tugas kalkulus lanjut
DESCRIPTION
kalkulusTRANSCRIPT
-
TUGAS KALKULUS LANJUT
SIFAT-SIFAT INTEGRAL LIPAT
Oleh:
KAMELIANI
1211041016
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR
2014
-
Universitas Negeri Makassar Page 2
SIFAT-SIFAT INTEGRAL LIPAT
A. SIFAT-SIFAT INTEGRAL LIPAT
Integral lipat dua dan integral lipat tiga mewarisi hampir semua sifat-sifat integral
tunggal. Berikut adalah sifat-sifat integral lipat dua (yang juga dimiliki integral sifat tiga).
(1) Integral lipat dua bersifat linear, yaitu
[(, ) + (, )]
= (, )
+ (, )
(, )
= (, )
,
(2) . (, ) (, ) (, ) ,
(, )
(, )
(3) . (, ) 0 (, ) ,
(, )
(, )
,
(4). Integral lipat dua bersifat aditif (dapat dijumlahkan) pada daerah yang saling
berimpit pada hanya sebuah sisi atau ruas garis.
(, )
= (, )
+ (, )
-
Universitas Negeri Makassar Page 3
Sifat-sifat integral tersebut membawa beberapa akibat yang perlu dikemukakan di
sini. Misalkan (, ) untuk semua (, ) di maka
(luas R) = (, ) =
(luas R)
Satu sifat lainnya yang perlu dikemukakan adalah akibat dari sifat
|(, )| (, ) |(, )|
Berdasarkan sifat integral nomor 2, maka berlaku
|(, )| (, ) |(, )|
Atau
(, ) |(, )|
Untuk fungsi yang kontinu, ternyata urutan pengintegralan tidak menjadi
masalah. Hal ini dituliskan dalam teorema berikut.
Teorema urutan integral (Teorema Fubini)
(, ) = [ (, )
]
= [ (, )
]
Misalkan fungsi kontinu pada empat persegi panjang = [, ][, ], maka
-
Universitas Negeri Makassar Page 4
B. PENERAPAN SIFAF-SIFAT INTEGRAL DALAM
MENYELESAIKAN MASALAH.
Soal dan Pembahasan
1. Hitunglah integral berikut berdasarkan daerah D yang diberikan!
, = {(, )|1 2 , 3}
Penyelesaian:
Dengan menerapkan sifat (1) dan (2), maka
=
3
2
1
= |
3
2
1
= ( 2
)2
1
= ( 2)
2
1
()2
1
= [1
2
2
1
22]
21
= (1
2 4
1
24) (
1
2
1
2) =
1
2 4 2
2. Hitunglah integral berikut berdasarkan daerah D yang diberikan!
62 40
,
D adalah segitiga dengan titik puncak (0,3) , (1,1), dan (5,3)
Penyelesaian:
Pertama-tama harus dibuat persamaan garis yang melalui titik-titik puncak tersebut,
agar bisa diketahui batas-batas daerahnya.
Kita dapat membuat persamaan garis berdasarkan dua titik puncak yang diketahui.
Persamaan garis yang melalui titik (0,3) dan (1,1)
12 `1
= 1
2 `1
-
Universitas Negeri Makassar Page 5
3
1 3=
0
1 0
3 = 2
= 2 + 3
Persamaan garis yang melalui titik (0,3) dan (5,3)
12 `1
= 1
2 `1
3
3 3=
0
5 0
5 = 15
= 3
Persamaan garis yang melalui titik (1,1) dan (5,3)
12 `1
= 1
2 `1
1
31=
1
51
4 4 = 2 2
=1
2 +
1
2
Berikut ini adalah gamba segitiga yang dimaksud
-
Universitas Negeri Makassar Page 6
Ada dua cara untuk mendeskripsikan daerah yang diarsir.
Cara I
Jika kita menggunakan fungsi x, maka daerah
D akan dibagi menjadi dua daerah karena
fungsi yang berada di bawah berbeda
bergantung pada nilai x. Pada kasus ini, daerah
D diberikan sebagai = 1 2, dimana
1 = {(, )|0 1 , 2 + 3 3}
2 = {(, )|1 5 ,1
2 +
1
2 3}
Dengan menggunakan sifat (6), maka
62 40
= 62 40
1
+ 62 40
2
= 62 403
2+3
1
0+ 62 40
3
12
+12
5
1
= (62 202)|2+33
1
0
+ (62 202)|12
+12
3 5
1
= [123 180 + 20(2 + 3)2]1
0
+ [33 + 152 180 + 20 (1
2 +
1
2)
2
] 5
1
= [34 180 10
3(2 + 3)3]
10
+ [3
44 + 53 180 +
40
3(
1
2 +
1
2)
3
]51
= 935
3
Perhatikan bahwa menyelesaikan integral pada fungsi berbentuk kuadrat tidak
perlu dikalikan satu persatu. Lebih mudah diintegralkan dengan integral
subsitusi yang telah dipelajari di Calculus I.
-
Universitas Negeri Makassar Page 7
Cara II
Jika kita menggunakan fungsi y, maka daerah D tidak perlu dibagi menjadi
dua bagian.
Batas-batas untuk x adalah
= 2 + 3 = 1
2 +
3
2
=1
2 +
1
2 = 2 1
= {(, )| 1
2 +
3
2 2 1 , 1 3 }
Sehingga
62 40
= (62 40)21
12+
32
3
1
= 23 40 |2 1
1
2 +
3
2
3
1
= 100 1002 + 2(2 1)3 23
1
(1
2 +
3
2)
3
dy
= [50y2 100
3y3 +
1
4(2y 1)4 + (
1
2y +
3
2)
4
]31
= 935
3
3. Hitunglah nilai integral berikut dengan membalikkan urutan dari integralnya. !
33 9
2
3
0
Penyelesaian:
Perhatikan bahwa kita tidak bisa melakukan integral terhdap karena kita
membutuhkan 2 di depan eksponensial untuk melakukan integral terhadap . Akan
tetapi, jika urutan integral dibalik, maka kita bisa menghitung nilai integral di atas.
-
Universitas Negeri Makassar Page 8
Membalik urutan integral artinya kita akan melakukan integral terhadap terlebih
dahulu kemudian terhadap . Ketika membalik urutan integral, maka batas-batsanya
juga akan berubah.
Agar memudahkan mencari batas-batasnya, maka pertama-tama kita gambarkan
daerah yang diberikan berdasarkan batas-batas yang telah diketahui. Berdasarkan
integral di atas, batas-batas daerahnya adalah
0 3
2 9
Berdasarkan pertidaksamaan di atas, batas bawah pada sumbu y adalah = ^2 dan
batas atas pada sumbu y adalah = 9 dengan batas pada sumbu yaitu antara
= 0 dan = 3.
Berikut ini adalah gambar daerah yang dimaksud
Karena kita ingin mengintegralkan terhadap terlebih dahulu,maka kita perlu
menentukan batas-batas untuk terlebih dahulu, kemudian batas-batas untuk .
Batas pada sumbu adalah 0
Batas pada sumbu adalah 0 9
Sehingga bentuk integralnya sekarang adalah sebagai berikut
33 9
2
3
0
= 33
0
9
0
-
Universitas Negeri Makassar Page 9
Berikut adalah penyelesaian untuk bentuk integral yang baru
33
0
9
0=
3 3
0
9
0
= 3 3
0
9
0
= 3 [1
44]
9
0
0
= 3 [1
44]
9
0
0
= 1
42
39
0
=1
43 |
90
=1
4(729 1)
C. Menerapkan Sifat-Sifat Integral untuk Menyelesaikan Soal Integral pada
Daerah Persegi Panjang dan Bukan Persegi Panjang
Contoh Soal!
Daerah Persegi Panjang
1. Tentukan Volume benda pejal di bawah bidang = + + 1 pada =
{(, ): 0 1, 1 3
Penyelesaian:
( + + 1)1
0
3
1
= [1
22 + + ]
3
1
1
0
= (1
2+ + 1)
3
1
= [1
2 +
1
22 + ]
31
= (3
2+
9
2+ 3) (
1
2+
1
2+ 1)
= 7
(karena di integralkan terhadap , maka
dianggap konstanta, sehingga berlaku sifat linear
integral
-
Universitas Negeri Makassar Page 10
daerah = + + 1 pada = {(, ): 0 1, 1 3
2. Carilah Volume benda pejal yang berada di atas fungsi g(x,y) dan berada di
bawah fungsi f(x,y) dengan batas-batas x dan y sebagai berikut.
(, ) = 4 (, ) = 9 2 2
2,5 2,5 0,5 2,5
Penyelesaian:
Volume = [9 2 2 (4)]2,5
0,5
2,5
2,5
= [13 2 1
33]
2,5
2,5
2,50,5
= {[655
24 2,52] [
155
24+ 0,52]}
2,5
2,5
= [135
4 32]
2,5
2,5
= [135
4 3]
2,52,5
=275
4+
275
4
= 137,5 satuan volume
-
Universitas Negeri Makassar Page 11
Daerah bukan Persegi Panjang
1. Carilah volume benda yang dibatasi oleh persamaan bola 2 + 2 + 2 = 6
dan Paraboloida = 2 + 2
Penyelesaian:
Bentuk daerahnya adalah sebagai berikut
Gambar di atas adalah daerah yang dimaksud yakni irisan antara bola dan
paraboloida.
Subsitusi = 2 + 2 ke persamaan 2 + 2 + 2 = 6
sehingga diperoleh
-
Universitas Negeri Makassar Page 12
2 + 2 + (2 + 2)2 = 6
2 + 2 + (2 + 2)2 6 = 0
(2 + 2 2)(2 + 2 + 3) = 0
Untuk (2 + 2 2) = 0 maka = 2 2
untuk (2 + 2 + 3) = 0 tidak ada solusi
Batas-batas untuk y adalah 2 2 2 2
sedangkan untuk x adalah 2 2
Sehingga dengan menggunakan maple, volume benda yang diperoleh adalah diperoleh
6 2 2 22
22 (2 + 2)
2
2
= 46 22
3 = 7,74
Perhitungan dengan Maple
Menggambar plot
-
Universitas Negeri Makassar Page 13
D. Menerapkan Sifat-Sifat Integral untuk Menyelesaikan Soal Integral dalam
Koordinat Polar
Soal Dan Pembahasan
1. Hitunglah nilai integral berikut dengan mengubahnya ke dalam koordinat polar
terlebih dahulu.
2
D adalah daerah di antara lingkaran dnegan jari-jari 2 dan jari-jari 5 . lingkaran-
lingkaran tersebut berpusat pada titik asal. Daerahnya berada pada kuadran I.
Penyelesaian:
Pertama-tama kita harus mengubah daerah D dalam koordinat polar. Lingkaran
dengan jari-jari 2 berarti = 2 , dan lingkaran dengan jari-jari 5 berarti = 5 .
Karena daerah yang dimaksud berada di antara jari-jari tersebut, maka dapat
dituliskan 2 5
Sedangkan daerah yang dimaksud berada pada kuadran I, sehingga dapat
dituliskan 0
2
Diketahui bahwa dalam koordinat polar, = cos dan = sin ,
=
Sehingga,
2
= 2(5
2
2
0
cos )( sin )
= 3(sin 2)5
2
2
0
= [1
44(sin 2)]
52
2
0
=1
4 [4(sin 2)]
52
20
(menggunakan sifat kelinearan integral)
=609
4 (sin 2)
20
(menggunakan sifat kelinearan integral)
-
Universitas Negeri Makassar Page 14
= 609
4(
1
2) cos 2 |
20
=609
4
2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh = 3 + 2 sin dan = 2
Penyelesaian:
Daerah yang dimaksud adalah sebagai berikut.
Untuk mengetahui luas daerah di atas, maka terlebih dahulu perlu diketahui
batas-batas untuk nilai dimana kurva saling berpotongan.
Untuk mengetahui nilai bisa dilakukan dengan cara sebagai berikut.
Diketahui = 3 + 2 sin dan = 2
Dapat dituliskan 3 + 2 sin = 2
sin = 1
2 =
7
6,11
6
-
Universitas Negeri Makassar Page 15
Berikut ini adalah gambar daerah
Kita tahu bahwa
6 adalah bentuk lain dari
11
6
Jika kita gunakan 7
6
11
6 maka kita akan menghitung daerah yang tidak di
arsir. Oleh karena itu batas yang digunakan adalah
6
7
6
Untuk menentukan nilai , fungsi yang terdekat dengan titik asal merupakan
batas bawah, dan fungsi yang terjauh merupakan batas atas.
Sehingga luas daerah D adalah
=
= 3+2 sin
2
76
6
= 1
22|
2
3+2 sin 76
6
= (5
2+ 6 + 2 sin2 )
76
6
= (7
2+ 6 cos (2))
76
6
-
Universitas Negeri Makassar Page 16
=7
2 6 cos
1
2sin 2|
6
76
=113
2+
14
3
= 24,187
3. Tentukan volume benda yang berada di bawah bola 2 + 2 + 2 = 9, di atas
bidang = 0, dan berada pada silinder 2 + 2 = 5
Penyelesaian:
Kita tahu bahwa rumus untuk menentukan volume adalah
= (, )
Ubah fungsi 2 + 2 + 2 = 9 ke bentuk = 9 2 + 2. Kita mengambil
nilai yang positif karena kita akan menghitung di atas bidang ( = 0)
Kini kita mempunyai dua fungsi yaitu = 0 dan = 9 2 + 2
Kita ingin menghitung daerah yang berada di bawah bola tetapi berada pada
silinder 2 + 2 = 5.
Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut.
Jadi, daerah yang akan dicari volumenya adalah sebuah cilinder yang
penutupnya merupakan sebuah bola.
-
Universitas Negeri Makassar Page 17
Sebelumnya kita ubah terlebih dahulu batas-batasnya dalam koordinat polar.
0 2
0 5 (jari-jari silinder)
Sehingga volume daerah yang dimaksud adalah
= 9 2 2
= 9 2 5
0
2
0
(2 = 2 + 2)
= 1
3(9 2)
32|
0
52
0
= 1
3 (9 2)
32|
0
52
0
= 19
3
2
0
=38
3
4. Hitunglah volume benda yang berada di antara fungsi = 2 + 2 dan bidang
= 16.
Penyelesaian:
Jika disketsakan maka gambar grafiknya sebagai berikut.
-
Universitas Negeri Makassar Page 18
Volume yang dicari adalah daerah selisih antara kedua kurva tersebut, yakni
= 16
2 + 2 = 16 (2 + 2)
Agar memudahkan dalam mencari nilai volume, fungsi di atas di ubah dalam koordinat
polar. Demikian pula batas-batas daerahnya.
Berikut ini adalah batas-batas daerahnya
0 2 0 4 = 16 2
Sehingga,
= 16 (2 + 2)
= (16 2)
4
0
2
0
= (82 1
44)|
0
42
0
= 64
2
0
= 128
-
Universitas Negeri Makassar Page 19
DAFTAR PUSTAKA
Purcell,dkk.2011.Kalkulus Edisi Kesembilan Jilid 2. Jakarta: Erlangga
Budi Wono Setya.2001.Kalkulus Peubah Banyak dan Penggunannya.Bandung:ITB.
http://www.math24.net/definition-and-properties-of-double-integrals.html (di akses
24 Desember 2014)
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/DIGeneralRegion.aspx (di akses 24
Desember 2014)
http://ltcconline.net/greenl/courses/202/multipleintegration/Volume.htm (di akses 29
Desember 2014)
http://www2.seminolestate.edu/lvosbury/CalculusIII_Folder/ExamplesForExam4.ht
m (di akses 5 Januari 2015)
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/DIPolarCoords.aspx (di akses 5
Januari 2015)