tugas i matematika - trigonmetri -kelompok ii

A

B

C

ca

bGb. 2.2. perbandingan trigonometri

Kelompok II

1) Materi Fungsi Trigonometri

A. Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut pada Segitiga Siku-siku

Gambar di samping adalah segitiga

siku-siku dengan titik sudut sikunya

di C. Panjang sisi di hadapan sudut

A adalah a, panjang sisi di hadapan

sudut B adalah b, dan panjang sisi di hadapan sudut C adalah c.

Terhadap sudut :

Sisi a disebut sisi siku-siku di depan sudut

Sisi b disebut sisi siku-siku di dekat (berimpit) sudut

Sisi c (sisi miring) disebut hipotenusa

Berdasarkan keterangan di atas, didefinisikan 6 (enam) perbandingan

trigonometri terhadap sudut sebagai berikut:

1.sinα=panjang sisi siku-siku di depan sudut A

panjang hipotenusa=ac

2.c os α=

panjang sisi siku-siku di dekat ( berimpit ) sudut Apanjang hipotenusa

=bc

3.tan α=panjang sisi siku-siku di depan sudut A

panjang sisi siku-siku di dekat sudut A=ab

4.csc α=panjang hipotenusa

panjang sisi siku-siku di depan sudut A= ca

5.sec α=panjang hipotenusa

panjang sisi siku-siku di dekat sudut A= cb

1

Gb. 2.4.a. sudut istimewa

2

45

1

1Gb. 2.4.b. sudut istimewa

3

60

30

1 2

6.cot α=panjang sisi siku-siku di dekat sudut A

panjang sisi siku-siku di depan sudut A= ca

Dari perbandingan tersebut dapat pula ditulis rumus:

tan α=sin α

cos α dancot α=cos α

sin α

sec α= 1cos α dan

csc α= 1sin α

B. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Istimewa

Sudut istimewa adalah sudut yang perbandingan trigonometrinya

dapat dicari tanpa memakai tabel matematika atau kalkulator, yaitu: 0,

30, 45,60, dan 90.

Sudut-sudut istimewa yang akan dipelajari adalah 30, 45,dan 60.

Untuk mencari nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa

digunakan segitiga siku-siku seperti gambar berikut ini.

Dari gambar 2.4.a dapat ditentukan

sin 45°=1

√2=1

2√2 csc 45°= √2

1=√2

cos 45°=1

√2=1

2√2 sec 45°= √2

1=√2

2

tan 45°=11=1 cot 45 °=

11=1

Dari gambar 2.4.b dapat ditentukan

sin 30 °=12

sin 60 °= √32=1

2√3

cos 30 °= √32=1

2√3 cos 60 °=

12

tan 30°=1

√3=1

3√3 tan 60°= √3

1=√3

csc 30°=21=2 csc 60°=

2

√3=2

3√3

sec 30°=2

√3=2

3√3 sec 60°=

21=2

cot 30 °= √31=√3 cot 60 °=

1

√3=1

3√3

Tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa.

0 30 45 60 90

sin 012

12√2

12√3 1

cos 112√3

12√2

12

0

tan 013√3 1 √3

tak

terdefinisi

cot tak

terdefinisi√3 1

13√3 0

3

y

x X

YP(x,y)

r

1

Gb. 2.5

O

y

x X

YP(x,y)

r

1

O

y

x X

YP(x,y)

r

2

O

y

x

X

Y

r

3O

y

x

X

Y

r

4

O

C. Perbandingan Trigonometri suatu Sudut di Berbagai Kuadran

P adalah sembarang titik di kuadran I dengan koordinat (x,y). OP

adalah garis yang dapat berputar terhadap titik asal O dalam koordinat

kartesius, sehingga XOP dapat bernilai 0 sampai dengan

90. Perlu diketahui bahwa

OP=√ x2+ y2=r dan r 0

Berdasarkan gambar di atas keenam perbandingan trigonometri baku

dapat didefinisikan dalam absis (x), ordinat (y), dan panjang OP (r)

sebagai berikut:

1.sin α=ordinat P

panjang OP= yr 4.

csc α=panjang OPordinat P

= ry

2.cos α=absis P

panjang OP= xr 5.

sec α=panjang OPabsis P

= rx

3.tan α=ordinat P

absis P= yx 6.

cot α=absis Pordinat P

= xy

Dengan memutar garis OP maka XOP = dapat terletak di kuadran I,

kuadran II, kuadran III atau kuadran IV, seperti pada gambar di bawah ini.

4

y

x

X

Y

P(x,y)

r

(90-)

P1(x1,y1)

r1

x1

y1

y = x

Gb. 2.7. sudut yang berelasi

O

Tabel tanda nilai keenam perbandingan trigonometri di tiap kuadran:

Perbandingan

Trigonometri

Kuadran

I II III IV

sin + + - -

cos + - - +

tan + - + -

csc + + - -

sec + - - +

cot + - + -

D. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi

Sudut-sudut yang berelasi dengan sudut adalah sudut (90 ),

(180 ), (360 ), dan -. Dua buah sudut yang berelasi ada

yang diberi nama khusus, misalnya penyiku (komplemen) yaitu untuk

sudut dengan (90 - ) dan pelurus (suplemen) untuk sudut

dengan (180 - ). Contoh: penyiku sudut 50 adalah 40, pelurus

sudut 110 adalah 70.

1. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (90 - )

Dari gambar 2.7 diketahui

Titik P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y)

akibat pencerminan garis y x,

sehingga diperoleh:

a. XOP = dan XOP1 = 90 -

5

y

x X

Y

P(x,y)r

(180-)

P1(x1,y1)

r1

x1

y1

O


b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r

Dengan menggunakan hubungan di atas dapat diperoleh:

a.sin (90 °−α )=

y1

r1

= xr=cosα

b.cos (90 °−α )=

x1

r1

= yr=sinα

c.tan (90 °−α )=

y1

x1

= xy=cot α

Dari perhitungan tersebut maka rumus perbandingan trigonometri

sudut dengan (90 - ) dapat dituliskan sebagai berikut:

2. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 - )

Titik P1(x1,y1) adalah bayangan dari

titik P(x,y) akibat pencerminan

terhadap sumbu y, sehingga

a. XOP = dan XOP1 = 180 -

b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r

maka diperoleh hubungan:

a.sin (180 °−α )=

y1

r 1

= yr=sinα

a. sin (90 °−α )=cosα d. csc (90 °−α )=sec α

b. cos (90 °−α )=sinα e. sec (90 °−α )=cosec α

c. tan (90 °−α )=cot α f. cot ( 90°−α )=tan α

6

y

x X

YP(x,y)

r

(180+)

P1(x1,y1)

r1

x1

y1O


b.

cos180 cos

1

1

r

x

r

x

c.tan (180 °−α )=

y1

x1

= y−x

=−tan α

Dari hubungan di atas diperoleh rumus:

3. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 + )

Dari gambar 2.9 titik P1(x1,y1) adalah

bayangan dari titik P(x,y) akibat

pencerminan terhadap garis y x,

sehingga

a. XOP = dan XOP1 = 180 +

b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r

maka diperoleh hubungan:

a.sin (180 °+α )=

y1

r1

=− yr

=−sinα

b.cos (180 °+α )=

x1

r1

=−xr=−cosα

c.tan (180°+α )=

y1

x1

=− y−x

= yx=tan α


a. sin (180−α )°=sinα ° d. csc (180 °−α )=cscα

b. cos (180 °−α )=−cosα e. sec (180 °−α )=−sec α

c. tan (180 °−α )=−tan α f. cot (180 °−α )=−cot α

a. sin (180 °+α )=−sinα d. csc (180 °+α )=−csc α

b. cos (180 °+α )=−cos α e. sec (180°+α )=−sec α

c. tan (180 °+α )=tan α f. cot (180 °+ α )=cot α

7

y

x

X

YP(x,y)

r

(360-1)

P1(x1,y1)

r1

x1

y1

O -


4. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (- )

Dari gambar 2.10 diketahui titik

P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y)

akibat pencerminan terhadap

sumbu x, sehingga

a. XOP = dan XOP1 = -

b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r

maka diperoleh hubungan

a.sin (−α )=

y1

r1

=− yr

=−sinα

b.cos (−α )=

x1

r1

= xr=cosα

c.tan (−α )=

y1

x1

=− yx

=−tan α


a. sin (−α )=−sin α d. csc (−α )=−csc α

b. cos (−α )=cosα e. sec (−α )=sec α

c. tan (−α )=−tan α f. cot (−α )=−cot α

8

y

x X

Y P(r, )

r

O

Gb. 2.12. koordinat kutub

y

x X

YP(x,y)

O

Gb. 2.11. koordinat kartesius

Untuk relasi dengan (- ) tersebut identik dengan relasi dengan

360 , misalnya sin (360 ) sin .

E. Menentukan Koordinat kartesius dan Koordinat Kutub

Cara lain dalam menyajikan letak sebuah titik pada bidang

xy selain koordinat kartesius adalah dengan koordinat kutub.

Pada gambar 2.11 titik P(x,y) pada koordinat kartesius dapat disajikan

dalam koordinat kutub dengan P(r, ) seperti pada gambar 2.12.

Jika koordinat kutub titik P(r, ) diketahui, koordinat kartesius dapat

dicari dengan hubungan:

cos α= xr x=r cos α

sinα= yr y=rsin α

jika koordinat kartesius titik P(x,y) diketahui, koordinat kutub titik

P(r, ) dapat dicari dengan hubungan:

r=√x2+ y2

tan α= yx arc tan

yx , arc tan adalah invers dari tan

9

y

x X

Y P(x, y)

r

O

Gb. 2.13. rumus identitas

F. Identitas Trigonometri

D a r i g a m b a r d i s a m p i n g d i p e r o l e h

cos α= xr ,

sinα= yr dan r=√x2+ y2

. Sehingga

sin2 α+cos2α= y2

r2+ x

2

r2

= x

2+ y2

r2=r

2

r2=1

G. Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Sederhana

1. Menyelesaikan persamaan sin x sin

Dengan mengingat rumus

sin (180 - ) sin dan sin ( + k. 360) sin , maka diperoleh:

2. Menyelesaikan persamaan cos x cos


Jika sin x sin maka

x + k. 360 atau x (180 ) + k. 360 , k B

sin2 +cos2 1Jadi

10

rr

O A

B

A D E B

C

G F

cos (−α )=cosα dan cos ( + k. 360) cos , diperoleh

3. Menyelesaikan persamaan tan x tan


tan (180 + ) tan dan tan ( + k. 360) tan , maka

diperoleh:

Catatan: satuan sudut selain derajat adalah radian, di mana satu

radian adalah besarnya sudut yang menghadap busur lingkaran

yang panjangnya sama dengan jari-jari.

AOB = 1 rad

Hubungan radian dengan derajat

360 =

2πrr rad

= 2 rad

180 = rad

pendekatan 1 rad = 57,3.

H. Rumus-rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut

1. Rumus cos ( + ) dan cos ( )

Jika cos x cos maka

x + k. 360 atau x + k. 360, k B

Jika tan x tan maka

x + k. 180 , k B

11

Pada gambar di samping diketahui garis CD dan AF keduanya

adalah garis tinggi dari segitiga ABC. Akan dicari rumus cos (

+ ).

cos (α+β )=ADAC AD=AC cos (α+β )

Pada segitiga sikusiku CGF

sin α=GFCF GF=CF sin α …………..(1)

Pada segitiga sikusiku AFC,

sin β=CFAC CF=AC sin β …………..(2)

cos β=AFAC AF=AC cos β …………..(3)

Pada segitiga sikusiku AEF,

cos α=AEAF AE=AF cos α …………..(4)

Dari (1) dan (2) diperoleh

GF AC sin sin

Karena DE GF maka DE AC sin sin

Dari (3) dan (4) diperoleh

AE AC cos cos

Sehingga AD AE DE

AC cos ( + ) AC cos cos AC sin sin

cos ( + ) cos cos sin sin

Gb. 2.14

12

Jadi

Untuk menentukan cos ( ) gantilah dengan lalu

disubstitusikan ke rumus cos ( + ).

cos ( ) cos ( + ())

cos cos () sin sin ()

cos cos sin (sin )

cos cos + sin sin

Jadi

2. Rumus sin ( + ) dan sin ( )

Untuk menentukan rumus sin ( + ) dan sin ( ) perlu diingat

rumus sebelumnya, yaitu: sin (90 ) cos dan

cos (90 ) sin

sin ( + ) cos (90 ( + ))

cos ((90 ) )

cos (90 ) cos + sin (90 ) sin

sin cos + cos sin

Jadi

Untuk menentukan sin ( ), seperti rumus kosinus selisih dua

sudut gantilah dengan lalu disubstitusikan ke sin ( + ).

sin ( ) sin ( + ( ))

sin cos () + cos sin ()

sin cos + cos (sin )

cos ( ) cos cos + sin sin

sin ( + ) sin cos + cos sin

13

sin cos cos sin

Jadi

3. Rumus tan ( + ) dan tan ( )

Dengan mengingat tan α=sin α

cos α , maka

tan (α+β )=sin ( α+β )cos (α+β )

=sin α cos β+cos α sin βcos α cos β−sin α sin β

tan (α+β )=

sinα cos β+cosα sin βcosα cos βcos α cos β−sin α sin βcos α cos β

=

sinαcos α

+sin βcos β

1−sinαcos α

⋅sin βcos β

=tan α+ tan β

1−tan α tan β

Jadi

Untuk menentukan tan ( ), gantilah dengan lalu

disubstitusikan ke tan ( + ).

tan ( ) tan ( + ( ))

=tan α+ tan (−β )1− tan α tan (−β )

=tan α− tan ( β )1−tan α (−tan β )

=tan α− tan β1+ tan α tan β

Jadi

sin ( ) sin cos cos sin

tan (α+β )=tan α+ tan β1−tan α tan β

tan (α−β )=tan α− tan β1+ tan α tan β

14

I. Rumus Trigonometri Sudut Rangkap

Dari rumusrumus trigonometri untuk jumlah dua sudut, dapat

dikembangkan menjadi rumus trigonometri untuk sudut rangkap.

1. sin 2 sin ( + ) sin cos + cos sin 2 sin cos

Jadi

2. cos 2 cos ( + ) cos cos sin sin cos2 sin2

Jadi

Rumusrumus variasi bentuk lain yang memuat cos 2 dapat

diturunkan dengan mengingat rumus dasar cos2 + sin2 1.

cos 2 cos2 sin2 cos 2 cos2 sin2

cos2 (1 cos2) (1 sin2) sin2

2cos2 1 1 2 sin2

Sehingga

3.tan 2α= tan ( α+α )=tan α+ tan α

1− tan α tan α= 2 tan α

1−tan2α

Jadi

J. Mengubah Rumus Perkalian ke rumus

Penjumlahan/Pengurangan

sin 2 2 sin cos

cos 2 cos2 sin2

1) cos 2 cos2 sin2

2) cos 2 2cos2 1

3) cos 2 1 2 sin2

tan 2α= 2 tan α

1−tan2α

15

+

+

1. Dari rumus cosinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut diperoleh:



cos ( + ) + cos ( ) 2 cos cos

Jadi



cos ( + ) cos ( ) 2 sin sin

Jadi

2. Dari rumus sinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut diperoleh:



sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos

Jadi




Jadi

cos ( + ) + cos ( ) 2 cos cos

cos ( + ) cos ( ) 2 sin sin


sin ( + ) sin ( ) 2 cos sin

16

1) Contoh grafik Y=cos 2x dalam interval 0 ≤x ≤ 360

Contoh grafik Y = 2 sin 2x + 6 cos2x-5 dalam interval 0 ≤x ≤ 360

17

tugas i matematika - trigonmetri -kelompok ii

Documents