PENGANTAR TEORI MODULRING FAKTOR DAN IDEAL MAKSIMAL

KELOMPOK 2ANA FADHILAH 1208100705HAMIMAH TURROHMAH 1207100066

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMINSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER2011KATA PENGANTARPuji syukur Alahmdulillah kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayahNya kepada kita semua hingga akhirnya kami dapat menyelesaikan makalah ini. Tak lupa pula sholawat serta salam semoga tetap tercurahkan keharibaan junjungan kita Nabi Agung Muhammad SAW yang telah menunjukkan kita kejalan kebenaran yakni agama Islam.Ucapan terima kasih tak lupa kami sampaikan kepada Bapak/Ibu dosen pengajar mata kuliah Pengantar Teori Modul yang telah membimbing kami dalam mempelajari mata kuliah tersebut,serta segenap pihak yang ikut membantu.

PENDAHULUANDalam makalah ini dibahas tentang Ring Faktor dan Ideal Maksimal, dimana sebelumnya juga dijelaskan sedikit ulasan tentang Ring dan Ideal. Yang meliputi definisi dan sifat-sifat Ring dan Ideal.Definisi Ring sendiri adalah: R Ring adalah himpunan tak kosong dengan dua operasi penjumlahan dan perkalian yang memenuhi:a. R Grup abel terhadap penjumlahan b. Assosiatif terhadap perkalianc. Distributif perkalian terhadap penjumlahanSedangkan definisi Ring Faktor: jika adalah suatu Ring dan adalah suatu Ideal dari ,dengan dua operasi penjumlahan dan perkalian maka dikatakan suatu Ring Faktor jika memenuhi:1. adalah suatu Grup Komutatif2. adalah suatu Semigrup3. adalah distributif perkalian terhadap penjumlahanAdapun pengertian Ideal sendiri adalah: Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan . Himpunan I disebut ideal pada R jika dan hanya jika I memenuhi ketiga aksioma berikut:(i). I { } (ii). a bI , a,bI(iii). ar = raI , aI , rR .Ideal I disebut ideal trivial jika I = {0} dan disebut ideal sejati jika I R Ideal MaksimalDan Ideal Maksimal adalah Pandang suatu Ring R. K adalah suatu Ideal Maksimal pada R jika K R, dan jika tidak ada Ideal J yang terletak di antara K dan R; yakni, jika K J R, maka K =J atau J = R.

PEMBAHASAN1.1 RING 1.1.1 Definisi Ring Misalkan R adalah suatu himpunan tak kosong dengan dua operasi biner yaitu operasi penjumlahan (+) dan perkalian (). Maka R adalah Ring atau Gelanggang jika aksioma berikut terpenuhi:[R1]Tertutup terhadap penjumlahanUntuk setiap a,b R, berlaku a + b R[R2]Assosiatif terhadap penjumlahan di RUntuk sembarang berlaku[R3]Terdapat sebuah elemen , disebut elemen nol sedemikian hinggaUntuk setiap aR, berlaku [R4]Untuk setiap terdapat sebuah elemen sehingga[R5]Komutatif terhadap penjumlahanUntuk sebarang berlaku[R6]Tertutup terhadap perkalianUntuk setiap a,b R, berlaku a b R[R7]Untuk sebarang berlaku[R8]Untuk sebarang berlakui. ii. Atau dengan kata lain R dikatakan Ring jika memenuhi:i. R Grup abel terhadap penjumlahan ii. iii. Adapun pengurangan didefinisikan pada suatu Ring R adalah:a - b = a + (-b)1.1.2 Sifat-sifat Ring1. Pada suatu Ring R berlaku bahwaa * 0 = 0 * a = 0BuktiKarena 0 = 0 + 0 , kita mempunyai a * 0 = a * (0 + 0) = a * 0 + a * 0Kedua ruas ditambahkan (a * 0) , sehingga dihasilkan : 0 = a * 0 a * 0 = 02. Pada sembarang Ring R, elemen negative adalah unik Diberikan suatu elemen a, pandang elemen x yang bersifat bahwa a + x = 0, yang secara otomatis juga bersifat x + a = 0. Kita mempunyaia = -a + 0 = -a + (a + x) = (-a + a) + x = 0 + x = x3. Pada sebarang Ring R berlakua * (-b) = (-a) * b = -(a * b)4. Sebuah Ring yang operasi perkaliannya bersifat komutatif disebut Ring komutatif5. Sebuah Ring R yang memuat identitas perkalian 1, sedemikian hingga 1a = a1 = a, a R, disebut Ring dengan unity. Identitas perkalian dalam suatu Ring disebut unity.Contoh Ring:Bilangan bulat Z adalah Ring terhadap penjumlahan dan perkalian.

1.2 Ring Faktor1.2.1 Definisi Ring FaktorMisalkan adalah suatu Ring dan adalah suatu ideal dari R . Suatu Ring dikatakan Ring Faktor atau Ring Kuosien jika adalah Ring dengan dan .Akan dibuktikan bahwa dengan dua operasi biner yaitu penjumlahan (+) dan perkalian akan membentuk suatu Ring dengan memperhatikan syarat suatu struktur Aljabar yaitu:a. Tertutup terhadap penjumlahan di Misal Maka:Untuk setiap Berlaku dimana Sehingga tertutup terhadap penjumlahan di b. Assosiatif terhadap penjumlahan di Missal Maka Sehingga : Untuk setiap c. Punya invers terhadap penjumlahan di Misal Maka Sehinga : d. Ada elemen identitas terhadap penjumlahan di Missal Maka Sehingga:Untuk setiap e. Komutatif terhadap penjumlahan di Misalkan Maka Sehingga :Untuk setiap f. Tertutup terhadap perkalian di Misal Maka:Untuk setiap Berlaku dimana Sehingga tertutup terhadap perkalian di g. Assosiatif terhadap perkalian di Missal Maka Sehingga : Untuk setiap h. Ada elemen identitas terhadap perkalian di Missal Maka Sehingga:Untuk setiap i. Distributive terhadap perkalian dan penjumlahan di Misalkan Maka Sehingga :Untuk setiap

Dengan kata lain jika adalah suatu Ring dan adalah suatu Ideal dari , maka dikatakan suatu Ring Faktor jika memenuhi:4. adalah suatu Grup Komutatif5. adalah suatu Semigrup6. adalah distributif perkalian terhadap penjumlahan

ContohMisal adalah Ideal yang dibangun oleh 2 di Tunjukkan bahwa Penyelesaian Ada dua Ideal dari Ring

Sehingga Table

Terhadap penjumlahan Terhadap perkalian1. Tertutup terhadap penjumlahan di Untuk setiap Berlaku Sehingga,2. Assosiatif terhadap penjumlahan di Untuk setiap

Sehingga

3. Punya invers terhadap penjumlahan di Untuk setiap

Sehingga 4. Ada elemen identitas terhadap penjumlaha di Untuk setiap

Sehingga 5. Komutatif terhadap penjumlahanUntuk setiap

Sehingga 6. Tertutup terhadap perkalian di untuk setiap

Sehingga 7. Assosiatif terhadap perkalian di Untuk setiap

Sehingga 8. Ada elemen identitas di Untuk setiap

Sehingga 9. Distributif perkalian terhadap penjumlahan di Untuk setiap Misal

Sehingga Jadi terbukti bahwa merupakan suatu Ring Faktor

Dari table juga bisa diketahui bahwa adalah suatu Ring Faktor, karena hasil perkalian dan penjumlahan dari unsur-unsur dari menhasilkan unsur-unsur itu sendiri.

1.3 IDEAL MAKSIMAL1.3.1 Definisi IdealIdeal merupakan subring dari R yang memiliki sifat-sifat khusus. Definisi : Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan . Himpunan I disebut ideal pada R jika dan hanya jika I memenuhi ketiga aksioma berikut:(i). I , I adalah subgroup terhadap penjumlahan untk R(ii). a bI , a,bI(iii). ar = raI , aI , rR .Jika memenuhi syarat ke (i) dan arI disebut ideal kiri. Sedangkan jika raI disebut ideal kanan.Contoh :Akan kita tunjukkan bahwa {OJadalah suatu Ideal pada sembarang Ring R.Mengikuti kenyataan bahwa 0-0 =0 termasuk {O}, dan untuk sembarang r e R,r*O = O*r = 0 termasuk {O}, maka jelas {O} adalah Ideal.

1.3.2 Jenis Jenis Ideal a. Ideal UtamaDiketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan I ideal pada R. Ideal I disebut ideal utama (principal ideal) jika dan hanya jika I dibangun oleh tepat satu elemen pada R, yaitu I = a untuk suatu aR .

b. Daerah Ideal Utama

Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan. Ring R disebut daerah ideal utama (principal ideal domain) jika dan hanya jika R daerah integral dan setiap ideal pada R merupakan ideal utama..

c. Ideal Prima

Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan I ideal pada R. Ideal I disebutideal prima (prime ideal) jika dan hanya jika I ideal sejati dan untuk setiap a,bRdengan abI dan aI berakibat bI .

d. Ideal Maksimal

1. Definisi Pandang suatu Ring R. K adalah suatu Ideal Maksimal pada R jika K R, dan jika tidak ada Ideal J yang terletak di antara K dan R; yakni, jika K J R, maka K =J atau J = R.Sifat Ideal Maksimal:Pandang K adalah suatu Ideal Maksimal pada suatu Ring komutatif R dengan elemen identitas 1. Ring Faktor R/K adalah suatu lapangan.BuktiKarena K R , kita mempunyai 1. ( Terlihat pada sifat ideal ). Koset 1 + K adalah elemen Unitas untuk R/K, ( terlihat pada sifat Ring Faktor yang menunjukan sifat komutatif). Yang tinggal adalah sembarang Koset selain dari K mempunyai suatu invers multiplikatif pada R/K.Pandang a + K K. Karenanya a K. Misalkan :J = {ra + sk: r,s R, k K}Karenanya J adalah suatu Ideal berisi a dan K. karena a K, kita mempunyai K J. Karena K adalah maximal, J =R. Karena itu 1 J.Karenanya ada ro ,So R dan ko K sedemikian sehingga 1 =roa + soko. Karenanya, 1 + K =roa + soko+ K =roa + K = (ro + K)(a + K)Karenanya ro + K adalah kebalikan multiplikatif dari a + K. Karena itu R/K adalah suatu lapangan.