tugas akhir metode numerik ana tsalitsatun file · web viewtugas akhir metode numerik...

TUGAS AKHIR METODE NUMERIK ANA TSALITSATUN NI’MAH 09.04.111.00132

2011

PENGANTAR METODE NUMERIK

Metode Numerik

Suatu metode dimana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat

diselesaikan dengan operasi aritmatika sederhana.

Solusi angka yang didapatkan dari metode numerik adalah solusi yang mendekati nilai

sebenarnya. Karena tidak tepat sama dengan solusi sebenarnya, ada selisih diantara

keduanya yang kemudian disebut galat/error.

Metode numerik dapat menyelesaikan persoalan di dunia nyata, dalam bentuk dan proses

yang sulit diselesaikan dengan metode analitik/matematika.

Pemakaian metode analitik terkadang sulit diterjemahkan ke dalam algoritma yang dapat

dimengerti oleh komputer. Sehiingga mahasiswa teknik informatika membutuhkan mata

kuliah ini untuk menyelesaiakn algoritma programnya.

Sebagai contoh adalah sebagai berikut :

mari kita bandingkan cara penyelesaian soal dengan cara metode numeric dan matematika.

Hitunglah ∫−1

2

12

(3−x2 )dx=¿¿

Cara matematika :

∫−1

2

12

(3−x2 )dx=¿[3 x−13x3]−1

2

12 ¿

¿ [(3. 12−1

3. 12

3

)−(3.(−12 )− 1

3.(−1

2 )3)]

¿ [(32− 1

24 )−((−32 )+ 1

24 )]¿ [ 3

2− 1

24+3

2− 1

24 ]¿ [6

2− 2

24 ]¿ [3− 1

12 ]

1 | Universitas Trunojoyo Madura Fakultas Teknik Jurusan Teknik Informatika


2011

¿ 36−112

=3512

=2,91667

Metode numeric :

y=3−x2

1 2 3 4 Luas trapesium

−12 −1

4 14 1

2

L = 12x ∑ jumlah sisisejajar x tinggi

L1 = [ 18 ( f (−1

2 )+ f (−14 ))] f (−1

2 )=3−x2=3−(−12 )

2

=3−14= 12−1

4=11

4

L2 = [ 18 ( f (−1

4 )+ f (0 ))] f (−14 )=3−x2=3−(−1

4 )2

=3− 116

=48−116

=4716

L3 = [18 ( f (0 )+ f ( 1

4 )) ] f (0 )=3−x2=3−0=3

L4 = [ 18 ( f ( 1

4 )+ f ( 12 ))] f ( 1

4 )=3−x2=3− 14

2

=3− 116

=48−116

=4716

f ( 12 )=3−x2=3−1

2

2

=3− 14=12−1

4=11

4

L = 18 [ f (−1

2 )+2 f (−14 )+2 f (0 )+2 f ( 1

4 )+ f ( 12 )]

L = 18 [ f (−1

2 )+2 f (−14 )+2 f (0 )+2 f ( 1

4 )+ f ( 12 )]

L = 18 [11

4+2 . 47

16+2.3+2 . 47

16+ 11

4 ]L =

18 [11

4+ 94

16+6+ 94

16+ 11

4 ]L =

18 [22

4+188

16+6 ]

L = 18 [88+188+96

16 ]



2011

L = 18 [372

16 ]L =

372128

=2,90625

GALAT (ERROR / KESALAHAN)

Dalam metode numeric pastinya ada kesalahan penghitungan dan metode yang digunakan.

Setiap penghitungan pasti terdapat selisih dengan penghitungan cara analitik atau

matematika. Hal ini lah yang disebut Galat.

Galat sendiri mempunyai rumus-rumus tersendiri sebagai berikut :

∑ ¿∝−∝∝=nilai sejati

∝=nilai hampiran

Dari contoh soal yang telah dikerjakan di materi awal dapat kita hitung Galat dari 2

penyelesaian tersebut

Galat = 2,91667−2,90625=0,01042

Galat Relatif

∑r

¿ ε∝

Dalam presentasi

∑r

¿ ε∝ x100 %

Galat relative hampiran

∑rh

¿ ε∝



2011

Contoh soal :

∝=2,91667

∝=2,90625

Galat = 0,01042

Galat relative

∑r

¿ ε∝=0,010422,91667

=0,00357

Galat relative hampiran

∑rh

¿ ε∝=0,010422,90625

=0,00358

Galat mutlak

ε=|ε|=|0,01042|

Galat pemotongan

Contoh : hampiran fungsi sin xdengan bantuan deret taylor di sekitar x = 0

Galat pembulatan

f ( x )=x (√ x+1−√x )

g ( x )= x√x+1+√ x

Contoh :

x = 250

f ( x )=x (√ x+1−√x )

f ( x )=250 (√250+1−√250 )

f ( x )=250 (√251−√250 )

f ( x )=250 (15,843−15,811)

f ( x )=250 (0,032 )

f ( x )=8

g ( x )= x√x+1+√ x



2011

g ( x )= 250√250+1+√250

g ( x )= 250√251+√250

g ( x )= 25015,843+15,811

g ( x )= 25031,654

g ( x )=7,9



2011

DERET MAC LAURIN DAN TAYLOR

Untuk penjelasan tentang deret Taylor dan Mac Laurin kita misalkan f ( x ) dapat diturunkan

sampai k kali pada x=b. Maka f ( x ) dapat diperderetkan menjadi deret seperti berikut :

f ( x )=∑k=0

∞ f ( k )(b)k !

(x−b)k= f (b )+ f ' (b ) ( x−b )+ f ' ' (a)2 !

(x−b)2+…

Deret di atas disebut Deret Taylor dengan pusat x=b atau disebut dengan polynomial taylor pada

x=b. Bila b=0 maka disebut deret Mac Lurin, yaitu berbentuk seperti berikut :

f ( x )=∑k=0

∞ f ( k )(0)k !

xk=f (0 )+ f ' (0 ) x+ f ' '(0)2 !

x2+…

Penjelasan di atas saya dapat dari buku, kemudian ada lagi rumus yang lebih saya mengerti

dari pak Riza, yaitu :

Rumus Taylor :

f ( x )=f ( x )+(x−x0 )1

1 ! f ' ( x )+(x−x0 )2

2 ! f ' ' ( x )+(x−x0 )3

3 ! f ' ' ' ( x )+(x− x0 )4

4 ! f ' ' ' ' ( x)+…

Biasanya, agar memudahkan dalam penghitungan dimisalkan x−x0=H

Sehingga, rumus akan berubah seperti berikut :

f ( x )=f ( x )+ H1

1 !f ' (x )+ H

2

2!f ' ' ( x )+ H

3

3 !f ' ' ' ( x )+H

4

4 !f ' ' ' ' ( x )+…

Contoh soal :

Hampiri fungsi f ( x )=e5 x ke dalam deret Mac Laurin sekitar x0 = 0

Penurunan

f ( x )=e5 x

f ' ( x )=5e5 x

f ' ' (x )=25e5 x

f ' ' ' (x )=125e5 x

f ' ' ' ' (x )=625 e5 x

f ( x )=f ( x )+ H1

1 !f ' (x )+ H

2

2!f ' ' ( x )+ H

3

3 !f ' ' ' ( x )+H

4

4 !f ' ' ' ' ( x )+…

f ( x )=e5 x+ H1

1!5e5x+H

2

2 !25 e5 x+ H

3

3!125e5x+ H

4

4 !625 e5x+…

f ( x )=e5 x+5H e5 x+ H2

2.125e5 x+ H3

3.2.1125 e5 x+ H4

4.3 .2 .1625 e5x+…



2011

f ( x )=e5 x+5H e5x+25H2 e5x

2+ 125H 3e5x

6+ 625H4 e5x

24+…

f ( x )=e5 x+5H e5 x+12,5H 2e5x+20,833H3e5x+26,042H4 e5x+…



2011

ELIMINASI GAUSS

Contoh soal untuk Eliminasi Gauss

Selesaikan persamaan linier berikut dengan Eliminasi Gauss

x1+3x2+2 x3=3

2 x1−x2−3x3=−8

5 x1+2 x2+ x3=9

[1 3 22 −1 −35 2 1

¿ 3¿ −8¿ 9 ] membuat nilai yang ada dalam segitiga nol

x1+3x2+2 x3=3 B1

2 x1−x2−3x3=−8 B2

5 x1+2 x2+ x3=9 B3

B2 baru = B2 - 2B1

B2 → 2 x1−x2−3 x3=−8

2B1 → 2 x1+6 x2+4 x3=6 –

B2 baru→ 0−7 x2−7 x3=−14

B3 baru = B3 - 5B1

B3 → 5 x1+2 x2+ x3=9

5B1 → 5 x1+15 x2+10x3=15 –

B2 baru→ 0−13 x2−9 x3=−6

Matriks baru

x1+3x2+2 x3=3 B1

0−7 x2−7 x3=−14 B2

0−13 x2−9 x3=−6 B3



2011

B3 baru = B3 - 137 B2

B3 → 0−13 x2−9 x3=−6

137 B2 → 0−13 x2−13x3=

−1047 -

B3 baru→ 0−0−4 x3=627

Matriks akhir

x1+3x2+2 x3=3 B1

0−7 x2−7 x3=−14 B2

0−0−4 x3=627 B3

Subtitusi terbalik

−4 x3=627

x3=627x−1

4

x3=6228

=2,214→−7 x2−7 x3=−14

−7 x2−7.2,214=−14

−7 x2−15,5=−14

−7 x2=−14+15,5

−7 x2=1 ,5

x2=−1,5

7=0,214

x3=2,214 , x2=0,214→x1+3 x2+2x3=3

x1+3.0,214+2. 2,214=3

x1+0,642+4,428=3

x1+5,07=3

x1=3−5,07

x1=−2,07

Pengecekan

x1+3x2+2 x3=3

−2,07+3.0,214 +2. 2,214=3



2011

−2,07+0,642+4,428=3

3=3

JACOBI

Contoh soal untuk Iterasi Jacobi

Selesaikan persamaan linier berikut dengan iterasi Jacobi dengan nilai awal x1 , x2 , x3= 3

sampai iterasi 2

x1+3x2+2 x3=3

2 x1−x2−3x3=−8

5 x1+2 x2+ x3=9

SPL tersebut dapat ditulis sebagai matriks seperti sebagai berikut :

[1 3 22 −1 −35 2 1 ] (x1

x2

x3) = ( 3

−89 )

A = [1 3 22 −1 −35 2 1 ], x = (x1

x2

x3) , B = ( 3

−89 )

A11 = 1 A21 = 3 A31 = 2 B1 = 3

A12 = 2 A22 = -1 A32 = -3 B2 = -8

A13 = 5 A23 = 2 A33 = 1 B3 = 9

Iterasi 1 (x1)

x1(1)=b1−a12

(0 ) . x2−a13( 0) . x3−a14

(0 ) . x4

a11

x1(1)=

3−2. x2−5 . x3

1

Iterasi 1 (x2)

x2(1)=b2−a11

(0 ) . x1−a13(0 ) . x3−a14

( 0) . x4

a12

x2(1)=

−8−1. x1−5. x3

2



2011

Iterasi 1 (x3)

x3(1)=b3−a11

(0 ) . x1−a12(0 ) . x2−a14

( 0) . x4

a13

x3(1)=

9−1 . x1−2 . x2

5

Iterasi 2 (x1)

x1(2)=

3−2.x2−5. x3

1

x1(2)=3−2.3−5. 3

1

x1(2)=3−6−15

1=−18

1=−18

Iterasi 2 (x2)

x2(2)=

−8−x1−5.x3

2

x2(2)=−8−3−5.3

2

x2(2)=−8−3−15

2=−26

2=−13

Iterasi 2 (x3)

x3(2 )=

9−x1−2. x2

5

x3(2 )=9−3−2.3

5

x3(2 )=9−3−6

5=0

5=0

x1(2)=¿-18

x2(2)=¿-13

x3(2 )=0



2011



2011

INTERPOLASI

1. Interpolasi Linear

2. Interpolasi Kuadratik

3. Interpolasi Polinomial

4. Interpolasi Lagrange

1. Interpolasi Linear

Algoritma Interpolasi Linear

1. Tentukan 2 titik A1 dan A2 dengan koordinatnya masing-masing (x1 , y1) dan (x2 , y2)

2. Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari

3. Hitung nilai y dengan :

y=y2− y1

x2−x1(x−x1 )+ y1

4. Tampilkan nilai titik yang baru Q(x , y)

Persamaan garis lurus yang melalui 2 titik P1 (x1 , y1) dan P2 (x2 , y2) adalah :

y− y1

y2− y1=x−x1

x2−x

Sehingga persamaan dari interpolasi linear adalah :

y= y1+y2− y1

x2−x1(x−x1 )

Contoh soal :

Jumlah pemakai handphone android di kediri diberikan pada table dibawah ini :

tahun 2007 2008 2009 2010 2011

jumlah 5 ? 15 ? 50

Gunakan interpolasi linear untuk menaksir jumlah mahasiswa tahun 2008 dan 2010

Ditanya :

- Jumlah pemakai 2008 = …?

- Jumlah pemakai 2010 = …?

Jawab :



2011

Jumlah pemakai handpone android tahun 2008 adalah :

x1 = 2007

y1 = 5

x2 = 2009

x2 = 15

f ( x )= y1+y2− y1

x2−x1(x−x1 )

f (2008 )=5+ 15−52009−2007

(2008−2007 )

f (2008 )=5+ 102

(1 )

f (2008 )=10

x1 = 2009

y1 = 15

x2 = 2011

x2 = 50

f ( x )= y1+y2− y1

x2−x1(x−x1 )

f (2010 )=15+ 50−152011−2009

(2010−2009 )

f (2010 )=15+ 352

(1 )

f (2010 )=15+17,5=32,5

Interpolasi kuadratik

Interpolasi kuadratik digunakan untuk mencari titik-titik antara 3 buah titik A (x1 , y1), B

(x2 , y2), C(x3 , y3) dengan menggunakan pendekatan fungsi kuadrat.

Untuk memperoleh titik Q(x , y) digunakan interpolasi kuadratik sebagai berikut :

y= y1(x−x2 ) (x−x3 )

( x1−x2 ) (x1−x3 )+ y2

( x−x1 ) (x−x3 )(x2−x1 ) (x2−x3 )

+ y3(x−x1 ) (x−x2 )

(x3−x1 ) (x3−x2 )



2011

Contoh soal :

x x1=7 x=5 x2=3 x3=1

y y1=3,32 ????? y2=5,23 y3=7,21

y= y1(x−x2 ) (x−x3 )

( x1−x2 ) (x1−x3 )+ y2

( x−x1 ) (x−x3 )(x2−x1 ) (x2−x3 )

+ y3(x−x1 ) (x−x2 )

(x3−x1 ) (x3−x2 )

y=3,32 (5−3 ) (5−1 )(7−3 ) (7−1 )

+5,23 (5−7 ) (5−1 )(3−7 ) (3−1 )

+7,21 (5−7 ) (5−3 )(1−7 ) (1−3 )

Interpolasi polynomial

Interpolasi polynomial digunakan untuk mencari titik-titik antara n buah titik. P1 (x1 , y1) ,

P2 (x2 , y2) , P3 (x3 , y3) , P4 (x4 , y4) dengan menggunakan pendekatan fungsi polynomial

pangkat n-1 :

y=a0+a1 . x+a2 . x2+…+an−1 . x

n−1

Masukkan nilai dari setiap titik ke dalam persamaan polynomial di atas dan diperoleh

persamaan simultan dengan n persamaan dan n variable bebas :

y1=a0+a1 . x1+a2 . x12+…+an−1 . x1

n−1

y2=a0+a1 . x2+a2 . x22+…+an−1 . x2

n−1

y3=a0+a1 . x3+a2 . x32+…+an−1 . x3

n−1

yn=a0+a1 . xn+a2 . xn2+…+an−1 . xn

n−1

Interpolasi Lagrange

Rumus :

f ( x )=L0 ( x ) . f ( x0 )+L1 ( x ) . f (x1 )+L2 ( x ) . f (x2 )+L3 ( x ) . f (x3)

L0 ( x )=( x−x1

x0−x1)( x−x2

x0−x2)( x−x3

x0−x3)

L1 ( x )=( x−x0

x1−x0)( x−x2

x1−x2)( x−x3

x1−x3)

L2 (x )=( x−x0

x2−x0)( x−x1

x2− x1)( x−x3

x2−x3)



2011

L3 (x )=( x−x0

x2−x0)( x−x1

x3−x1)( x−x2

x3−x2)

Jadi f ( x )=L0 ( x ) . f ( x0 )+ L1 ( x ) . f (x1 )+L2 ( x ) . f (x2 )+L3 ( x ) . f (x3)

f ( x )=( x−x1

x0−x1)( x−x2

x0−x2)( x−x3

x0−x3) . f (x0 )+( x−x0

x1−x0)( x−x1

x1−x2)( x−x3

x2−x3) . f (x1 )+( x−x0

x2−x0)( x−x1

x2−x2)( x−x3

x2−x3). f (x2 )+( x−x0

x2−x0)( x−x1

x3−x1)( x−x2

x3−x2). f (x3)

Contoh soal

Jika diketahui table berikut :

x 3 5 7 9

f(x) 7 5 3 1

x0 = 3 y0 = 7

x1 = 5 y1 = 5

x2 = 7 y2 = 3

x3 = 9 y3 = 1

Tentukan nilai di titik x = 5

L0 ( x )=( x−x1

x0−x1)( x−x2

x0−x2)( x−x3

x0−x3)

L0 ( x )=( 5−53−5 )( 5−7

3−7 )( 5−93−9 )

L1 ( x )=( x−x0

x1−x0)( x−x2

x1−x2)( x−x3

x1−x3)

L1 ( x )=( 5−35−3 )( 5−7

5−7 )( 5−95−9 )

L2 (x )=( x−x0

x2−x0)( x−x1

x2− x1)( x−x3

x2−x3)

L2 (x )=( 5−37−3 )( 5−5

7−5 )( 5−97−9 )



2011

L3 (x )=( x−x0

x3−x0)( x−x1

x3−x1)( x−x2

x3−x2)

L3 (x )=( 5−39−3 )( 5−5

9−5 )( 5−79−7 )


tugas akhir metode numerik ana tsalitsatun file · web viewtugas akhir metode numerik...

Documents