tugas metode numerik pendidikan matematika umt

1. Algoritma Biseksi 2. Metode Biseksi 3. Menggunakan Tabel 4.Metode Analitik 5. Kesimpulan

Nur Aliyah13842020436A1 Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Matematika Univesitas Muhammadiyah Tangerang

METODE NUMERIK BISEKSI



Nur Aliyah1384202043

6A1Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Matematika

Univesitas Muhammadiyah Tangerang

March 11, 2016




Algoritma Biseksi

1 Tentukan a1, b1, dan δ

2 Tentukan n terkecil yang memenuhi(1

2

)n

≤ ∂2

L

3 Penentuan λk adalah sebagai berikut:

λk =ak + bk

2

4 Tentukan kondisi yang akan digunakan

Kondisi 1: Jika f′(λk) > 0, λk = bk+1dan ak = ak+1

Kondisi 2: Jika f′(λk) < 0, λk = ak+1 dan bk = bk+1

5 Iterasi berhenti ketika bk − ak < ∂2




Tugas UTS

carilah nilai x yang meminimumkan

f(x) = 4x2 − 8x

dengan δ = 0.4 dan selang{−3 + 0,

∑nim

}≤ x ≤

{3− 0,

∑nim

}{−3 + 0, 27} ≤ x ≤ {−3− 0, 27}

−2, 73 ≤ x ≤ 2, 73




Jawaban

meminimalkanf(x) = 4x2 − 8x

dengan δ = 0, 4 pada selang

−2, 73 6 0 6 2, 73




Metode Numerik Biseksii

Dicari nilai n terkecil(1

2

)n

≤ 0, 16

2, 73− (−2, 73)=

0, 16

5, 46= 0, 029

maka nilai n = 6

Karena (1

2

)6

=1

64≤ 0, 029 =

∂2

l




Iterasi 1

λ1 =a1 + b1

2=−2, 73 + 2, 73

2=

0

2= 0

Subtitusikan λ1 pada persamaan

f ′ (λ) = 8λ− 8

Sehinggaf ′(λ) = 8λ− 8 = 8(0)− 8 = −8




Lanjutan Iterasi 1

karenaf ′ (λ1) = −8

f ′(λ1) < 0

Maka kita dapat menggunakan kondisi 1

λ1 = a2 = 0

danb1 = b2 = 2, 73

Untuk iterasi 2




Iterasi 2

λ2 =a2 + b2

2=

0 + 2, 73

2=

2, 73

2= 1, 365


f ′ (λ) = 8λ− 8

Sehingga

f ′(λ2) = 8λ− 8 = 8(1, 365)− 8 = 2, 92




Lanjutan Iterasi 2

karenaf ′ (λ2) = 2, 92⇒ f ′ (λ2) > 0

Maka akan digunakan kondisi 1 dimana

λ2 = b3 = 1, 365

dana2 = a3 = 0

Untuk iterasi 3




Iterasi 3

λ3 =a3 + b3

2=

0 + 1, 365

2=

1, 365

2= 0, 6825


f ′(λ3) = 8x− 8

Sehingga

f ′(λ3) = 8λ− 8 = 8(0, 6825)− 8 = −2, 54




Lanjutan Iterasi 3

karenaf ′ (λ3) = −2, 54⇒ f ′ (λ3) < 0

maka akan digunakan kondisi 2 dimana

λ3 = a4 = 0, 6825

danb3 = b4 = 1, 365

Untuk iterasi 4




Iterasi 4

λ4 =a4 + b4

2=

0, 683 + 1, 365

2=

2, 048

2= 1, 02375


f ′(λ4) = 8x− 8

Sehingga

f ′(λ4) = 8λ− 8 = 8(1, 02375)− 8 = 0, 19




Lanjutan Iterasi 4

karenaf ′ (λ4) = 0, 19⇒ f ′ (λ4) > 0


λ4 = b5 = 1, 02375

dana4 = a5 = 0, 6825

Untuk iterasi 5




Iterasi 5

λ5 =a5 + b5

2=

0, 6825 + 1, 02375

2=

1, 70625

2= 0, 853125


f ′(λ5) = 8x− 8

Sehingga

f ′(λ4) = 8λ− 8 = 8(0, 853125)− 8 = −1, 175




Lanjutan Iterasi 5

karenaf ′ (λ5) = −1, 175⇒ f ′ (λ5) < 0


λ5 = a6 = 0, 853125

danb5 = b6 = 1, 02375

Untuk iterasi 6




Iterasi 6

λ6 =a6 + b6

2=

0, 853125 + 1, 02375

2=

1, 876875

2= 0, 9384375


f ′(λ6) = 8λ− 8

Sehingga

f ′(λ4) = 8λ− 8 = 8(0, 9384375)− 8 = −0, 4925




Lanjutan Iterasi 6

karenaf ′ (λ6) = −0, 4925⇒ f ′ (λ6) < 0


λ6 = a7 = 0, 9384375

danb5 = b6 = 1, 02375

Untuk iterasi 7




Iterasi 7

λ7 =a7 + b7

2=

0, 9384375 + 1, 02375

2=

1, 9621875

2= 0, 98109375


f ′(λ6) = 8λ− 8

Sehingga

f ′(λ4) = 8λ− 8 = 8(0, 98109375)− 8 = −0, 15125




Menggunakan Tabel Biseksi

Dengan konsep algoritma Biseksi yang telah dijelaskan di atas,maka perhitungan disajikan dalam tabel dibawah ini

Iterasi ak bk λk f ′(λk) bk-ak1 -2,73 2,73 0 -8 5,462 0 2,73 1,365 2,92 2,733 0 1,365 0,6825 -2,54 1,3654 0,6825 1,365 1,02375 0,19 0,68255 0,6825 1,02375 0,853125 -1,175 0,341256 0,853125 1,02375 0,9384375 -0,4925 0,1706257 0,9384375 1,02375 0,98109375 -0,15125 0,0853125




Metode Analitik

Dengan cara analitik, diperoleh nilai x yangmemaksimalkan f(x) adalah x = 1

Estimasi

Sehingga diperoleh

X∗ = ak +bk − ak

2= 0, 9384375 +

1, 02375− 0, 9384375

2

= 0, 98109375

Makax∗ = 0, 98109375 ≈ 1




Kesimpulan

Dengan menggunakan Metode Analitik ataupun MetodeBiseksi menghasilkan x = 1, maka dari itu dapatdisimpulkan bahwa x = 1 merupakan pembuat minimumfungsi

f(x) = 4x2 − 8x



tugas metode numerik pendidikan matematika umt

Science