KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT. atas berkat rahmat

dan hidayah-Nya jua sehingga Makalah ini dapat diselesaikan sesuai dengan

waktu yang direncanakan. Tak lupa pula penulis kirimkan shalawat dan salam

kepada junjungan nabi besar Muhammad SAW. nabi yang mengantarkan manusia

dari alam kegelapan ke alam yang terang benderang.

Dalam menyusun Makalah ini, tidak sedikit bantuan penulis peroleh, baik

secara material maupun spiritual, dengan demikian atas segala bantuan yang

diperoleh penulis menyampaiakan ucapan terima kasih yang tak terhingga kepada

seluruh teman-teman yang ikut andil dalam penulisan Makalah ini dan kepada

keluarga yang banyak memberikan spirit dan dorongan, sehingga tugas ini

terselesaikan, terima kasih semua spirit yang kalian berikan.

Tidak lupa sekali lagi hanya dengan ridho-Nya jualah semua ini bias

terselesaikan, sadar bahwa ilmu dan harta, dua media yang akan dimintai

pertanggungjawaban kelak di kemudian hari, mudah-mudahan akan membawa

berkah dan dapat dipertanggungjawabkan kelak, Amin. Dan semoga apa yang

tersajikan saat ini dapat bermanfaat bagi diri penulis dan juga bagi yang lainnya.

Akhir kalam, dengan segala kerendahan hati penulis mohon maaf atas

penyajian Makalah ini yang masih jauh dari kesempurnaan, untuk itu penulis

setiap saat meluangkan waktu untuk menerima saran dan masukan, tentunya yang

dapat menambah khasanah penulisan Makalah ini. Sekian.

Makassar, Januari 2011

Penulis

BAB IPENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Dalam pelajaran Kalkulus, bermacam-macam pokok pembahasan yang

termasuk di dalamnya ‘Limit’. Limit fungsi merupakan dasar pemamahaman

untuk belajar hitung diferensial. Pada hakikatnya derevatif fungsi adalah bentuk

khusus dari limit fungsi.

Penegrtian limit, definisi limit, dan dalil-dalil limit memnerikan

kemampuan membuktikan limit fungsi, dan menyelesaikan soal-soal limit dengan

menggunakan definisi limit atau dalil-dalil limit.

Limit kiri dan limit kanan memberikan kemampuan menghitung limit kiri,

limit kanan, dan menentukan sebuah fungsi yang diketahui mempunyai limit pada

suatu titik atau tidak. Kajian limit tak sebenarnya dan limit di tak hingga

memberikan kemampuan menghitung limit tak sebenarnya dan limit di tak

hingga.

Maka dari itu dalam mempalajari limit fungsi sangatlah penting dalam

proses belajar mengajar karena merupakan salah satu konsep mendasar dalam

kalkulus.

B. Rumusan Masalah

Mengapa Limit sangat penting dipelajari dalam proses belajar mengajar?

C. Manfaat

Untuk mengetahui pentingnya limit dipelajari dan cara membedakan

antara limit tak sebenarnya dan limit di tak sebenarnya.

BAB IITINJAUAN PUSTAKA

Limit suatu fungsi merupakan salah konsep mendasar dalam kalkulus dan

analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu suatu

fungsi memetakan keluaran f(x) untuk setiap masukan x. fungsi tersebiut memiliki

limit L pada titik masukan p bila f(x) “dekat” pada L ketika x dekat pada p.

dengan kata lain, f(x) menjadi semakin dekat kepada L ketika x juga mendekat

menuju p. Lebih jauh lagi, bila f diterapkanpada tiap masukan yang cukup dekat

pada p, hasilnya adalah keluaran yang (secara sembarang) dekat dengan L. bila

masukan yang dekatpada p ternyata dipetakan pada keluaran yang sangat berbeda,

fungsi f dikatakan tidak memiliki limit. Definisi limit dirumuskan secara formal

mulai abad ke-19 (Wikipedia Bahasa Indonesia, 2011).

Meskipun termasuk secara implist dalam pengembangan kalkulus pada

abad ke 17 dan 18, gagasan modern limit fungsi baru dibahas oleh Bolzano, yang

pada 1817, memperkenalkan dasar-dasar teknik limit. Cauchy membahas limit

dalam karyanya Cours d’ analyse (1821) dan tampaknya telah menyatakan intisari

gagasan tersebut, tapi tidak secara sistematis (Anonim, 2011)

Fungsi pada garis bilangan riil. Bila f : R → R terdefinisi pada garis

bilangan riil dan p , L €R maka kita menyebut limit f ketika x mendekati p adalah

L, yang ditulis sebagai lim f (x) = L.

x→p

jika dan hanya jika untuk setiap > 0 terdapat > 0 sehingga │x – p │<

mengimplikasikan bahwa │f (x) – L │ < (Soemoenar, 2002).

BAB IIIPEMBAHASAN

A. Beberapa Dalil Limit

Dalil 1

Jika m dan b adalah konstanta sembarang, maka

Lim (mx + b) = ma + b x → a

Bukti :

Membuktikan dalil ini berarti membuktikan adanya bilangan δ > 0 untuk

bilangan ε > 0 yang ditetapkan sehingga

│(mx + b) – (ma + b)│ < ε dipenuhi oleh 0 < │x - a│ < δ .

Misalkan ditetapkan bilangan ε > 0 dan bilangan λ yang 0 < λ < 1 sehingga

0 < │x - a│ < λ < 1 maka

│(mx + b) – (ma + b)│ = │mx - ma│

= m . │x - a│

terdapat beberapa kemungkinan nilai m.

Kemungkian 1

Jika m = 0

Maka │(mx + b) – (ma + b) = 0 │x - a│

= 0

Ruas kanan akan selalu sama dengan 0, berapapun nilai │x - a│. Jadi untuk setiap

bilangan positif ε akan didapat bilangan positif δ sehingga.

│(mx + b) – (ma + b) < ε dipenuhi oleh 0 < │x - a│ < δ.

Kemungkinan 2

Jika m ≠ 0

Maka │(mx + b) – (ma + b)│ = │ mx - ma│

= m │ x - a│

< m λ.

Terbuktilah bahwa dalil 1 berlaku untuk m = 0 atau m ≠ 0.

Dalil 2

Jika c adalah konstanta, maka untuk setiap bilangan a sembarang

Lim c = c x→a Bukti :

Menurut dalil 1, lim (mx + b) = ma + b berlaku untuk m = 0, maka lim b = b. x→a

demikian juga berlaku lim c = c x→a

Dalil 3

Lim x = a x→a

menurut dalil 3, lim (mx + b) = ma + b berlaku untuk m = 1 dan b = 0. Jadi lim x→a x→a

x = a.

Dalil 4

Jika lim f(x) = L dan lim g(x) = M , maka lim [f (x) ± g (x)] = L ± M. x→a x→a x→a

berarti untuk setiap bilangan positif ε, harus didapat bilangan positif δ sehingga

[f (x) ± g (x)] = [L + M] < ε dipenuhi oleh 0 <│x - a│ < δ

[f (x) ± g (x)] = [L + M] = [f (x) - L] + [g (x) - M│

< [f (x) - L] + [g (x) - M│

Dalil 5

Jika lim f(x) = L dan lim b(x) = M, maka x→a x→a

lim f(x) . g(x) = L.M x→a

Dalil 6

Jika lim f(x) = L dan n bilangan bulat positif sembarang maka x→a

lim [f(x)]n = Ln

Dalil 6 ini sebenarnya adalah perluasan dalil 5. Yaitu limit perkalian n

buah fungsi yang sama.

Dalil 7

Jika lim f(x) = L lim g(x) = M, dan M ≠ 0, maka x→a x→a

lim f(x) = L g(x) M

Dalil 8

Jika lim f(x) = L, maka lim n√ f(x) = n√L x→a

Dalil ini berlaku jika L positif maka n harus bilangan bulat positif, dan jika

L negative maka n harus bilangan bulat positif ganjil.

Dalil 9

Jika a adalah bilangan real sembarang yang tidak sama dengan nol, maka

Lim 1 = 1 x→a x a

Dalil 10

Jika n adalah bilangan bulat positif, maka

Lim n√x = n√a x→a

B. Limit kanan dan Limit Kiri

Jika ditulis lim f(x) = L mengandung arti bahwa x mendekati a dari dua

pihak yaitu x mendekati a dari pihak lebih dari a yang disebut mendekati δ dari

kanan, dan juga x mendekati a dari pihak kurang dari a yang disebut mendekati a

dari kiri.

Ditinjau fungsi f yang didefinisikan sebagai f(x) = √x – 4 untuk x < 4, (x –

4) bertanda negative sehingga f(x) tidak mempunyai nilai real. Dengan demikian

lim √x – 4 tidak mempunyai arti, karena x tidak mungkin mendekati 4 dari kiri.

Tetapi jika x mendekati 4 dari kanan maka nilai √x – 4 dapat dibuat sedekat

mungkin dengan 0 dengan mengambil nilai x cukup dekat dengan 4. Hal ini

dikatakan bahwa f(x) mempunyai limit kanan 0 untuk x mendekati 4 dari kanan.

C. Limit Tak Sebenarnya

Apabila lim f(x) = lim 4 x→1 x→1 (x – 1)2

Untuk x mendekati 1 maka (x – 1) 2 akan mendekati 0. Bilangan 4 dibagi

oleh (x – 1)2 yang makin mendekati 0 maka hasil baginya akan menanjak menjadi

makin besar tak terbatas yang akan melampaui setiap bilangan yang sangat besar

manapun. Simbol yang digunakan untuk menunjukkan sifat fungsi yang nilainya

menanjak menjadi makin besar tak terbatas adalah ∞.

Jadi, lim 4 = ∞. x→1 (x – 1)2

Limit yang sama dengan ∞ atau -∞ dinamai limit tak sebenarnya. Berarti

juga bukan limit. Sehingga dapat juga dikatakan bahwa f(x) = 4 tidak

(x – 1)2

mempunyai limit.

hnkjaksjahjhhtydu

D. Limit di Tak Berhingga

Jika ditulis “x → 4” berarti variable x mewakili bilangan real yang makin

mendekati 4 dari dua arah. Tetapi lain halnya jika ditulis “x → + ∞ “ yang berarti

variable x mewakili bilangan real yang menanjak menjadi besar sekali tak

berhingga sehingga melampaui bilangan positif betapa besar manapun. Sedangkan

“x → -∞” berarti variabel x mewakili bilangan real yang merosot menjadi

negative besar sekali tak berhingga.

BAB IVPENUTUP

Kesimpulan

Berdasarkan uraian dan pembahasan yang telah dikemukakan, maka kita

dapat memperoleh kesimpulan adalah : limit fungsi sangat penting dipelajari

karena merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus. Limit pula

merupakan dasar hitung diferensial dan hitung integral.

Saran

Diharapkan kepada pembaca Makalah ini agar dapat memberikan masukan

guna kesempurnaan Makalah selanjutnya. Karena kami sebagai penulis dalam

menyusun Makalah ini tidak luput dari kesalahan dan kekurangan.

DAFTAR PUSTAKA

Anonim, 2011. http://www.limit-fungsi. Diakses pada tanggal 4 Januari 2011

Soemoenar. 2002. Limit Fungsi. Jakarta: Erlangga

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ……………………………………………………… i

DAFTAR ISI ………………………………………………………………... ii

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang ...……………………………………………….. 1

B. Rumusan Masalah……………………………………………….. 1

C. Manfaat………………………………………………………….. 1

BAB II TINJAUAN PUSTAKA …………………………………………… 2

BAB III PEMBAHASAN

A. Beberapa Dalil Limit …………………………………………… 3

B. Limit Kanan dan Limit Kiri…………………………………….. 5

C. Limit Tak Sebenarnya………………………………………….. 6

D. Limit di Tak Berhingga………………………………………… 6

BAB 1V PENUTUP

A. Kesimpulan …………………………………………………….. 7

B. Saran……………………………………………………………. 7

DAFTAR PUSTAKA………………………………………………………. 8