uji hipotesis

Tugas 1. Bentuk Kelompok dengan anggota 5 – 6 orang 2. Pelajari bahan kuliah uji hipotesis seperti pada lampiran3. Tugas mencari soal-soal uji hipotesis dari buku lain paling sedikit 5 (lima) soal, tuliskan buku

sumber dan selesaikan soal-soal tersebut (bukan soal-soal yang sudah diselesaikan)4. Kumpulkan hasil pekerjaan paling lambat hari kamis pagi (11.00) tanggal 17 Desember 20095. Terima kasih atas kerjasamanya

KONSEP DASAR UJI HIPOTESIS

Anda telah mempelajari tentang populasi, sampel berserta sifat-sifat sampel, dalam

pokok bahasan sebelumnya. Populasi mempunyai karakteristik yang disebut

parameter. Contoh parameter rata-rata populasi , variansi populasi 2. Sampel

mempunyai karakteristik yang disebut statistik. Contoh statistik: rata-rata sampel ,

variansi sampel S2. Dalam uji hipotesis yang diuji adalah hipotesis untuk parameter.

Akan dibicarakan uji hipotesis untuk rata-rata populasinya.

Uji hipotesis dapat merupakan:

1) Hal yang biasanya berlaku, akan diselidiki apakah metode mengajar baru dapat

menaikkan kemampuan anak (dalam hal ini diukur dengan IQ). Pada usia yang

diselidiki rata-rata IQ populasi adalah 100. Untuk dibuat hipotesis rata-rata IQ

populasi 100.

2) Hasil pengamatan statistika eksplorasi, misal dari dua angkatan yang dibandingkan

tampak mempunyai kesamaan. Dibuat angkatan baru yang elemen-elemennya

adalah elemen angkatan pertama dikurangi, elemen angkatan kedua (dalam urutan

yang sama tentu saja). adalah rata-rata populasi di mana angkatan baru berasal.

Dibuat hipotesis =0 yang berarti rata-rata populasi nol atau kedua angkatan

berasal dari populasi yang sama.

Harga yang dihipotesiskan disebut hipotesis nol disingkat H0, sedang alternatif, biasa

ditulis H1. Misal akan diuji hipotesis bahwa rata-rata populasi, adalah nol, ditulis

Metode Statistika Hidayah Ansori

1

1) H0 : = 0 dengan alternatif H1 : 0

Kejadian lain yang mungkin adalah

2) H0 : 0 dengan alternatif H1 : > 0

3) H0 : 0 dengan alternatif H1 : < 0

Harga yang dihipotesiskan dalam H1 merupakan alternatif (komplemen) dari harga

yang dihipotesiskan dalam H0. Perhatikan untuk nomor 2 dan 3 tanda = masuk H0.

Pengujian hipotesis dilakukan dengan menggunakan sampel yang dipunyai. Bila

sampel berbeda jauh dari hipotesis maka hipotesis ditolak. Bila tidak, maka hipotesis

tidak ditolak. Jadi kesimpulan terakhir dari suatu uji hipotesis adalah hipotesis ditolak

atau tidak ditolak.

Contoh

Ingin diketahui apakah metode mengajar baru menaikkan IQ. Untuk itu 100 anak

diambil secara random dari populasi berdistribusi normal dengan rata-rata IQ A = 100

dan standard deviasi = 14. Pemilihan secara random untuk mendapatkan sampel

yang betul-betul mewakili populasinya. Ke-100 anak ini diberi pelajaran dengan

metode baru, dan selanjutnya diuji untuk mengetahui IQ-nya.

Gambar : IQ seluruh anak

Hipotesis dapat dituliskan

H0 : 100

H1 : > 100

(diambil > 100 untuk H1 karena ingin diketahui

apakah metode baru menghasilkan IQ lebih tinggi).

Distribusi dari rata-rata sampel (untuk semua sampel yang mungkin mempunyai

rata-rata = 100 dan = = = 1,4

(Dianggap n jauh lebih kecil dari N). Distribusi sampel rata-rata ini diberikan dalam

gambar 2.

Gambar 2: Distribusi rata-rata sampel


2

IQ rendah IQ rendah = 100 = 14

Dengan metode baru ke-100, anak tersebut

mempunyai rata-rata = 107.

Rata-rata sampel ini berada 7 satuan dari

rata-rata-populasi atau 5 standart populasi deviasi (5

) dari rata-rata populasi. Jadi merupakan anggota tidak biasa (atau jauh dari harga

yang dihipotesiskan). Di muka telah dikatakan bahwa bila sampel jauh dari populasi,

hipotesa ditolak. Kesimpulan dalan hal ini H0 ditolak, berarti metode baru

memberikan IQ lebih tinggi.

Kesalahan dalam Uji hipotesis

Dalam mengambil kesimpulan untuk suatu uji hipotesis mungkin dilakukan

kesalahan. Kesalahan ini ada 2 macam yaitu:

1) Kesalalahan tipe I: Kesalahan dalam menolak hipotesis (H0) bila hipotesis benar.

2) Kesalahan tipe II: Kesalahan dalam menerima hipotesis (H0 ) bila hipotesis salah.

Kemungkinan pengambilan kesimpulan (keputusan) disajikan dalam tabel

Tabel 1: Kemungkinan keputusan pergujian

Keputusan untuk H0

Keadaan sesungguhnya untuk H0

Diterima ditolakBenar Keputusan tepat Kesalahan tipe ISalah Kesalahan Tipe II Keputusan tepat

Kesalahan tipe I lebih serius daripada kesalahan tipe II. Hal ini dapat diterangkan

dengan kemungkinan keputusan pengadilan yang merupakan analogi dari keputusan

pengujian hipotesis.

Tabel 2: Kemungkinan Keputusan Pengadilan

Keputusan untuk H0

Tidak bersalah bersalahKeadaan sesungguhnya

Tidak bersalah Adil Kesalahan tipe IBersalah Kesalahan Tipe II Adil

Bila keputusan pengadilan dan keadaan sesungguhnya sesuai maka hal ini berarti

bahwa proses pengambilan keputusan tepat. Bila pengadilan memutuskan seseorang


3

=100 = 14

Rata-rata sampel

bersalah, ada kemungkinan dia sesungguhnya tidak bersalah. Bila pengadilan

memutuskan seseorang tidak bersalah, ada kemungkinan dia sesungguhnya bersalah.

Jadi tak ada putusan yang bebas dari kesalahan, selalu ada risiko dalam mengambil

keputusan.

Tampak bahwa lebih berat, bila seseorang diputuskan bersalah bila sesungguhnya

tidak bersalah daripada memutuskan seseorang tidak bersalah bila sesungguhnya ia

bersalah.

Jadi kesalahan tipe I lebih serius daripada kesalahan tipe II.

Probabilitas melakukan kesalahan tipe I =

Probabilitas melakukan kesalahan tipe II =

1 - adalah kuasa dari uji yaitu kuasa menolak hipotesis bila hipotesis salah.

Karena kesalahan tipe I lebih serius daripada kesalahan tipe II maka dibatasi besarnya

sedang dibuat seminimal mungkin. Dengan kata lain 1 - dibuat semaksimal

mungkin, yang juga berarti bahwa uji hipotesis baik bila kuasanya besar. Hal ini

dapat dilakukan dengan memperbesar sampel.

Langkah utama dalam pengujian hipotesis adalah:

Menentukan hipotesis nol H0.

Mentukan hipotesis alternatif H1

H1 bisa dua arah atau satu arah.

Menentukan statistik yang akan digunakan

Menghitung statistik untuk sampel yang dipunyai

Memutuskan apakah menolak atau menerima H0

Uji Hipotesis Rata-rata Populasi () Satu Angkatan

a. H0 : = o (o suatu harga yang dihipotesiskan)

H1 : o

Bila ingin diketahui apakah o

b. H0 : o (o suatu harga yang dihipotesiskan)

H1 : > o

Bila ingin diketahui apakah > o


4

c. H0 : o (o suatu harga yang dihipotesiskan)

H1 : < o

Bila ingin diketahui apakah < o

Uji Hipotesis rata-rata populasi () untuk perbandingan dua angkatan

Dihitung observasi angkatan 1 dikurangi observasi angkatan 2, yang

membentuk angkatan baru = angkatan 1 – angkatan 2. Angkatan baru ini merupakan

populasi rata-rata . Jika populasi dari mana angkatan 1 diambil sama dengan

populasi dari mana angkatan 2 diambil, maka = 0.

Oleh sebab itu hipotesis menjadi:

a. H0 : = 0 yang berarti populasi 1 = populasi 2 dengan alternatif

H1 : 0 yang berarti dua populasi tidak sama

b. H0 : 0

H1 : > 0

Bila ingin diketahui apakah populasi 1 lebih tinggi dari pada popuilasi 2

c. H0 : 0

H1 : < 0

Bila ingin diketahui apakah populasi 1 lebih rendah dari pada populasi 2

Berdasarkan besarnya sampel (n) dan diketahui atau tidaknya variansi populasi. Uji

hipotesis untuk mean populasi dibagi menjadi 4 yaitu:

(1) n besar, variansi populasi 2 diketahui

(2) n besar, variansi populasi 2 tidak diketahui

(3) n kecil, variansi populasi 2 diketahui

(4) n kecil, variansi populasi 2 tidak diketahui

Sebaiknya, dalam melakukan uji hipotesis kelima langkah di bawah ini dengan urutan

yang persis sama.

(1) n besar 2 diketahui

Dalam hal-ini dipakai distribusi z (normal standard). Langkah uji hipotesis adalah:

Menentukan H0 dan H1

a. H0 : = 0 (untuk 0 = 0 sehingga H0 : = 0)


5

H1 : 0 uji hipotesis 2 sisi

b. H0 : 0

H1 : > 0 uji hipotesis 1 sisi

c. H0 : 0

H1 : < 0

1) Menentukan yang disebut juga tingkat signifikansi. (Ingat adalah probabilitas

membuat kesalahan tipe I yaitu menolak H0 bila H0 benar). Mencari Z untuk uji

hipotesis 1 sisi atau untuk uji hipotesis 2 sisi.

2) Menentukan daerah kritis atau daerah penolakan, artinya bila Zhitung masuk daerah

ini H0 ditolak.

3) Untuk hipotesis alternatif:

a. daerah kritisnya Z > atau Z < -

b. daerah kritisnya Z >

c. daerah kritisnya Z <

4) Menghitung Z hitung dengan rumus

Zhitung =

di mana:

= rata-rata sampel

0 = harga yang dihipotesiskan untuk n

= standard deviasi populasi

n = ukuran sampel

Selanjutnya supaya lebih singkat Z hitung ditulis dengan Z saja.

5) Menarik kesimpulan

Bila Z masuk daerah penolakan maka H0 ditolak.

Bila Z tidak masuk daerah penolakan maka H0 tidak ditolak.

Contoh . 1

Ingin diketahui apakah metode mengajar baru menaikkan IQ anak. Untuk itu diambil


6

sampel sebanyak 100 anak dari populasi normal yang mempunyai rata-rata IQ ()

100 dan = 14. Dari sampel didapat rata-rata ( ) = 107.

1) Langkah-langkah uji hipotesis adalah:

H0 : 100

H1 : > 100

2) = 0,05, karena n besar dan diketahui dipakai distribusi Z. Karena uji hipotesis

adalah 1 sisi dicari Z = Z0,05 = 1,645.

3) Daerah penolakan: Z > 1,645

4) Menghitung Zhitung dengan rumus

Zhitung = = = 5

5) Z = 5 > 1,645

Berarti Z masuk daerah penolakan. Jadi H0 ditolak atau dapat diambil kesimpulan

bahwa metode mengajat baru dapat menaikan IQ.

(2) n besar, 2 tidak diketahui

Semua langkah sama dengan nomor (1), hanya diganti dengan S yaitu di mana

S2 adalah variansi sampel.


a. H0 : = 0 H1 : 0

b. H0 : 0 H1 : > 0

c. H0 : 0 H1 : < 0

2) Dipakai distribusi Z,

Menentukan ,

Mencari Z untuk uji hipotesis 1 sisi atau Z/2 untuk uji hipotesis 2 sisi

3) Menentukan daerah kritis

Untuk hipotesis alternatif

a. daerah kritisnya Z > Z/2 atau Z > -Z/2

b. daerah kritisnya Z > Z


7

c. daerah kritisnya Z < Z

4) Menghitung Z hitung derigan rumus

Zhitung =

5) Menarik kesimpulan

Contoh 2

Misal untuk contoh 1, tidak diketahui, maka sebagai gantinya dihitung S dari

sampel dan telah diketahui S = 20.

Langkah 1, 2, 3, sama dengan contoh 1.

4) Z = = = 3,5

5) Z = 3,5 > 1,645

Maka H0 ditolak, Jadi kesimpulan sama dengan kesimpulan dalam contoh 1.

(3) n kecil, 2 diketahui

Dipakai distribusi Z, sehingga langkah-langkahnya sama dengan nomor 1, yaitu:


a. H0 : = 0

H1 : 0

b. H0 : 0

H1 : > 0

c. H0 : 0

H1 : < 0

2) Dipakai distribusi Z,

Menentukan , Mencari Z untuk uji hipotesis 1 sisi atau Z/2 untuk uji hipotesis

2 sisi


Untuk hipotesis alternatif

a. daerah kritisnya Z > Z/2 atau Z < -Z/2


8

b. daerah kritisnya Z > Z

c. daerah kritisnya Z < -Z

4) Menghitung Z hitung dengan rumus

Zhitung =

5) Mengambil kesimpulan

Contoh 3

Suatu populasi normal yang mempunyai variansi 2 = 4, diambil sampel (n=10) yang

ternyata mempunyai = 9,5. Dengan = 0,05 dapat diterima hipotesis bahwa = 10.

1) H0 : = 10 dan H1 : 10

2) n kecil, diketahui, dipakai distribusi Z.

Uji hipotesis 2 sisi : = 0,05 diperoleh Z/2 = Z0,025 = 1,96

3) Daerah kritis:

Z > 1,96 atau Z < -1,96.

4) Z = = = -1

5) Z = -1 -1,96 < Z < 1,96

Jadi H0 tidak ditolak.

(4) n kecil, 2 tak diketahui

Dipakai distribusi t, sehingga dengan derajat n-1, yaitu:


a. H0 : = 0

H1 : 0

b. H0 : 0

H1 : > 0

c. H0 : 0

H1 : < 0

2) Dipakai distribusi t dengan derajat bebas n-1.

Untuk uji hipotesis satu sisi dicari t : n-1


9

Untuk uji hipotesis dua sisi dicari t/2 : n-1


a. t > t/2; n-1 atau t < - t/2, n-1

b. t > t; n-1

c. t > -t; n-1

4) Menghitung Zhitung dengan rumus

Zhitung =

5) Mengambil kesimpulan

Contoh 4

Contoh 3 tapi 2 tidak diketahui dan dari sampel didapat S = 9. {dengan rumus S2 =

1) H0 : = 10

H1 : 10

2) n kecil, tidak diketahui, dipakai distribusi t. Uji hipotesis 2 sisi : = 0,05

t/2 : n-1 = t0,25:12 = 2,131

3) Daerah kritis:

t > 2,131 atau t < -2,131.

4) t = = = -0,66

5) t = -0,66 -2,131 < t < 2,131

Jadi H0 tidak ditolak.

Soal-soal Laihan

Dari suatu populasi dengan variansi 4, ingin diuji apakah = 15. Untuk itu diambil

sampel berukuran 64. Dari sampel didapat rata-rata 10. Dapatkah hipotesis diterima

dengan = 0,05


10

Ingin diketahui apakah metode mengajar baru menaikkan IQ anak. Untuk itu diambil

sampel sebanyak 100 anak dari populasi normal yang mempunyai rata-rata IQ ()

100 dan S2 = 49. Dari sampel didapat rata-rata ( ) = 107. bila populasi variansi tak

diketahui


11

uji hipotesis

Documents