ukuran tengah dan dispersi.pdf

8/16/2019 Ukuran Tengah Dan Dispersi.pdf

1/15

Universitas Gadjah Mada 1

BAB III

UKURAN TENGAH DAN DISPERSI

Dalam pembicaraan yang lalu kita telah mempresentasikan data dalam bentuk tabel

dan grafik yang bertujuan meringkaskan dan menggambarkan data kuantitatif, untuk

mendapatkan gambaran yang lebih jelas tentang sekumpulan data. Selain data itu disajikan

dalam tabel dan grafik, masih diperlukan ukuranukuran yang merupakan wakil dari kumpulan

data itu. Dalam bab ini akan dibicarakan tentang ukuran tengah dan dispersi.

3.1. Ukuran Tengah

Ukuran tengah dari sekumpulan data adalah nilai tunggal yang representatif bagi

keseluruhan nilai data atau dapat menggambarkan distribusi data itu, khususnya dalam hal

letaknya (lokasinya). Nilai tersebut dihitung dari keseluruhan data bersangkutan sehingga

cenderung terletak diurutan paling tengah atau pusat setelah data diurutkan menurut

besamya. Oleh karena itu, nilai tunggal tersebut sering dinamakan ukuran tendensi sentral

(measures of central tendency) atau ukuran nilai pusat (measures of central value).

Beberapa ukuran tengah yang akan dibicarakan adalah mean, mean terbobot, median,

kuartil dan modus.

3.1.1 Mean dan Mean Terbobot

a. Data tidak dikelompokkan

Mean dari sekumpulan observasi adalah jumlah semua observasi dibagi banyak observasi.Definisi 3.1

Jika suatu sampel berukuran n dengan elemen x1, x2, ... , xn maka mean sampel adalah

atau

Contoh 3.1Diketahui sampel dari penimbangan berat badan 5 orang dewasa adalah 60 65 59 71 65

maka mean = (60 + 65 + 59 + 71 + 65)/5 = 320/5 = 64

Pada waktu kita menghitung mean dari suatu kumpulan data, kita anggap bahwa

semua nilai observasi itu adalah sama "penting" dan diberi bobot yang sama dalam

perhitungan. Dalam situasi di mana nilai data tidak sama penting, kita dapat menetapkan

bobot untuk setiap nilai data itu yang proporsional terhadap derajat kepentingan dan

kemudian dihitung mean terbobot.


2/15


Definisi 3.2 :

Misal v1, v2, ... , vk adalah himpunan k nilai dan w1, w2, ..., wk bobot yang diberikan

kepada mereka maka mean terbobot adalah

Contoh 3.2 :

Misalkan seorang mahasiswa mengambil matakuliah X dengan 3 sks dan memperoleh nilai

A = 4 (w1 = 3, v1 = 4) dan mata kuliah Y dengan 2 sks dan memperoleh nilai D = 1 (w2 = 2,

v2 = 1) serta mata kuliah Z dengan 1 sks dan memperoleh nilai B = 3 (w 3 = 1, v3 = 3) maka

indeks prestasinya adalah

Prosedur pembobotan juga digunakan dalam menghitung mean dari beberapa

himpunan data yang dikombinasikan. Misalnya kita mempunyai 2 himpunan data terdiri atas

ni & n2 nilai observasi dengan mean masing-masing adalah , dan . Mean kombinasi

data ini adalah mean terbobot dari individual mean, yaitu :

b. Data dikelompokkan

Data dikelompokkan adalah sekumpulan data yang telah disederhanakan dalam bentuk

distribusi frekuensi. Harga mean yang diperoleh merupakan harga pendekatan, dengananggapan bahwa nilai yang terletak pada suatu interval kelas sama dengan harga titik

tengahnya. Mean yang diperoleh merupakan mean terbobot dengan nilai bobotnya sama

dengan nilai frekuensinya.

Definisi 3.3 :

Mean dari data yang dikelompokkan adalah


3/15


dengan xi : titik tengan interval kelas ke-i

f i : frekuensi interval kelas ke-i

n : banyaknya data


4/15


Contoh 3.3 :

Untuk menghitung data pada contoh 2.1, kita gunakan tabel seperti di bawah ini.

sehingga ̅- = 8732/50 = 174,64 Cara lain dengan transformasi

dengan xi : titik tengah interval kelas ke-i

a : sembarang harga titk tengah interval kelas

c : lebar interval kelas

sehingga mean adalah

Contoh 3.4 :

Untuk contoh di atas, transformasinya adalah

kemudian dibuat tabel hasil transformasi, yaitu :

maka = -6/50 = -0,12


5/15


sehingga ̅ = c+ a = 3( - 0,12) + 175 = -0,36 + 175 = 174,64

3.1.2 Median

Median dari sekumpulan data adalah nilai yang berada di tengah dari sekumpulan data

itu setelah diurutkan menurut besamya.

a. Data yang tidak dikelompokkan

Contoh 3.5:

1. Tinggi badan 5 orang dewasa

165 167 168 170 171

median = 168

2. Berat badan 6 orang dewasa

55 57 58 60 60 65

median = (58 + 60) / 2 = 59

b. Data yang dikelompokkan

Untuk mengitung median data yang telah dikelompokkan dalam bentuk distribusi

frekuensi digunakan cara interpolasi, dengan menganggap bahwa data yang jatuh pada

suatu interval letaknya tersebar merata dalam interval itu.

Rumus untuk menghitung median adalah

dengan Lmd : batas bawah interval median

n : banyak data

F : jumlah frekuensi interval-interval sebelum interval median

f md : frekuensi interval median

c : lebar interval

Interval median adalah interval dimana median itu berada, diperoleh dengan menghitungharga yang nomor ke-n/2 menurut urutan frekuensinya dari atas ke bawah (dari bawah ke

atas).

Contoh 3.6

dari tabel 2.1

n = 50 maka n/2 = 25

Urutan frekuensi dari atas ke bawah 6+7+8+11 = 32

Sehingga harga median terletak dalam interval ke-4, yaitu 173,5 - 176,5 dengan frekuensi

11. Interval kelas ini yang dinamakan interval median.


6/15


maka Lmd = 173,5

n = 50

F = 21

f md = 11

c = 3

Jadi median adalah

Median = Md = 173,5 +

= 173,5 + 12/11= 173,5 + 1,09

= 174,59

3.1.3 Kuartil

Kuartil dari sekumpulan data adalah nilai-nilai yang membagi empat secara sama dari

sekumpulan data itu setelah diurutkan menurut besarnya.

a. Data yang tidak dikelompokkan

Contoh 3.7 :

1. Tinggi badan 5 orang dewasa

165 167 168 170 171

Kuartil I : K 1 =

= 166

Kuartil II : K2 = Median = 168

Kuartil III : K 3 =

= 170,5

2. Berat badan 6 orang dewasa

55 57 58 60 60 65

Kuartil I : K1= 57

Kuartil II : K2 = Median =

=59

Kuartil III : K3 = 60

b. Data yang dikelompokkan

Untuk mengitung Kuartil data yang telah dikelompokkan dalam bentuk distribusi

frekuensi digunakan cara interpolasi, dengan menganggap bahwa data yang jatuh pada

suatu interval letaknya tersebar merata dalam interval itu.

Rumus untuk menghitung Kuartil adalah


7/15



8/15


dengan LK1 : batas bawah interval Kuartil I

Lmd : batas bawah interval median

LK2 : batas bawah interval Kuartil III

n : banyak data

F : jumlah frekuensi interval-interval sebelum interval Kuartil

f K1 : frekuensi interval Kuartil I

f md : frekuensi interval median

f K3 : frekuensi interval Kuartil III

c : lebar interval

Interval Kuartil adalah interval dimana Kuartil itu berada.

Contoh 3.8 :

dari tabel 2.1 diperoleh : n = 50 maka n/4 = 12,5

Jumlah frekuensi interval ke 1 dan ke 2 adalah 6+7 = 13

Sehingga harga Kuartil I terletak dalam interval ke-2, yaitu 167,5 - 170,5 dengan

frekuensi 7. Interval kelas ini yang dinamakan interval Kuartil I.

maka LK1 = 167,5

n = 50

F = 6

FK1 = 7

C = 3

Jadi Kuartil I adalah

Kuartil I : K1 = 167,5 +12,5 7-63

= 167,5 + 19,5/7

= 167,5 + 2,79

= 170,29

Kuartil II : K2 = Median

= 174,59n = 50 maka 3n/4 = 37,5

Jumlah frekuensi interval ke 1 sampai ke 5 adalah 6+7+8+11+7 = 39

Sehingga harga median terletak dalam interval ke-5, yaitu 176,5 - 179,5 dengan

frekuensi 7. Interval kelas ini yang dinamakan interval Kuartil II.

maka LK3 = 176,5

n = 50

F = 32

f rnd = 7

c = 3


9/15


Jadi Kuartil Ill adalah

Kuartil Ill : K3 = 176,5 +

= 176,5 + 5,5/7

= 176,5 + 0,79

= 177,29

3.1.4 Modus

Modus dari sekumpulan data adalah nilai yang sering muncul atau nilai yang

mempunyai frekuensi tertinggi dalam kumpulan data itu.

a . Data tidak dikelompokkan Contoh 3.9 : Modus berat badan mahasiswa di atas adalah 60

karena 60 muncul 2 kali.

b . Data dikelompokkan

dengan Lmo : batas bawah interval modus

a : beda frekuensi antara interval modus dengan interval sebelumnya

b : beda frekuensi antara interval modus dengan interval sesudahnya.

c : lebar interval Interval modus

interval modus adalah interval yang mempunyai frekuensi tertinggi.

Contoh 3.10 :

Dari tabel 2.1 : interval modus adalah interval ke-4 dengan frekuensi 11.

sehingga Lmo = 173,5

a = 11 - 8 = 3

b = 11 - 7 = 4

c = 3

Jadi modus adalah

Modus = 173,5 +

3

= 173,5 + 1,29

= 174,79

3.2. Ukuran Dispersi

Beberapa distribusi dapat mempunyai mean, median dan modus yang sama, namun

bentuk distribusinya sangat berbeda. Dengan demikian diperlukan ukuran dispersi atau

ukuran deviasi terhadap pusat datanya. Beberapa ukuran deviasi yang akan dibicarakan :

jangkauan, deviasi rata-rata, variansi dan deviasi standar.


10/15


3.2.1 Jangkauan

Jangkauan adalah selisih data terbesar dan terkecil.

Contoh 3.11 :

Berat badan (kg) 5 mahsiswa adalah sebagai berikut :

60 65 59 71 65

maka jangkauan = 71 - 60 = 11

3.2.2 Deviasi rata-rata

Deviasi rata-rata adalah harga rata-rata penyimpangan tiap data terhadap meannya.

Besar perbedaaan antara data dan meannya adalah harga mutlaknya.

a. Data tidak dikelompokkan

Misalnya xl, x2, , adalah sekumpulan data dengan mean )1., maka deviasi rata-ratanya

adalah

Contoh 3.12 :

Dan data berat badan 5 orang dewasa, diperoleh mean = ̅ = 64 maka deviasi rata-rata :

jadi dr = 18/5 = 3,6


Deviasi rata-rata untuk data yang dikelompokkan, dihitung dengan rumus :


11/15


12/15


jadi s2 = 92/4 = 23

s = 4,796


Deviasi standar sampel didefinisikan sebagai akar positif dari variansi sampel, yaitu :

Contoh 3.12 :

Deviasi standar : s = 5,51

Variansi :

Cara lain dengan transformasi

dengan xl adalah sembarang harga titik tengah interval kelas

Sehingga:

Variansi = s2 = c2


13/15


Deviasi standar = s = c su

Contoh 3.13 :

maka : s2 = [166 - (-6)2/ 50] 149

= (166 - 0,72) / 49

= 165,28 / 49

= 3,373

sehingga s2 = 9 x 3,373

= 30,36

s = 5,51

Latihan 3

1. Nilai akhir dari 12 mahasiswa yang mengikuti ujian statistika adalah

Hitung Mean median dan Modus

2. Berikut ini adalah data nilai hasil ujian akhir Statistika 75 mahasiswa


14/15


Berdasarkan data tersebut

a) Buatlah distribusi frekuensinya.

b) Hitunglah ukuran tengah dan dispersi

c) Berapa persen mahasiswa yang nilainya lebih dari mean di kurangi deviasi

standar?

3. Tabel di bawah ini menunjukkan distribusi frekuensi umur (tahun) 65 orang karyawan

pada perusahaan ABC yang mempunyai titik tengah x, dan frekuensi f,.

a) Hitunglah mean, modus, median dan kuartil

b) Hitunglah deviasi standar.

c) Berapa persen karyawan yang umumya kurang dad median ?

d) Berapa persen karyawan yang umurnya di atas rata-rata?

e) Berapa persen karyawan yang umumya lebih dari modus ?

f) Berapa persen karyawan yang umumya kurang dari mean ditambah devasi

standar ?

4. Direktur rumah sakit X melakukan survay pada jumlah hail yang dihabiskan pasien di

rumah sakit tersebut. Hasilnya adalah

a) Berapakah rata-rata waktu yang dihabiskan pasien ?

b) Berapa persen pasien yang sembuh kurang dan rata-rata ?


15/15


5. Misalkan interval kelas median nilai ujian statistik adalah 45,5 - 57,5 dengan frekuensi

relatif 0,2. Diketahui harga median 50 dan mean 48.

a) Berapa persen nilai ujian yang di bawah rata-rata ?

b) Berapa persen nilai ujian yang di atas median ?

6. Misalkan titik interval kelas median nilai ujian statistik adalah 50 dengan frekuensi

relatif 0,15 dan lebar interval 11. Diketahui harga median 53, mean 47 dan modus 50.

Hitunglah berapa persen nilai

a) di bawah rata-rata ?

b) di atas modus ?

ukuran tengah dan dispersi.pdf

Documents