TUGAS SOAL MATEMATIKA DASARDisusun untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah Matematika Dasar (MA300)

Disusun oleh Pendidikan Kimia 2011/B

JURUSAN PENDIDIKAN KIMIA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIAJl. Dr. Setiabudhi No.229 Bandung 40154 2013162-2001452

Yang Mengerjakan Tugas NO. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. NIM 1104329 1104657 1104171 1104103 1101965 1100317 1100085 1103500 1105180 1104287 1106558 1104906 1101105 1106561 1101733 1104379 1100900 1102177 1106598 1105821 1102406 1100694 1106500 1100945 1106552 1100023 1105339 1100772 1100346 1106502 1100616 1105842 1100333 1105524 1106571 1105019 1103886 NAMA Afiny Nur Apriyani Agni Budiarti Anggi Anggraeni Anis Roiyatunisa Arifah Hanif Fidina Artha Lia Emilda Aulia Rahim Deden Cahaya Kusuma Desri Sofiani Elpa P. D. Erzan Safari Evi Khabibah Lestari Fertika Hafsyareza Mikha Q Hilda Khoirunnisa Ineu Noviater Intan Putri Rahayu Jasmine Prasepti M. M hamdan Maya Monica D Mega Rahayu Muhamad Imam Mutaqin Muhammad Kasyfurrahman Mutya Lestari Nurazizah Nurul Agnia Hasanah Ratnasari Reza Jati Pamungkas Rifa Rofifah Robithotul Izza Sabila Islamina Asy-syahidah Santi Delina Syarah Nabila Wika Puspitasari Wiwit Wanita Yulfina Rahmah Yunida Rubianti

Tentukan bilangan yang ada pada huruf berikut! BOOK+BOOK+BOOK+...+BOOK = TEST6

Jawab:(i)

B = 1, sebab apabila B > 1, maka 6 x BOOK adalah bilangan dengan 5 digit. T adalah bilangan genap. Sebab T adalah hasil kali dari 6 x K.

(ii)

(iii) Nilai T 6, karena 6 x BOOK = T

(iv) Karena B = 1, dan B K, maka K 1. Artinya, T > 6. Di lain pihak, T adalah

bilangan genap. Jadi, satu-satunya kemungkinan adalah 8. Jadi, T = 8 (v) Sudah diperoleh T = 8, tetapi T K, jadi satu-satunya kemungkinan perkalian dengan 6 yang digit satuannya 8 adalah 3. Jadi, K = 3(vi) T = 6B + 2, dan perkalian 6 x O harus menghasilkan bilangan dengan digit

puluhan 2. Jadi, satu-satunya kemungkinan adalah 4. Jadi, O = 4 (vii) Hitung 6 x BOOK = ... ? Dengan diketahui: B=1 O=4 K=3 Jawab : 6 x BOOK 6 x 1443 = TEST = 8658

Jadi, BOOK = 1443, dan TEST = 8658.

Soal Induksi Matematis 1. 1 + 2 + 3 + .. + n =

Jawab :i.

n=1, n=2, n=3, n=4,

=

(Salah)

= (Salah) = (Salah)

= (Benar)

ii.

Asumsikan benar untuk n = k, maka 1 + 2 + 3 + .+ k = adalah benar

iii.

Akan dibuktikan benar bahwa k + 1, k > 4, perhatikan bahwa : 1 + 2 + 3 + .+ k + (k + 1) = + (k + 1) = = =

( Benar )

2.

adalah kelipatan 3, untuk n N(i) n=1 --->

= 3 (benar) = 33 (benar) =

n=2 --->

(ii) Asumsikan bahwa untuk n=k benar, jadi rumus di atas benar bahwa , m Z. Akan dibuktikan untuk n=k+1

= 7. = 7. = 7. =7 =7 =3 (terbukti)

3.i.

Untuk Untuk Untuk Untuk Untuk

maka maka maka maka maka

Maka diperoleh nilai

ii.

Asumsikan benar untuk

iii.

Perhatikan bahwa

Jadi diperoleh bahwa

4. 2 x 6 x 10 x 14 x (4n-2) (i) untuk n=1 maka (4(1)-2) = untuk n=2 maka 2(4(2)-2) = (benar) (benar) adalah benar

(ii) andaikan benar bahwa untuk n=k maka (iii) perhatikan untuk n= k+1 2 x 6 x 10 x ......x (4k-2) [4(k+1)-2] = = =

[4(k+1)-2]

= = =

5.

+

+

+ ...... + =

= (benar) = + = (benar)

(i) n = 1 maka n = 2 maka

(ii) Asumsikan bahwa untuk n = k adalah benar, jadi rumus di atas benar bahwa + + + ...... + =

Perhatikan untuk n = k+1 + + + ...... + = + = +

= = = =

Latihan Soal VIII Lakukan manipulasi tanpa mengubah aturan fungsi (jika diperlukan) agar setiap fungsi di bawah ini memiliki fungsi invers, kemudian tentukan fungsi invers terhadap masingmasing fungsi tersebut ! a. f : R R dan Df, Rf R dengan aturan f (x)= R dengan f (x1) = f (x2) dari sini diperoleh

1. Ambil sembarang f (x1), f (x2)

f (x1) = f (x2) (kedua ruas dikali 5) (kedua ruas ditambah 3) ( kedua ruas dikali )

Jadi, f merupakan fungsi satu-satu.2. Ambil sembarang y

R ( y di kodomain), y dapat dinyatakan sebagai f(x),

sehingga diperoleh bentuk: y = f(x) y=

Ini berarti bahwa untuk setiap y f(x) = f = =

R terdapat

=x

R, sehingga

=y

Jadi, f merupakan fungsi onto. Karena f merupakan fungsi satu-satu sekaligus onto (bijektif) maka f mempunyai fungsi invers Perhatikan bahwa y = f(x)= y=

Jadi, aturan invers terhadap f adalah

=

.

b. (i) Pembuktian satu-satu

Jadi, (ii) Pembuktian onto Ambil

merupakan fungsi satu-satu.

)

Fungsi

merupakan fungsi tidak onto. Oleh karena itu, kita bisa

memanipulasi dengan membatasi kodomain. Karena yang membuat tidak onto hanyalah 0 di kodomain, maka Karena sekarang fungsi invers. (iii) Fungsi invers adalah fungsi bijektif, maka memiliki

c. f: N N dan Df, Rf sub N dengan aturan f(x) = 2x Syarat agar f memiliki fungsi invers adalah bijektif, yakni satu-satu dan onto.a. Pilih x1 = 1 dan x2 = 2. Jelas bahwa x1 = 1 2 = x2. Dan x1, x2 N.

Perhatikan bahwa f(x1) = f(1) = 2.1 = 2 f(x2) = f(2) = 2.2 = 4 Ternyata f(x1) f(x2). Jadi f merupakan fungsi satu-satu.

- Pilih y= 1 N. Perhatikan bahwa y dapat dinyatakan sebagai f(x) sehingga diperoleh bentuk. y = f(x) 1= 2x =x Tidak ada x N (didomain) sedemikian sehingga f(x) = 1. Jadi, f bukan fungsi onto.b. Agar f

memiliki fungsi invers tanpa mengubah aturan, maka salah satu

manipulasi yang dapat dilakukan adalah membatasi domain atau kodomain. Karena dalam kasus ini f bukan merupakan fungsi onto, maka pembatasan dilakukan pada kodomainnya: Misal: A = {1,3,5.} maka f: N N\Ac. Perhatikan bahwa y = f(x) = 2x merupakan fungsi yang bergantung terhadap x.

karena f -1(y) = x, maka harus ditentukan suatu aturan ( dalam hal ini x) yang bergantung terhadap y. y = 2x =x = x = f -1 (y) Jadi, aturan invers terhadap f adalah f -1(x) =

d. f: Z Z dan Df, R f

Z dengan aturan f(x) =

Syarat agar f memiliki fungsi invers adalah bijektif, yakni satu-satu dan onto.a. - Pilih x1=1 dan x2= -1. Jelas bahwa x1 x2.

Perhatikan bahwa f(x1) = f(1) = f(x2) = f(-1) =

=1 =1

Ternyata f(x1) = f(x2). Jadi f bukan merupakan fungsi satu-satu. - Pilih f(x) = -1. Maka tidak akan ada nilai x Z (didomain) sedemikian sehingga f(x)= -1. Sehingga fungsi ini bukan fungsi onto.b. Agar f menjadi fungsi satu-satu dan onto maka kita manipulasi menjadi f : Z+

Z+ atau f : Z- Z+ c. Jadi dapat ditentukan aturan fungsi inversnya yaitu: f(x) y y2 = = = x2 = Y f-1(x) =x =x

e.

dan Df,Kf

dengan aturan f(x) = x2

Syarat memenuhi fungsi invers harus bijektif, yakni merupakan fungsi satu-satu dan onto.a. Pilih x1 = 1 dan x2=2. Jelas bahwa x1=1 2=x2 dan x1,x2

N {0}.

Perhatikan bahwa f(x1) = f(1) = 12= 1 f(x2) = f(2) = 22= 4 Ternyata f(x1) f(x2). Jadi, f merupakan fungsi satu-satu.

Pilih y=3

(dikodomain). Perhatikan bahwa y dapat dinyatakan sebagai

f(x), sehingga diperoleh bentuk y = f(x) 3 = x2 =x Tidak ada x N (didomain) sehingga x= . Berarti terdapat y=3

sehingga tidak ada x onto.

yang memenuhi f(x) =3. Jadi, f bukan fungsi

b.

Agar f

memiliki fungsi invers tanpa mengubah aturan, maka salah satu

manipulasi yang dapat dilakukan adalah membatasi domain atau kodomain.

Karena dalam kasus ini f bukan merupakan fungsi onto, maka pembatasan dilakukan pada kodomainnya sehingga f menjadi fungsi onto. Suatu fungsi dikatakan onto jika Kf = Rf . Misal A={2,3,5,6,7,8,10,11,...} Jadi manipulasinya f : N N / A dengan aturan f(x) = x2

c. Perhatikan bahwa y= f(x) = x2 merupakan fungsi y yang bergantung terhadap x.

Karena f-1(y) = x, maka harus ditentukan suatu aturan (dalam hal ini x) yang bergantung tehadap y. y = x2 =x = x = f (x) Jadi, aturan invers terhadap f adalah f-1(y) =

f. f : R R dan Df , Rf

R dengan aturan f(x) =

Pertama , kita lihat apakah fungsi ini satu satu dan onto , dilakukan dengan metode grafik .

Tidak Terpetakan

1. Fungsi diatas merupakan fungsi satu-satu. Karena setiap elemen di Rf tepat memiliki satu pasang elemen di Df 2. Fungsi ini bukan merupakan fungsi onto. Karena ada anggota di kodomain yang tidak memiliki pasangan di domain, yaitu interval antara 0 dan 1 3. Sehingga, manipulasi yang harus dilakukan agar fungsi ini adalah fungsi invers, yaitu f : R R \ (0,1)

g. f : R R dan Df, Rf

R dengan aturan f (x)=

a.

Misal: = -1 = -1 =0 =0 =1 =1

Dengan pemisalan di atas, dapat disimpulkan bahwa fungsi tersebut bukan merupakan fungsi satu-satu.b. Misalkan diambil f(x) = 1,2. Maka tidak akan ada x R (di domain)

sedemikian sehingga f(x) = 1,2 (di kodomain).

c. Agar f mempunyai fungsi invers maka harus bijektif. Manipulasi yang

dilakukan adalah f : ZZ dan Df, Rf

Z dengan aturan f -1(x)= x.