un matematika sma ipa 2008-soal+pembahasan

15
Ujian Nasional 26 26 C. Badu tidak rajin belajar atau Badu tidak patuh pada orangtua E. Badu rajin belajar atau Badu tidak patuh pada orangtua 3. Bentuk ( ) 3 24 2 3 32 2 18 + dapat disederhanakan menjadi … A. 2 6 D. 6 6 B. 3 6 E. 9 6 C. 4 6 4. Diketahui 2 2 log7 a dan log3 b = = , maka nilai dari 6 log14 adalah … A. a a b + D. ( ) a a1 b + B. a 1 a b + + E. ( ) a 1 a1 b + + C. a 1 b 1 + + 1. Ingkaran dari pernyataan: “Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap”, adalah … A. Semua bilangan prima adalah bilangan genap B. Semua bilangan prima bukan bilangn genap C. beberapa bilangan prima bukan bilangan prima D. Beberapa bilangan genap bukan bilangan prima E. Beberapa bilangan genap adalah bilangan prima 2. Diketahui premis-premis: (1) Jika Badu rajin belajar dan patuh pada orangtua, maka Ayah membelikan bola basket (2) Ayah tidak membelikan bola basket Kesimpulan yang sah adalah … A. Badu rajin belajar dan Badu patuh pada orangtua B. Badu tidak rajin belajar dan Badu tidak patuh pada orang lain PETUNJUK UMUM 1. Periksa dan bacalah soal-soal sebelum kamu menjawab 2. Tulis nomor peserta pada lembar jawaban komputer (LJK) 3. Untuk menjawab, hitamkan bulatan kecil yang berisi huruf A, B, C,D, dan E sesuai dengan jawaban yang kamu anggap benar menggunakan pensil 2B 3. Dahulukan menjawab soal-soal yang kamu anggap mudah 5. Periksa pekerjaan sebelum diserahkan kepada pengawas ujian UJIAN NASIONAL SMA/MA TAHUN PELAJARAN 2007/2008 Mata Pelajaran : MATEMATIKA Hari/Tanggal : SELASA, 22 APRIL 2008 Waktu : 120 MENIT

Upload: muhammad-fatur-rahman

Post on 06-Aug-2015

519 views

Category:

Documents


8 download

TRANSCRIPT

Page 1: Un Matematika Sma Ipa 2008-Soal+Pembahasan

Ujian Nasional2626

C. Badu tidak rajin belajar atau Badu tidak patuh pada orangtua

E. Badu rajin belajar atau Badu tidak patuh pada orangtua

3. Bentuk ( )3 24 2 3 32 2 18+ − dapat

disederhanakan menjadi …A. 2 6 D. 6 6

B. 3 6 E. 9 6

C. 4 6

4. Diketahui 2 2log7 a dan log3 b= = , maka

nilai dari 6 log14 adalah …

A. aa b+

D. ( )

aa 1 b+

B. a 1a b++

E. ( )a 1

a 1 b++

C. a 1b 1++

1. Ingkaran dari pernyataan: “Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap”, adalah …A. Semua bilangan prima adalah

bilangan genapB. Semua bilangan prima bukan bilangn

genapC. beberapa bilangan prima bukan

bilangan primaD. Beberapa bilangan genap bukan

bilangan primaE. Beberapa bilangan genap adalah

bilangan prima

2. Diketahui premis-premis:(1) Jika Badu rajin belajar dan patuh pada

orangtua, maka Ayah membelikan bola basket

(2) Ayah tidak membelikan bola basket

Kesimpulan yang sah adalah …A. Badu rajin belajar dan Badu patuh

pada orangtuaB. Badu tidak rajin belajar dan Badu

tidak patuh pada orang lain

PETUNJUK UMUM1. Periksa dan bacalah soal-soal sebelum kamu menjawab2. Tulis nomor peserta pada lembar jawaban komputer (LJK)3. Untuk menjawab, hitamkan bulatan kecil yang berisi huruf A, B, C,D, dan E

sesuai dengan jawaban yang kamu anggap benar menggunakan pensil 2B3. Dahulukan menjawab soal-soal yang kamu anggap mudah5. Periksa pekerjaan sebelum diserahkan kepada pengawas ujian

UJIAN NASIONAL SMA/MATAHUN PELAJARAN 2007/2008

Mata Pelajaran : MATEMATIKAHari/Tanggal : SELASA, 22 APRIL 2008Waktu : 120 MENIT

Page 2: Un Matematika Sma Ipa 2008-Soal+Pembahasan

Ujian Nasional27

9. Akar-akar persamaan2 2 2 2log x 6 logx 8 log1− + = adalah x1

dan x2. Nilai dari x1+x2 = …A. 6 D. 12B. 8 E. 20C. 10

10. Perbandingan umur Ali dan Badu 6 tahun yang lalu adalah 5 : 6. Hasil kali umur keduanya sekarang adalah 1.512. Umur Ali sekarang adalah …A. 30 tahun D. 38 tahunB. 35 tahun E. 42 tahunC. 36 tahun

11. Persamaan garis singgung yang melalui titik A(-2,-1) pada lingkaran

2 2x y 12x 6y 13 0+ + − + = adalah …A. 2x y 5 0− − − = D. 3x 2y 4 0− + =

B. x y 1 0− + = E. 2x y 3 0− + =

C. x 2y 4 0+ + =

12. Salah satu faktor suku banyak:

( ) 4 2P x x 15x 10x n= − − + adalah ( )x 2+ .

Faktor lainnya adalah …A. x 4− D. x 6−B. x 4+ E. x 8−C. x 6+

13. Pada toko buku “Murah”, Adil membeli 4 buku, 2 pulpen dan 3 pensil dengan harga Rp 26.000,00. Bima membeli 3 buku, 3 pulpen dan 1 pensil dengan harga Rp 21.500,00. Citra membeli 3 buku dan 1 pensil dengan harga Rp 12.500,00. Jika Dina membeli 2 pulpen dan 2 pensil, maka ia harus membayar …A. Rp 5.000,00 D. Rp 11.000,00B. Rp 6.500,00 E. Rp 13.000,00C. Rp 10.000,00

5. Persamaan grafik fungsi kuadrat yang mem-punyai titik balik minimum (1,2) dan melalui titik (2,3) adalah …A. 2y x 2x 1= − + D. 2y x 2x 1= + +

B. 2y x 2x 3= − + E. 2y x 2x 3= − −

C. 2y x 2x 1= + −

6. Invers dari fungsi ( ) 3x 2 8f x ; x

5x 8 5−

= ≠+

adalah …

A. 8x 25x 3− +

− D. 8x 2

3 5x+−

B. 8x 25x 3

−+

E. 8x 23 5x− +−

C. 8x 23 5x

−+

7. Bila x1 dan x2 adalah penyelesaian dari persamaan: 2x x 12 6.2 32 0+− + = , dengan

x1 > x2 , maka nilai dari 1 22x x ...+ =

A. 14

D. 8

B. 12

E. 16

C. 4 8. Himpunan penyelesaian dari pertidaksa-

maan eksponen: 2x 4

2 19 x 4

27

− − ≥

adalah

A. 10x \ 2 x

3 − ≤ ≤

B. 10x \ x 2

3 − ≤ ≤

C. 10x \ x atau x 2

3 ≤ − ≥

D. 10x \ x 2 atau x

3 ≤ − ≥

E. 10x \ x 2

3 − ≤ ≤ −

Page 3: Un Matematika Sma Ipa 2008-Soal+Pembahasan

Ujian Nasional2828

17. Diketahui matriks 2 5

P1 3

dan 5 4

Q1 1

Jika 1P− adalah invers matriks P dan 1Q− adalah invers matriks Q, maka determinan matriks 1 1P Q− − adalah …A. 223 D. -10B. 1 E. -223C. -1

18. Diketahui vektor:

a 2ti j 3k= − +

b ti 2j 5k= − + −

c 3ti t j k= + +

Jika vektor ( )a b+ tegak lurus c ,

maka nilai 2t = …

A. -2 atau 43

D. 3 atau 2

B. 2 atau 43

E. -3 atau 2

C. 2 atau 43

19. Diketahui vektor 2 x

a 3 , dan b 04 3

− = =

Jika panjang proyeksi vektor a pada b

adalah 45

, maka salah satu nilai x adalah

A. 6 D. - 4B. 4 E. - 6C. 2

20. Persamaan bayangan parabola y = x2 + 4 karena rotasi dengan pusat O(0,0) sejauh 1800 adalah …A. 2x y 4= + D. 2y x 4= − −

B. 2x y 4= − + E. 2y x 4= +

C. 2x y 4= − −

14. Perhatikan gambar!

20

15

0 12 18

Daerah yang diarsir pada gambar meru-pakan himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear. Nilai maksi-mum dari f(x,y)=7x+6y adalah = …A. 88 D. 106B. 94 E. 196C. 102

15. Seorang pembuat kue mempunyai 4 kg

gula dan 9 kg tepung. Untuk membuat sebuah kue jenis A dibutuhkan 20 gram gula dan 60 gram tepung, sedangkan untuk membuat sebuah kue jenis B dibutuhkan 20 gram gula dan 40 gram tepung. Jika kue A dijual dengan harga Rp 4.000,00/buah, dan kue B dijual dengan harga Rp 3.000,00/buah, maka penadapatan maksimum yang dapat diperoleh pembuat kue tersebut adalah …A. Rp 600.000,00B. Rp 650.000,00C. Rp 700.000,00D. Rp 750.000,00E. Rp 800.000,00

16. Diketahui persamaan matriks:a 4 2 b 1 3 0 11 c d 3 3 4 1 0

− + = − −

Nilai a + b + c + d = …A. -7 D. 3B. -5 E. 7C. 1

Page 4: Un Matematika Sma Ipa 2008-Soal+Pembahasan

Ujian Nasional29

panjang rusuk 6 cm. Jika sudut antara diagonal AG dengan bidang alas ABCD adalah α , maka sinα = …

A. 13

2 D. 1

2

B. 12

2 E. 1

23

C. 13

3

27. Diketahui segitiga MAB dengan

AB = 300 cm, sudut MAB = 600 dan sudut ABM = 750, maka AM = …

A. ( )150 1 3 cm+

B. ( )150 2 3 cm+

C. ( )150 3 3 cm+

D. ( )150 2 6 cm+

E. ( )150 3 6 cm+

28. Jika 1tan 1 dan tan

3α = β = , dengan α

dan β sudut lancip, maka ( )sin α −β = …

A. 25

5 D. 2

5

B. 15

5 E. 1

5

C. 12

29. Nilai dari 0 0

0 0

cos 50 cos 40sin 50 sin 40

++

adalah …

A. 1 D. 12

2−

B. 12

2 E. -1

C. 0

21. Persamaan bayangan garis 4y + 3x – 2 = 0 oleh transformasi yang ber-

sesuaian dengan matriks 0 11 1

dilanjutkan dengan matriks 1 11 1 −

adalah …A. 8x 7y 4 0+ − = D. x 2y 2 0+ − =

B. 8x 7y 2 0+ − = E. 5x 2y 2 0+ − =C. x - 2y - 2 = 0

22. Diketahui suku ke-3 dan suku ke-6 dari suatu deret aritmatika berturut-turut adalah 8 dan 17. Jumlah delapan suku pertama deret tersebut sama dengan …A. 100 D. 160B. 110 E. 180C. 140

23. Seutas tali dipotong menjadi 52 bagian yang masing-masing potongan mem-bentuk deret aritmatika. Bila potongan tali terpendek adalah 3 cm dan yang ter-panjang adalah 105 cm, maka panjang tali semula adalah …A. 5.460 cm D. 1.352 cmB. 2.808 cm E. 808 cmC. 2.730 cm

24. Diketahui deret geometri dengan suku pertama 6 dan suku keempat adalah 48. Jumlah enam suku pertama deret tersebut adalah …A. 368 D. 379B. 369 E. 384C. 378

25. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik H dan garis AC adalah …

A. 8 3 D. 4 3

B. 8 2 E. 4 2

C. 4 6

26. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan

Page 5: Un Matematika Sma Ipa 2008-Soal+Pembahasan

Ujian Nasional3030

35. Hasil dari 4

1

2dx ...

x x=∫

A. -12 D. 2

B. -4 E. 32

C. -3

36. Hasil dari 2cos x.sinx dx.∫ adalah …

A. 31cos x C

3+ D. 31

sin x C3

+

B. 31cos x C

3− + E. 33sin x C+

C. 31sin x C

3− +

37. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva 2y x 4x= − + , sumbu X , garis x = 1 dan

x = 3 adalah …

A. 23

3satuan luas D. 1

93

satuan luas

B. 15

3satuan luas E. 1

103

satuan luas

C. 17

3satuan luas

38. Volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh kurva

2x y 1 0− + = , 1 x 4− ≤ ≤ , dan sumbu X

sejauh 3600 adalah …

A. 18

2π satuan volume

B. 19

2π satuan volume

C. 111

2π satuan volume

D. 112

2π satuan volume

E. 113

2π satuan volume

30. Himpunan penyelesaian persamaan:0 0cos 2x 7sin x 4 0 ; 0 x 360+ − = ≤ ≤ ,

adalah …A. {240, 320} D. {60, 120}B. {210, 330} E. {30, 150]C. {120, 240}

31. Nilai dari 3

x 2

x 4xlim ...

x 2→

−=

A. 32 D. 4B. 16 E. 2C. 8

32. Turunan pertama dari sin xy

sin x cos x=

+ adalah y’= …

A. ( )2

cos x

sinx cosx+ D.

( )2

sin x cos x

sinx cosx

+

B. ( )2

1

sinx cosx+ E.

( )2

2sin x cos x

sinx cosx+

C. ( )2

2

sinx cosx+

33. Diketahui: ( )2x 3

f x2x 1+

=+

. Jika ( )f ' x

me-

nyatakan turunan pertama dari f(x), maka nilai ( ) ( )f 0 2f ' 0 ...+ =

A. -10 D. - 5B. -9 E. - 3C. -7

34. Sebuah kotak tanpa tutup yang alasnya

berbentuk persegi, mempunyai volume 4 m3 terbuat dari selembar karton. Agar karton yang diperlukan sedikit mungkin, maka ukuran panjang, lebar dan tinggi kotak berturut-turut adalah …A. 2m, 1m, 2m D. 4m, 1m, 1mB. 2m, 2m, 1m E. 1m, 1m, 4mC. 1m, 2m, 2m

Page 6: Un Matematika Sma Ipa 2008-Soal+Pembahasan

Ujian Nasional31

39. Perhatikan data tabel berikut!

Tinggi badan Frekuensi50-54 455-59 660-64 865-69 1070-74 875-79 4

Kuartil atas dari data pada tabel adalah …A. 69,50 D. 70,75B. 70,00 E. 71,00C. 70,50

40. Dua buah dadu dilempar undi secara bersamaan sebanyak satu kali. Peluang kejadian muncul jumlah mata dadu 9 atau 11 adalah …

A. 12

D. 18

B. 14

E. 112

C. 16

Page 7: Un Matematika Sma Ipa 2008-Soal+Pembahasan

Ujian Nasional3232

Ingat! Ingat! Modus Tollens

Premis: �p ∧ q� ⟹ r ~r

Kesimpulan : ~�p ∧ q�  Berlaku : ~�p ∧ q� ≡∼ p ∨∼ q

Ingat! Ingat! � ��� ��� ��� � �� ��� �. �

� ��� � � ��� ���� �

Ingat! Ingat! Fungsi kuadrat dengan titik puncak �x�, y��

adalah: y � ��x � x��� � y�

1. Pembahasan CERDIK: Maka, ingkaran dari “Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap” adalah: “Semua bilangan prima adalah bilangan genap”

2. Pembahasan CERDIK: Misal: � � Badu rajin belajar � � Badu patuh pada orang tua � � Ayah membelikan bola basket Maka dari premis yang diketahui, kesimpulannya adalah: “Badu tidak rajin belajar atau dia tidak patuh pada orang tua”

3. Pembahasan CERDIK: Bentuk sederhana dari 3√24 � 2√3�√32 � 2√18� adalah: 3√4 � 6 � 2√3�√16 � 2 � 2√� � 2� � 6√6 � 2√3�4√2 � 6√2� � 6√6 � 2√3��2√2� � 6√6 � 4√6 � 2√6

4. Pembahasan CERDIK: Diketahui: � log 7 � � dan � log 3 � � Maka,

� log 14 � log 14log 6

� log 2.7log 2.3 �

log 2 � log 7log 2 � log 3

� 1 � �1 � � �

� � 1� � 1

5. Pembahasan CERDIK: Diketahui: titik puncak fungsi kuadrat �1, 2� Maka persamaan kuadratnya:

� � ��� � 1�� � 2

C

A

C

A

Ingat! Ingat! Ingkaran dari pernyatan berkwantor:

“beberapa” adalah “semua”

PEMBAHASANMATEMATIKA (2008)

Page 8: Un Matematika Sma Ipa 2008-Soal+Pembahasan

Ujian Nasional33

Ingat! Ingat! � log � � � ⇒ �� ��

Ingat! Ingat!

Maka,

���� � �� � ��� � � � � � ���

������ � ��� � ��� � �

Dan melalui titik �2, 3�, maka: 3 � ��2 � 1�� � 2 ⇒ 3 � � � 2 ⇒ � � 1 Jadi, persamaan kuadrat yang dimaksud adalah: � � 1�� � 1�� � 2 ⇒ � � �� � 2� � 3

6. Pembahasan CERDIK:

Jika, ���� � ����

���� maka ����� � ��������� � ����

����

7. Pembahasan CERDIK: �� dan �� adalah penyelesaian persamaan 2�� � 6� 2��� � 32 � � Misal: � � 2� 2�� � 6� 2��� � 32 � � ⇒ 2�� � 6� 2�� 2 � 32 � � ⇒ �� � 12� � 32 � � ⇒ �� � ���� � 4� � � � � � dan � � 4

� � � ⇒ 2� � � ⇒ � � 3

� � 4 ⇒ 2� � 4 ⇒ � � 2

�� � �� ⇒ �� � 3����� � 2 Jadi, 2�� � �� � 2�3 � 2 � �

8. Pembahasan CERDIK: Pertidaksamaan eksponen

9���� � � 127�����

⇒ 3������� � 27�������� ⇒ 3���� � 3�������� ⇒ 4� � � � �3�� � 12

⇒ 3�� � 4� � 2� � � ⇒ �3� � 1���� � 2� � � �� � � ��

� dan �� � 2

HP = ���� � � ��

� ������� � 2, � � ��

9. Pembahasan CERDIK: 2log2x � 6� log � � � �� log 1 mempunyai

akar-akar �� dan ��. Misal: � �� log �

2log2x � 6� log � � � �� log 1 ⟺ �� � � � � � � ⟺ �� � 2��� � 4� � � � � 2 dan � � 4

� � 2⇒� log � � 2 ⇒ � � 2� ⇒ � �4

� � 4 ⇒� log � � 4 ⇒ � � 2� ⇒ � �16

Jadi, �� � �� � 4 � 16 � 2�

10. Pembahasan CERDIK: Misal: � � umur Ali sekarang � � umur Badu sekarang Perbandingan umur mereka 6 tahun yang lalu � � 6� � 6 �

65

⇒ 5� � 3� � 6� � 36 ⇒ 5� � 6� � 6 ⇒ � � ����

� ….(i) Hasil kali umur mereka sekarang: � � � � 1�512….(ii) Substitusi persamaan (i) pada (ii), diperoleh:

������ � � � � 1�512

⇒ 6�� � 6�5 � 1�512

⇒ 6�� � 6� � 756� ⇒ 6�� � 6� � 756� � �

E

C

D

D

B

- 6

Page 9: Un Matematika Sma Ipa 2008-Soal+Pembahasan

Ujian Nasional3434

Ingat! Ingat! Persamaan garis singgung lingkaran

�� � �� � �� � �� � � � 0 melalui titik ���� ��� adalah:

��� � ��� � �� ��� � ��� � �

� ��� � ��� � � � 0

Ingat! Ingat! Persamaan garis lurus yang melalui titik

��� 0� dan �0� �� adalah: �� � �� � �. �

⇒ �� � � � 12�0 � 0 ⇒ �� � 3���� � 3�� � 0 � � 3� atau � � �3� (tidak mungkin) Subtitusi � � 3� pada � � � � 1.�12 ⇒ � � �.���

�� � 42 Jadi umur Ali sekarang adalah 42 tahun.

11. Pembahasan CERDIK: Maka, persamaan garis singgung pada lingkaran �� � �� � 12� � �� � 13 � 0 yang melalui titik ��2��1� adalah: ��2�� � ��1�� � �

� �12��� � 2� � �� ������ � 1� �

13 � 0 ⇒ �2� � � � �� � 12 � 3� � 3 � 13 � 0 ⇒ 4� � 4� � 4 � 0 ⇒ � � � � 1 � 0

12. Pembahasan CERDIK: ���� � �� � 1��� � 10� � � salah satu faktornya �� � 2� ⇒ � � �2, maka: ��2� � ��2�� � 1�. ��2�� � 10��2� � � � 0 ⇒ 1� � �0 � 20 � � � 0 ⇒ � � 24 Sehingga, ���� � �� � 1��� � 10� � 24 Cara praktis untuk mencari faktor-faktor yang lain dari ����, pada soal pilihan ganda, maka dipilih dari pilihan-pilihan yang ada, jika disubstitusi ke ���� akan menghasilkan nol. Dan itu diperoleh pada �� � 4� ⇒ � � 4 ��4� � 4� � 1�. 4� � 10.4 � 24

� 2�� � 240 � 40 � 24 � 0 Jadi salah satu faktor yang laing adalah �� � 4�

13. Pembahasan CERDIK: Misal: � � buku � � pulpen � � pensil Dari soal, dapat dibuat model matematikanya: 4� � 2� � 3� � 2�.000 ….(i) 3� � 3� � � � 21.�00 .….(ii) 3� � � � 12.�00 ……..… (iii) Dari (ii) dan (iii), dengan metode eliminasi, diperoleh: 3� � 3� � � � 21.�00 3������������ � � � 12.�00 3���������� � �.000 ⇒ � � 3.000 Eliminasi variable � dari persamaan (i) dan (ii) 4� � 2� � 3� � 2�.000 � 3 12� � ���� � �� � ��.000 3� � 3� � ��� � 21.�00 � 4 12� � 12� � 4� � ��.000 ��� � �� � ��.000 ⇒ ���3.000� � �� � ��.000 ⇒ �� � ��.000 � 1�.000 ⇒ �� � 10.000 ⇒ � � 2.000 Jadi, 2� � 2� � 2�3.000� � 2�2.000� �10.000

14. Pembahasan CERDIK:

Persamaan garis � 20� � 12� � 240 ⇒ �� � 3� � �0 Persamaan garis � 1�� � 1�� � 2�0 ⇒ �� � �� � �0

C

A

B

E

Page 10: Un Matematika Sma Ipa 2008-Soal+Pembahasan

Ujian Nasional35

Ingat! Ingat!

P � �a bc d� , jika P�� adalah invers matrik P,

maka:

P�� � ������ �

d �b�c a � dan determinannya

adalah: ad � bc

Titik potong dua garis: 5� � 3� � 60 5� � 6� � �0 �3� � �30 � � � 10 � � � 6 titik potongnya �6, 10� Fungsi tujuan: ���, �� � �� � 6� ��0, 15� � ��0 � 6�15 � �0 ��6, 10� � ��6 � 6�10 � 102 ��12, 0� � ��12 � 6�0 � �4 Jadi nilai maksimumnya adalag 102

15. Pembahasan CERDIK: Misal: � � gula � � tepung Dari soal dapat dibuat model matematikanya: Gula Tepung Harga

Kue 1 20 gr 60 gr Rp. 4.000 Kue 2 20 gr 40 gr Rp. 3.000

Persediaan 4.000 gr 9.000 gr

20� � 20� � 4�000 60� � 40� � ��000 Dengan fungsi tujuan adalah: ���, �� � 4�000� � 3�000� Persamaan 20� � 20� � 4�000

Titik potong pada sumbu x dan y: � � 0 � � � 200 titik �0, 200� � � 0 � � � 200 titik �200, 0�

Persamaan 60� � 40� � ��000 Titik potong pada sumbu x dan y: � � 0 � � � 150 titik �0, 225� � � 0 � � � 150 titik �150,0�

Titik potong dua garis: 20� � 20� � 4�000 � 3 60� � 60� � 12�000 60� � 40� � ��000 � 1 60� � 40� � ����000 20� � 3�000 � � � 150 � � � 50 Nilai pada fungsi tujuan: ���, �� � 4�000� � 3�000� ��0, 200� � 4�000�0� � 3�000�200�

� 600�000 ��50, 150� � 4�000�50� � 3�000�150� � 650�000 ��150, 0� � 4�000�150� � 3�000�0�

� 600�000 Jadi, pendapatan maksimum yang dapat diperoleh adalah: Rp. 650.000,00

16. Pembahasan CERDIK: Diketahui:

� � 4�1 �� � �2 �

� �3� � �1 �33 4 � �

0 11 0�

� � � � 2 4 � ��1 � � � � 3� � ��3 1

4 3� � � � 2 � �3 � � � �5 � 4 � � � 1 � � � �3 � � � 3 � 3 � � � 6 � �1 � � � 4 � � � 5 Jadi, � � � � � � � � �5 � 3 � 6 � 5 � 3

17. Pembahasan CERDIK: Diketahui:

� � �2 51 3� dan � � �5 4

1 1� Maka,

��� � 12�3 � 5�1 �

3 �5�1 2 �

� ���� �

3 �5�1 2 � � � 3 �5

�1 2 �

D

B

C

�� �� �� �

� �� �� � ��� � �� �� � ��

�� � �� �� � ��� Ingat! Ingat!

Page 11: Un Matematika Sma Ipa 2008-Soal+Pembahasan

Ujian Nasional3636

Ingat! Ingat! Sudut antara ��� � ���� dan ��:

��� � � ��� � ����� ����� � ����� |��|

Ingat! Ingat! Jika |c| adalah panjang proyeksi vektor a�

pada b�, maka:

|�| � ��� ������

Ingat! Ingat! Rotasi �0, 180°� dengan titik pusat �0, 0�,

maka:

���� � ��������

��� � 15�1 � 4�1 �

1 �4�1 5 �

� ���� �

1 �4�1 5 � � � 1 �4

�1 5 � Sehingga,

���� ��� � � � �5�1 2 � � �

1 �4�1 5 �

� � � � 5 �12 � 25�1 � 2 4 � 10 �

� � 8 ����� 14 �

Jadi, determinan: ���� ��� � 8�14 � ��������� � 112 � 111 � 1

18. Pembahasan CERDIK: Diketahui: �� � 2���� ��� ���� ��� � ����� 2��� 5��� �� � ����� ���� ��� Maka, ��� � ���� � ���� ��� 2��� Jika ��� � ���� tegak lurus ��, sehingga:

cos 90° � ����� � 1��� � ��2��1���� � ����� | ��|

Karena cos 90° � 0, maka ��� � ����� | ��| tidak perlu dicari nilainya. ����� � 1��� � ��2��1� � 0 ⇒ ��� � � � 2 � 0 ⇒ ��� � 2��� � 1� � 0 � � �

� atau � � �1

Jadi 2� � �� atau �2

19. Pembahasan:

Diketahui: �� � ��2, �, 4� dan �� � ��, 0, �� Jika |�| � �

� adalah panjang proyeksi vektor ��

pada ��, maka:

|�| � ��2�� � ��0 � 4��√�� � 0� � ��

⟺ 45 �

�2� � 12√�� � 9

⟺ 1625 �

4�� � 48� � 144�� � 9

⟺ 425 �

�� � 12� � �6�� � 9

⟺ 4��� � 9� � 25��� � 12� � �6� ⟺ 4�� � �6 � 25�� � �00� � 900 ⟺ 21�� � �00� � 864 � 0 ⟺ ��� � 100� � 288 � 0 ⟺ ��� � �2��� � 4� � 0 �� � ��

� atau �� � 4

20. Pembahasan CERDIK: Persamaan � � �� � 4 jika dirotasi �0, 180°� dengan pusat �0, 0� menjadi:

��� � ������ � 4 ⇒ � � ��� � 4

21. Pembahasan:

Diketahui matrik transformasi �� � �0 �11 1 �

dan �� � �1 11 �1�, maka:

�� � �� � �1 11 �1� �

0 �11 1 � � � 1 0

�1 �2� Jadi, bayangan:

������ � � 1 0�1 �2� �

��� � � �

�� � 2�� � � �� �� � 2� � ��

D

A

B

B

Ingat! Ingat! Transformasi �� dilanjutkan dengan

transformasi ��, maka transformasinya ��� ��

Page 12: Un Matematika Sma Ipa 2008-Soal+Pembahasan

Ujian Nasional37

Ingat! Ingat! Deret aritmetika: �⑷ � � � �� � ���

�� � �2 �2� � �� � ����

Ingat! Ingat! Deret geometri �� � �� ����

�� � ��� � ���� � � �� ��� � �

�� � ���� � ��� � � � � � �

⇒ �2� � �� � � ⇒ � � ������ � �����

�� Disubstitusi ke persamaan 4� � 3� � 2 � �,

⇒ 4�������� � � 3���� � 2 � � ⇒ �2�� � 2�� � 3�� � 2 � � ⇒ �2�� � �� � 2 � � ⇒ �� � 2�� � 2 � � Jadi, bayangan yang dihasilkan adalah: � � 2� � 2 � �

22. Pembahasan CERDIK:

Diketahui: �� � 8��� ⇒ � � 2� � �8 �� � �� ⇒ � � �� � ��� �3� � �9 ⇒ � � 3 � � � 2 Jadi, �� � �

� �2�2 � �8 � ��3� � 4�4 � 2�� � ���

23. Pembahasan CERDIK: Dari 52 potong tali, diketahui bahwa: tali terpendek ���� � 3��� dan tali terpanjang ����� � ������ maka, �� � 3 � � ��� � ��� ⇒ � � ��� � ��� ⇒ 3 � ��� � ��� ⇒ ��� � ��2 ⇒ � � 2 Jadi, jumlah tali seluruhnya ����� adalah: ��� �2�3 � ��2 � ��2� � 26�6 � ��2� �2�8�8���

24. Pembahasan CERDIK:

Dikertahui deret geometri; �� � 6 � � �� � 48 ⇒ �� �� � 48 ⇒ 6� �� � 48 ⇒ �� � 8 ⇒ � � √8� � 2 Jadi, jumlah enam suku pertama ���� adalah: ���������� ��� ��� � �

⇒ 6�63� � 3�8

25. Pembahasan CERDIK:

Perhatikan segitiga ACH (sama sisi), dengan panjang sisi 8√2��� (diagonal bidang kubus). Jadi, jarak titik H ke garis AC adalah HT. HT memotong AC menjadi dua sama panjang, sehingga panjang AT = 4√2���. Perhatikan segitiga ATH (siku-siku di T), maka: �� � √��� � ���

� ��8√2�� � �4√2��

� √�28 � 32 � √96 � 4√6�� Jadi, jarak titik H ke AC adalah 4√6��

26. Pembahasan CERDIK:

Perhatikan segitiga ACG (siku-siku di C). �� � 6√3��� (diagonal ruang kubus).

C

C

B

A

C

Page 13: Un Matematika Sma Ipa 2008-Soal+Pembahasan

Ujian Nasional3838

Ingat! Ingat!

sin � �

Ingat! Ingat! Aturan sin dari segitiga di atas:

������� � � ��

��

Ingat! Ingat! ����� � �� � ��� � ��� � � ��� � ��� �

Ingat! Ingat! sin�α � β� � sin α cos β � cosα sin β

Ingat! Ingat!

cos α � cos β � 2 cos 12 �α � β� cos 12 �α � β� sin α � sin β � 2 sin 12 �α � β� cos 12 �α ∓ β�

Ingat! Ingat! ��� 2� � 1 � 2�����

Jadi, sin � � ��

�� ���√� �

�√�

⇒ ��√� �

√�√� �

√�� � �

�√3

27. Pembahasan CERDIK:

Dari aturan sin didapat: sin 45°sin 75°

� 300��

⇒√22

sin 75°� 300��

⇒ √�� �� � 300. sin 75° …(i)

sin 75° � sin�30° � 45°�

� sin 30° cos 45° � cos 30° sin 45° � �

� .�� √2 �

��√3.

�� √2

� ��√2 �

�� √6 �

√��√��

Dari (i), diperoleh: √22 �� � 300. �√2 � √6

4 �

⇒ √22 �� � 75√2 � 75√6

⇒ �� � 75√2 � 75√6√22

⇒ �� � 2�75√2 � 75√6�√2 � √2√2

� �75√2 � 75√6�√2 � 150 � 75√12 � 150 � 150√3 � 150�1 � √3����

28. Pembahasan CERDIK: Diketahui: � dan � sudut lancip, ��n� � 1 ⇒ sin � � �

� √2 dan cos� � �� √2

��n� � �� ⇒ sin� � �

��√10 dan cos� ����√10 Maka,

sin�� � �� � 12√2.

310√10 �

12√2.

110√10

� 3√2020 � √20

20 � 2√2020 � √20

10 � 2√510

� 15√5

29. Pembahasan CERDIK: cos 50° � cos40°sin 50° � sin 40°

� 2 cos 12 �50° � 40°� cos 12 �50° � 40°�2 sin 12 �50° � 40°� cos 12 �50° � 40°�

B

AC

Page 14: Un Matematika Sma Ipa 2008-Soal+Pembahasan

Ujian Nasional39

Ingat! Ingat!

Maka: �� � ���������

� � ��

� 2 cos 45° cos 5°2 sin 45° cos 5°

�12√212√2

� 1

30. Pembahasan CERDIK: Himpunan penyelesaian dari: cos 2� � � sin � � 4 � 0� ��0° � � � �60° ⇒ �1 � 2������ � � sin � � 4 � 0 ⇒ �2����� � � sin � � � � 0 ⇒ 2����� � � sin � � � � 0 ⇒ �2 sin � � 1��sin � � �� � 0 sin � � �

� atau sin � � � (tidak mungkin)

Jadi, sin � � �� ⇒ � � �0° dan 150°

HP = �0° � � � �60°�� � �0°, 150°�

31. Pembahasan CERDIK:

lim����� � 4�� � 2 � lim���

���� � 4�� � 2

� lim������ � 2��� � 2�

� � 2

� lim��� ��� � 2� � �

32. Pembahasan CERDIK:

� � sin �sin � � cos �

Misal: � � sin � ⇒ �� � cos � � � sin � � cos � ⇒ �� � cos � �sin � � ��� cos � �sin � � cos ��� sin ��cos � �sin ��

�sin � � cos ���

� ��� cos � sin � � ����� � cos � sin � � �����

�sin � � cos ���

� �� � ����� � ������sin � � cos ��� �

1�sin � � cos ���

33. Pembahasan CERDIK:

���� � �� � �2� � 1

Misal: � � �� � � ⇒ �� � 2� � � 2� � 1 ⇒ �� � 2

� ����� � 2��2� � 1� � ��� � ��2�2� � 1��

� ����� � 4�� � 2� � 2�� � 6�2� � 1��

� ����� � 2�� � 2� � 6�2� � 1��

Maka,

��0� � 2���0� � 0� � �2.0 � 1 � 2�2. 0

� � 2.0 � 6�2.0 � 1�� �

� � � 12 � ��

34. Pembahasan CERDIK: Volume kotak tanpa tutup tersebut adalah:

��� � 4 ⇒ � � 4��

Luas permuakan kotak tanpa tutup ���: � �� � 4�� � �� � 4� � 4���

� �� � 16� � �� � 16���

Luas minimal dicapai ketika �� � 0 � �� � 2� � 16��� � 0

⇒ 2� � 16�� � 0 ⇒ 2� � 16

��

⇒ 2�� � 16 ⇒ �� � � ⇒ � � 2 � � 2 disubstitusi ke � � �

�� diperoleh:

� � ��� � 1

35. Pembahasan CERDIK:

� 2�√� ��� � �2����

���

⇒ � 2�12

. ������

� ��4������

�� ��4√���

⇒ ��4√4� � ��4√1� � �2 � 4 � 2

D

B

B

B

C

E

A

Page 15: Un Matematika Sma Ipa 2008-Soal+Pembahasan

Ujian Nasional4040

Ingat! Ingat! Volume benda putar kurva � � �� � 1 � � yang diputar mengelilingi sumbu x dengan

batas �1 sampai 4

� � � ������

��

Ingat! Ingat!

�� � �� � �34� � ∑��������

�� � � �

36. Pembahasan CERDIK:

������� ��� � �� � �

Misal: � � ��� � �� � ���� � �� ⇒ ������� ��� � �� � ������ � ��

� �� � �

� ��� ����� � �

37. Pembahasan CERDIK: Kurva � � ��� � 4�, garis � � 1� dan � � 3 Jika digambar pada grafik:

Luas daerah yang diarsir:

� � ���� � 4�����

� ��13�� � 2���

� ��13 �3�� � 2�3��� � ��13 �1�

� � 2�1���

� ��� � 1�� � ��13 � 2�

� � � 13 � �13

38. Pembahasan CERDIK: Kurva � � �� � 1 � � ⇒ �� � � � 1 Jadi,

� � � ������

��� � �� � 1���

��

� � �12�� � ��

��

� � ��124� � 4� � �12 ��1�

� � ��1���

� � �12 � 12� � 12 12�

39. Pembahasan CERDIK:

Data: Tinggi badan frekuensi Frek.kumulatif

50 – 54 4 4 55 – 59 6 10 60 – 64 8 18 65 – 69 10 28 70 – 74 8 36 75 – 79 4 40

�� � ���� � ���������

� � � �

� ���� � ���� � � � ���� � 1�2� � �����

C

D

DB

40. Pembahasan CERDIK: Ruang sampel dari dua dadu adalah 36. Kejadian muncul dengan jumlah 9 = (3,6); (4,5); (5,4); (6,3) 11 = (5,6); (6,5) Semua terdapat 6 kejadian Jadi, peluangnya adalah 6/36 = 1/6

Jawaban C