INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2010/ 2011

Nama MTK : Matematika Diskrit

Kode MTK : MA2333

Kelas : SI-33-01, SI-33-02, SI-33-03

Waktu : 100 menit

Sifat : Close Book

Jawab soal dengan ringkas dan tepat!

1. Dari survei terhadap 139 pabrik ditemukan data sebagai berikut: 72 pabrik menjual produk A, 69 pabrik menjual produk B, 75 pabrik menjual produk C, 27 pabrik menjual produk A dan B, 30 pabrik menjual produk A dan C, 50 pabrik menjual produk B dan C, serta 10 pabrik menjual produk A, B, dan C. Berapa pabrik-kah yang: a. menjual bukan satupun dari ketiga produk tersebut b. menjual tepat dua jenis dari produk tersebut

Jawab: Dari soal didapat data sebagai berikut: n(S) = 139 n(A) = 72 n(B) = 69 n(C) = 75 n(A ∩ B) = 27 n(A ∩ C) = 30 n(B ∩ C) = 50 n(A ∩ B ∩ C) = 10 Cara Pertama:

a. menjual bukan satupun dari ketiga produk, berarti banyaknya pabrik yang tidak menjual produk A, B, dan C, dengan menggunakan prinsip inklusi-eksklusi, didapat: n((A∪B∪C)C)=n(S)–n(A∪B∪C)=n(S)–{n(A)+n(B)+n(C)–n(A∩B)–n(A∩C)–n(B∩C)+n(A∩B∩C)}=139–{72+69+75–27–30–50+10}=20 pabrik

b. menjual tepat dua jenis produk, berarti A ∩ B saja tanpa C atau A ∩ C saja tanpa B atau B ∩ C saja tanpa A, berarti = {n(A∩B)–n(A∩B∩C)}+{n(A∩C)–n(A∩B∩C)}+{n(B∩C)–n(A∩B∩C)} = {27 - 10} + {30 – 10} + {50 – 10} = 77 pabrik

Cara Kedua: Buat diagram Venn dari yang paling dalam, yaitu: n(A∩B∩C)=10 dari irisan ketiga himpunan ini, bergerak ke bagian n(A ∩ B – C) = n(A∩B) - n(A∩B∩C) yang berarti 27 – 10 = 17, kemudian ke bagian n(A ∩ C – B) = n(A∩C) - n(A∩B∩C) yang berarti 30 – 10 = 20, dilanjut ke bagian n(B ∩ C – A) = n(B∩C) - n(A∩B∩C) yang berarti 50 – 10 = 40, sehingga bagian n(A – B – C)= n(A) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C), dst Dari diagram Venn, didapat data sebagaimana gambar di bawah ini:

Sehingga terlihat, bahwa:

a. menjual bukan satupun dari ketiga produk = 20 pabrik b. menjual tepat dua jenis dari produk = 17 + 40 + 20 = 77 pabrik

2. Misalkan A = {2, 3, 5, 6, 8, 10}. Didefinisikan relasi R pada himpunan A dimana (a, b) ∈ R jika a habis membagi b. Enumerasilah semua anggota R! Sifat relasi apa saja yang ada pada R? Kemudian gambarkan diagram Hassenya jika mungkin! Manakah anggota yang maksimal dan manakah yang minimal?

Jawab: | 2 3 5 6 8 10 2 1 0 0 1 1 1 3 0 1 0 1 0 0 5 0 0 1 0 0 0 6 0 0 0 1 0 0 8 0 0 0 0 1 0 10 0 0 0 0 0 1 R = {(2, 2), (2, 6), (2, 8), (2, 10), (3, 3), (3, 6), (5, 5), (6, 6), (8, 8), (10, 10)}

A 

B

C

10 40 

20 

17 

2 

5 

25 

20 

S 

Sifat yang dipenuhi: Refleksif, karena setiap anggota A berelasi dengan anggota A itu sendiri atau (2, 2), (3, 3), (5, 5), (6, 6), (8, 8), (10, 10) ∈ R Anti simetri, karena (2, 6)∈R dan (6, 2)∉R, (2, 8)∈R dan (8, 2)∉R, (2, 10)∈R dan (10, 2)∉R, (3, 6)∈R dan (6, 3)∉R Transitif, karena tidak ada anggota R yang memenuhi (a, b) dan (b, c) Sifat yang tidak dipenuhi: Simetri, karena ada (2, 6)∈R tetapi (6, 2)∉R Digraph:

Digraph di atas telah disesuaikan dengan kondisi setiap busur dan node yang menghilangkan persilangan busur, serta letak node yang membuat ruwetnya digraph. Maka setelah digraph cukup baik dilihatnya, dibuatkan diagram Hasse-nya, sebagai berikut:

Diagram Hasse atas A terhadap relasi habis membagi Dari diagram Hasse ini, karena membacanya menuju ke atas, maka elemen minimal adalah elemen yang paling bawah, yaitu {3, 2, 5}. Sedangkan elemen maksimal adalah elemen paling atas yang tidak mempunyai relasi dengan elemen lebih diatasnya lagi, sehingga elemen maksimal adalah {6, 8, 10}

5 2 3 

6 8 

10

52 3 

6 8 

10

3. Diketahui relasi f = {(1, u), (2, a), (3, e), (4, u), (5, o)} dari himpunan | 5 ke himpunan B = {a, i , u, e, o}. Apakah f sebuah fungsi ? Jika

ya, tentukan prapeta (pre-image) dan peta (range) dari fungsi tersebut! Kemudian tentukan jika ada, apakah f fungsi satu-satu? apakah f fungsi pada? Jawab: A = {1, 2, 3, 4, 5} dalam soal ini ada masalah tentang elemen nol B = {a, i , u, e, o}

Karena setiap anggota himpunan A (domain) mempunyai tepat satu kaitan dengan anggota himpunan B (kodomain) sehingga Relasi tersebut, maka relasi tersebut adalah Fungsi. Pra-peta = {1, 2, 3, 4, 5} Peta (Range) = {a, u, e, o} Fungsi f bukan fungsi satu-satu, karena ada dua prapeta yang berbeda mempunyai peta yang sama, yaitu: f(1) = f(4) = u, padahal 1 ≠ 4. Fungsi f bukan fungsi pada, karena ada anggota kodomain yang tidak mempunyai prapeta, yaitu i. Karena fungsi f bukan fungsi satu-satu dan sekaligus ternyata bukan fungsi f pada, maka f bukan fungsi korespondensi satu-satu, akibatnya f tidak mempunyai invers.

4. Seorang peternak membeli 3 ekor sapi, 4 ekor kambing dan 5 ekor domba dari

seorang pedagang yang memiliki 5 ekor sapi, 7 ekor kambing dan 6 ekor domba. Ada berapa cara peternak itu dapat memilih ketiga jenis hewan tersebut? Jawab: Peternak tersebut:

Mempunyai pilihan cara untuk memilih sapi sebanyak C(5, 3) = 5!

(5 3)!3!−=

5!2!3!

=10

Mempunyai pilihan cara untuk memilih kambing sebanyak C(7, 4) = 7!

(7 4)!4!−=35

A  B

1 

2 

3 

4 

5 0 

a 

i 

u 

e 

Mempunyai pilihan cara untuk memilih domba sebanyak C(6, 5) = 6!

(6 5)!5!−=6

Karena ketiga hewan tersebut harus dipilih semua, maka menggunakan hubungan and, berarti = 10 x 35 x 6 = 2100 cara