usulan penyusunan buku ajar - inspire portal · 2020. 3. 28. · solusi penentuan akar-akar suatu...

i

USULAN

PENYUSUNAN BUKU AJAR

JUDUL MATA KULIAH:

METODE NUMERIK

Penyusun:

I NYOMAN GEDE, ST,MT NIP. 196509121995121001

PROGRAM STUDI TEKNIK MESIN

FAKULTAS TEKNIK

MARET 2019

DAFTAR ISI

HALAMAN PENGESAHAN ………………………………………….. i

DAFTAR ISI ……………………………………………………………. ii

LATAR BELAKANG ………………………………………………….. 1

TUJUAN …………………………………………………………………

SASARAN PENGGUNA ……………………………………………….

JADWAL ………………………………………………………………...

GAMBARAN MATERI BUKU AJAR ……………………………….

LAMPIRAN

1. Rancangan Pembelajaran ………………………………………….

2. Sertifikat …………………………………………………………...

3. Tim Teknis dan CV Penyusun Utama …………………………….

4. Rencana Penganggaran ……………………………………………

OUTLINE BUKU AJAR

Judul Buku Ajar : Metode Numerik

Nama Calon Penulis : I Nyoman Gede, ST,MT

NIP : 196509121995121001

Program Studi-Fakultas : Teknik Mesin, Fakultas Teknik

BAB I : PENDAHULUAN

Tujuan Belajar : Menguasai konsep dasar, besar kalkulasi aritmetika yang

Metode-metode numerik atau kita sebut saja metode numerik

(MN) adalah sekumpulan teknik dimana masalah atau persoalan

matematika diformulasikan kembali sedemikan sehingga dapat

diselesaikan dengan pengoperasian aritmetika. Karakteristik

umum dari MN adalah bahwa teknik-teknik ini hampir selalu

mencakup sejumlah menjenuhkan. Kalkulasi rutin dalam jumlah

besar ini mudah ditangani oleh komputer digital.

1.1 Model Matematis.

1.2 Hukum- hukum Dasar dalam Ilmu Teknik

BAB II : APROKSIMASI DAN KESALAHAN

Tujuan Belajar : Menguasai konsep dasar, mampu memahami dan mampu

memecahkan solusi analitis atau solusi eksak dengan

menerapkan hukum-hukum dan teorema-teorema yang ada di

matematika. Karena tidak semua persoalan dapat diselesaikan

secara analitis maka digunakan metode aproksimasi atau metode

pendekatan yaitu metode numerik

2.1 Komputer, Software dan Metode Numerik

2.2 Angka Signifikan

2.3 Kesalahan-kesalahan : Absolut, Relatif, dan

Praspesifikasi

2.4 Deret Taylor

2.5 Diferensiasi Numerik

2.6 Kesalahan Numerik Total

BAB III : AKAR-AKAR PERSAMAAN

Tujuan Belajar : Menguasai konsep dasar, mampu memahami dan mampu

memecahkan solusi penentuan akar-akar suatu persamaan

sering dijumpai di bidang perencanaan teknik.

3.1 Metode Grafik

3.2 Metode Bagidua/Bisection

3.3 Metode Regula Falsi

3.4 Iterasi Satu-Titik

3.5 Metode Newton-Raphson

3.6 Metode Secant

3.7 Penentuan Akar Ganda

LATAR BELAKANG

Dengan semakin berkembangnya dunia pendidikan dewasa ini terutama di

bidang teknologi, dan semakin kurangnya minat untuk membaca buku, maka

perlulah dibuat suatu terobosan, salah satunya adalah membuat Buku ajar

merupakan kebutuhan penting dalam proses pembelajaran, karena dengan adanya

buku ajar maka dapat terselenggara pembelajaran yang baik. Buku ajar dapat

diartikan sebagai segala bentuk bahan yang di susun secara sistematis yang

memungkinkan mahasiswa dapat belajar dengan di rancang sesuai kurikulum

yang berlaku. Secara teknis, bahan pembelajaran dapat di desain sebagai

reprentasi penjelasan dosen di depan kelas disamping berperan sebagai

pedoman kegiatan pembelajaran termasuk target dan sarana yang hendak

dicapai. Keterangan, uraian, dan pesan yang seharusnya disampaikan dan informasi

yang hendaknya di sajikan dapat dihimpun dalam bahan pembelajaran. Biku

ajar memiliki beragam jenis, ada yang cetak maupun non cetak.

Dalam proses belajar mengajar di perguruan tinggi (perkuliahaan), buku

ajar dapat menjadi pegangan untuk dosen maupun mahasiswa, yaitu sebagai

referensi utama maupun menjadi buku tambahan. Mahasiswa tentunya

membutuhkan referensi atau acuan untuk menggali ilmu lebih luas, sehingga

kemampuannya dapat lebih dimaksimalkan. Dengan adanya buku ajar,

mahasiswa dituntun untuk memahami lebih dalam materi yang diajarkan,

berlatih, berpraktik atau mencobakan teori-teori yang sudah dipelajari dari buku

ajar tersebut. Buku ajar diharapkan benar-benar memiliki kualitas isi yang sesuai

dengan kurikulum yang berlaku baik dari segi standar kurikuler, isi, maupun dari

segi mudah atau tidaknya dicerna oleh pengajar dan para peserta didik agar

benar-benar layak digunakan dalam proses pembelajaran. Oleh karena itu, setiap

dosen harus memilih buku ajar sesuai dengan kurikulum yang berlaku dan bisa

diterima oleh mahasiswa karena berpengaruh besar terhadap minat belajar

mahasiswa.

Metode Numerik merupakan ilmu yang penting dalam bidang

keteknikan.

Sesuai dengan kurikulum tahun 2015, jurusan Teknik Mesin Fakultas Teknik

Universitas Sam Ratulangi (Unsrat) mahasiswa diwajibkan untuk mengambil mata

kuliah Metode Numerik di semester 6 (enam), sehingga berdasarkan hal tersebut

diatas maka dibuatlah Buku Ajar ini untu lebih mempermudah proses belajar

mengajar khususnya Mata kuliah Metode Numerik.

TUJUAAN

Tujuan dari penyusunan buku ajar Metode Numerik ini, adalah sebagai

berikut:

1. Menguasai konsep dasar, besar kalkulasi aritmetika yang Metode-metode

numerik atau kita sebut saja metode numerik (MN) adalah sekumpulan

teknik dimana masalah atau persoalan matematika diformulasikan kembali

sedemikan sehingga dapat diselesaikan dengan pengoperasian aritmetika.

Karakteristik umum dari MN adalah bahwa teknik-teknik ini hampir selalu

mencakup sejumlah menjenuhkan. Kalkulasi rutin dalam jumlah besar ini

mudah ditangani oleh komputer digital.

2. Menguasai konsep dasar, mampu memahami dan mampu memecahkan

solusi analitis atau solusi eksak dengan menerapkan hukum-hukum dan

teorema-teorema yang ada di matematika. Karena tidak semua persoalan

dapat diselesaikan secara analitis maka digunakan metode aproksimasi

atau metode pendekatan yaitu metode numeric.

3. Menguasai konsep dasar, mampu memahami dan mampu memecahkan

solusi penentuan akar-akar suatu persamaan sering dijumpai di bidang

perencanaan teknik.

SASARAN PENGGUNA

Sasaran pengguna dari penyusunan buku ajar Metode Numerik ini, terdiri

dari sasaran pengguna secara teoritis dan sasaran pengguna secara praktis.

1. Sasaran Secara Teoritis

Secara umum, penyusunan ini diharapkan mampu memberikan

kontribusi dalam meningkatkan hasil belajar mahasiswa dan mengatasi

kesulitan belajar mahasiswa serta mengembangkan kemampuan

mahasiswa dalam bidang matematika. Secara khusus, penyusunan ini

memberikan dorongan kepada mahasiswa untuk lebih memahami materi

Metode Numerik dan tidak hanya sekedar menghafal. Sehingga, dapat

meningkatkan kemampuan mahasiswa dalam mengaplikasikan konsep-

konsep metode numerik.

2. Sasaran Secara Praktis

Bagi mahasiswa, dapat mengetahui kemampuan dalam bidang Metode

Numerik khususnya dalam menyelesaikan soal-soal latihan

Bagi dosen, dapat meningkatkan efektifitas dan kualitas

dalam proses pembelajaran khususnya Metode Numerik.

Bagi penyususn selanjutnya, dapat digunakan sebagai bahan

pertimbangan dan referensi untuk penyusunan buku ajar selanjutnya yang

sejenis.

JADWAL

Rencana penyusunan materi buku ajar Matematika Teknik II ini, dengan

format sebagai berikut:

No Kegiatan Bulan 2019

4 5 6 7 8 9 10

1 Penyusunan Materi

2 Evaluasi dan Revisi

3 Pengetikan Materi

4 Penerbitan ISBN

5 Percetakan

6 Pemasukan Laporan

GAMBARAN MATERI

Gambaran materi dari penyusunan buku ajar Metode Numerik ini,

ditampilkan salah satu bab yaitu sebagai berikut:

BAB II

APROKSIMASI DAN KESALAHAN

Standar Kompetensi:

Menguasai konsep dasar, mampu memahami dan mampu memecahkan solusi

analitis atau solusi eksak dengan menerapkan hukum-hukum dan teorema-

teorema yang ada di matematika. Karena tidak semua persoalan dapat

diselesaikan secara analitis maka digunakan metode aproksimasi atau metode

pendekatan yaitu metode numerik.

Uraian Materi:

2.1 Komputer, Software dan Metode Numerik.

Metode numerik menggabungkan dua alat penting dalam ilmu teknik, yaitu

matematika dan komputer. Secara tak tepat, metode numerik dapat didefinisikan

sebagai matematika komputer. Keterampilan membuat program komputer akan

meningkatkan pembelajaran kita terhadap metode numerik. Apresiasi terhadap

kemampuan dan keterbatasan dari teknik-teknik numerik akan lebih didapat bila kita

menggunakan metode numerik bersamaan dengan suatu komputer dalam

menyelesaikan masalah-masalah teknik.

Ahli teknik banyak yang menggunakan paket software aplikasi untuk

mewujudkan metode numerik. Misalnya program aplikasi spreadsheet elektronis

MS-Excel, komputasi simbolik Maple, dan (bahasa) komputasi teknis Matlab

banyak dimanfaatkan untuk komputasi. MS-Excel mulai dikembangkan oleh

Microsoft tahun 1985 dan saat ini diklaim sebagai spreadsheet elektronis paling

hebat, paling canggih dan paling bermanfaat. Maple pada mulanya dikembangkan

oleh University of Waterloo – Canada tahun 1988. Saat ini Maple dapat dikatakan

menjadi salah satu software terkemuka dalam analisis matematika, yang mampu

menyelesaikan persoalan matematika meliputi analisis numerik, aljabar simbolik,

kalkulus, persamaan diferensial, aljabar linear, dan grafik. Matlab pada awalnya

dikembangkan di Stanford University pada akhir tahun 1970-an dan saat ini

mempunyai tiga kemampuan utama, yaitu : komputasi, visualisasi, dan

pemrograman. Dengan beberapa jenis toolbox yang melengkapinya (signal

processing, control system, symbolic math, dll.) maka tidak mengherankan kalau

Matlab banyak juga digunakan oleh universitas, serta industri.

Perlu dipahami bahwa paket-paket tersebut juga memiliki keterbatasan.

Pemakaian lanjut dari paket tersebut seringkali memerlukan kemahiran membuat

program, dalam bentuk macro atau script . Sehingga walaupun seolah-olah terlihat

bahwa penggunaan paket softwate tersebut adalah sederhana, akan tetapi untuk

dapat sepenuhnya memanfaatkan paket tersebut maka seorang ahli teknik harus

menguasai cara mengembangkan suatu program pendek terstruktur.

Pada pembahasan metode numerik akan digunakan juga program pendek

sederhana yang ditulis dengan bahasa BASIC. Bahasa ini banyak digunakan

sejak dikembangkannya tahun 1962 dan dipercaya banyak ahli akan tetap

digunakan, tentunya dalam versi yang lebih baik. Pada mata kuliah ini tidak akan

dibahas teknik membuat program karena dipercaya peserta telah mempelajari

sebelumnya. Untuk kelancaran pembelajaran maka pada setiap baris perintah

pada program sumber akan dipasangkan nomor baris serta program akan

dieksekusi pada MS QuickBASIC. Compiler, atau lebih tepat interpreter, ber-

background MS DOS ini dipilih mengingat kesederhanaannya dan dapat

dileksekusiaksanakan pada PC ber-sistem Window.

2.2 Angka Signifikan

Konsep angka signifikan (AS), yang disebut juga angka berarti,

dimaksudkan untuk menunjukkan kualitas/keadaan suatu besaran nilai yang

disajikan dengan angka desimal (numerik). Sebagai ilustrasi dapat dilihat Tabel 2.1,

dimana bilangan rasional/ pecahan dapat disajikan secara numerik baik dalam

bentuk angka desimal ataupun ilmiah (scientific) dengan beberapa cara sesuai

dengan jumlah angka berarti yang hendak ditampilkan.

Tabel 2.1 : Konsep Angka Signifikan.

Bilangan / Angka Angka Signifikan Rasional Desimal Ilmiah

1/6 0.1667 1.667E-01 4

1/65 0.015385 1.5385E-02 5

1/567 0.00176 1.76E-03 3

20/3 6.66667 6.66667E+00 6

321/7 45.86 4.586E+01 4

4567/9 507.44 5.0744E+02 5

25000 25000.00 2.500000E+04 7

1/12345 0.000081 8.1E-05 2

Perlu diperhatikan bahwa angka nol tidak selalu masuk perhitungan angka

signifikan karena sering kali angka nol hanya diperlukan untuk menempatkan

sebuah titik desimal. Misalnya 0.00001845, yaitu yang format ilmiahnya

1.845E-05, memiliki 4 angka signifikan, bukannya 8 ataupun 9 AS. Akan

tetapi, angka nol yang berada disebelah kanan angka lainnya dihitung dalam

penghitungan jumlah angka berarti. Contohnya dapat dilihat pada beberapa cara

penulisan angka 45300 sbb.

4.53 x 104 atau 4.53E+04 mempunyai 3 AS

4.530 x 104 4.530E+04 4 AS

4.5300 x 104 4.5300E+04 5 AS

Untuk menggunakan suatu angka yang mewakili suatu nilai tertentu dalam suatu

komputasi maka kita harus beryakinan bahwa kita dapat menggunakannya

dengan suatu tingkat kepercayaan tertentu. Konsep AS diperlukan dalam

mempelajari metode numerik, karena antara lain :

(1) untuk merinci sampai sejauh mana keyakinan kita terhadap hasil-hasil

pendekatan yang diperoleh dalam perhitungan. Misalnya kita dapat

menentukan bahwa aproksimasi kita dapat diterima kalau nilai tersebut benar

sampai 4 angka berarti.

(2) nilai , e, atau 7 tidak dapat dinyatakan secara eksak dengan

sejumlah digit yang terbatas. Misalnya nilai yang sama dengan

3.141592653589793238462643............

tidak dapat dinyatakan secara tepat oleh komputer. Komputer hanya

menerima serta memproses sejumlah tertentu digit, digit sisa dengan

sendirinya harus diabaikan. Hal ini menimbulkan kesalahan perhitungan

yang dikenal sebagai kesalahan pembulatan (round-off error)

Komputer menggunakan sistem bilangan biner, integer (angka asli) 1 dapat

secara tepat dinyatakan oleh komputer, sehingga ia dapat dijumlahkan beberapa

kalipun secara tepat. Berbeda dengan angka 0.0001 yang dikuantifikasi oleh

komputer dengan suatu nilai yang sedikit berbeda dengan nilai sebenarnya.

Perbedaan ini terakumulasi pada penjumlahan berulang. Akumulasi kesalahan

pembulatan ini lebih kecil kalau digunakan AS yang lebih banyak seperti halnya

pada komputasi dengan presisi ganda yang menggunakan 16 angka signifikan.

Untuk mendapatkan suatu gambaran yang lebih jelas mengenai besar dari

kesalahan dari suatu komputasi maka dikenal 3 jenis pengukuran, yaitu

kesalahan absolut, kesalahan relatif dan kesalahan praspesifikasi yang akan

dibahas singkat pada butir berik.

2.2 Kesalahan-kesalahan : Absolut, Relatif, dan Praspesifikasi.

Kesalahan dalam pengukuran ataupun komputasi berhubungan dengan akurasi

dan presisinya. Akurasi menunjukkan tingkat ketepatan terhadap nilai

sebenarnya, yaitu seberapa dekat nilai yang diukur atau dihitung tersebut

terhadap nilai sesungguhnya. Presisi mengacu pada banyaknya angka signifikan

dan sifat sebaran dari pembacaan berulang yang dilakukan. Perbedaan antara

akurasi dan presisi ditunjukkan dengan baik oleh suatu ilustrasi pada Gambar

2.3.

a k u ra s i b e rta m b a h >

< p

res

isi

be

rta

mb

ah

(a ) t id a k a k u ra t d a n t id a k p re s is i (b ) a k u ra t ta p i t id a k p re s is i

(c ) t id a k a k u ra t ta p i p re s is i(c ) a k u ra t d a n p re s is i

Gambar 2.3 : Konsep akurasi dan presisi

Kesalahan numerik atau kesalahan (error, Et) adalah perbedaan antara nilai

sebenarnya Vt dengan nilai aproksimasi Va

Et = Vt - Va (2.1)

dimana subskrip t adalah singkatan dari 'true', sedangkan subskrip a merupakan

singkatan dari 'approximation'. Kesalahan jenis ini dikenal sebagai kesalahan

absolut.

Konsep kesalahan absolut memiliki kelemahan yaitu tidak memperhitungkan

besarnya nilai yang diselidiki. Untuk mengatasi kelemahan tersebut didefinisikan

kesalahan relatif, dinotasikan εt , yang merupakan perbandingan antara kesalahan

absolut Et dengan nilai sebenarnya Vt .

V

E =

t

t

t (2.2)

Akan tetapi perlu diingat bahwa metode numerik digunakan karena model

matematisnya tidak dapat diselesaikan secara analitis, yang berarti kita tidak

mengetahui solusi eksaknya. Untuk itu sebagai ganti dari nilai eksak digunakan nilai

aproksimasi terbaiknya. Pada beberapa metode yang menggunakan pendekatan

iteratif untuk mendapatkan nilai aproksimasi terbaik, maka digunakan nilai

aproksimasi terakhirnya (terbaru). Dengan demikian maka kesalahan relatif

ditentukan sebagai berikut

sekarang iaproksimas

terdahulu iaproksimas - sekarang iaproksimas = a (2.3)

Dalam komputasi numerik, kita menentukan suatu kriteria tertentu berupa

kesalahan relatif praspesifikasi, yaitu εs . Komputasi akan dihentikan jika kesalahan

aproksimasinya telah kecil dari kesalahan relatif praspesifikasi, atau kriteria yang

ditetapkan telah tercapai,

|εa| < εs (2.4)

Scarborough (1966) menunjukkan bahwa kesalahan relatif praspesifikasi, yang

dinotasikan sebagai εs , dapat ditentukan berdasarkan banyaknya angka signifikan

yang hendak dicapai (n), yaitu dengan menggunakan hubungan

εs = (0.5 x 10 2-n

) % (2.5)

Misalnya kita menginginkan banyaknya angka signifikan 4, maka kesalahan relatif

praspesifikasi yang perlu ditetapkan adalah 0.5x10–2

% (5x10–3

% atau 0.005 %).

Contoh 2.1

Dalam matematika, fungsi-fungsi seringkali dapat dinyatakan oleh deret takhingga.

Misalnya, fungsi eksponensial dapat dihitung dengan menggunakan ekspansi dari

Deret MacLaurin sbb.

!

...!3!2

1

32

n

xxxxe

n

x (C2.1.1)

Semakin banyak suku yang ditambahkan dalam deret, semakin baik nilai

aproksimasi yang didapat.

Hendak ditentukan nilai aproksimasi dari ekspansi deret Maclaurin mulai dari versi

paling sederhana, exp(x) = 1. Setiap penambahan suku hitung kesalahan relatif

aproksimasi dan kesalahan realtif sebenarnya. Tambahkan suku sampai nilai mutlak

dari kesalahan aproksimasi berada di bawah suatu kesalahan praspesifikasi yang

sesuai dengan angka signifikan 3.

Catatan : nilai eksak e0.5

= 1.64872.

Penyelesaian :

Tentukan dulu kesalahan praspesifikasi yang memastikan hasil yang benar sampai

paling tidak 3 angka signifikan dengan menggunakan persamaan (2.5)

εs = (0.5 x 10 2-n

) % = (0.5 x 10 2-3

) % = 0.05%

Aproksimasi ke-1 adalah sesuai dengan pers.(C2.1.1) dengan ruas kanan hanya satu

suku. e0.5

1.00000

Aproksimasi ke-2 ... e0.5

1.00000 + 0.50000 = 1.50000

kesalahan relatif sebenarnya,

εt = |(1.64872 – 1.50000)/1.64872|*100% = 9.02%

kesalahan relatif aproksimasi,

εa = |(1.50000 – 1.00000)/1.50000|*100% = 33.33% > 0.05%

Karena εa > εs , maka komputasi akan dilanjutkan

Aproksimasi ke-3 ... e0.5

1 + 0.5 + (0.52)/2!= 1.5 + 0.12500 = 1.62500


εt = |(1.64872 – 1.62500)/1.64872|*100% = 1.44%


εa = |(1.62500 – 1.50000)/1.62500|*100% = 7.69% > 0.05%


Aproksimasi ke-4 ...

e0.5

1 + 0.5 + (0.52)/2! + (0.5

3)/3! = 1.62500 + 0.02083 = 1.64583


εt = |(1.64872 – 1.64583)/1.64872|*100% = 0.18%


εa = |(1.64583 – 1.62500)/1.64583|*100% = 1.27% > 0.05%


Aproksimasi ke-5 ... dst analog dengan cara yang dipakai pada aproksimasi

sebelumnya dengan mengingat kriteria kapan komputasi dihentikan, yaitu kalau nilai

mutlak dari kesalahan aproksimasi lebih kecil dari 0.05%.

Sampai dengan penambahan suku ke-6 terlihat hasil pendekatan telah memenuhi

kriteria yaitu paling tidak 3 angka signifikan hasil aproksimasi adalah benar.

Kemudian hasil perhitungan dapat disusun dalam suatu tabel seperti Tabel 2.2.

Tabel 2.2 : Hasil Perhitungan Contoh Soal 2.1

x = 0.5 Nilai eksak, exp(x) = 1.64872

n = 3 OK jika eps(a)<eps(s) eps(s),%= 0.05

Suku Besar Suku Hasil eps(t) ,% eps(s) ,% OK?

1 1.00000 1.00000 39.35 - -

2 0.50000 1.50000 9.02 33.33 cont.

3 0.12500 1.62500 1.44 7.69 cont.

4 0.02083 1.64583 0.18 1.27 cont.

5 0.00260 1.64843 0.02 0.16 cont.

6 0.00026 1.64869 0.002 0.02 OK

== == == == == end

2.3 Deret Taylor.

Salah satu formulasi matematis yang secara luas dipakai didalam metode numerik

untuk menyatakan fungsi-fungsi adalah Deret Taylor. Berikut adalah ekspansi deret

Taylor sampai orde ke-n di mana Rn adalah jumlah suku sisa dari pendekatan orde

ke-n

R + )x -x(n!

)x(f+ ..... + )x -x(

3!

)x("f +

)x -x(2!

)x(f" + )x -x)(x(f + )xf( = )xf(

n

n

i1+i

i

(n)3

i1+i

i

2

i1+i

i

i1+iii1+i

(2.6)

dimana Rn adalah suku sisa,

)x -x( 1)!+(n

)(f = R

1+n

i1+i

1)+(n

n

(2.7)

ξ adalah suatu harga x yang terletak sembarang diantara xi dan xi+1. Nilai dari suku

sisa ini adalah merupakan perkiraan daripada nilai kesalahan akibat adanya

pemotongan deret Taylor sampai pada suku ke-n.

Deret Taylor dapat disederhanakan penulisannya dengan mendefinisikan

ukuran langkah h, dimana h = xi-1 - xi. Dengan demikian pers.(2.6) dan (2.7)

dapatlah dituliskan

R + h n!

)x(f+ ..... + h

3!

)x("f + h

2!

)x(f" + h )x(f + )xf( = )xf( n

ni(n)

3i2iii1+i

(2.8)

dan suku-suku sisanya,

h 1)!+(n

)(f = R

1+n

1)+(n

n

(2.9)

Nilai praktis dari ekspansi deret Taylor adalah bahwa dengan penambahan

sedikit suku ber-orde lebih tinggi, maka prediksi dari nilai fungsi akan lebih baik

dalam arti lebih mendekati nilai sebenarnya. Pada fungsi polinomial orde-4 nilai

prediksi akan sama dengan nilai eksaknya kalau diekspansi sampai orde ke-4

karena suku sisanya adalah nol. Karena kalau turunan ke-5 dari fungsi

polinomial orde 4 adalah nol, dari persamaan (2.9) diperoleh suku sisanya Rn =

0. Untuk fungsi kontinyu lain yang terdiferensi, seperti sinusoidal dan

eksponensial, lebih banyak suku (orde lebih tinggi) yang diperlukan agar nilai

prediksi mendekati nilai eksaknya.

Contoh 2.2

Gunakan perluasan deret Taylor dengan n = 0 hingga 6 untuk meng-aproksimasi

fungsi f(x) = cos x pada x = / 3

dengan basis x = / 4 , dimana f(/4) = cos (/4) = 0.7071068.

Solusi eksak f(/3) = cos (/3) = 0.5000000.

Catatan: perhitungan akan menggunakan 7 angka signifikan.

Penyelesaian :

Nilai eksak dari f(/3) = 0.5000000

xi+1 = /3 , xi = /4 ;

jadi ukuran langkah : h = (/3) ( /4) = /12 = 0.2617994

Perluasan deret Taylor adalah sesuai dengan persamaan (2.7)

* estimasi nilai fungsi sampai orde ke-0 .... n = 0

f(xi+1) f(xi)

f( /3) f(/4) = cos( /4) = 0.7071068

kesalahan relatifnya,

|εt | = |(0.5000000 0.7071068) / 0.5000000 | x 100% = 41.4 %

* estimasi nilai fungsi sampai orde ke-1 .... n = 1

f(xi+1) f(xi) + f'(xi) h dimana, f'(xi) = sin xi

f(/3) f(/4) + f'(/4) (/12) =

cos(/3) cos(/4) sin(/4) (/12)

besar suku ke-1 = sin(/4) * (0.2617994) = 0.1851201

sehingga, cos( /3) 0.7071068 0.1851201 = 0.5219867

kesalahan relatif (absolut)nya,

|εt |= |(0.5000000 0.5219867) / 0.5000000 | x 100% = 4.40 %

* estimasi nilai fungsi sampai orde ke-2.... n = 2

f(xi+1) f(xi) + f'(xi) h + f"(xi) h2

/ (2!) dimana, f"(xi) = cos xi

f(/3) f(/4) + f'(/4) (/12) + f"(/4) (/12)2 / (2!)

cos(/3) cos(/4) sin(/4) (/12) cos(/4) (/12)2 / (2)

besar suku ke-2 = cos(/4)*(0.2617994)2 / (2) = 0.0242322

sehingga, cos( /3) = 0.5219867 0.0242322 = 0.4977545

kesalahan relatifnya,

|εt |= |(0.5000000 0.4977545) / 0.5000000 | x 100% = 0.45 %

* Kalau proses ekspansi deret Taylor ini diteruskan sampai orde ke-6 (buatlah ini

sebagai latihan), akan didapat hasil sebagaimana tabel berikut.

Tabel 2.3 : Hasil Perhitungan C2.2

basis x f(/4) = 0.7071068 h

=

0.7853982 f(/3) = 0.5000000 0.2617994

orde, n turunan besar suku hasil aproks eps(t)

f(x) ke-n ke-n f(/3) %

0 cos(x) 0.7071068 0.7071068 41.4

1 - sin(x) -0.1851201 0.5219867 4.40

2 - cos(x) -0.0242322 0.4977545 0.45

3 sin(x) 0.0021147 0.4998692 0.03

4 cos(x) 0.0001384 0.5000076 1.52E-03

5 - sin(x) -0.0000072 0.5000004 8.00E-05

6 - cos(x) -0.0000003 0.5000001 2.00E-05

Dari tabel terlihat bahwa penambahan sampai orde ke-3 telah memberikan

nilai aproksimasi dengan kesalahan hanya 0.03 % atau telah mencapai ketelitian

99.97% dari nilai sebenarnya. Nilai aproksimasi ini sudah cukup mendekati nilai

eksaknya.

2.4. Diferensiasi Numerik.

Deret Taylor dalam bentuk pers.(2.8) dapat dituliskan sbb.

f(xi+1) = f(xi) + f'(xi) h + R1 (2.10)

dimana, R1 = f"(ξ) h2 / 2! (2.11)

Persamaan (2.10) dapat disusun kembali sebagai

h

R +

h

)xf( -)xf( = )x(f

1i1+i

i (2.12)

atau dengan

Δfi = f(xi+1) - f(xi) , yaitu beda kedepan pertama (first forward difference)

serta R1 / h = O(h),

maka persamaan terakhir menjadi

f'(xi) = Δfi / h + O(h) (2.13)

Suku pertama di ruas kanan pers.(2.13) yaitu

(Δfi / h) disebut beda hingga terbagi pertama (first finite divided difference).

Suku ini digunakan untuk menentukan nilai aproksimasi dari turunan pertama fungsi

f(x) di titik xi .

f'(xi) Δfi / h (2.14)

Dari deret Taylor juga dapat diturunkan dua pendekatan lain untuk menentukan

nilai aproksimasi turunan pertama, yaitu beda hingga terbagi kebelakang dan beda

hingga terbagi terpusat.

Ekspansikan deret Taylor kebelakang,

f(xi1) = f(xi) f'(xi) h + f"(xi) h2 / 2! - ..... (2.15)

Potong pers.(2.15) sesudah suku turunan pertama, kemudian disusun kembali

h

f =

h

)xf( -)xf( )x(f

11-ii

i

(2.16)

dimana kesalahannya adalah O(h) dan fi dikenal sebagai beda kebelakang

pertama (first backward difference).

Ekspansi deret Taylor kedepan adalah

f(xi+1) = f(xi) + f'(xi) h + f"(xi) h2 / 2! + ..... (2.17)

Kurangkan pers.(2.17) dengan pers.(2.15) sehingga menghasilkan

f(xi+1) = f(xi-1) + 2f'(xi) h + f'"(xi) h3 / 3 + ..... (2.18)

dari pers.(2.16) diperoleh

f'(xi) = [f(xi+1) f(xi-1)] / (2h) f'"(xi) h2 / 6 + .....

atau f'(xi) = [f(xi+1) f(xi-1)] / (2h) O(h2) (2.1

20

Pers.(2.19) adalah suatu representasi beda terpusat (central difference) dari

turunan pertama. Kesalahan pemotongan dari pers.(2.19) adalah berorde h2

yaitu

berbeda dengan diferensi kedepan dan kebelakang yang berorde h. Analisis deret

Taylor ini menunjukkan bahwa beda terpusat adalah lebih akurat untuk

menentukan nilai aproksimasi turunan pertama.

Contoh 2.3

Gunakanlah aproksimasi terbagi hingga ke depan dan kebelakang dari 0(h) dan

aproksimasi diferensi terpusat dari O(h2) untuk menaksir turunan pertama dari

f(x) = 25x3 - 6x

2 + 7x - 88

pada x=2.0 menggunakan ukuran langkah h= 0.25.

Lakukanlah juga h = 0.1

Bandingkan hasilnya dengan solusi eksaknya.

f'(x) = 75x2 12x + 7 .......... f'(2.0)= 75(2)

2 12(2)+7 = 283.00

Penyelesaian:

a. Untuk h = 0.25

xi = 2.0 f(xi) = f(2.0) = 25(2)3-6(2)

2+7(2)-88 = 102.00

xi-1 = 2.00.25 = 1.75 f(xi-1)= f(1.75) = 25(1.75)3-6(1.75)

2+7(1.75)-88

=39.86

xi+1 = 2.0+0.25 = 2.25 f(xi+1)=f(2.25) = 25(2.25)3-6(2.25)

2+7(2.25)-88 =182.14

Estimasi turunan pertama dengan menggunakan

a.1 beda hingga kedepan

f'(xi) [ f(xi+1) f(xi) ] / h

f'(2.0) [ f(2.25) f(2.0) ] / 0.25 = (182.14 102) / 0.25 = 320.56

Kesalahan relatifnya, εa = (283 320.56)/283 = 0.133 = 13.3%

a.2 beda hingga kebelakang

f'(xi) [ f(xi) - f(xi-1) ] / h

f'(2.0) [ f(2.0) - f(1.75) ] / 0.25 = (102 - 39.86) / 0.25 = 248.56

Kesalahan relatifnya, εa = (283 - 248.56)/283 = 0.097 = 9.7%

a.3 beda hingga terpusat

f'(xi) [ f(xi+1) - f(xi-1) ] / (2h)

f'(2.0) [f(2.25) - f(1.75)]/(2*0.25) = (182.14 - 39.86)/(2*0.25) = 284.56

Kesalahan relatifnya, εa = (283 - 284.56)/283 = -0.0055= -0.6%

b. Untuk h = 0.1

xi = 2.0 f(xi) = f(2.0) = 25(2)3-6(2)

2+7(2)-88 = 102.00

xi-1 = 2.0 - 0.1 = 1.9 f(xi-1) = f(1.9) = 25(1.9)3-6(1.9)

2+7(1.9)-88 = 75.12

xi+1 = 2.0+0.1 = 2.1 f(xi+1) = f(2.1) = 25(2.1)3-6(2.1)

2+7(2.1)-88 = 131.77

b.1 beda hingga kedepan

21

f'(xi) [ f(xi+1) - f(xi) ] / h

f'(2.0) [ f(2.1) - f(2.0) ] / 0.1 = (131.77 - 102) / 0.1 = 226.60

Kesalahan relatifnya, εa = (283.0 - 226.6 )/283 = 0.199 = 19.9%

b.2 beda hingga kebelakang

f'(xi) [ f(xi) - f(xi-1) ] / h

f'(2.0) [ f(2.0) - f(1.9) ] / 0.1 = (102 - 75.12) / 0.1 = 268.90

Kesalahan relatifnya, εa = (283.0 - 268.9)/283 = 0.05 = 5.0%

b.3 beda hingga terpusat

f'(xi) [ f(xi+1) - f(xi-1) ] / (2h)

f'(2.0) [f(2.1) - f(1.9)]/(2*0.1) = (131.77 - 75.12)/(2*0.1) = 283.25

Kesalahan relatifnya, εa = (283 - 283.25)/283 = -0.00088 = - 0.1%

Terlihat bahwa formula diferensi terbagi hingga terpusat menghasilkan nilai

aproksimasi dengan tingkat akurasi yang lebih tinggi bila dibandingkan dengan

kedua pendekatan lainnya. Hal ini sesuai dengan kenyataan bahwa kesalahan

pemotongan dengan menggunakan aproksimasi diferensi terbagi hingga terpusat

adalah dalam orde h2, bila dibandingkan dengan kesalahan pemotongan pada

formula diferensi hingga kedepan dan formula diferensi hingga kebelakang yang

berode h.

2.6 Kesalahan Numerik Total.

Jumlah dari kesalahan pemotongan dan kesalahan pembulatan adalah

kesalahan numerik total. Kesalahan pembulatan akan terakumulasi pada setiap

tahapan komputasi. Salah satu cara untuk mengurangi kesalahan pembulatan

adalah dengan meningkatkan jumlah angka berarti dari komputer. Misalnya

dengan menggunakan komputasi dengan angka yang disajikan secara double

precision .

Dari Contoh 2.2 kita dapati bahwa kesalahan pemotongan dapat diperkecil

dengan mengurangi ukuran langkah. Karena pengurangan ukuran langkah dapat

meningkatkan jumlah komputasi, kesalahan pemotongan adalah menurun ketika

kesalahan pembulatan meningkat. Disini timbul dilema karena disatu pihak

diterapkan strategi untuk mengurangi salah satu jenis kesalahan justru

meningkatkan kesalahn jenis lainnya. Tantangan yang dihadapi adalah

menentukan ukuran langkah yang sesuai untuk suatu komputasi tertentu.

22

2.7 Kesalahan Jenis Lainnya

Telah kita ketahui bahwa solusi metode numerik selalu mengandung 2

jenis kesalahan, yaitu: kesalahan pembulatan, dan kesalahan pemotongan. Di sini

kita coba melihat 3 jenis kesalahan lainnya yang secara tidak langsung

berpengaruh terhadap solusi numerik. Kesalahan-kesalahan itu adalah:

(1) Kekeliruan

Kesalahan ini berkaitan erat dengan faktor manusia (human error).

Kesalahan jenis ini dapat dicegah dengan:

* Pengetahuan yang baik dan memadai tentang prinsip-prinsip dasar

fisika.

* Kecermatan dalam melakukan pendekatan dan merakit prosedur

komputasi.

(2) Kesalahan Formulasi

Ini berhubungan dengan keterbatasan hukum fisika yang digunakan saat

membuat model ataupun karena asumsi yang di ambil tidak tepat.

(3) Ketidakpastian Data

Hasil eksperimen mengandung unsur ketidakpastian yang berakibatkan

kesalahan kalau masuk kedalam analisis yang mendasari suatu model.

Kesalahan ini dapat menyebabkan solusi yang tidak presisi dan tidak

akurat. Statistik deskriptif dapat digunakan untuk merepresentasikan

kualitas data.

23

Lampiran 1 Rancangan Pembelajaran

RANCANGAN PEMBELAJARAN

Mata Kuliah

Kode MK

Program Studi

SKS

Fakultas

: Metode Numerik

: MS-6509

: S1 Teknik Mesin

: 2

: Teknik

KOMPETENSI MATA KULIAH

. 1. Mampu menerapkan matematika, sains, dan prinsip rekayasa (engineering

principles) untuk menyelesaikan masalah rekayasa yang kompleks

(complex engineering problem)

2. Mampu menemukan sumber masalah rekayasa kompleks melalui proses

penyelidikan, analisis, interpretasi data, dan informasi berdasarkan prinsip-

prinsip rekayasa.

3. Mampu melakukan penelitian yang mencakup identifikasi, formulasi, dan

analisis masalah rekayasa kompleks pada sistem numerik serta komponen

komponen yang diperlukan.

4. Mampu merumuskan solusi untuk masalah rekayasa di bidang numerik dan

komponen-komponen yang diperlukan dengan memperhatikan faktor-

faktor ekonomi, kesehatan dan keselamatan publik, kultural, sosial,

lingkungan, dan konservasi energi.

5. Menguasai prinsip dan isu terkini dalam ekonomi, sosial, dan lingkungan

secara umum

6. Menguasai pengetahuan tentang teknik komunikasi dan perkembangan

teknologi terbaru serta terkini di bidang perancangan, proses manufaktur,

serta pengoperasian dan computer serta dapat melakukan komputasi sesuai

dengan yang di inginkan.

7. Mampu dan memiliki komitmen terhadap etika dan profesi keteknikan.

8. Mampu berkomunikasi dan beradaptasi dengan lingkungan kerja dan

msyarakat baik lokal, nasional, regional, maupun

International

9. Mampu mempublikasikan gagasan dan hasil penelitiannya yang berkaitan

dengan bidang teknik mesin.

10. Mampu membuat suatu program sederhana dan menerapkan ke dalam

suatu permasalahan

24

MATRIKS PEMBELAJARAN:

Ming Kemampuan akhir

yang diharapkan

Bahan Kajian/Materi

Pembelajaran

Bentuk

Pembelajaran

Waktu

Belajar

(Menit)

Deskripsi Tugas Luaran

Kriteria

Penilaian

(Indikator)

Bob

ot

Nilai

(%)

Refe

rensi

1 2 3 4 5 6 7 8

1 Pertemuan perdana,

penjelasan strategi kuliah

Pendahuluan

Diskusi 100 - Membaca materi kuliah

sebelum datang

kekelas.

- Hadir tepat waktu.

Kesepakatan Dosen

dengan Mahasiswa

2 Menjelaskan

pengertian dasar dari

metode Numerik

- Model Matematis

- Hukum-hukum dasar

dalam Ilmu Teknik

Diskusi Kelompok 100 - Tiap kelompok

Mahasiswa membuat

ringkasan sesuai topik

dan presentasekan.

- Mahasiswa

mengerjakan latihan

soal /Tugas 1

.

Menuangkan pokok

bahasan ke power

point dan

presentasekan.

Meresume hasil

presentase

- Keaktifan

kelompok dan

induvidu di dalam

kelompoknya

- Hasil prentase dan

tanya jawab antar

kelompok

5

3 Menjelaskan

Aproksimasi dan

Kesalahan.

- Komputer, Sotfware dan

Metode Numerik.

- Angka signifikan

- Kesalahan-kesalahan:

Absulut, relatif dan

Praspesifikasi


Mahasiswa membuat


dan presentasekan.

- Mahasiswa

mengerjakan latihan

soal /Tugas 2

Menuangkan pokok

bahasan/materi ke

power point dan

presentasekan.

Meresum hasil

presentase

- Keaktifan

kelompok dan

induvidu di dalam

kelompoknya

- Hasil prentase

dan tanya jawab

antar kelompok

5

4 Menjelaskan Solusi

analitis dan Eksak - Deret Taylor.

- Defrensiasi Numerik.

- Kesalahan Numerik Total

- Kesalahan jenis lainnya


Mahasiswa membuat


dan presentasekan.

- Mahasiswa

mengerjakan latihan

Menuangkan pokok

bahasan/materi ke

power point dan

presentasekan.

Meresume hasil

presentase dan hasil

- Keaktifan

kelompok dan

induvidu di dalam

kelompoknya

- Hasil prentase

dan tanya jawab

5

25

soal

- antar kelompok

5 Menjelaskan Akar-

akar persamaan.

- Metode grafik

- Metode bagi dua

- Metode Regula Falsi


Mahasiswa membuat


dan presentasekan.

- Mahasiswa

mengerjakan latihan

soal

Menuangkan pokok

bahasan/materi ke

power point dan

presentasekan.

Meresum hasil

presentase

- Keaktifan

kelompok dan

induvidu di dalam

kelompoknya

- Hasil prentase

dan tanya jawab

antar kelompok

5

6 Penjelasan Lanjutan

Akar-akar

persamaan

- Interasi satu titik.

- Metode Newton Raphson

- Metode Secant

- Programaplikasi dalam

penentuan akar

persamaan.


Mahasiswa membuat


dan presentasekan.

- Mahasiswa

mengerjakan latihan

soal/Tugas 3

Menuangkan

pokok bahasan/materi

ke power point dan

presentasekan.

Meresum hasil


tugas

- Keaktivan

- kelompok dan

induvidu di dalam

kelompoknya

- Hasil prentase

dan tanya jawab

antar kelompok

10

7,8 Menjelaskan

Persamaan Aljabar

Linier.

- Latar belakang

matematika.

- Notasi dan jenis Matriks

- Operasi matriks

- Eleminasi Gauss

- Metode Gauss-Jordan

- Dekomposisi LU

- Dekomposisi LU versi

Eleminasi Gauss


Mahasiswa membuat


dan presentasekan.

- Mahasiswa

mengerjakan latihan

soal

Menuangkan pokok

bahasan/materi ke

power point dan

presentasekan.

Meresum hasil


tugas

- Keaktifan

kelompok dan

induvidu di dalam

kelompoknya

- Hasil prentase

dan tanya jawab

antar kelompok

10

26

- Invers Matriks

- Sistem Tridiagonal

- Dekomposisi Cholesky.

Diskusi kelompok - Tiap kelompok

Mahasiswa membuat


dan presentasekan.

- Mahasiswa

mengerjakan latihan

soal

Menuangkan pokok

bahasan/materi ke

power point dan

presentasekan.

Meresum hasil

presentase

- .Keaktifan

kelompok dan

induvidu di

dalam

kelompoknya

- Hasil prentase

dan tanya jawab

antar kelompok

9,10

Menjelaskan

Integrasi dan

Diferensiasi Numerik

- Konsep diferensiasi

- Rumus Integrasi

Newton-contes

- Aturan trapezium

- Aturan Simpson 1/3

- Aturan. Simpson 3/8

- Integrasi Romberg

- Kuadratur Gauss


Mahasiswa membuat


dan presentasekan.

- Mahasiswa

mengerjakan latihan

soal

Menuangkan pokok

bahasan/materi ke

power point dan

presentasekan.

Meresum hasil

presentase, hasil

tugas

- Keaktifan

kelompok dan

induvidu di dalam

kelompoknya


tanya jawab antar

kelompok

10

11,12 Menjelaskan

Persamaan Defrensial

Biasa

- Formulasi Matematis

- Latar belakang

Matematis

- Metode satu langkah

- Metode Euler

- Metode Heun

- Metode titik Tengah

- Metode Runge-kutta


orde 2


orde 3


orde 4


Mahasiswa membuat


dan presentasekan.

- Mahasiswa

mengerjakan latihan

soal

Menuangkan pokok

bahasan/materi ke

power point dan

presentasekan.

Meresum hasil

presentase

- Keaktifan

kelompok dan

induvidu di dalam

kelompoknya


tanya jawab antar

kelompok

10

13, 14, Praktikum - Decetion Method on Diskusi 400 - Tiap Kelompok Menuangkan pokok - Keaktifan 35

27

15, 16 Finding ver.1

- Metode Regula-Falsi

- Metode Newton-

Raphson.

- Metode Secant.

- Aturan Trapesium

- Metode Rembarg.

- Metode Euler.

- Metode Runge-Kutta

Orde ke-4

Kelompok/Praktikum Mahasiswa

membua/mengerjakan

tugas sesuai dengan

penuntun tugas

praktikum

- Mahasiswa

mengerjakan latihan

soal dalam program

bahasan/materi ke

power point dan

presentasekan.

Meresume hasil

presentase dan tugas

praktikum

kelompok dan

induvidu di dalam

kelompoknya


tanya jawab antar

kelompok

1. Ang.A.H.S, dan W.H. Tang, 19975, Probability Concepts in Enginnering Planing and Design, Ed. 1 Bascc Pricipil, New York.

2. Bent, R.J. dan G.C. Sethers,1982, An Intruduction to Computer Progreming, Ed. 2 Brooks/cole, montery, Calif.

3. Steven C. Chapra, Raymond P. Canale, 1991. “Metode Numerik Untuk Tekniks”, Universitas Indonesia

4. Hardi Gunawan,2005. “Bahan Kuliah Metode Numerik.

1

Lampiran 2 Serifikat Pelatihan Modul E-Learning, AA-Pekerti Tahun 2017

3

Lampiran 3 Biodata Penyususn

A. Identitas Diri

1 Nama Lengkap I Nyoman Gede, ST, MT

2 Jenis Kelamin Laki-laki

3 Jabatan Fungsional Lektor

4 Nip/Nik/Identitas Lainnya 196509121995121001

5 Nidn 0012096503

6 Tempat dan Tanggal Lahir Karangasem/12 September 1965

7 E-Mail [email protected]

8 Nomor Telp/HP 082346770420

9 Alamat kantor Kampus Bahu Unsrat

10 Nomor Telpon/Faks 0431-852959/0431-854511

11 Lulusan yang telah dihsilkan S1=60 orang ; S2=…Orang;

S3=…Orang

12 Matakuliah yang diampuh 1. Pemrograman computer

2. Metode Numerik

3. Prak. Pemrograman

Komputer

4. Prak Metode Numerik

5. Mesin-mesin Fluida

6. Pompa Dan Kompresor

7. Mekanka Fluida Dasar

B. Pendidikan

Pendidikan S-1 S-2

Nama Pergurun Tinggi Institut Teknologi

Sepulun November

Surabaya

Universitas Sam

Ratulangi Manado

Bidang Ilmu Teknik mesin Teknik SipilKonstruksi

Tahun Masuk-Lulus 1990-1993 2003-2008

Judul Skripsi/Tesis Perencanaan Sistem

Distribusi Air Bersih

Pada Hotel Weta

International Surabaya

Sistem Informasi

Pengendalian Bahan

Bangunan Proyek

Perumahan

Nama Pembimbing Ir. I Made Arya Djoni,

MSc

Prof. Ir. B.F. Sompie,

MS

C. Pengalaman Penelitian Dalam 5 Tahun Terakhir

No Tahun Judul Penelitian Pendanaan

1 1013 Unjuk Keja Motor Diesel Yanmar

TS 130 Pada Berbeda dengan Beban

Konstan Setelah Perbaikan

Mekaisme Gerak.

Mandiri

mailto:[email protected]

4

2 2014 Analisa Konsumsi Bahan Bakar

Bensin Yang Terpasang Pada Sepeda

Motor Suzuki Smash 110 cc Yang di

Gunakan Pada Jalan Menanjak.

Mandiri

3 2016 Unjuk Kerja Motor Suzuki Smash

110 cc Dengan Bahan Bakar

Kombinasi Brown Gas Dan Bensin

PNBP UNSRAT

4 2017 Analisa Konsumsi Bahan Bakar

Campuran Brown Gas Dan Bensin

Pada Motor Suzuki Smash 110 cc

PNBP UNSRAT

D. Pengalaman Pengabdian kepada Masyarakat dalam 5 Tahun Terakhir

No Tahun Judul Pengabdian

Pendanaan

Sumber Jumlah

(Juta Rp)

1 2014

Pemanfatan Pemeriksaan

Administrasi Keuangan Jemaat

GMIM Tumpengan Menggunakan

Microsof Office Excel

DIPA

Unsrat 10

2 2015

IbM Petani di Desa Kanonang 2

Kec. Kawangkoan Barat

Minahasa” Tentang Pemanfaatan

Air Panas Bum Bukit Kasih

Kanonag Sebagai Media Pengering

Gabah”.

DIPA

Unsrat 10

3 2016

IbM Desa Mopugad Selatan

Kabupaten Bolaang Mongondow

Tentang Perencanan Sistem

Distribusi Air Bersih.

PNBP 10

4 2017

IbM Penggunaan Program

Komputer Bahasa BASIC Bagi

Siswa SMP Negeri 13 Dumoga Di

Desa Tumokang Baru kabupaten

Bolaang Mongondow

PNBP 10

E. Publikasi Artikel Ilmiah Dalam Jurnal dalam 5 Tahun Terakhir

No Tahun Judul Artikel Ilmiah Nama Jurnal Volume/Nomor/Tahun

1 2015 Parameter Calibration

Jurnal Tekno Jurnal Tekno Mesin ISSN 2355-

9721

2

2015

Penentuan Laju Konsumsi

Bahan Bakar Campuran Solar

Dengan Minyak Tanah Untuk

Suatu Genset Yanmar-Sowa

Jurnal Tekno Jurnal Tekno Mesin ISSN 2355-

9721 Volume 2 Nomor 2,

Oktober 2015

3 2015 Analisis Rasio Ketebalan

5

Semua data yang saya isikan ini dan tercantum dalam bio data ini benar dan dapat

dipertanggung jawabkan secara hokum. Apabila di kemudian hari ternyata sampai

ketidak sesuaian dengan kenyataan, saya sanggup menerima sanksi.

Demikian bio data saya buat dengan sebenarnya untuk memenuhi salah

satu syarat dalam pengajuan. Usulan Buku Ajar

Manado, Maret 2019

Pengusul:

(I Nyoman Gede, ST, MT

Geram Pada Proses

Pembubutan

4 2016 Unjuk Kerja Motor Suzuki

Smash 110 cc Dengan Bahan

Bakar Kombinasi Brown Gas

Dan Bensin

Jurnal Tekno

Jurnal Tekno Mesin ISSN 2355-


Februari 2017

5 2017 Analisa Konsumsi Bahan

Bakar Campuran Brown Gas

Dan Bensin Pada Motor

Suzuki Smash 110 cc

Jurnal Tekno

Jurnal Tekno Mesin ISSN 2355-


Oktober 2017

6

Lampiran 4 Rencana Penganggaran

No URAIAN Volume Satuan

Harga

Satuan

(@Rp)

Jumlah

(Rp)

I Belanjah Bahan Habis Pakai

1 Kertas HVS A4 3 rim 50,000 150,000

2 Bolpoint 2 buah 6,000 12,000

3 Black catridge 2 buah 275,000 550,000

4 Color catridge 1 buah 300,000 300,000

5 Flask disk 16 GB 1 buah 140,000 140,000

6 Foto copy referensi (6 buku) 5000 lembar 250 1,250,000

7 Jilid refensi hard cover 4 buku 50,000 200,000

8 Foto copy ringkasan buku ajar 500 lembar 250 125,000

9 Foto copy laporan keuangan 3 buku 72 lembar 250 18,000

10 Jilid laporan keuangan 3 buku 25,000 75,000

Sub 2,820,000

II Belanja Komsumsi

1 Konsumsi tim penyusun 30 dos 30,000 900,000

2 Air mineral 600 ml tim penyusun 50 botol 4,000 200,000

3 Konsumsi pemantapan 100 dos 30,000 3,000,000

4 Air mineral 600 ml pemantapan 100 botol 4,000 400,000

5 Snack pemantapan 20 bungkus 9,000 180,000

Sub 4,680,000

III Biaya Penerbit

1 Percetakan buku ajar Matematika Teknik II

100 buku 75,000 7,500,000

Total (Rp) 15,000,000

usulan penyusunan buku ajar - inspire portal · 2020. 3. 28. · solusi penentuan akar-akar suatu...

Documents