mengenal lambang untuk negative dan positif. Positif dengan lambang kaki yang melangkah dari arah kanan ke kiri, langkah dari arah kiri ke kanan untuk negative.

3. Yunani Kuno

Aritmetika Pythagoras

Filsafat Pythagoras bertumpu pada anggapan bahwa bilangan bulat adalah sebab utama dari sifat benda. Maka sekolah Pythagoras banyak meltakkan dasar teori dan rahasia bilangan.

1. Bilangan bersahabat (amicable number)

Iamblichus seorang ahli filsafat Neoplato pada tahun 320 menyatakan bahwa dua bilangan bersahabat adalah penemuan Pythagoras. Dua bilangan disebut bersahabat jika jumlah bagi sebenarnya bilangan itu sama dengan bilangan yang menjadi sahabatnya.

Contoh:

220 dan 284 adalah dua bilangan bersahabat sebab pembagi-pembagi dari 220.

2. Bilangan sempurna (perfect number)

Diduga juga bahwa bilangan sempurna berasal dari Pythagoras. Suatu bilangan disebut sempurna jika bilangan itu sama dengan jumlah pembaginya. Kepercayaan mereka juga terkait dengan bilangan sempurna itu. Rupanya bangsa Gerik percaya bahwa Tuhan mencipta Alam semesta dalam 6 hari dengan sempurna. Maka bilangan yang bersifat seperti 6 itu disebut sempurna.

Bilangan-bilangan yang berbeda sifat dari bilangan itu ada dua macam yakni:

a) Bilangan tak sempurna (deficient number)

   Suatu bilangan disebut tak sempurna jika bilangan itu lebih besar dari jumlah pembagi-     pembaginya. Misalnya: 8 lebih besar dari 1+2+4=7

b) Bilangan berlimpah (abundant number)

     Suatu bilangan disebut berlimpah, jika jumlah pembagi-pembagi bilangan itu lebih besar dari bilangan itu sendiri. Misalnya 12, jumlah pembagi-pembaginya:

1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16.

Hingga tahun 1952, diketahui baru 12 bilangan sempurna, diantaranya 2, 28, 496. Semua bilangan sempurna yang diketahui adalah bilangan genap.

Pada tahun 300 BC dalam buku Unsur Euclides telah didapat rumusan untuk bilangan sempurna yaitu:

Jika 2n -1 adalah bilangan prima maka 2n-1(2n-1) adalah bilangan sempurna. Nyata semua bilangan yang memenuhi perumusan ini adalah bilangan genap.

Kemajuan komputer sekarang telah menemukan banyak bilangan sempurna. Komputer telah menghasilkan suatu bilangan sempurna dengan memakai rumus Euclides untuk n = 4432. Bilangan itu terdiri dari 2663 angka.

4. Hindu- Arab

Orang-orang India menggunakan lingkaran kecil saat tempat pada angka tidak mempunyai nilai, mereka menamai lingkaran kecil tersebut dengan nama sunya, diambil dari bahasa sansekerta yang berarti ”kosong”. Sistem ini telah berkembang penuh sekitar tahun 800 Masehi, saat sistem ini juga diadaptasi di Baghdad. orang Arab menggunakan titik sebagai simbol ”kosong”, dan memberi nama dengan arti yang sama dalam bahasa arab, sifr.

Aljabar hindu adalah aljabar sinkopasi, atau aljabar dengan singkatan-singkatan pengerjaaan. Penjumlahan dilakukan menurut jukstaposisi. Pengurangan dengan bilangan diberi tanda titik diatasnya.

Brahmagupta ± abad ke-7 menulis karya matematika dan astronomi. Salah satu dari karyanya ialah brahma-sphuta-siddhan-dhanta ditulis kira-kira pada tahun 628. Buku itu telah diterjemahkan kedalam bahasa inggris pada tahun 1817 oleh H.T. Colebrooke. Ia menulis singkatan dari yang tak diketahui (perubah) dengan ya (javattavat), dan singkatan dari bilangan dengan (rupa). Jika terdapat perubah lain diambil singkatan dari warna misalnya ka (kalaka = hitam).

Misalnya untuk menulis 4x + 3y – 2 ialah ya 4 ka 3 ra 2.

Persamaan kuadrat diselesaikan dengan metode kuadrat sempurna, dan metode itu disebut jjuga metode Hindu, dalam buku karya bhaskara terdapat kesamaan

=

Bentuk kesamaan ini terdapat juga pada buku-buku aljabar SMA sebelum kurikulum 1975. Misalnya menarik akar dari:

=

= -

Aryabhata dan brahmagupta menyelesaikan persamaan tak tertentu ax + by = c, untuk bilangan-bilangan bulat a, b, dan c adalah bilangan-bilangan bulat. Bentuk itu kita kenal dalam pelajaran di SL sebagai fungsi linear. Persamaan kuadrat ditulis dengan bentuk y2 = ax2 + 1 a bilangan bulat tidak bilangan kuadrat persamaan ini diselesaikan Lagragne pada 1766 – 1769.

5. Arab

Salah seorang dari dinasti Abbasiah ialah Kalif Al-Mansyur (754-775). Pada masa kalif ini karya-karya dari brahmagupta dibawa dari india ke bagdad kira-kira tahun 766 dan diterjemahkan kedalam bahasa arab. Dari karya itulah hindu masuk kedalam matematika arab. Puncak kejayaan kalifah timur adalah pada masa Kalif Harun Al-Rasyid (786-809), kemudian Kalif Al-Mamun (809-833), kalif itu mendirikan observatorium di bagdad dan mengukur meridian bumi, kemudian Tabit Ibnu Qorra (826-901) terkenal sebagai ahli filsafat, matematika dan ilmu bahasa. Ia menterjemahkan buku Apolonius, Archimedes, Ptolomeus dan Theodosius. juga menulis tentang irisan kerucut, aljabar, bujursangkar ajaib ddan bilangan bersahabat. Pada abad ke-10 ialah Abu’I Wefa (940-998) ia terkenal dari terjemahannya atas karya Diophantus.

Omar Khayyam (± 1100) juga berasal dari Khorasan menulis tentang aljabar dan memberi penyelesaian geometri dari suatu persamaan pangkat tiga. Karyanya yang terkenal dengan judul Rubayat. Ia juga menyusun perbaikan kalender. Nasireddin (± 1250) adalah seorang yang berasal dari Khorasan menulis tentang trigonometri bidang dan trogonometri bola terpisah dari astronom berdasarkan karya Nasir itulah kemudian Scchery menulis geometri non euclide.

Contoh aljabar arab yang ditemukan oleh Khowazizmi yaitu aturan menentukan sisa suatu bilangan jika dibagi oleh 9 dan disebut aturan mengeluarkan 9 yang berbunyi sebagai berikut: jika suatu bilangan dibagi dengan 9 maka sisanya sama dengan sisa bila jumlah angka penyusun bilangan itu dibagi oleh 9. Contoh sisa pembagian 798 oleh 9

Cukup dicari sisa dari ( 7+9+8) dibagi 9 sisanya adalah 6

Dalam aljabar arab dia menyusun aturan untuk menentukan pendekatan akar suatu persamaan yang disebut aturan letak dua kali salah secara aritmetika dikerjakan sebagai berikut

X3 =

Contoh :

Tentukan pendekatan salah satu akar dari

X3 – 3X2 + 3 = 0

f(1) = 1, f(2) = 8 – 12 + 3 = -1

salah satu akarnya tentu diantara 1 dan -1

maka

X3 = =

= 1,5

6. China

Matematika Cina permulaan adalah berlainan bila dibandingkan dengan yang berasal dari belahan dunia lain, sehingga cukup masuk akal bila dianggap sebagai hasil pengembangan yang mandiri. Tulisan matematika yang dianggap tertua dari Cina adalah Chou Pei Suan Ching, berangka tahun antara 1200 SM sampai 100 SM, meskipun angka tahun 300 SM juga cukup masuk akal.

Hal yang menjadi catatan khusus dari penggunaan matematika Cina adalah sistem notasi posisional bilangan desimal, yang disebut pula "bilangan batang" di mana sandi-sandi yang berbeda digunakan untuk bilangan-bilangan antara 1 dan 10, dan sandi-sandi lainnya sebagai perpangkatan dari sepuluh. Dengan demikian, bilangan 123 ditulis menggunakan lambang untuk "1", diikuti oleh lambang untuk "100", kemudian lambang untuk "2" diikuti lambang utnuk "10", diikuti oleh lambang untuk "3". Cara seperti inilah yang menjadi sistem bilangan yang paling canggih di dunia pada saat itu, mungkin digunakan beberapa abad sebelum periode masehi dan tentunya sebelum dikembangkannya sistem bilangan India. Bilangan batang memungkinkan penyajian bilangan sebesar yang diinginkan dan memungkinkan perhitungan yang dilakukan pada suan pan, atau (sempoa Cina). Tanggal penemuan suan pan tidaklah pasti, tetapi tulisan terdini berasal dari tahun 190 M, di dalam Catatan Tambahan tentang Seni Gambar karya Xu Yue.

Karya tertua yang masih terawat mengenai geometri di Cina berasal dari peraturan kanonik filsafat Mohisme kira-kira tahun 330 SM, yang disusun oleh para pengikut Mozi (470–390 SM). Mo Jing menjelaskan berbagai aspek dari banyak disiplin yang berkaitan dengan ilmu fisika, dan juga memberikan sedikit kekayaan informasi matematika.Yang terpenting dari semua ini adalah Sembilan Bab tentang Seni Matematika, judul lengkap yang muncul dari tahun 179 M, tetapi wujud sebagai bagian di bawah judul yang berbeda. Ia terdiri dari 246 soal kata yang melibatkan pertanian, perdagangan, pengerjaan geometri yang menggambarkan rentang ketinggian dan perbandingan dimensi untuk menara pagoda Cina, teknik, survey, dan bahan-bahan segitiga siku-siku dan π. Ia juga menggunakan prinsip Cavalieri tentang volume lebih dari seribu tahun sebelum Cavalieri mengajukannya di Barat. Ia menciptakan bukti matematika untuk teorema Pythagoras, dan rumus matematika untuk eliminasi Gauss. Liu Hui memberikan komentarnya pada karya ini pada abad ke-3 M.

7. Abad Pertengahan

(1). Abad 13

Leonardo Fibonacci salah seorang sarjana Matematika abad 13 yang terkemuka. Ia juga dikenal sebagai Leonardo dari Pisa. Dalam perlawatannya ke Timur ia berkesempatan untuk berhubungan dengan sarjana Matemtika Arab pada masa itu. Ia mempelajari metoda berhitung Hindu – Arab. Pada tahun 1202 ia menulis buku dengan judul Liber Abaci. Buku itu berisi aritmetika dan aljabar, mengenalkan sistem angka Hindu-Arab ke Eropa. Ia menguraikan metoda menghitung bilangan bulat dan pecahan, menghitung akar pangkat dua, akar pangkat tiga, dari suatu bilangan.

Salah satu contoh soal menarik dari buku itu yang terkenal sekarang ialah barisan Fibonacci yaitu 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…, m,n, m+n,…

Pada tahun 1225, menulis buku berjudul “Lyber Quadratorium” mengenai analisa tak tertentu.

Campanus adalah seorang sarjana matematika abad 13 yang dikenal melalui karyanya pada kumpulan aturan-aturan aritmetika dan ringkasan dari almagest dan terjemahan elemen euclides yang semuanya disusun dalam bahasa latin.

Nicole Oresme (1323-1382), lahir di Normandia. Ia menulis lima karya Matematika dan beberapa terjemahan karya Aristoteles. Dalam salah satu karyanya, ia memperkenalkan eksponen pecahan.

Thomas Bradwardine (1290-1349) menulis brosur-brosur tentang konsep kontinu, deskrit, besar tak berhingga, kecil tak berhingga. Ia juga menulis brosur tentang aritmetika, dan geometri.

Zaman Renaisans

Dalam sejarah, abad 15 disebut zaman renaisans yaitu lahirnya kembali perhatian kepada kebudayaan greek dan Romawi klasik dan berusaha mencari nilai-nilai baru dari kebudayaan itu.

Kegiatan matematika pada abad 15 berpusat di Italia, di Nurenberg, Wina dan Praha. Nicolas Cusa (1401 -1464) menjadi gubernur Roma pada tahun 1448. Ia menulis berbagai brosur matematika, dan memperbaharui kalender. Ia juga tertrik untuk menyelesaikan soal membujursangkarkan lingkaran, dan soal membagi tiga sama suatu sudut.

George Von Peurbach ( 1423-1461) setelah selesai belajar matematika di Italia ia tinggal di Wina dan mendirikan universitas di kota itu. Karya dari Peubach terdapat mengenai astronomi, aritmetika, dan menyusun tabel sinus.

Luca Pucioli (1445-1509) seorang biarawan Italia menyusun ringkasan aritmetika, aljabar, geometri pada masa itu dalam suatu buku dengan judul Summa. Dalam buku itu diuraikan algoritma penarikan akar pangkat dua, aritmetika dagang, tata buku, dan penyelesaian persamaan-persamaan dengan metoda letak salah.

Pada tahun 1491, Filippo Calandri menerbitkan buku aritmetika yang menjadi dasar cara membagi yang dikenal sekarang. Soal-soal pada buku itu menguraikan perhitungan bea cukai pada pertengahan pada perdagangan di Italia. Di negara Eropah lain pun terbit juga buku-buku aritmetika, antara lain ditulis Jacob Kobel pada tahun 1514 di Jerman, dan di Inggris oleh Robert Recorde pada tahun 1542 dengan judul The Ground of Artes.

8. Abad 16

1. Menuju Aljabar dengan Lambang-Lambang

Robert Recorde (1510-1558) menulis karya dalam aljabar, geometri dan astronomi. Pada tahun 1557 ia menulis aljabar dengan judul “THE WHETSTONE OF DE WITTE”. Dalam buku itulah pertama kali digunakan lambang “=”untuk kesamaan seperti digunakan sekarang.

Christoff Rudolf (1525) menulis buku aljabar dengan judul “DIE COSS”. Dalam buku itu diperkenalkan lambang menarik akar “”, barangkali sebagai singkatan dari radix.

Michel Stifel (1486-1567) sorang biarawan Jerman, menerbitkan buku dengan judul “ARITHMETICA INTEGRA” pada tahun 1553. Dalam buku itu ia menguraikan bilangan rasional, irrasional, deret aritmetika, deret geometri dan koefisien binomial hingga pangkat ke tujuh. Dalam buku itu sudah memakai lambang +, -, dan sebagai operasi hitung dan memakai huruf untuk yang diketahui.

2. Aljabar yang Berdiri Sendiri

Spione del Ferro (1465-1526) seorang guru bsar matematika pada Universitas Bologna pada tahun 1515 menulis pesamaan pangkat tiga x3 + mx = n, tetapi tidak menerbitkannya hanya memberitahu kepada seorang mahasiswanya Antonio Fior.

Tartaglia ahli pertama menggunakan matematika pada ilmu artileri. Ia juga menulis aritmetika tentang perdagangan, dan beacukai, tentang Euclides, dan Archimedes.

Pada tahun 1535, ia menerbitkan penemuannya menyelesaikan persamaan pangkat tiga dalam bentuk x3 + px2 = n. Maka Antonio Fior menentangnya untuk melakukan pertandingan matematika menyelsaikan persamaan pangkat tiga. Maka Tartagila mempersiapkan diri untuk menyelesaikan persamaan itu dengan dua cara, sedang Antonio hanya dengan satu cara. Maka Tartagila memenangkan ertandingan itu.

Girolamo Cardano (1501-1576) kelahiran Pavia, seorang yang sangat berbakat dalam berbagai bidang ilmu. Ia menulis tentang aritmetika, astronomi, fisika dan bidang lain. Karyanya paling terkenal adalah mengenai aljabar dengan judul “ARS MAGNA”, ditulis pada tahun 1545. Dalam buku itu dimuat hasil penemuan Tartaglia untuk menyelesaikan persamaan pangkat tiga itu.

Pada tahun 1540, Zuanne de Tonini da Coi mengajukan soal kepada Cardano yang menghasilkan persamaan pangkat empat. Tetapi Cardano tak dapat menyelsaikannya. Murid Cardano, Ferrari berhasil menyelesaikan soal itu dan penyelesaiannya di tulis juga dalam buku Ars Magna.

2. Aljabar Menggunakan Huruf

Francois Vieta (1540-1630) lahir di Fontenay Perancis. Ia seorang ahli hukum dan anggota parlemen, tetapi dengan bakat luar biasa ia menggunakan waktu terluangnya mempelajari matematika. Bahkan ia kemudian dipandang sebagai ahli matematika terbesar abad-16. Ia menulis buku trigonometri pada tahun 1579 dengan judul “CANON MATHEMATICUS SEU AD TRIANGULA”. Buku itulah yang pertama di Eropah yang menyelesaikan soal-soal trigonometri bidang dan bola secara sistemis. Ia menyatakan cos n n = 1, 2, 3,...,9 dengan cos . Buku itu juga menguraikan persamaan pangkat tiga dengan jawaban secara trigonometri.

Pada tahun 1591 ia menulis aljabar dengan judul “In Artem Analiticam Isagoge”. Ia mulai menyusun aljabar dengan menggunakan huruf-huruf. Huruf hidup menyatakan yang tak diketahui dan huruf mati untuk yang ditentukan.

Sebelum Vieta lambang penulisan pangkat yang berbeda ditulis dengan huruf yang berbeda walaupun basisnya sama. Ia sudah memakai lambang + dan -, tetapi belum memakai lambang untuk sama dengan, ia masih memakai kata aequator.

Untuk A2 ditulis A quad, A3 ditulis A cub dan seterusnya. Misalnya polinom dengan penulis yang kita kenal sekarang sebagai 3px3 + 2qx2 – 4rx = 2s, ditulis oleh Vieta sebagai:

P3 in A cub + Q2 in A quad – R plano 4 in aequator S solido 2.

3. Persamaan Derajat Tinggi.

Pada tahun 1600, ia menulis aljabar dengan judul “De Numerosa Potestantum Resolutione”. Dalam buku itu ia menjelaskan pendekatan akar persamaan derajat tinggi secara berturut. Metode Vieta itulah yang dipakai di Eropah hingga tahun 1680. Sebagai pemakaiannya terhadap persamaan kuadrat x2 + mx = n.

9. Abad 17 – 18

Matematika abad 16 sudah menyusun konsep-konsep dasar bagi pesatnya perkembangan Matematika dalam abad 17. Tumbuhnya bidang-bidang yang memerlukan perhitungan angka-angka yang memerlukan ketelitian lebih tinggi dan perhitungan yang lebih cepat, seperti dalam perdagangan, pelayaran, astronomi, mesin-mesin bahkan keperluan untuk perang turut mendorong lahirnya komponen matematika.

John Napier (1150-1617) ia tinggal di daerah Merchiston dekat Edinburg Skotlandia. Pada masa itu terjadi pertentangan-pertentangan politik dan agama di lingkungannya. Empat hasil penemuan John Napier yang luar biasa tercatat dalam sejarah Matematika yakni :

1. Penemuan logaritma

2. Penemuan dengan aturan siklis untuk menyusun rumus-rumus dalam segitiga bola siku-siku.

3. Penemuannya mengenai rumus trigonometri dalam segitiga bola lancip yang dikenal kemudian sebagai rumus Napier.

4. Penemuannya akan alat hitung untuk mengalikan, membagi dan menentukan akar pangkat dua yang disebut batang Napier.

Thomas Harriot (1560-1621) menulis aljabar dengan judul “ARTIS ANALYTICAE PRAXIS” dan buku itu diterbitkan 10 tahun setelah ia meninggal. Ia dipandang sebagai pendiri sekolah aljabar di Inggris. Isi buku itu sebagian besar mengenai teori persamaan, persamaan linear, kuadrat, pangkat tiga dan pangkat empat. Harriot ahli pertama yang memperkenalkan lambang > dan <. Terdapat 8 manuskrip dari Harriot di dalam museum Inggris yang tetap diawetkan. Ia juga dikenal sebagai ahli perbintangan, menemukan noda-noda matahari, dan mengamati Jupiter. Karya aljabar Harriot yang lain dengan judul “CALAVIS MATHEMATICAE” diterbitkan pada tahun 1631 oleh William Oughtred.

William Oughtred (1574-1660) penulis matematika paling terkenal pada abad 17 di Inggris. Karyanya yang terpenting ialah penulisan 150 lambang matematika. Di antara lambang-lambang itu ialah tanda x untuk mengalikan, :: lambang empat titik untuk perbandingan, - l ambang untuk pengurangan.

Leibniz menolak x untuk perkalian, karena terlalu mirip dengan huruf X. sedang Harriot memakai . (titik) untuk perkalian dan lambang itu diterima Leibniz. Leibniz menggunakan untuk perkalian, tanda ini kemudian dipakai pada teori himpunan. Lambang berasal dari buku aljabar oleh Heinrich Rahn (1622-1676) dari Swiss yang diterbitkan tahun 1659. Lambang sebangun “ dan konruen “” pada geometri berasal dari Leibniz. Karya lain dari Oughtred adalah mengenai mistar hitung lingkaran dengan judul “ THE CIRCLES OF PROPORTION” diterbitkan pada tahun 1632.

Kemajuan Matematika di Daratan Eropa abad 17

Galileo (1564- 1642)

Galileo Galilei lahir di Pisa Italia. Ia anak seorang bangsawan miskin dari Florentina. Walaupun ia seorang mahasiswa kedokteran di Universitas Pisa, ia menunjukkan bakatnya di bidang Matematika. Ketika ia masih mahasiswa ia mengamati lampu gantung di Gereja Pisa. Ia mengamati bahwa periode ayunan lampu itu tidak tergantung pada panjang busur ayunannya dan membuktikan bahwa periode ayunan itu tidak tergantung kepada bebandulnya.

Desargues (1593-1662)

Ia lahir di Lyons, Perancis. Ia seorang insiyur arsitek dan menjadi perwira tentara Perancis. Karyanya dalam bentuk risalat-risalat mengenai irisan kerucut. Banyak dari karyanya yang hilang. Setelah seorang muridnya bernama Phillippe de la Hire (1640-1718) menulia karya Desargues yang dianggap sebagai lahirnya geometri proyektif. Bahwa karya Desargues itu kurang menarik disebabkan oleh gaya bahasanya yang kurang menarik, terlalu banyak memakai istilah yang sukar dimengerti, bahkan memakai istilah dari botani.

Balaise Pascal (1623-1662)

Ia lahir di Auvergne perancis, anak dari seorang ahli matematika Etienne Pascal. Bakatnya yang luar biasa pada matematik timbul terlalu awal. Pada usia 12 tahun sudah menemukan teorema geometri elementer. Pada usia 14 tahun sudah turut dalam pertemuan mingguan kelompok matematika Perancis. Pada usia 16 tahun sudah menemukan teorema baru dalam geometri proyektif pada kurva-kurva. Pada tahun 1648 ia menulis irisan kerucut secara lengkap.

10. Abad 19

Pemikir-pemikir matematika abad 19

1) Joseph Fourier

Setelah Fourier meneliti aliran panas menggunakan deret trogonometri, maka pandangan atas konsep fungsi tadi berkembang . deret fourier itu memberi hubungan yang lebih umum atas peubah-peubah, maka usaha menyusun definisi fungsi yang lebih luas dan meliputi hubungan-hubungan diberikan oleh Dirichlet.

2) Lejeune Dirichlet (1805-1859)

Konsep yang diberikan oleh Dirichlet adalah sebagai berikut : suatu peubah ialah suatu lambang yang mewakili suatu angota dari himpunan bilangan. Jika dua peubah x dan y dihubungkan, dan bila kepada x diberikan suatu nilai maka dengan sendirinya berpasangan suatu nilai kepada y, maka y adalah suatu fungsi dari x

3) Pierre Simon Lapiace (1749-1827)

Karya-karyanya terpenting mengenai mekanika yang berhubungan dengan ruang angkasa. Karya lain tentang teori kemungkinan persamaan diferensial. pada tahun 1812 ia menerbitkan karya besar kedua dengan judul Theorie analitique des probabilities, selain itu dia juga menghubungkan teori perbintangan dalam ilmu falak

4) Adrean Marie Legendre (1752-1833)

Ia terkenal dalam matematika elementer dalam bukunya elements de geometrie, selain itu dia juga tekun menyusun tabel matematika. Nam legendre dihubungkan dengan persamaan diferensial derajat dua :

(1 – x2 ) y” – 2xy’ + n (n+1) y = 0

B. Tokoh-tokoh Aljabar

1. Diophantus

Sekitar tahun 250 seorang matematikawan Yunani yang bermukim di Alexandria melontarkan problem matematika yang tertera di atas batu nisannya. Tidak ada catatan terperinci tentang kehidupan Diophantus, namun meninggalkan problem tersohor itu pada Palatine Anthology, yang ditulis setelah meninggalnya. Pada batu nisan Diophantus tersamar (dalam persamaan) umur Diophantus.Seperenam kehidupan yang diberikan Tuhan kepadaku adalah masa muda. Setelah itu, seperduabelasnya, cambang dan berewokku mulai tumbuh. Ditambah sepertujuh masa hidupku untuk menikah, dan tahun kelima mempunyai anak. Sialnya, setengah waktu dari kehidupanku untuk mengurus anak. Empat tahun kegunakan bersedih.Berapa umur Diophantus?

Dugaan tentang kehidupan Diophantus cukup misterius. Kita hanya dapat menduga lewat dua fakta yang menarik sebelum menarik kesimpulan. Pertama, dia mengutip tulisan Hypsicles yang diketahui hidup sekitar tahun 150 SM. Kedua, tulisan Diophantus dikutip oleh Theon dari Alexandria. Prakiraan hidup Theon, diacu dari gerhana matahari yang terjadi pada 16 Juni 364. Dengan dua fakta ini diperkirakan Diophantus hidup antara tahun 150 SM sampai tahun 364. Para peneliti, menyimpulkan bahwa diperkirakan Diophantus hidup sekitar tahun 250.

Diophanus menulis Arithmetica, yang mana isinya merupakan pengembangan aljabar yang dilakukan dengan membuat beberapa persamaan. Persamaan-persamaan tersebut disebut persamaan Diophantin, digunakan pada matematika sampai sekarang.Diophantus menulis lima belas namun hanya enam buku yang dapat dibaca, sisanya ikut terbakar pada penghancuran perpustakaan besar di Alexandria. Sisa karya Diophantus yang selamat sekaligus merupakan teks bangsa Yunani yang terakhir yang diterjemahkan. Buku terjemahan pertama kali dalam bahasa Latin diterbitkan pada tahun 1575. Prestasi Diophantus merupakan akhir kejayaan Yunani kuno.[Pierre] Fermat mengetahui buku Diophantus lewat terjemahan Clause Bachet yang diterbitkan tahun 1621. Problem kedelapan pada buku kedua tentang cara membagi akar bilangan tertentu menjadi jumlah dua sisi panjang. Rumus Pythagoras sudah dikenal orang Babylonia 2000 tahun silam – memberi inspirasi bagi Fermat untuk menuliskan TTF /Theorema Terakhir Fermat (Fermat Last Theorem).Susunan dalam Arithmetica tidak secara sistimatik operasi-operasi aljabar, fungsi-fungsi aljabar atau solusi terhadap persamaan-persamaan aljabar. Di dalamnya terdapat 150 problem, semua diberikan lewat contoh-contoh numerik yang spesifik, meskipun barangkali metode secara umum juga diberikan. Sebagai contoh, persamaan kuadrat mempunyai hasil dua akar bilangan positif dan tidak mengenal akar bilangan negatif. Diophantus menyelesaikan problem-problem menyangkut beberapa bilangan tidak diketahui dan dengan penuh keahlian menyajikan banyak bilangan-bilangan yang tidak diketahui.

Contoh: Diketahui bilangan dengan jumlah 20 dan jumlah kuadratnya 208; angka bukan diubah menjadi x dan y, tapi ditulis sebagai 10 + x dan 10 – x (dalam notasi modern). Selanjutnya, (10 + x)² + (10 - x)² = 208, diperoleh x = 2 dan bilangan yang tidak diketahui adalah 8 dan 12.

Dalam Arithmetica, meski bukan merupakan buku teks aljabar akan tetapi didalamnya terdapat problem persamaan x² = 1 + 30y² dan x² = 1 + 26y², yang kemudian diubah menjadi “persamaan Pell” x² = 1 + py²; sekali lagi didapat jawaban tunggal, karena Diophantus adalah pemecah problem bukan menciptakan persamaan dan buku itu berisikan kumpulan problem dan aplikasi pada aljabar. Problem Diophantus untuk menemukan bilangan x, y, a dalam persamaan x² + y² = a² atau x³ + y³ = a³, kelak mendasari Fermat mencetuskan TTF (Theorema Terakhir Fermat). Prestasi ini membuat Diophantus seringkali disebut dengan ahli aljabar dari Babylonia dan karyanya disebut dengan aljabar Babylonia. Misal umur x, sehingga x = 1/6x + 1/12x + 1/7x + 5 + ½x + 4 akan diperoleh x = 84, umur Diophantus. Seringkali disebut dengan ”Bapak” aljabar Babylonia. Karya-karyanya tidak hanya mencakup tipe material tertentu yang membentuk dasar aljabar modern; bukan pula mirip dengan aljabar geometri yang dirintis oleh Euclid. Diophantus mengembangkan konsep-konsep aljabar Babylonia dan merintis suatu bentuk persamaan sehingga bentuk persamaan seringkali disebut dengan persamaan Diophantine (Diophantine Equation) menunjuk bahwa Diophantus cukup memberi sumbangsih bagi perkembangan matematika.

2. Pythagoras

Pythagoras lahir pada tahun 570 SM, di pulau Samos, di daerah Ionia. Pythagoras (582 SM – 496 SM) adalah seorang matematikawan dan filsuf Yunani yang paling dikenal melalui teoremanya.Dikenal sebagai "Bapak Bilangan", dia memberikan sumbangan yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM. Kehidupan dan ajarannya tidak begitu jelas akibat banyaknya legenda dan kisah-kisah buatan mengenai dirinya.

Semasa kecil, Pythagoras pernah menyusun kerikil dalam bentuksegi-tiga dengan jumlah kerikil yang berbeda namun berurutan:

1 = 1

1 + 2 = 3

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 10

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Dengan menjumlah 2 angka yang bersebelahan akan ditemukanhasil suatu bilangan yang dikuadratkan:

1 + 3 = 4 (2 x 2)

3 + 6 = 9 (3 x 3)

6 + 10 = 16 (4 x 4)

10 + 15 = 25 (5 x 5)

“Mainan” ini ternyata memicu terjadinya rumus Pythagoras yang terkenal: a² + b² = c². Seorang guru memberi tebakan “mainan” ini kepada Galileo sehingga akhirnya Galileo tertarik untuk menekuni matematika, sebagai alat untuk menjelaskan alam semesta (kosmologi).

Dalam tradisi Yunani, diceritakan bahwa ia banyak melakukan perjalanan, diantaranya ke Mesir. Perjalanan Phytagoras ke Mesir merupakan salah satu bentuk usahanya untuk berguru, menimba ilmu, pada imam-imam di Mesir. Konon, karena kecerdasannya yang luar biasa, para imam yang dikunjunginya merasa tidak sanggup untuk menerima Phytagoras sebagai murid. Namun, pada akhirnya ia diterima sebagai murid oleh para imam di Thebe. Disini ia belajar berbagai macam misteri. Selain itu, Phytagoras juga berguru pada imam-imam Caldei untuk belajar Astronomi, pada para imam Phoenesia untuk belajar Logistik dan Geometri, pada para Magi untuk belajar ritus-ritus mistik, dan dalam perjumpaannya dengan Zarathustra, ia belajar teori perlawanan.

Selepas berkelana untuk mencari ilmu, Phytagoras kembali ke Samos dan meneruskan pencarian filsafatnya serta menjadi guru untuk anak Polycartes, penguasa tiran di Samos. Kira-kira pada tahun 530, karena tidak setuju dengan pemerintahan tyrannos Polycartes, ia berpindah ke kota Kroton di Italia Selatan. Di kota ini, Phytagoras mendirikan sebuah tarekat beragama yang kemudian dikenal dengan sebutan “Kaum Phytagorean.”

3. Muhammad bin Musa Al-Khawarizmi

Nama Asli dari Al-Khawarizmi ialah Muhammad Ibn Musa al-Khawarizmi. Selain itu beliau dikenali sebagai Abu Abdullah Muhammad bin Ahmad bin Yusoff. Al-Khawarizmi dikenal di Barat sebagai Al-Khawarizmi, al-Cowarizmi, Al-Ahawizmi, Al-Karismi, Al-Goritmi, Al-Gorismi dan beberapa cara ejaan lagi. Beliau dilahirkan di Bukhara. Tahun 780-850M adalah zaman kegemilangan Al-Khawarizmi. Al-Khawarizmi telah wafat antara tahun 220 dan 230 M. Ada yang mengatakan Al-Khawarizmi hidup sekitar awal pertengahan abad ke-9 M. Sumber lain menegaskan beliau hidup di Khawarism, Usbekistan pada tahun 194H/780M dan meninggal tahun 266H/850M di Baghdad.

Buku pertamanya, al-Jabar, adalah buku pertama yang membahas solusi sistematik dari linear dan notasi kuadrat. Sehingga ia disebut sebagai Bapak Aljabar. Translasi bahasa Latin dari Aritmatika beliau, yang memperkenalkan angka India, kemudian diperkenalkan sebagai Sistem Penomoran Posisi Desimal di dunia Barat pada abad ke 12. Ia merevisi dan menyesuaikan Geografi Ptolemeus sebaik mengerjakan tulisan-tulisan tentang astronomi dan astrologi.

Kontribusi beliau tak hanya berdampak besar pada matematika, tapi juga dalam kebahasaan., yang tercantum dalam buku beliau. Kata logarisme dan logaritma diambil dari kata Algorismi, Latinisasi dari nama beliau. Nama beliau juga di serap dalam bahasa Spanyol Guarismo dan dalam bahasa Portugis, Algarismo yang berarti digit.

Beliau bekerja dalam sebuah observatory yaitu tempat belajar matematika dan astronomi. Al-Khawarizmi juga dipercaya untuk memimpin perpustakaan khalifah. Beliau pernah memperkenalkan angka-angka India dan cara-cara perhitungan India pada dunia Islam. Beliau juga merupakan seorang penulis Ensiklopedia dalam berbagai disiplin. Al-Khawarizmi adalah seorang tokoh yang pertama kali memperkenalkan aljabar dan hisab (ilmu hitung Islam). Banyak lagi ilmu pengetahuan yang beliau pelajari dalam bidang matematika dan menghasilkan konsep-konsep matematika yang begitu populer yang masih digunakan sampai sekarang.

Al-Khawarizmi sebagai guru aljabar di Eropa. Beliau telah menciptakan pemakaian Secans dan Tangen dalam penyelidikan trigonometri dan astronomi. Dalam usia muda beliau bekerja di bawah pemerintahan Khalifah Al-Ma’mun, bekerja di Bayt Al-Hikmah di Baghdad. Beliau bekerja dalam sebuah observatory yaitu tempat belajar matematika dan astronomi. Al-Khawarizmi juga dipercaya untuk memimpin perpustakaan khalifah. Beliau pernah memperkenalkan angka-angka India dan cara-cara perhitungan India pada dunia Islam. Beliau juga merupakan seorang penulis Ensiklopedia dalam berbagai disiplin. Al-Khawarizmi adalah seorang tokoh yang pertama kali memperkenalkan aljabar dan hisab. Banyak lagi ilmu pengetahuan yang beliau pelajari dalam bidang matematika dan menghasilkan konsep-konsep matematika yang begitu populer yang masih digunakan sampai sekarang.

Sumbangsihnya dalam bentuk hasil karya diantaranya ialah :

1. Al-Jabr wa’l Muqabalah : beliau telah mencipta pemakaian secans dan tangens dalam penyelidikan trigonometri dan astronomi.

2. Hisab al-Jabr wa al-Muqabalah : Beliau telah mengajukan contoh – contoh persoalan matematika dan mengemukakan 800 buah masalah yang sebagian besar merupakan persoalan yang dikemukakan oleh Neo Babylian dalam bentuk dugaan yang telah dibuktikan kebenarannya oleh Al – Khawarizmi

3. Sistem nomor : Beliau telah memperkenalkan konsep sifat dan yang oenting dalam system nomor pada zaman sekarang. Karyanya yang satu ini memuat cos, sin, dan tan dalam penyelesaian trigonometri, teorema segitiga sama kaki dan perhitungan luas segitiga, segi empat, dan lingkaran dalam geometri

4. Abu Kamil Shuja

Abu Kamil Shuja’ (Sekitar 850 - 955 M) dari nama panggilannya, al-Misri, memang berasal dari Mesir. Nama lengkapnya Abu Kamil Shuja’ ibnu Aslam ibnu Muhammad ibnu Shuja’ al-Hasib al-Misri. Ia hidup setelah al-Khowarizmi (850 M) dan sebelum Ali bin Ahmad al-Imrani (955-956 M). Matematikawan yang oleh Mehdi Nakosteen, disebut sebagai pakar aljabar terbaik abad ke-10 ini, tidak saja mengembangkan dasar-dasar aljabar al-Khowarizmi tetapi juga lebih menyempurnakannya. Ia antara lain menggunakan bilangan-bilangan rasional bentuk kuadrat, dengan rumus:

dan

Abu Kamil antara lain memberi contoh berikut.

Contoh seperti itu ditemukan pula pada buku “Al-Fikhri” karya Al-Karkhi. Sedang, Fibonacci (yaitu Leonardo da Vinci) juga menggunakan metode itu dengan angka 18 dan 32. Apabila dari rumusan Abu Kamil tersebut , kita memisalkan p = a + b dan q = a.b , maka rumusannya menjadi :

Rumusan terakhir ini mirip rumusan yang ditemukan kemudian oleh Bhaskara (sekitar 1150) berupa :

Karya-karya Abu Kamil banyak diterjemahkan oleh penulis-penulis Barat belakangan seperti “Das Buch der Sletenheiten der Rechenkunst von Abu Kamil al-Misri” oleh H. Suter, “The Algebra of Abu Kamil Shoja’ ben Asalam” oleh L.C. Karpinski, “On the Pentagon and Decagon” oleh Suter dan juga Sacherdote, “Augmentum et Diminutio” oleh F. Woepcke (1863 M), dan lain-lain. Kebanyakan karya-karyanya dalam waktu singkat diterjemahkan oleh Eropa ke dalam bahasa Latin, Hebrew, Inggris, Spanyol, dll.

Ada dua buku Abu Kamil yang sangat terkenal seperti tertulis dalam “Al-Fihrist” (sebuah daftar buku dan pengarang muslim) karya An-Nadim,, yaitu yang pertama “Kitab fi al-Jami’ wa at-Tafrik” (tentang penambahan dan pengurangan) yang sempat menjadi bahan diskusi berkepanjangan oleh para ahli dan mengandung kerumitan. Yang kedua, “At-Ta’arif” yang banyak diterjemahkan dan mengandung bahasan yang menyeluruh tentang persamaan-persamaan tak tentu. Bahasan tersebut muncul di India (1150 M) oleh Baskhara, dan diperkenalkan oleh Aryabhata. Karya unggul Abu Kamil yang lain dapat disebut antara lain dengan judul “Kitab al-Khata’ayn” (tentang dua kesalahan). Sedang, karya-karya Abu Kamil yang lain sudah sulit untuk dirujuk judul aslinya.

5. Leonardo Fibonacci

Leonardo Fibonacci dilahirkan di Pisa, itali sekitar tahun 1175. Beliau dilahirkan dalam keluarga Guilielmo Bonacci, seorang pengusaha sukses terkenal republik Pisa. Guilielmo menginginkan putranya kelak menggantikan kedudukannya sekaligus menjadi seorang ilmuan. Pada zamannya oleh karena itu dia telah membuat persiapan-persiapan untuk Leonardo dengan belajar teknik perhitungan terutama yang melibatkan system angka Hindu-Arab yang pada masa tersebut belum dikenal di Eropa. Fibonacci mampu bergerak bebas ke seluruh kerajaan Byzantine karena beliau putra dari pengusaha terkemuka dan mempunyai kedudukan tinggi. Menurut sejarawan Leonardo Fibonacci sangat tertarik dengan 9 symbol sistem nomor Hindu-Arab kemudian dia menekuni ilmu tersebut dan berhasil menguasainyai. Pada abad ke-12 Leonardo kembali ke Pisa dan mulai memberikan sumbangan pada perkembangan ilmu matematika sehingga mendapat gelar kehormatan sebagai ahli matematik unggul zaman pertengahan. Leonardo memperkenalkan sistem angka Hindu-Arab kepada masyarakat Eropa. Diantaranya tulisan beliau adalah “Liber Abaci” yang menunjukkan penguasaan beliau terhadap sistem angka Hindu –Arab dan juga pemahaman beliau tentang sistem persepuluhan. Dari karyanya yang lain para sejarawan matematika telah menemukan teori persamaan kuadrat serta teori algebra lain.

Dari permasalahan di atas Leonardo Fibonacci mampu untuk menggambarkan perhitungan populasi kelinci tersebut dan dia telah menemukan deret angka yang menghantarkan dia mengenalkan definisi “The Golden Ratio” atau Angka Ratio emas. Permulaan deret angka Fibonacci di jelaskan sebagai berikut:

1,0 + 1 = 1, 1 + 1= 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 +5 = 8, 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21, 13 + 21= 34, 21 + 34 = 55 …dst

Deret angka Fibonacci ini menunjukkan asal mula kejadian alam semesta dan juga menjadi inspirasi para seniman di dalam mewujudkan cipta seni mereka termasuk Leonardo Da Vinci di dalam karya lukisannya yang mendunia yaitu Mona Lisa. Selain itu rahasia angka Fibonacci ini juga di aplikasikan secara luas dalam seni kontruksi bangunan lukisan, lukisan dan juga wujud dalam anatomi tubuh manusia.

6. Augustin-Louis Cauchy

Augustin-Louis Cauchy, lahir di Paris, Prancis, 21 Agustus 1790, ialah seorang matematikawan Prancis Augustin di didik di Ecole Plytecnique. Karena kesehatannya yang buruk ia dinasehatkan untuk memutuskan pikirannya pada matematika. Selama karierna, ia menjabat sebagai mahaguru di Ecole Plytecnique, Sorbonne,dan College de France. Sumbangan-sumbangan matematikanya cemerlang dan mengejutkan jumlahnya. Produktivitasnya sangat hebat hingga akademi Paris memilih untuk membatasi ukuran makalahnya dalam majalah ilmiah untuk mengatasi keluaran dari Cauchy.

Pada awal Desember 1810, Cauchy menekuni matematika. Diawali dengan belajar aritmatika dan berakhir dengan astronomi, menyederhanakan pembuktian dan menemukan proposisi-proposisi baru dengan menggunakan metode-metodenyamenjadi pekerjaan sehari-hari. Masih berumur 24 tahun1813, Cauchy kembali ke Paris. Saat inidia melakukan penelitianmatematika brilian agar layak disebut matematikawan terkemuka Prancis. Topik yang menjadi pokok penelitian adalah Polyhedra dan fungsi-fungsi asimetris.

Awal tahun 1811, Cauchy mengeluarkan makalah perdananya tentang polyhenda yang mempunyai sisi lebih dari sekedar 2, 4, 6, 12 atau 20 sisi. Disusun dengan makalah ke dua, dengan mengembangkan rumus dari Euler tentang geometri bidang, dengan menghubungkan jumlah sudut (s), permukaan (M), garis Verteks (V) dari Polyhendron, s + 2 = M + V.

Cauchy mengembangkan apa yang disebut dengan determinan. Diawali dengan membuat susunan simetri dari n fakor / bilangan a1, a2, a3, …, an. Sebelum rumusan difinisi determinan sebagai ekspresi yang diperoleh dari setiap perubahan. Tahun 1815 Cauchy menggunakan determinan untuk menghitung perambatan gelombang, menyelesaikan problem geometri dan fisika. Misal diketahui A, B, C, adalah lembar pipa paralel, jika diproyeksikan dalam diksi x, y dan z yang tegak lurus dengan sistem koordinat adalah

A1 B1 C1

A2 B2 C2

A3 B3 C3

Maka isis pipa partikel adalah [{A1B2C3) + (A3B1C2) + (C1A2B3) – (A3B2C1) + (A1C2B3) + (C3B1A2)}]= s (A1B2C3). dalam tulisan yang sama dikaitkan dengan perambatan gelombang, Cauchy menggunakan determinan dengan notasi derivate pasial, menganti kondisi yang diperlukan dua garis untuk mengeksresikannya secara singkat :

S( dx dy d2 ) = 1

da db dc

sisi kiri sekarang lebih dikenal dengan sebutan “Jacobian” dari x, y, z dengan a, b, c.

Cauchy ialah seorang katolik yang saleh dan pengikut raja yang patuh. Dengan menolak bersumpah setia kepada pemimpin Prancis yang berkuasa pada 1830, ia pindah ke Italia selama beberapa tahun dan mengatur dibeberapa institusi keagamaan di Paris sampai sumpah kesatuan di hapuskan setelah Revolusi 1848.

Cauchy memiliki perhatian yang luas. Ia mencintai puisi dan pengarang suatu naskah dalam ilmu persajakan dalam bahasa Ibran. Keimananya dalam dalam beragama mengantarnya mendukung kerja social untuk Ibu-ibu tanpa nikah dan narapidana. Meski Kalkulus diciptakan pada akhir abad ke -17, dasarnya tetap kacau dan berantakan sampai Cauchy dan rekannya Carl, Friendrich, Gaub, Niels Hendrik Abel dan Bernard Bolzano mengadakan ketelitian baku.

7. Geogre Boole (1815 – 1864)

Geogre Boole dilahirkan di Lincoln, Inggris,, pada tanggal 2 November 1815. beliau berasal darikeluargamiskin. Kepandaian Geogre Boole sudah tanpak sejak sejak usia 12 tahun. Pada saat itu, dia sudah berhasil menerjemahkan sebuah syair dari bahasa latn. Hasil terjemahan itu dikirimkan ke surat kabar setempat. Banyak orang tidak percaya bahwa yang menerjemahkan syair itu adalah seorang anak yang berumur 12 tahun Geogre Boole.

Kerya pertama boole yang berhubungan dengan logika matematika adalah The mhatematical Analysis of Logic. Buku ini diterbitkan pada tahun 1847 selanjutnya, kembali menulis buku tentang logika pada tahun 1854 yaitu an investigation of thougt kelebihan pemikiran boole ini adalah dia mampu merumuskan hubungan yang terdapat di dalam logika matematika menjadi symbol-simbol yang sangat sederhana. Hasil pemikiran boole ini kelak dikenal dengan nama aljabar Boolean.

Sebagian dari karya boole memang langsung berpengaruh pada saat itu. Akan tetapi sebagian lainya tidak misalnya boole sempat menulis 2 buku teks matematika yaitu Treatise on Difference pada tahun 1860. kedua buku ini baru dijadikan rujukan pengajaran di Universitas-Universitas beberapa decade setelah kematiannya. Boole mengusulkan bahwa proposi logis harus dinyatakan sebagai persamaan aljabar. Manipulasi aljabar dari symbol dalam persamaan memberikan metode gagal aman dedukasi logis, yaitu logika direduksi menjadi aljabar. Boole menggantikan operasi perkalian dengan kata”dan” dan penambahan oleh kata “atau”. Symbol dalam persamaan dapat berdiri untuk koleksi objek (set) atau pernyataan dalam logika.misalnya, jika x adalah himpunan semua sapi coklat dan y adalah himpunan semua sapi lemak, maka x + y adalah himpunan semua sapi yang cokelatatau lemak, dan xy adalah himpunan semua sapi yang coklat dan lemak.

Boole menerima penghargaan dari Universitas Dublin dan oxford. Dia pun menjadi anggota kehormatan di Royal Irish Academy dan Royal Society of London. aljabar Boolean yang dicetuskan Boole merupakan ide dasar dalam perancangan sirkuit computer dan juga bermanfaat dalam perancangan jalur telepon.

8. Al-Qalasadi

Al Qalasadi dalam mengembangkan matematika sungguh sangat tak ternilai. Ia sang matematikus Muslim di abad ke-15, kalau tanpa dia boleh jadi dunia dunia tak mengenal simbol-simbol ilmu hitung. Sejarang mencatat, al Qalasadi merupakan salah seorang matematikus Muslim yang berjasa memperkenalkan simbol-simbol Aljabar. Symbol-simbol tersebut pertama kali dikembangkan pada abad 14 oleh Ibnu al-Banna kemudian pada abad 15 dikembangkan oleh al-Qalasadi, al-Qalasadi memperkenalkan symbol-simbol matematika dengan menggunakan karakter dari alphabet Arab. Ia menggunakan wa yang berarti “dan” untuk penambahan (+), untuk pengurangan (-), Al-Qalasadi menggunakan illa berarti “kurang”. Sedangkan untuk perkalian (x), ia menggunakan fi yang berarti “kali”. Simbol ala yang berarti ”bagi” digunakan untuk pembagian (/).

Selama hidupnya, al-Qalasadi menulis beberapa buku mengenai aritmatika dan sebuah buku mengenai aljabar. Beberapa di antaranya berisi komentar-komentar terhadap karya Ibnu al-Banna yang bertajuk Talkhis Amal al-Hisab (Ringkasan dari Operasi Aritmatika). Ibnu al-merupakan matematikus Muslim yang hidup satu abad lebih awal dari al-Qalasadi. Risalah utama al-Qalasadi adalah al-Tabsira fi'lm al-Hisab (Klarifikasi Ilmu Berhitung). Sayangnya, buku itu sulit dipelajari orang kebanyakan. Untuk mempelajarinya dibutukan ketajaman pikiran. Buku itu sangat dipengaruhi pemikiran Ibnu al-Banna. Meskipun al-Qalasadi sudah berusaha menyederhanakan tingkat kerumitan karya al-Banna.

Buku aritmatika karya al-Qalasadi yang lebih sederhana, terbukti begitu populer dalam pengajaran aritmatika di Afrika Utara. Karya-karyanya itu digunakan selama lebih dari 100 tahun. Jejak intelektual al-Qalasadi rupanya cukup dikenal dan diketahui para sejarawan. Salah seorang penulis yang bernama J Samso Moya, mengatakan, para penulis menganalisis karya para ahli matematika dari Maghrib (Afrika Utara) seolah-olah mereka sepenuhnya tidak terpengaruh dari pendahulu mereka di Timur Islam.

9. Sharaf al-Dīn al-Muẓaffar ibn Muḥammad ibn al-Muẓaffar al-Ṭūsī (1135-1213)

Sharaf al-Dīn al-Muẓaffar ibn Muḥammad ibn al-Muẓaffar al-Ṭūsī adalah matematikawan dan astronom Islam dari Persia. Sharif al-Din mengajar berbagai topik matematika, astronomi dan yang terkait, seperti bilangan, tabel astronomi, dan astrologi. Al-Tusi menulis beberapa makalah tentang aljabar. Dia memberikan metode yang kemudian dinamakan sebagai metode Ruffini-Horner untuk menghampiri akar persamaan kubik. Meskipun sebelumnya metode ini telah digunakan oleh para matematikawan Arab untuk menemukan hampiran akar ke-n dari sebuah bilangan bulat, al-Tusi adalah yang pertama kali yang menerapkan metode ini untuk memecahkan persamaan umum jenis ini. Dalam Al-Mu’adalat (Tentang Persamaan), al-Tusi menemukan solusi aljabar dan numerik dari persamaan kubik dan yang pertama kali menemukan turunan polinomial kubik, hasil yang penting dalam kalkulus diferensial

10. Omar Khayyam (1044-1123 A.D.)

Omar Khayyam adalah ilmuwan yang berasal dari Persia ini membangun Aljabar Geometri dan menemukan bentuk umum geometri dari persamaan kubik. Nama penuh Umar Khayyam ialah Umar Ibnu Ibrahim al-Khayyami. Beliau dilahirkan di Nisyapur, Semenanjung Khurasan pada 433H/1040M dan meninggal dunia pada 517H/ 1123-1124M.

Sejak kecil beliau sudah memperoleh pendidikan yang baik dan teratur daripada orang tuanya yang memang termasuk dalam kategori orang berada. Salah seorang gurunya ialah Imam Muwaffak, pendidik yang amat terkenal di Nisyapur. Kecemerlangannya, berjaya menarik perhatian Sultan Malik Syah sehingga ditawarkan untuk berkhidmat di istana.

Namun, Umar Khayyam tidak berminat. Beliau lebih tertarik kepada dunia keilmuan, sastera dan sains. Oleh itu, sultan telah mendirikan sebuah observatori astronomi yang menjadi tempat Umar Khayyam mengembangkan ilmunya. Di samping itu, beliau juga dilantik menjadi ketua kepada lapansarjana yang melakukan penelitian astronomi di Perguruan Tinggi Nizamiah, Baghdad, Iraq.

Para ilmuwan ini kemudian melakukan modifikasi terhadap perhitungan takwim Islam. Pembaharuan ini didasarkan pada pemikiran dan juga kenyataan bahawa manusia hanya mengenal tahun syamsiyah (yang mempunyai 365 hari) dan tahun qamariah (354 hari). Pada dasarnya ini merupakan sebuah tugas mirip dengan revisi yang dilakukan oleh Paus Gregory XIII pada 1528M terhadap kalendar Kristian atau kalendar Julian (Julius Caesar) yang telah dipakai sejak 46M. Hasil kerja kelompok Umar Khayyam ternyata jauh lebih baik berbanding yang dilakukan oleh Paus Gregory XIII.

Sejak 1079M, Umar Khayyam telah mula menerbitkan hasil penelitiannya berupa gambar rajah astronomi yang dikenali sebagai Zij Malik Syah. Begitu juga karyanya dalam bidang matematik, khususnya mengenai algebra serta sebuah buku penyelidikan daripada buku The Difficullies of Euclid’s Definitions (Kesulitan Definis Fuclides). Semuanya sehingga kini masih tersimpan dengan baik. Karyanya tentang Al-Jabr (Algebra) telah diterjemahkan dan disunting oleh F.Woepeke ke dalam bahasa Perancis (1857M). Ia merupakan sumbangan amat berharga bagi negerinya serta bagi pengajian bidang matematik pada umumnya.

Beliau merupakan orang pertama secara ilmiah mengklasifikasikan persamaan-persamaan tingkat satu (persamaan Linear) serta memikirkan kemungkinan dan mengutamakan masalah persamaan pangkat tiga (kubik) yang berpangkal daripada persamaan umum. Lain halnya dengan al-Khawarizmi yang lebih banyak mencurahkan perhatiannya kepada persamaan kuadrat. Umar Khayyam turut menghasilkan Jawami al-Hisab yang mengandungi rujukan awal mengenai segi tiga Pascal dan menguji balik postulat V Euclides yang berkait dengan teori garis sejajar.

Dalam satu risalahnya, beliau membincangkan kesulitan definisi Euclides yang menggambarkan segi empat ABCD dengan sisi AB dan DC yang sama dengan yang lain. Umar Khayyam dan al-Thusi juga menyedari bahawa ada kemungkinan jumlah sudut sebuah segi tiga kurang daripada 180 darjah.

C. Sejarah Beberapa Topik Aljabar

1. Sistem Persamaan Linier

Babilonia diketahui yang pertama mengenal dan menulis tentang sistem persamaan. Tentu saja belum menggunakan simbol-simbol seperti yang kita gunakan sekarang. Pada sebuah batu bertulis bangsa Babilonia, dari masa 300 SM, termuat sebuah soal yang berkaitan dengan sistem persamaan linier, sebagai berikut:

Terdapat dua daerah (sawah) dengan luas total 1800 yard persegi. Daerah sawah yang pertama dapat memproduksi rata-rata 2/3 gantang padi per yard persegi,sementara daerah sawah yang lain memproduksi padi 1/2 gantang per yard persegi. Jika jumlah produksi keseluruhan 1100 gantang, berapakah luas daerah masing-masing sawah?

Bangsa Cina sekitar tahun 200 SM hingga 100 SM, telah lebih jauh melangkah dalam menangani sistem persamaan. Dalam teks kuno Jianzhang Suan Shu, yang terjemahan Inggrisnya Nine Chapters of the Matematical Arts, telah menyuguhkan berbagai macam soal mengenai sistem persamaan linier, termasuk metode untuk menyelesaikannnya yang dasarnya merupakan metode matriks. Salah satu soal dinyatakan sebagai berikut:

Terdapat tiga jenis jagung. Untuk tiga karung jenis pertama, ditambah dua karung jenis kedua, dan sekarung jenis ketiga harganya 39. Dua karung jenis pertama, tiga karung jenis kedua, dan sekarung jenis ketiga harganya 34. Sekarung jenis pertama, dua karung jenis kedua, dan tiga karung jenis ketiga harganya 26. Berapakah harga jagung keseluruhan bila diambil masing-masing jenis sekarung saja?

Penulis soal kemudian menyusun koefisien-koefisien dalam sistem persamaan yang digambarkan dalam soal di atas, ke dalam sebuah tabel yang sering disebut dengan counting board (papan perhitungan).

1 2 3

2 3 2

3 1 1

26 34 39

Metode pada abad ke-20 (juga kita sekarang) biasanya menulis koefisien tiap persamaan menurut arah baris, tetapi metode Cina Kuno di atas menurut arah kolom. Hal ini mungkin disebabkan penulisan Cina sering dari atas ke bawah. Penulis kemudian meminta pembaca mengalikan kolom tengah dengan 3, lalu dikurangi kolom kanan “sebanyak mungkin”. Juga, setelah mengali tiga kolom kiri lalu dikurangi kolom kanan “sebanyak mungkin”. Jelas bahwa pengertian “sebanyak mungkin” dari penulis naskah kuno tersebut, berarti dikurangi hingga hasil nol diperoleh. Selanjutnya, kolom kiri dikali 5, lalu dikurangi kolom tengah “sebanyak mungkin”. Ini memberikan hasil:

0 0 3

0 5 2

36 11

99 24 39

Dari hasil terakhir ini, kita dapat menemukan harga untuk tiap karung jenis ketiga. Selanjutnya, dengan melakukan substitusi, akan kita peroleh harga untuk tiap karung jenis kedua, dan jenis pertama. Metode ini yang disebut metode fang cheng, kini sering disebut Metode Eliminasi Gauss, yang baru dikenal di Eropa baru sekitar awal abad ke-19. Istilah fang cheng, mulanya bermakna “berhitung dengan bentuk persegipanjang”, tetapi kini memiliki arti sederhana, yaitu “persamaan”. Cardano lewat bukunya, Ars Magna (1545), memberikan suatu metode yang ia sebut regula de modo (atau “Ibunya Aturan”) dalam menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel. Aturan ini pada dasarnya merupakan Aturan Cramer, tetapi Cardano tidak sampai pada bentuk final, ia pun tidak mengarah pada mendefinisikan determinan.

2. Matriks dan Determinan

Perkembangan konsep determinan muncul lebih dulu dari konsep matriks. Ini dikarenakan kedua konsep tersebut terkait dengan penyelesaian sistem persamaan dan penyelesaian persamaan aljabar (polinom) pangkat tinggi.

Ide determinan muncul pertama kali di Jepang dan di Eropa pada waktu hampir bersamaan, tetapi Seki Kowa (1642-1708) mempublikasikan lebih dulu di Jepang. Tahun 1683, Seki menulis buku Method of Solving the dissimulated problems yang memuat metode matriks. Tanpa menggunakan istilah apa pun untuk “determinan”, ia memperkenalkan determinan dan memberikan metode umum untuk menghitungnya. Seki menemukan determinan untuk matriks ordo 2 × 2, 3 × 3, 4 × 4, dan 5 × 5 serta menggunakannya untuk menyelesaikan persamaan pangkat tinggi, bukannya sistem persamaan.

Leibniz dalam suratnya ke l`Hôpital tahun 1683 menjelaskan sistem persamaan:

10 + 11x + 12y = 0

20 + 21x + 22y = 0

30 + 31x + 32y = 0

hanya memiliki satu penyelesaian karena 10.21.32 + 11.22.30 + 12.20.31 = 10.22.31 + 11.20.32 + 12.21.30 yang tidak lain merupakan syarat determinan koefisien sama dengan nol. Tetapi Leibniz tidak bermaksud menggunakan bilangan, sehingga apa yang ia nyatakan dengan 21 adalah a21. Leibniz menggunakan istilah “resultant” untuk kombinasi hasil kali koefisien dari determinan tersebut. Ia membuktikan berbagai teori dari “resultant” tersebut, antara lain yang mirip dengan Aturan Cramer, dan juga apa yang kemudian disebut Ekspansi Laplace.

Tahun 1730-an, Maclaurin (1698-1746) menulis Treatise of algebra dan baru diterbitkan tahun 1748. Buku tersebut memuat pembuktian Aturan Cramer untuk matriks 2 × 2 dan 3 × 3. Baru pada tahun 1750, Cramer (1704-1752) lewat buku Introduction to the analysis of algebraic curve memberikan aturan umum untuk aturan Cramer pada matriks n × n (karena itu disebut Aturan Cramer) walaupun tidak ada bukti yang diberikan. Tahun 1764, Bézout (1730-1783) memberikan sebuah metode menghitung determinan, begitu juga Vandermonde (1735-1796) pada tahun 1771. Tahun 1772, Laplace (1749-1827) mengembangkan aturan yang kini disebut ekspansi Laplace dan ia menamakan determinan dengan sebutan “resultant”, seperti sebutan Leibniz.

Tahun 1773, Lagrange (1736-1813) menulis tentang determinan dalam studi mekanika. Dalam karya tersebut, untuk pertama kali penggunaan determinan sebagai volum. Istilah “determinant” pertama kali digunakan oleh Carl F. Gauss (1777-1855) dalam Disquisitiones arithmeticae (1801), tetapi dalam pembahasan bentuk-bentuk kuadrat dengan menggunakan determinan. Eliminasi Gauss, yang ditelah digunakan di Cina tahun 200 SM, ditemukan pada karyanya tentang studi orbit asteroid Pallas.

Adalah Cauchy (1789–1857) pada tahun 1812, yang pertama kali menggunakan istilah “determinant” dalam konteks modern. Karya-karya Cauchy hampir mewakili konsep determinan modern. Dia merintis konsep “minor” dan “adjoints’, serta hasil kali matriks. Dalam karya tahun 1841, ia menggunakan tanda dua garis vertikal untuk menunjukkan determinan. Pada tahun 1850, istilah “matrix” (matriks) muncul dalam tulisan Sylvester (1814-1897). Tahun 1853, Cayley (1821–1895) yang dikenal di sekolah lewat “tabel Cayley” menulis tentang invers matriks. Dan tahun 1858, ia menerbitkan Memoir on the theory of matrices yang merupakan karya pertama yang membahas matriks secara abstrak.

3. Teorema Pythagoras

Teorema Pythagoras diberi nama berdasarkan nama seorang matematikawan Yunani Kuno, Pythagoras, mungkin karena ia yang pertama memberi sebuah bukti (secara geometris) untuk teorema tersebut. Tetapi hubungan antara sisi-sisi segitiga siku-siku tersebut telah lama dikenal jauh sebelum Pythagoras dan perguruannya. Bukti dari perguruan Pythagoras berdasarkan gambar geometris berikut ini.

Di Universitas Columbia, terdapat katalog hasil olahan naskah-naskah kuno Mesopotamia oleh G. A. Plimpton yang berisi masalah matematika. Katalog itu bernomor 322 sehingga dikenal sebagai Plimpton 322. Naskah tersebut berisi tabel matematika dari zaman antara 1900 SM hingga 1600 SM. Naskah Plimpton 322 disusun kembali oleh Neugebauer dan Sache tahun 1945, dan ternyata memiliki tabel yang menakjubkan. Tabel pada naskah itu terdiri atas tiga kolom bilangan, yang ternyata bersesuaian dengan tripel Pythagoras, yaitu a2 – b2 dan c2 = a2 + b2 , di mana bilangan-bilangan a dan b yang bersesuaian merupakan bilangan-bilangan prima relatif dan membentuk tripel Pythagoras bersama harga c tersebut. Dengan cara lain, triple yang bersesuaian dengan tabel Plimpton ini adalah (2uv)2 + (u – v)2 = (u + v)2, yang oleh Anglin disebut Tripel Babilonia.

Sebuah catatan tentang astronomi dan matematika, Chou Pie Suan Ching, yang terjemahan Inggrisnya The Arithmetical Classic of the Gnomon and the Circular Paths of Heaven, sekitar 500 hingga 200 SM menyajikan pembahasan dan bukti secara geometris tentang Teorema Pythagoras. (lihat gambar di atas). Teks kuno dari India juga telah mengenal tentang Teorema Pythagoras jauh sebelumPythagoras. Di dalam naskah kuno Sulbasutras yang berasal dari tahun 800-600 SM (Baudhayana Sulbasutra) terdapat bahasan Teorema Pythagoras, yang digunakan untuk kepentingan pembangunan altar keagamaan. Sementara dalam Katyayana Sulbasutra (200 SM) terdapat ilustrasi: Tali yang dihubungkan sepanjang diagonal suatu persegipanjang menghasilkan bujursangkar yang luasnya sama dengan jumlah luas kedua bujursangkar pada sisi-sisi persegipanjang. Di dalam Sulvasutras banyak digunakan Tripel Pythagoras, seperti: (5, 12, 13), (12, 16, 20), (8, 15, 17), (15, 20, 25), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (5/2, 6, 13/2), dan (15/2, 10, 25/2).

Diperkirakan bangsa Maya dalam menghitung kalender mereka, juga menggunakan suatu variasi dari Teorema Pythagoras. Ada yang mengatakan rumus Tripel Pythagoras: (m2 –1)/2, m, (m2 +1)/2 berasal dari perguruan Pythagoras. Tetapi sesungguhnya hal ini telah dikenal di Babilonia. Rumus itu sendiri hanya berlaku untuk m bilangan ganjil. Belakangan Plato memberikan rumus yang lebih baik: m2 –1, 2m, m2 +1.

4. Binomial dan Segitiga Pascal

Walaupun nama Segitiga Pascal berasal dari nama seorang matematikawan Prancis pada abad ke-17, tetapi segitiga yang menunjukkan koefisien-koefisien binomial tersebut telah lama dikenal ratusan tahun sebelum Blaise Pascal (1623-1662). Mungkin secara sendiri-sendiri atau independen, matematikawan Cina dan Muslim (Persia) masing-masing menemukan segitiga tersebut. Menurut Clawson dalam sebuah sumber di internet, Chia Hsien atau Jia Xian (k. 1050) telah menggunakan segitiga tersebut untuk menentukan akar kuadrat dan akar kubik suatu bilangan. Demikian pula metode yang digunakan Omar Khayyam dalam menentukan akar suatu bilangan.

Setelah digunakan oleh Chia Hsien, Yang Hui (m. k. 1261-1275) menggunakannya untuk penarikan akar persamaan tingkat tinggi (lebih dari tiga). Para peneliti menyatakan bahwa Yang Hui adalah orang pertama yang menyajikan susunan segitiga Pascal. Matematikawan Zhu Shijie atau Chu Shih Chieh (m.k.1280-1303) sekali lagi menyuguhkan susunan tersebut tahun 1303. Dalam bukunya, Zhu Shijie mengatakan bahwa segitiga binomial tersebut telah merupakan penemuan kuno pada jamannya.

Deskripsi tentang segitiga Pascal, mungkin yang paling tua berasal dari India. Sebuah tulisan Sanskrit yang disebut Meru Prastara yang mungkin berasal dari abad ke-3 atau 4 telah memberi deskripsi tentang segitiga Pascal dengan sangat jelas. Ini kita ketahui dari seorang komentatornya, Halayudha (k. 975). Kalau kita gambarkan deskripsi dari Meru Prastara akan berbentuk segitiga seperti di atas ini.

Al-Karaji atau al-Karkhi dalam al-Fakhri dan al-Badi juga telah mendeskripsikan tentang pembuatan Segitiga Pascal bahkan membuat gambarnya (lihat di atas). Deskripsi umum Segitiga Pascal dari al-Karaji terdapat dalam komentatornya, yaitu al-Samawal. Segitiga binomial tersebut dikenal lewat karya Blaise Pascal, Traité du triangle arithmétique pada tahun 1654. Pascal menulis banyak sifat yang berkenaan dengan segitiga binomial tersebut. Pascal termasuk matematikawan brillian dalam jamannya. Ia menemukan teorema-teorema penting dalam geometri, menemukan mesin hitung, merintis teori probabilitas, dan lain-lain.

BAB III

TOPIK ALJABAR PADA JENJANG SEKOLAH

A. Sekolah Dasar

B. Sekolah Menengah Pertama

C. Sekolah Menengah Atas

BAB IV

PENUTUP

±