MAKALAH

Bilangan Fibonacci dalam Kehidupan

Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Akhir SemesterMata Kuliah: Bahasa Indonesia

Dosen: Indrya Mulyaningsih, M.Pd.I.

Fakultas/Jurusan : Tarbiyah/Tadris Matematika

Kelas/Semester : C/ 2

IAIN SYEKH NUR JATI CIREBONJl. Perjuangan By Pass Sunyaragi Cirebon - Jawa Barat 45132

Telp : (0231) 481264 Faxs : (0231) 489926

1

BAB 1

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Deret angka Fibonacci(Leonardo fibonacci), ini menunjukkan asal mula kejadian

alam semesta dan juga menjadi inpirasi para seniman didalam mewujudkan cipta seni

mereka termasuk Leonardo Da Vinci didalam karya lukisannya yang mendunia yaitu

Mona Lisa. Selain itu rahasia angka Fibonacci ini juga diaplikasikan secara luas dalam

seni kontruksi bangunan, lukisan dan juga wujud dalam anatomi tubuh manusia.

2

BAB II

PEMBAHASAN

A. Pengertian Bilangan Fibonacci

Bilangan Fibonacci adalah urutan angka yang diperoleh dari penjumlahan dua

angka didepannya, misalnya seperti ini :

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584,

Angka fibonacci merupakan urutan angka (deret angka) yang disusun oleh Leoanardo

Fibonacci pada tahun 1175 – 1245 M. Bilangan fibonacci dikenal juga dengan

sebutan the golden number of human life. Angka Fibonacci memiliki satu sifat

menarik. Jika Anda membagi satu angka dalam deret tersebut dengan angka

sebelumnya, akan Anda dapatkan sebuah angka hasil pembagian yang besarnya

sangat mendekati satu sama lain.1

B. Sejarah Penemuan Bilangan Fibonacci.

Fibonacci Perkembangan matematika pada abad pertengahan di Eropa seiring

dengan lahirnya Leonardo dari Pisa yang lebih dikenal dengan julukan Fibonacci

(artinya anak Bonaccio). Bonaccio sendiri artinya anak bodoh, tapi dia bukan orang

bodoh karena jabatannya adalah seorang konsul yang wewakili Pisa. Jabatan yang

dipegang ini membuat dia sering bepergian. Bersama anaknya, Leonardo, yang selalu

mengikuti ke negara mana pun dia melakukan lawatan. Fibonacci menulis buku Liber

Abaci setelah terinspirasi pada kunjungannya ke Bugia, suatu kota yang sedang

tumbuh di Aljazair. Ketika ayahnya bertugas di sana, seorang ahli matematika Arab

memperlihatkan keajaiban sistem bilangan Hindu-Arab.2 Sistem yang mulai dikenal

1Budi Manfaat, Membumikan matematika, (Cirebon, 2010) hal 119. 2Ibid

3

setelah jaman Perang Salib. Kalkulasi yang tidak mungkin dilakukan dengan

menggunakan notasi (bilangan) Romawi. Setelah Fibonacci mengamati semua

kalkulasi yang dimungkinkan oleh sistem ini, dia memutuskan untuk belajar pada

matematikawan Arab yang tinggal di sekitar Mediterania. Semangat belajarnya yang

sangat mengebu-gebu membuat dia melakukan perjalanan ke Mesir, Syria, Yunani,

Sisilia. Mengarang buku Tahun 1202 dia menerbitkan buku Liber Abaci dengan

menggunakan – apa yang sekarang disebut dengan aljabar, dengan menggunakan

numeral Hindu-Arabik. Buku ini memberi dampak besar karena muncul dunia baru

dengan angka-angka yang bisa menggantikan sistem Yahudi, Yunani dan Romawi

dengan angka dan huruf untuk menghitung dan kalkulasi. Pendahuluan buku berisi

dengan bagaimana menentukan jumlah digit dalam satuan numeral atau tabel

penggandaan (baca: perkalian) dengan angka sepuluh, dengan angka seratus dan

seterusnya. Kalkulasi dengan menggunakan seluruh angka dan pembagian, pecahan,

akar, bahkan penyelesaian persamaan garis lurus (linier) dan persamaan kuadrat.

Buku itu dilengkapi dengan latihan dan aplikasi sehingga menggairahkan

pembacanya. Dasar pedagang, ilustrasi dalam dunia bisnis dengan angka-angka juga

disajikan. Termasuk di sini adalah pembukuan bisnis (double entry),

penggambaran tentang marjin keuntungan, perubahan (konversi) mata uang,

konversi berat dan ukuran (kalibrasi), bahkan menyertakan penghitungan bunga.

(Pada jaman itu riba, masih dilarang). Penguasa pada saat itu, Frederick, yang

terpesona dengan Liber Abaci, ketika mengunjungi Pisa, memanggil Fibonacci untuk

datang menghadap. Dihadapan banyak ahli dan melakukan tanya-jawab dan

wawancara langsung, Fibonacci memecahkan problem aljabar dan persamaan kuadrat.

Pertemuan dengan Frederick dan pertanyaan-pertanyaan yang diajukan oleh ahli-ahli

tersebut, dibukukan dan diterbitkan tidak lama kemudian. Tahun 1225 dia

mengeluarkan buku Liber Quadrotorum (buku tentang Kuadrat) yang

dipersembahkannya untuk Sang raja. Dalam buku itu tercantum problem yang mampu

mengusik “akal sehat” matematikawan yaitu tentang problem kelinci beranak-pinak

Pertanyaan sederhana tapi diperlukan kejelian berpikir. “Berapa pasang kelinci yang

akan beranak-pinak selama satu tahun. Diawali oleh sepasang kelinci, apabila setiap

bulan sepasang anak kelinci menjadi produktif pada bulan kedua” - Akhir bulan

kedua, mereka kawin dan kelinci betina I melahirkan sepasang anak kelinci beda jenis

kelamin. - Akhir bulan kedua, kelinci betina melahirkan sepasang anak baru, sehingga

4

ada 2 pasang kelinci. - Akhir bulan ketiga, kelinci betina I melahirkan pasangan

kelinci kedua, sehingga ada 3 pasang kelinci. - Akhir bulan keempat, kelinci betina I

melahirkan sepasang anak baru dan kelinci betina II melahirkan sepasang anak

kelinci, sehingga ada 5 pasang kelinci. Akan diperoleh jawaban: 55 pasang kelinci.

Bagaimana bila proses itu terus berlangsung seratus tahun? Hasilnya:

354.224.848.179.261.915.075. Apakah ada cara cepat untuk menghitungnya? Di sini

Fibonacci memberikan rumus bilangan yang kemudian dikenal dengan nama deret

Fibonacci.

C. Keindahan Bilangan Fibonacci.

1. Keindahan Pola.

a. Pola pada Operasi Bilangan.

Perhatikan fakta-fakta berikut:

1 x 8 + 1= 9= 9

12 x 8 + 2 = 98

123 x 8 + 3= 987

1234 x 8 + 4= 9876

12345 x 8 + 5= 98765

123456 x 8 + 6= 987654

1234567 x 8 + 7= 9876543

12345678 x 8 + 8 = 98765432

123456789 x 8 + 9= 98765432

Lalu ini:

1 x 9 + 2= 11

12 x 9 + 3= 111

123 x 9 + 4= 1111

1234 x 9 + 5= 11111

12345 x 9 +6= 111111

123456 x 9 + 7 = 111111

5

1234567 x 9 + 8= 11111111

12345678 x 9 + 9= 111111111

123456789 x 9 + 10 = 1111111111

Juga ini:

9 x 9 + 7= 88

98 x 9 + 6 = 888

987 x 9 + 5= 8888

9876 x 9 + 4= 88888

98765 x 9+ 3=888888

987654x 9 + 2= 8888888

9876543 x 9 + 1 = 88888888

98765432 x 9 + 0= 888888888

Dan berikut ini:

1 x 1= 11

11 x 11= 121

111 x 111= 12321

1111 x 1111= 1234321

11111 x 11111 123454321

111111 x 111111= 12345654321

1111111 x 1111111= 1234567654321

11111111 x 11111111= 123456787654321

111111111 x 111111111= 12345678987654321.3

b. Pola pada alam semesta

Orang Yunani Kuno mengatakan bahwa semua keindahan adalah matematis. Jika ini benar maka tentunya akan terdapat suatu

3 Ibid., hal 120.

6

kode matematis, formula, hubungan atau bahkan sebuah angka yang dapat menjelaskan suatu keindahan.

Sepanjang sejarah, telah banyak angka-angka berbeda yang pernah dicobakan untuk menjelaskannya, namun hannya satu yang konsisten dan banyak beralku pada hampir setiap kehidupan. Angka itu dikenal dengan sebuta GOLDEN RATIO, atau rasio emas. Beberapa nama lain untuk golden ratio adalah: The Phi Ratio, The Fibonacci Ratio, The Divine Ratio, The Golden Mean, The Golden Section.

Golden ratio adalah sebuah perbandingan matematik 1. 61803398874989.... : 1 atau dibulatkan 1, 619 : 1. Angka 1,618 sering juga disebut dengab Golden Mean dan dilambangkan engan huruf yunani Phi. sebagaimana halnya dengan Pi (angka perbandingan antara keliling suatu lingkaran dengan diameternya), phi juga merupakan bilangan irrasional. Begitu banyak sesuatu di alam ini yang ternyata tercipta dengan bagian-bagian dari bentuknya dengan angka perbandingan tersebut.4

Tubuh manusia, tumbuhan dan hewan, mereka mempunyai kesamaan. Pernyataan ini tersembunyi pada sebuah deret angka yang ditemukan oleh natematikawan Italia, Fibonacci. Sifat angka-angka ini, yang dikenal dengan Fibonacci, bahwa masing-masing angka dalam deret tersebut merupakan hasil penjumlahan dari dua angka sebelumnya:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

Angka Fibonacci memiliki satu sifat menarik. Jika kita membagi suatu angka dalam deret tersebut dengan angka sebelumnya, akan kita dapatkan sebuah angka hasil pembagan yang besarnya sangat mendekati satu sama lain. Nyatanya, angka ini bernilai tetap setelah angka ke-13 dalam deret tersebut. Angka ini dikenal sebagia “golden ratio” atau “rasio emas”.

233 : 144= 1, 618

377 : 233= 1, 618

610 : 377= 1, 618

987 : 610= 1, 618

4 Ibid., hal 123.

7

1597 : 987= 1, 6185.

dst.....

1) Rasio Emas pada Tubuh Manusia.Hubungan kesesuaian “ideal” yang dikemukakan ada

pada berbagai bagian tubuh manusia rata-rata dan yang mendekati nilai rasio emas dapat dijelaskan dalam sebuah bagan umum sebagai berikut.

Nilai perbandingan M/m pada diagram berikut selalu setara dengan rasio emas,

M/m= 1, 618

2) Rasio Emas pada tubuh manusiaContoh pertama dari rasio emas pada tubuh manusia

rata-rata adalah jika abtara pusar dan telapak kaki dianggap satu unit, maka tinggi seorang manusia setara dengan 1, 618 unit. Beberapa rasio emas lain pada tubuh manusia rata-rata adalah:

a) Jarak antara ujung jari dan siku/ jarak antara pergelangan tangan dan siku.

b) Jarak anatara garis bahu dan ujung atas kepala/ panjang kepala.

c) Jarak anatara pusar dan ujung atas kepala/ jarak anatara garis bahu dan ujung atasa kepala.

5Ibid

8

d) Jarak anatara pusar dan lutut/ jarak antara lutut dan telapak kaki.6

3) Tangan Manusia.Angkatlah tangan Anda dan lihatlah bentuk jari telunjuk

Anda. Dalam segala kemungkinan akan Anda saksikan rasio emas padanya. Jari-jemari kita memiliki tiga ruas. Perbandingan ukuran panjang dari ruas pertama terhadap ukuran panjang keseluruhan jari tersebut menghasilkan rasio emas (kecuali ibu jari). Anda juga dapat melihat bahwa perbandingan ukuran panjang jari tengah terhadap jari kelingking merupakan rario emas pula.

Anda memiliki dua tangan, dan jari-jemari yang ada padanya terdiri dari tiga ruas. Terdapat lima jari pada setiap tangan, dan hannya delapan dari keseluruhan sepuluh jari ini tersambung menurut rasio emas: 2, 3, 5, dan 8 bersesuaian dengan angka-angka pada deret Fibonacci.7

6Ibid., hal 125.7 Ibid., hal 127.

9

4) Rasio Emas pada Wajah Manusia.Terdapat beberapa rasio emas pada wajah manusia.

Akan tetapi Anda tidak dianjurkan menganmbil pengggaris dan berusaha mengukur wajah-wajah orang, sebab hal ini merujuk pada “wajah manusia ideal” yang ditetapkan oleh para ilmuan dan seniman. Misalnya, jumlah lebar dua gigi depan pada rahang atas dubagi dengan tingginya menghasilakn rasio emas. Lebar gigi pertama dari tengah dibandingkan gigi kedua juga menghasilkan rasio emas. Semua ini adalah perbandingan ukuran ideal yang mungkin dipertimbangkan oleh seorang dokter. Sejumlah rasio emas lain pada wajah manusia adalah:

a) Panjang wajah atau lebar bawah.b) Jarak antara bibir dan titik dimana kedua alis mata

bertemu atau panjang hidung.c) Panjang wajah atau jarak antara ujung rahang dan

titik dimana kedua alis mata bertemu.d) Panjang mulut atau lebar hidung.e) Lebar hidung atau jarak antara kedua lubang

hidung.f) Jarak antara kedua pupil atau jarak anatara kedua

alis mata.8

8Ibid., hal 128.

10

5) Rasio Emas Kota Makkah pada Ratio Points Dunia

Proporsi jarak antara Mekah – Kutub Utara dengan jarak antara Mekah – Kutub Selatan adalah persis 1,618 yang merupakan Golden Ratio. Selain itu, proporsi jarak antara Kutub Selatan dan Mekah dengan jarak antara kedua kutub adalah lagi 1,618 unit.

Keajaiban belum selesai. The Golden Ratio Point of the World adalah di kota Mekkah menurut peta lintang dan bujur yang merupakan penentu umum manusia untuk lokasi.

Proporsi jarak Timur – Barat Mekah adalah 1,618 unit. Selain itu, proporsi jarak dari Mekah ke garis titik balik matahari dari sisi barat dan perimeter garis lintang dunia pada saat itu juga mengejutkan sama dengan Golden Ratio

11

– 1,618 unit. The Golden Ratio Point of the World selalu dalam batas kota Mekkah, di dalam Daerah Suci yang meliputi Ka’bah menurut semua sistem pemetaan kilometrical meskipun variasi kecil dalam perkiraan mereka.

Jika kita mengukur jarak Kota Makkah ke arah Kutub Utara, diperoleh angka 7631.68 km, sedangkan jika ke arah Kutub Selatan, diperoleh angka 12348.32 km. Apabila kedua angka tersebut kita diperbandingkan dengan rumus : x/y

dimana :x = arah kutub selatany = arah kutub utaramaka dapat disimpulkan: 12348.32 km / 7631.68 km = 1.618

Selain diatas, jarak antara Barat-Timur dan Barat Daya-Timur Laut begitu juga. Terlihat menghasilkan angka 1.618. Angka 1.618 di dalam matematika, dikenal sebagai Bilangan Fibonacci atau Golden Ratio (Rasio Emas).

6) Rasio Emas pada Lukisan Monalisa.

Lukisan Monalisa. Dan ternyata di setiap goresan lukisnya Da vinci memasukan teori Komposisi Fibonacci dalam lukisan Monalisa itu… Jika kita lihat detail lukisan itu, perbandingan ruang yg dipakai juga fibonacci,bahkan setiap lekukan bagian wajah antara bibir dan dagu, mulut+mata dengan kening, mata dengan telinga. semuanya menggunakan hitungan Fibonacci (1,618)…

7) Rasio Emas pada Jumlah Daun Bunga (petals)

Mungkin sebagian besar tidak terlalu memperhatikan jumlah daun pada sebuah bunga. Dan bila diamati, ternyata jumlah daun pada bunga itu menganut deret fibonacci. contohnya:jumlah daun bunga 3 : bunga lili, irisjumlah daun bunga 5 : buttercup (sejenis bunga mangkok)jumlah daun bunga 13 : ragwort, corn marigold, cineraria,jumlah daun bunga 21 : aster, black-eyed susan, chicoryjumlah daun bunga 34 : plantain, pyrethrumjumlah daun bunga 55,89 : michaelmas daisies, the asteraceae family

12

Pola bunga juga menunjukkan adanya pola fibonacci ini, misalnya pada bunga matahari. Dari titik tengah menuju ke lingkaran yang lebih luar, polanya mengikuti deret fibonacci.

Fakta bahwa banyak sekali struktur benda hidup dan tak hidup yang saling tak terlihat di alam namn memiliki bentuk yang mengikuti satu rumus matematis tertentu merupakan salah satu bukti paling nyata bahsa semua ini telah dirancang secara khusus. Rasio Emas adalah rumus keindahan yang sangat dikenal dan diterapkan oleh para seniman.9 Karya-karya seni yang didasarkan pada pada rasio itu menampilkan kesempurnaan keindahan. Tumbuhan, galaksi, mikroorganisme, kristal dan makhluk hidup yang dirancang menurut acuan yang ditiru para seniman ini semuanya adalah contoh daya cipta Maha Hebat dari Allah. Allah menyatakan dalam Al Qur’an bahwa Dia telah menciptakan segala sesuatu menurut ukuran. Beberapa ayat berikut yang berbunyi:

... Sesunggguhnya Allah telah mengadakan ketentuan bagi tiap-tiap sesuatu.

(QS. At Thalaaq, 65: 3).

... Dan segala sesuatu pada sisi-Nya ada ukurannya.

( QS. Ar Ra’d, 13:8).

Sesunggguhnya Allah telah mengadakan ketentuan bagi tiap-tiap sesuatu.

(QS. At Thalaaq, 65: 3).

2. Keindahan Formula.

Ada ribuan bahkan jutaan formula (rumus) dalam Matematika. Dan sebanyak itu pula kita akan mendapati keindahan.

a) Formula Eulerperhatikan formula berikut:

e iπ + 1= 0

9Ibid., hal 129.

13

Perhatikan satu persatu elemen penyusun dari formula tersebut. Bilangan e, i, µ dan 0. Semuanya merupakan bilangan-bilangan istimewa.

e adalah bilangan natural (2,718), i adalah bilanagan imajiner (khayal), yaitu suatu bilangan akar negatif, Phi adalah bilanagn tetapan yang merupakan rasio antara keliling dan jari-jari sembarang lingkaran (3, 14), 1 adalah identitas perkalian . bilangan berapapun jika dikalikan dengan 1 maka hasilnya tetap bilangan itu sendiri, dan 0 adalah identitas penjumlahan. Bilangan berapapun jika ditambah dengan 0 maka hasilnya tetap bilangan itu sendiri.

Dan yang menakjubkan adalah, rupanya bilangan-bilangan istimewa tersebut dapat bertemu dan berkumpul dalam satu formula.10

b) Formula Pythagoras.Perwujudan-perwujudan dalam alam mempunyai berbagai pola

dan keteraturan. Pola-pola yang sama sering kali terkandung dalam aneka benda-benda atau keadaan-keadaan yang tampaknya berbeda-beda. Tetapi, sekali pola alamiah yang sama itu diketahui dan dipahami oleh ahli matematika.

Sebagai contoh saja misalnya sebuah batu cadas dan sebuah bukit yang mempunyai perwujudan seperti berikut:

Dua fenomena diatas yang kelihatannya berlainan ternyata mengandung pola atau keteraturan yang sepenuhnya sama. Dari suduut matematika kedua perwujudan alamiah itu memiliki pola yang tertuang dalam dalil phytagoras yang terkenal. Dengan kata-kata, formula itu berbunyi: Jumlah dari kuadrat dua sisi sebuah segi tiga adalah sama dengan kuadrat sisi miringnya.11

c) Keindahan Grafis.Biasanya matematika dari seni diajarkan secara terpisah. Saat

menggambar kucing, bunga atau pemandangan alam mungkin kita tidak terfikir rumus matematika beserta hitungan rumit yang menyertainya. Begitu pula saat kita belajar matematika, mungkin kita terfikir akan keindahan bunga misalnya. Seolah matematika dan seni tidak berteman akrab. Padahal kita dapat menghasilkan karya seni yang indah dari matematika. Atau sebaliknya, kitadapat menemukan sisi matematika dari keindahan yang kita lihat itu.12

BAB III10Ibid., hal 130. 11 Ibid., hal 131.12 Ibid., hal 132.

14

KESIMPULAN

Bilangan Fibonacci adalah urutan angka yang diperoleh dari penjumlahan dua angka

didepannya, misalnya seperti ini :

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584,

Deret angka Fibonacci(Leonardo fibonacci), ini menunjukkan asal mula kejadian alam

semesta dan juga menjadi inpirasi para seniman didalam mewujudkan cipta seni mereka

termasuk Leonardo Da Vinci didalam karya lukisannya yang mendunia yaitu Mona Lisa.

Selain itu rahasia angka Fibonacci ini juga diaplikasikan secara luas dalam seni kontruksi

bangunan, lukisan dan juga wujud dalam anatomi tubuh manusia.

DAFTAR PUSATAKA

15

Manfaat, budi. 2010. Membumikan Matematika. Cirebon: Eduvision Publishing.

Hirata, andrea. 2008. Laskar Pelangi, cetakan ke 20. Yogyakarta: Bentang.

Hirata, andrea. 2008. Edensor, cetakan ke-10, Bentang: Yogyakarta.

http://www.science-frontiers.com/sf107/sf107p14.htm (diakses 26 Maret 2013)

http://www.americanscientist.org/issues/pub/did-mozart-use-the-golden-section (diakses 26 Maret 2013)

http://www.goldennumber.net/music/(diakses 26 Maret 2013)

16