BAB IV

VIBRASI KRISTAL

MATERI :Getaran (Vibrasi) Kristal• 4.1.persamaan dispersi untuk kristal

berbasis satu atom.

• 4.2.kecepatan kelompok

(group velocity)

• 4.3 persamaan dispersi untuk kristal

berbasis dua atom.

• 4.4.cabang optik

• 4.5.cabang akustik.

INDIKATOR

• menentukan persamaan dispersi untuk kristal berbasis satu atom.

• menghitung kecepatan kelompok untuk sebuah gelombang.sebuah gelombang.

• menentukan frekuensi/energi untuk cabang optik.

• menentukan frekuensi /energi untuk cabang akustik.

TIK : Menentukan frequensi Gelombang elastik dalam bentuk

(sebagai fungsi ) Vektor gelombang (k) ,

Atau dapat dinyatakan : W = f (k )

Gelombang Elastik dan PHONON

VIBRASI KRISTAL

MONOATOMIK

DIATOMIK

Getaran atom dapat disebabkan oleh :

Zat padat yang menyerap energi panas.

Gelombang yang merambat pada kristal.

Dari bab sebelumnya,telah dibahas bahwa kristal tersusun oleh atom atom yang diam pada posisi di titik kisi.Sesungguhnya atom-atom tersebut tidaklah diam, tetapi bergetar pada posisi kesetimbangnya.

Ditinjau dari panjang gelombang yang Ditinjau dari panjang gelombang yang digunakan dan dibandingkan dengan jarak antar atom dalam kristal,dapat dibedakan menjadi :

- pendekatan gelombang pendek

- pendekatan gelombang panjang

Disebut pendekatan gelombang pendek apabila :

• Apabila panjang gelombang yang digunakan memiliki panjang gelombang yang lebih kecil dari jarak antar atom.

• Dalam keadaan ini gelombang akan • Dalam keadaan ini gelombang akan “melihat” bahwa kristal merupakan susunan atom atom diskret, sehingga pendekatan ini sering disebut pendekatan kisi diskret.

• Sebaliknya , bila diapakai gelombang yang panjang, gelombangnya lebih besar dari jarak antar atom,kisi akan “nampak” malar (kontinue) sebagai suatu media (kontinue) sebagai suatu media perambatan gelombang. Oleh karena itu, pendekatan ini sering disebut sebagai pendekatan kisi malar.

GELOMBANG ELASTIK

regangan pada batang : .............................(1)du

Gelombang mekanik

regangan pada batang : .............................(1)dx

du

tegangan σ yang memenuhi hukum Hooke sebagai berikut:.....................................................(2) E

menurut hukum kedua Newton, tegangan yang bekerja padaelemen batang dx menghasilkan gaya sebesar :

......................................(3)(x)}-dx)(x{A F

)}()({2

2

xdxxAt

uAdx

dxud

E

dxdx

du

xE

dxdx

E

dxx

2

……………………. (4)

……………………. (5)dxdx

udE

2

Adxx

uE

t

u.Adx

2

2

2

2

2

2

2

2

t

u

Ex

u

……………………. (6)

……………………. (5)

Substitusikan persamaan (5) ke persamaan (4), sehingga diperoleh :

Fonon

Fonon adalah fenomena yang muncul dari kuantisasi sistem

Fisika.

Fonon dapat ditemui dalam sistem kristal. Jadi, Fononadalah partikel yang terdapat dalam gelombang elastik.

Contoh : nitrogen vacancy center (NV Center) in diamond, konfigurasi elektron nya membentuk energi level 'ground state' dan 'excited state' yang perbedaan energinya sebesar 637 Nm.

Persamaan Gerak

GrafikMONOATOMIK Grafik

Kecepatan Group

MONOATOMIK

GETARAN KRISTAL YANG BERBASIS SATU ATOM (MONOATOMIK)

Pembahasan ini kita mulai dengan kasus yang paling sederhana yaitu kasus yang melibatkan getaran kristal akibat adanya gelombang elastis yang merambat dalam arah 111;011;001

[1 1 1]

Untuk setiap vektor gelombang terdapat 3 model getaran, yaitu :1 buah longitudinal

2 buah transversal.

k

[1 0 0]

[ 1 1 0]

Y

ARAH RAMBAT (SB.X)

US (ARAH SIMPANGAN)

1 Buah Gelombang LongitudinalZ

X

Y

Y

X

Simpangan

SimpanganZ

2 Buah Gelombang Transversal

Arah Rambat

Jadi : s1ss1ss UUcUUcF

2Us-UUcF 1-s1ss .............. (1)

Persamaan gerak bidang kristal ke s adalah :

s

Persamaan gerak bidang kristal ke s adalah :

..............(2)

aF m:Newton Hukum xc.F:HookeHukum

xc.m

:diperoleh atasdipersamaan keduaDari

a

2Us)-Uc(UUd

m 1-s1s2s

2

dt

Solusi dari persamaan gerak ini tergantung pada waktu (t), dinyatakan oleh :

Karena persamaan (2) merupakan turunan hanya terhadap waktu, maka :

ti-e2ωtie2dt

2d2dt

sU2d

ti es

U

Jadi :

s2

2s

2

Uωdt

Ud

2dt2dt US

Sehingga, persamaan (2) dapat ditulis :

s

2U1s

U1s

Ucs

mU2ω

:berikutsebagaiditulisdapat ties

U:Solusi

t λ

2πi-

eti2π-eti-eU λeti2π-eti-es

U

iksaeikxes

U

Secara lengkap, Us dapat ditulis sebagai berikut :iksaUeUs

ika.eiksaU.e1)aik(sU.e1s

U

:ituKarena

)5(...........................................ikaes

U1s

U

:ditulisdapat (3)dan (5)Persamaan :ditulisdapat (3)dan (5)Persamaan

)s

2Uikas

Uikaes

(Ucs

mU2ω e

(6)...................2)ikaeika(ec m 2ω

ka2cosikaeikae:maka

θsin iθcosiθe

Karena :

Sehingga persamaan (6) menjadi :

2kacos2cm2ω

kacos1m

2c2ω

21

kacos1m

2cω …………(7)

Solusi persamaan (7) menjadi:Solusi persamaan (7) menjadi:

ka

2

122sinm

2c2ω

…………..(8)ka2

1sin

m

c2ω

A

Persamaan (8) Persamaan dispersi

k

Menyatakan hubungan antara frekuensi sudut ω

terhadap vektor gelombang

)(fω k

Persamaan (8) merupakan Persamaan Dispersi. Persamaan (8) menyatakan hubungan antara frekuensi sudut (ω) terhadap vektor gelombang (k). ω = f(k)

Bila dinyatakan dengan grafik

Sin π/2 = sin 90o → max = 1

Sin 2

/2= sin 45o = ½ √2

Sin 2

/3 = sin 30o = ½

Daerah Brillovin I

Bila dinyatakan dengan grafik, maka:

.

dk

dωg

v Gradien atau arah

KECEPATAN GROUP /KECEPATAN KELOMPOK (Vg)

2

kacos

2

a

m

c2

ka2

1sin

m

c2

dk

d

………………(9)

2aλπaλ

2πPada saat ka =

02

πcos

m

ca

gv

Artinya tidak ada gradien /kemiringan

π2π

2

πka 4aλ

2

πa

λ

2πPada saat

m

ca0,74

4

πcos

m

ca

gv

Artinya ada gradien /kemiringan

Persamaan Gerak

GrafikdiATOMIK Grafik

Kecepatan Group

diATOMIK

VIBRASI KRISTAL DIATOMIK

Persamaan gerak : F = m.a = c. ΔxPersamaan gerak : F = m.a = c. ΔxUntuk

m1 → m1 2

2

dt

Ud s = c {( Vs- Us)+( Vs-1-Us)

m12

2

dt

Ud s = c { Vs + Vs-1 - 2 Us}.........(1)

Untukm2 → m2 2

2

dt

Ud s = c {( Us+1- Vs)+( Us-Vs)

m22

2

dt

Ud s = c { Us+1 + Us - 2 Vs}.........(2)

M1

a

M2 M1 M2

PERSAMAAN GERAK

s

U1s

Vs

Us

Vc2

sU2d

1m

1m Untuk

sU

1sV

sU

sVc

2dt1m

1m Untuk

s

Vs

Us

V1s

Uc2dt

sV2d

2m

2m Untuk

s

2Vs

U1s

Uc2dt

sV2d

2m ............................ (2)

s

2U1s

Vs

Vc2dt

sU2d

1m .................... (1)

ωtksai

eUs

U

ωtksai

eVs

V

ikaeωtksai

eU1s

U

ikaωtksai

ωtksai

ei(-ω(Udt

sdU

ωtksai

e2ωUdt

sU2d

Solusinya :

.............. (3)

ikaeωtksai

eV1s

V

ωtksai

2Ueωtksai

Veωtksai

Vecωtksai

e2ωU1

m

2cUika-e1cVU2ω1

m

Persamaan (3) disubstitusikan ke persamaan (1) diperoleh :

.............................. (4)

2cV-ikae1cUV2ω2

m

................................... (5)

Determinan dari persamaan (4) dan (5)

)ikaec)(1(

ωm2c-

ωm2c

)ec)(1( 22

21

ika

U

V0

)ikaec)(1(

ωm2c-

ωm2c

)ec)(1( 22

21

ika

=0

)ωm{(2c 21 )}ωm(2c 2

2 )ikaec)(1{(- 0)}ikaec)(1(

)m2(m

ka)cos)(1)(2cm4(m)}m{2c(m)m2c(m

21

221

22121

(m1m2)ω4-{2c(m1+m2)}ω

2-c2(2+ eika+ e-ika)=0

(m1m2)ω4-{2c(m1+m2)}ω

2+2c2(1- cos ka)=0

Rumus abc:

(12)2 =

Persamaan cabang optik (gelombang elektromagnetik)

21

11

mm )

2(sin

4)

11( 2

21

2

21

ka

mmmm(ω1)2 =c( )+c

21

11

mm )

2(sin

4)

11( 2

21

2

21

ka

mmmm(ω1)2 =c( )-c

Persamaan cabang akustik (bunyi)

2

2

m

cBila m1‹ m2 →

1

2

m

c›

Cabang optik

Daerah terlarang(tidak ada energi yang dilalui)

√(2c/m1)

√(2c/m2)

ωop={2c()}1/2

0 π/aπ/2a-π/2a-π/a

Cabang akustik

2

2

m

cBila m1 › m2 →

1

2

m

c‹

Yang terjadi adalah tidak ada celah terlarang yangartinya untuk setiap energi selalu menghasilkan getaran

Cabang optik

√(2c/m1)ωop={2c()}1/2

Grafik ω terhadap k pada vibrasi kristal diatomik

0 π/aπ/2a-π/2a-π/a

Cabang akustik

Daerah terlarang(tidak ada energi yang dilalui)

√(2c/m2)

Bila m1 › m2 makaYang terjadi adalah tidak ada celah terlarang yang artinya untuk setiap energi selalu menghasilkan getaran.

k

ω untuk vibrasi kristal diatomik

2

2 21,2

1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 4( ) sin

2

kaC C

m m m m mm

Untuk cabang optik1

1 22 2

1 1 1 1 2 2

Untuk cabang akustik

1 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 2 2 cosC C ka

m m m m mm mm

11 2

2 2

21 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 2 2 cosC C ka

m m m m mm mm

KECEPATAN GROUP

11Vg

k

1Vgk

11 2

2 21 1 1 1 2 2

cosC C kam m m m mm mm

Untuk cabang optik

1Vgk

1 2 1 2 1 2 1 2

cosC C kam m m m mm mm

11 222

11 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 2 2sin cos

2

aVg C ka C C ka

mm m m m m mm mm

12 2

1 2 1 2 1 2

1 1 2 2coska

m m mm mm

22Vg

k

1

1 22 2

21 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 2 2 cosVg C C ka

k m m m m m m m m

Untuk cabang akustik

11 2

1

1 222

1 2 1 2 1 2 1 2

221 2

1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 2 2cos

sin

21 1 2 2

cos

C C kam m m m m m m maC ka

Vgm m

kam m m m m m

ANIMASI PHONON

LATIHAN SOAL :

1.Jelaskan persamaan dispersi untuk kristal berbasis satu dan dua atom.

2.Hitung kecepatan kelompok untuk sebuah gelombang pada kristal monoatomik dan gelombang pada kristal monoatomik dan diatomik.

3.Tentukan frekuensi/energi untuk cabang optik.

4.Tentukan frekuensi /energi untuk cabang akustik.

Latihan soal1.Sebuah gelombang elastis merambat didalam

krital monoatomik satu dimensidengan konstanta kisi sebesar 2 A0.Tentukan :

a. w (k) dan kecepatan group (vg ) pada energi :1 eV dan 0,8.10-18 Joule1 eV dan 0,8.10 Joule

b. Batas nilai k dan panjang gelombang ( λ )max yangmembatasi daerah Brillouin-I

c. Buatlah grafik sebagai fungsi (k), untuk kasus diatas.

Latihan soal :

2.a.Jelaskan tentang konsep vibrasi kristal,

b.Jelaskan 4(empat) karakteristik dari

kristal monoatomik

c.Jelaskan 4(empat) karakteristik dari

kristal di atomik.

3. Turunkan kecepatan group untuk kristal di

atomik untuk cabang

a. optik

b. akustik

Test Unit I :

Selasa : 7 April 2009Materi : Bab I – III

Test Unit II : Selasa 02 Juni 2009Selasa 02 Juni 2009Materi : Bab IV- VI

Test Unit III : Di jadwal TentamenMateri : Bab : VII - X

TUGAS TIAP KELOMPOK DIKUMPULKAN : PADA SAAT TU-I

A. Print-Out Tugas Kelompok 1-3: Soal di Kittel (bab I)Buku b’wien ( Modul 1-2 )Semua latihan soal ( selama kuliah )

B. Print-Out Tugas Kelompok 4-6: Soal di Kittel (bab 2)Buku b’wien ( Modul 3-4 )Buku b’wien ( Modul 3-4 )Semua latihan soal ( selama kuliah )

C. Print-Out Tugas Kelompok 7-10: Soal di Kittel (bab 3)Buku b’wien ( Modul 5-6 )Semua latihan soal ( selama kuliah )