tugas metode numerik pendidikan matematika umt

TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIKBISEKSI

Oleh : Rizka Apriyanti

March 7, 2016

Oleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

Soal :

Carilah nilai x yang meminimalkan suatu fungsi f (x) = x2 − 2xdengan δ = 0, 1 pada selang −3 ≤ x ≤ 6 dengan metode numerikBiseksi

Jawab:Solusi dari persoalan optimisasi ini adalah x = −1

fungsi : f (x) = 4x3 − 3x4

δ : toleransi kesalahanδ= 0.1 maka 2δ= 0.2

Selang (interval): −3 ≤ x ≤ 6

panjang selang : b − a = 6− (−3) = 9

menentukan nilai n terkecil yang memenuhi(1

2

)n

≤ 2δ

L

1

2x1

9=

1

45


Soal :


Jawab:

Solusi dari persoalan optimisasi ini adalah x = −1

fungsi : f (x) = 4x3 − 3x4





2

)n

≤ 2δ

L

1

2x1

9=

1

45


Soal :


Jawab:Solusi dari persoalan optimisasi ini adalah x = −1

fungsi : f (x) = 4x3 − 3x4





2

)n

≤ 2δ

L

1

2x1

9=

1

45


Jawab :

Diambil n = 5 maka (1

2

)5

≤ 2δ

L(1

32

)≤ 1

45

=> pernyataan diatas salahDiambil n = 6 maka (

1

2

)6

≤ 2δ

L(1

64

)≤ 1

45

=> pernyataan diatas benarmaka didapat n = 6


Jawab :


2

)5

≤ 2δ

L(1

32

)≤ 1

45

=> pernyataan diatas salah


2

)6

≤ 2δ

L(1

64

)≤ 1

45



Jawab :


2

)5

≤ 2δ

L(1

32

)≤ 1

45


1

2

)6

≤ 2δ

L(1

64

)≤ 1

45

=> pernyataan diatas benar

maka didapat n = 6


Jawab :


2

)5

≤ 2δ

L(1

32

)≤ 1

45


1

2

)6

≤ 2δ

L(1

64

)≤ 1

45



Jawab :

menentukan nilaiakdanbk

Kondisi 1: Jika f′(λk) > 0, λk = bk+1dan ak = ak+1

Kondisi 2: Jika f′(λk) < 0, λk = ak+1 dan bk = bk+1


Iterasi 1 :

a1 = −3

b1 = 6

λ1 =a1 + b1

2=

−3 + 6

2=

3

2= 1, 5

f ′λ1 = 2λ1 + 2 = 2(1, 5) + 2 = 3 + 2 = 5

karenaf ′λ1 > 0

maka diambil kondisi 1 dimana λ1 = b2 = 1, 5 dana1 = a2 = −3dan karena

b1 − a1 = 9 > 2δ

maka iterasi dilanjutkan


Iterasi 1 :

a1 = −3

b1 = 6

λ1 =a1 + b1

2=

−3 + 6

2=

3

2= 1, 5

f ′λ1 = 2λ1 + 2 = 2(1, 5) + 2 = 3 + 2 = 5

karenaf ′λ1 > 0

maka diambil kondisi 1 dimana λ1 = b2 = 1, 5 dana1 = a2 = −3

dan karenab1 − a1 = 9 > 2δ



Iterasi 1 :

a1 = −3

b1 = 6

λ1 =a1 + b1

2=

−3 + 6

2=

3

2= 1, 5

f ′λ1 = 2λ1 + 2 = 2(1, 5) + 2 = 3 + 2 = 5

karenaf ′λ1 > 0

maka diambil kondisi 1 dimana λ1 = b2 = 1, 5 dana1 = a2 = −3dan karena

b1 − a1 = 9 > 2δ

maka iterasi dilanjutkanOleh : Rizka Apriyanti TUGAS KEAKTIFAN METODE NUMERIK BISEKSI

Iterasi 2 :

a2 = −3

b2 = 1, 5

λ2 =a2 + b2

2=

−3 + 1, 5

2=

−1, 5

2= −0, 75

f ′λ2 = 2λ2 + 2 = 2(−0.75) + 2 = −1, 5 + 2 = 0, 5

karenaf ′λ2 > 0

maka diambil kondisi 1 dimana λ2 = b3 = −0, 75 dana2 = a3 = −3dan karena

b2 − a2 = 4, 5 > 2δ



Iterasi 2 :

a2 = −3

b2 = 1, 5

λ2 =a2 + b2

2=

−3 + 1, 5

2=

−1, 5

2= −0, 75

f ′λ2 = 2λ2 + 2 = 2(−0.75) + 2 = −1, 5 + 2 = 0, 5

karenaf ′λ2 > 0

maka diambil kondisi 1 dimana λ2 = b3 = −0, 75 dana2 = a3 = −3

dan karenab2 − a2 = 4, 5 > 2δ



Iterasi 2 :

a2 = −3

b2 = 1, 5

λ2 =a2 + b2

2=

−3 + 1, 5

2=

−1, 5

2= −0, 75

f ′λ2 = 2λ2 + 2 = 2(−0.75) + 2 = −1, 5 + 2 = 0, 5

karenaf ′λ2 > 0

maka diambil kondisi 1 dimana λ2 = b3 = −0, 75 dana2 = a3 = −3dan karena

b2 − a2 = 4, 5 > 2δ


Iterasi 3 :

a3 = −3

b3 = −0.75

λ3 =a3 + b3

2=

−3 +−0.75

2=

−3.75

2= −1, 875

f ′λ3 = 2λ3 + 2 = 2(−1, 875) + 2 = −3, 75 + 2 = −1, 75

karenaf ′λ3 < 0

maka diambil kondisi 2 dimana λ3 = a4 = −1, 875 danb3 = b4 = −0, 75dan karena

b3 − a3 = 2, 25 > 2δ



Iterasi 3 :

a3 = −3

b3 = −0.75

λ3 =a3 + b3

2=

−3 +−0.75

2=

−3.75

2= −1, 875

f ′λ3 = 2λ3 + 2 = 2(−1, 875) + 2 = −3, 75 + 2 = −1, 75

karenaf ′λ3 < 0

maka diambil kondisi 2 dimana λ3 = a4 = −1, 875 danb3 = b4 = −0, 75

dan karenab3 − a3 = 2, 25 > 2δ



Iterasi 3 :

a3 = −3

b3 = −0.75

λ3 =a3 + b3

2=

−3 +−0.75

2=

−3.75

2= −1, 875

f ′λ3 = 2λ3 + 2 = 2(−1, 875) + 2 = −3, 75 + 2 = −1, 75

karenaf ′λ3 < 0


b3 − a3 = 2, 25 > 2δ


Iterasi 4 :

a4 = −1, 875

b4 = −0, 75

λ4 =a4 + b4

2=

−1, 875 +−0, 75

2=

−2, 625

2= −1, 3125

f ′λ4 = 2λ4 + 2 = 2(−1, 3125) + 2 = −2, 625 + 2 = −0, 625

karenaf ′λ4 < 0


b4 − a4 = 1, 125 > 2δ



Iterasi 4 :

a4 = −1, 875

b4 = −0, 75

λ4 =a4 + b4

2=

−1, 875 +−0, 75

2=

−2, 625

2= −1, 3125

f ′λ4 = 2λ4 + 2 = 2(−1, 3125) + 2 = −2, 625 + 2 = −0, 625

karenaf ′λ4 < 0


dan karenab4 − a4 = 1, 125 > 2δ



Iterasi 4 :

a4 = −1, 875

b4 = −0, 75

λ4 =a4 + b4

2=

−1, 875 +−0, 75

2=

−2, 625

2= −1, 3125

f ′λ4 = 2λ4 + 2 = 2(−1, 3125) + 2 = −2, 625 + 2 = −0, 625

karenaf ′λ4 < 0


b4 − a4 = 1, 125 > 2δ


Iterasi 5 :

a5 = −1, 3125

b5 = −0, 75

λ5 =a5 + b5

2=

−1, 3125 +−0, 75

2=

−2, 0625

2= −1, 0312

f ′λ5 = 2λ5 + 2 = 2(−1, 0312) + 2 = −2, 0624 + 2 = −0, 0624

karenaf ′λ5 < 0


b5 − a5 = 0, 5625 > 2δ



Iterasi 5 :

a5 = −1, 3125

b5 = −0, 75

λ5 =a5 + b5

2=

−1, 3125 +−0, 75

2=

−2, 0625

2= −1, 0312

f ′λ5 = 2λ5 + 2 = 2(−1, 0312) + 2 = −2, 0624 + 2 = −0, 0624

karenaf ′λ5 < 0


dan karenab5 − a5 = 0, 5625 > 2δ



Iterasi 5 :

a5 = −1, 3125

b5 = −0, 75

λ5 =a5 + b5

2=

−1, 3125 +−0, 75

2=

−2, 0625

2= −1, 0312

f ′λ5 = 2λ5 + 2 = 2(−1, 0312) + 2 = −2, 0624 + 2 = −0, 0624

karenaf ′λ5 < 0


b5 − a5 = 0, 5625 > 2δ


Iterasi 6 :

a6 = −1, 0312

b6 = −0, 75

λ6 =a6 + b6

2=

−1, 0312 +−0, 75

2=

−1, 7812

2= −0, 8906

f ′λ6 = 2λ6 + 2 = 2(−0, 8906) + 2 = −1, 7812 + 2 = 0, 2188

karenaf ′λ6 > 0

maka diambil kondisi 1 dimana λ6 = b7 = −0, 8906 dana6 = a7 = −1, 0312dan karena

b6 − a6 = 0, 2812 > 2δ



Iterasi 6 :

a6 = −1, 0312

b6 = −0, 75

λ6 =a6 + b6

2=

−1, 0312 +−0, 75

2=

−1, 7812

2= −0, 8906

f ′λ6 = 2λ6 + 2 = 2(−0, 8906) + 2 = −1, 7812 + 2 = 0, 2188

karenaf ′λ6 > 0

maka diambil kondisi 1 dimana λ6 = b7 = −0, 8906 dana6 = a7 = −1, 0312

dan karenab6 − a6 = 0, 2812 > 2δ



Iterasi 6 :

a6 = −1, 0312

b6 = −0, 75

λ6 =a6 + b6

2=

−1, 0312 +−0, 75

2=

−1, 7812

2= −0, 8906

f ′λ6 = 2λ6 + 2 = 2(−0, 8906) + 2 = −1, 7812 + 2 = 0, 2188

karenaf ′λ6 > 0

maka diambil kondisi 1 dimana λ6 = b7 = −0, 8906 dana6 = a7 = −1, 0312dan karena

b6 − a6 = 0, 2812 > 2δ


Iterasi 7 :

a7 = −1, 0312

b7 = −0, 8906

karenab7 − a7 = 0, 1406 < 2δ

maka iterasi berhenti


Tabel:

Dengan demikian diperoleh :

x∗ = ak +

(bk − ak

2

)= −1, 0312 +

(−0, 8906− (−1, 0312)

2

)

= −1, 0312 + 0, 0703 = −0, 9609

x∗ ≈ −1


tugas metode numerik pendidikan matematika umt

Science