BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

1. Seorang Ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan deret aritmetika. Semakin muda usia anak semakin banyak permen yang diperolehnya. Jika permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka jumlah seluruh permen adalah ...A. 60 buahB. 65 buahC. 79 buahD. 75 buahE. 80 buah

Pembahasan :

U2 = a + (2 - 1)b = a + b = 11U4 = a + (4 - 1)b = a + 3b = 19

a + b = 11 → a = 11 - b ⇒ a + 3b = 19⇒ 11 - b + 3b = 19⇒ 2b = 8⇒ b = 4

a = 11 - b⇒ a = 11 - 4⇒ a = 7

Sn = n 2 {2a + (n - 1) b}⇒ S5 = 5/2 (2.7 + 4.4)⇒ S5 = 75 buah

2. Diketahui suku ke-3 dan suku ke-6 suatu deret aritmatika berturut-turut adalah 8 dan 17. Jumlah delapan suku pertama deret tersebut sama dengan ...A. 100B. 110C. 140D. 160E. 180

Pembahasan :U3 = a + 2b = 8U6 = a + 5b = 17

a + 2b = 8 → a = 8 - 2b

⇒ a + 5b = 17⇒ 8 - 2b + 5b = 17 ⇒ 3b = 9⇒b = 3

a = 8 - 2b⇒ a = 8 - 2(3)⇒ a = 2Maka jumlah delapan suku pertama adalah :S8 = 8/2 {2.2 + (8 - 1) 3}⇒ S8 = 4(4 + 21)⇒ S8 = 100.

3. Diketahui suatu barisan aritmatika dengan U3 + U9 + U11 = 75. Suku tengah barisan tersebut adalah 68 dan banyak sukunya 43, maka U43 sama dengan ...A. 218B. 208C. 134D. 132E. 131

Pembahasan :Karena banyak suku 43 maka suku tengahnya adalah U22U22 = 68⇒ a + 21b = 68

U3 + U9 + U11 = 75⇒ (a + 2b) + (a + 8b) + (a + 10b) = 75⇒ 3a + 20b = 75

Dari dua persamaan di atas diperoleh :a + 21b = 68 → a = 68 - 21b → substitusi ke persamaan 3a + 20b = 75⇒ 3a + 20b = 75⇒ 3 (68 - 21b) + 20b = 75⇒ 204 - 63b + 20b = 75⇒ -43b = -129⇒ b = 3

Selanjutnya cari nilai a.a = 68 - 21b⇒ a = 68 - 21(3)⇒ a = 68 - 63

⇒ a = 5

Maka suku ke-43 adalah :U41 = a + 42b⇒ U41 = 5 + 42(3)⇒ U41 = 5 + 126⇒ U41 = 131

4. Diketahui suku ke-3 dan ke-8 suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah 2 dan -13. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah ...A. -580B. -490C. -440D. -410E. -380

Pembahasan :U3 = a + 2b = 2U8 = a + 7b = -13

Dari dua persamaan di atas diperoleh :a + 2b = 2 → a = 2 - 2b → substitusi ke persamaan a + 7b = -13⇒ a + 7b = -13⇒ 2 - 2b + 7b = -13⇒ 5b = -15⇒ b = -3

Selanjutnya :a = 2 - 2b⇒ a = 2 - 2(-3)⇒ a = 2 + 6⇒ a = 8

Maka jumlah 20 suku pertama adalah :S20 = 20/2 (2a + (n -1) b)⇒ S20 = 10 (2.8 + 19.(-3))⇒ S20 = 10 (16 - 57)⇒ S20 = 10 (-41)⇒ S20 = -410

5. Dari suatu deret aritmatika dengan suku ke-n adalah Un, diketahui U3 + U6 + U9 + U12

= 72.  Maka Jumlah 14 suku pertama sama dengan ... A. 252

B. 284C. 320D. 344E. 364

Pembahasan :

⇒ S14 = 142 ( a + U14)⇒ S14 = 7 (a + U14)⇒ S14 = 7 (a + a + 13b) ⇒ S14 = 7 (2a + 13b)

⇒ U3 + U6 + U9 + U12 = 72⇒ a + 2b + a + 5b + a + 8b + a + 11b = 72⇒ 4a + 26b = 72⇒ 2a + 13b = 36

⇒ S14 = 7 (2a + 13b)⇒ S14 = 7 (36)⇒ S14 = 252 (A)

6. Jika suatu deret aritmatika mempunyai beda 2 dan jumlah 20 suku pertamanya adalah 240, maka jumlah 7 suku pertamanya adalah ...A. 14B. 10C. 7D. 1E. -7

Pembahasan :

⇒S20 = 202 + ( a + U20 )

⇒ S20=10(a +U20)

⇒S20=10(a +a+19b)

⇒S20=10(2a+19.2)

⇒S20=10(2a+38)

⇒240=20a+380

⇒20a=-140

⇒ a = -7

Jumlah 7 suku pertama :⇒ S7 = 72 (a + U7)

⇒ S7 = 72

(a + a + 6b)

⇒ S7 = 72 (2a + 6b)

⇒ S7 = 72 (2(-7) + 6.2) 

⇒ S7 = 72 (-14 + 12) 

⇒ S7 = 72 (-2)⇒ S7 = -7 (E)

7. Dari suatu barisan aritmatika diketahui suku kedua adalah 5 dan suku kelima adalah 14. Jumlah 20 suku pertama barisan tersebut adalah ...

A. 440B. 460C. 590D. 610E. 640

Pembahasan :

Suku kedua :⇒ U2 = 5⇒ a + b = 5⇒ a = 5 - b

Suku kelima :⇒ U5 = 14⇒ a + 4b = 14⇒ 5 - b + 4b = 14⇒ 3b = 9⇒ b = 3, maka a = 5 - 3 = 2

⇒ S20 =202 (a + U20)⇒ S20 = 10 (a + U20)⇒ S20 = 10 (a + a + 19b) ⇒ S20 = 10 (2.2 + 19.3)⇒ S20 = 10 (61)⇒ S20 = 610 (D)

8. Diketahui deret aritmatika dengan suku ke-3 adalah 24 dan suku ke-6 adalah 36. Jumlah 15 suku pertama deret tersebut adalah ...A. 765B. 660

C. 640D. 560E. 540

Pembahasan :

Suku ketiga :⇒ U3 = 24⇒ a + 2b = 24⇒ a = 24 - 2b

Suku kelima :⇒ U6 = 36⇒ a + 5b = 36⇒ 24 - 2b + 5b = 36⇒ 3b = 12⇒ b = 4, maka a = 24 - 2(4) = 16

⇒S15=152 (a + U15)

⇒S15=152 (a +a+14b)

⇒S15=152 (2a+14b)

⇒S15=152 (2.16+14.4)

⇒S15=152 (32+56)

⇒S15=152 (88)

⇒ S15 = 660 (B)

9. Jika 10001,997,993, ... adalah barisan aritmatika, maka tentukan suku ke berapa yang bernilai negatif yang muncul pertama kali ...A. 453B. 252C. 879D. 132E. 243

Pembahasan :

⇒ Un = a + (n-1)b <0⇒ Un= 1001 + ( n-1)b<0⇒ Un= 1001 (-4n – 4)<0⇒ Un= -4n + 1005<0⇒ -4n<-1005⇒ n = 251,25⇒ n = 252 (B)

10. Diketahui suku ke-4 dan suku ke -9 suatu deret aritmatika berturut-turut adalah 15 dan 30. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah ...A. 960B. 690C. 460D. 390E. 360

Pembahasan :

⇒U4= 15 ⇒ a + 3b = 15

⇒ U 9= 30 ⇒ a + 8b = 30

⇒-5b = -15

⇒ b = 3

a + 3b = 15 ⇒ a +3 (3) = 15

⇒ a +9 = 15

⇒ a = 6

⇒Sn=n2 (2a + (n-1)b

⇒S20=202 (2.6 + (20-1)3⇒ 10 . (12+57)⇒ 10 . (69)⇒ 690 (B)