8/16/2019 TUGAS 3 dan 4 (1)

1/20

TUGAS KELOMPOK 

MATA KULIAH TEORI PROBABILITAS

TUGAS 2, TUGAS 3, TUGAS 4

Dosen:

Prof.Dr.Dja! Kera"!

O#e$:

%!r! A#&an! '(2)*(+-23

Mar&ana '(2)*(++-

MAGISTER MATEMATIKA

DEPARTEME/ MATEMATIKA

%AKULTAS MATEMATIKA DA/ ILMU PE/GETAHUA/ ALAM

U/I0ERSITAS I/DO/ESIA

DEPOK 

2)(3

8/16/2019 TUGAS 3 dan 4 (1)

2/20

TUGAS 2

8/16/2019 TUGAS 3 dan 4 (1)

3/20

8/16/2019 TUGAS 3 dan 4 (1)

4/20

TUGAS 3

8/16/2019 TUGAS 3 dan 4 (1)

5/20

TUGAS 3

1. Diberikan a, b integer >0

X : peubah acak (p.a) diskrit bernilai integer > 0, sedemikian sehingga:

 P ( X = x )=1

a−

1

b,untuk  1≤x≤ab  P ( X = x )=0

1) Apakah syarat yang harus dipenuhi a dan b agar p(x)!(Xx) memenuhi h"kum

 pr"babilitas dari X

#) $entukan %ungsi distribusi dari X, i.e &(x). 'ambarkan gra%iknya.

) itunglah *(X). +erapakah nilainilai a dan b agar *(X)-#

1AAB:

a, b > 0

x peubah acak diskrit > 0

1) /yarat yang harus dipenuhi a dan b agar p(x)!(Xx) memenuhi hukum pr"babilitas

dari X

 P ( X = x )=0, x>ab  P( X = x)=1

a−

1

b,1≤x≤ab

a. /yarat pertama

 P ( x )≥0  1

a−1

b ≥0

b−aab ≥0 b−a≥0 b≥a…①

 b. /yarat kedua

∑ P ( x )=1   ∑ P ( x )=∑ x=1

ab1

a−

1

b=1   ¿( 1a−1b )∑ x=1

ab

1=1   ¿(1a−1

b )ab=1

¿b−aab

∙ab=1 b−a=1….

adi, syarat yang harus dipenuhi a dan b agar p(x)!(Xx) memenuhi hukum pr"babilitas dari X adalah b≥a  dan b a 1.

#) &ungsi distribusi dari X, i.e &(x).

 F ( x )=∑i ≤ x

f  (i )  F ( x )=∑i=1

 x

f  (i )  F ( x )=∑i=1

 x1

a−

1

b,untuk 1≤x≤ab

 F ( x )= x (1

a−

1

b

),1≤x≤ab  F ( x )=

 x

ab

8/16/2019 TUGAS 3 dan 4 (1)

6/20

0 1 2 3

1

ab…… x …… x

F(x)

&ungsi distribusi dari X, i.e &(x) dapat digambarkan dalam gra%ik diba2ah ini:

/etelah memper"leh %ungsi distribusi, maka kita dapat per"leh penyelesaian dari

 F ( x )=1

2(mediandari X )

&ungsi distribusi dari X F ( x )=  x

ab , sehingga

 F ( x )= x

ab

1

2=

 x

ab

 x=ab

2  sehingga diper"leh x=

1

2ab

) 3encari nilai *(X)

 E ( X )=∑i=1

∞

 xi f  ( xi )   ¿∑1

ab

 x ∙ 1

a−

1

b  ¿∑

1

ab

 x ∙b−aab

  ¿b−aab ∑ x=1

ab

 x   ¿  1

ab∑1

ab

 x

/etelah nilai *(X) diper"leh maka akan ditentukan nilai a dan b yang memenuhi *(X)

agar E ( X )= 7

2 .

8/16/2019 TUGAS 3 dan 4 (1)

7/20

 E ( X )=7

2  ∑

 x=1

ab

 x .  1

ab=

7

2

1

ab+

 2

ab+

 3

ab+…+

ab

ab=

7

2

1

ab(1+2+3+…+ab )⏟

Sn

=7

2

karena (1+2+3+…+ab )=Sn  dimana Sn= n2 (a+U n )  sehingga persamaan

1

ab(1+2+3+…+ab)⏟

Sn

=7

2 dengan n ab dapat dituliskan :

1

ab.[ ab2   (1+ab )]=72

 (1+ab )ab

  =7

2  1+ab=7

 ab=6

Dari 1) diper"leh b a 1 maka di dapat dituliskan b 1 4 a dan a b 41.

/ubtitusikan nilai b 1 4 a ke persamaan ab 5, sehingga :

ab=6   (b−1 )b=6 b2−b−6=0   (b−3 ) (b+2 )=0

b=3danb=2  

karena nilai b selalu p"siti% maka nilai b . /ubtitusikan b ke persamaan

a=b+1  sehingga diper"leh :

a=b−1 a=3−1 a=2

adi, nilainilai a dan b agar E ( X )=

7

2adalaha=2danb=3

.

8/16/2019 TUGAS 3 dan 4 (1)

8/20

TUGAS 4

8/16/2019 TUGAS 3 dan 4 (1)

9/20

TUGAS 4

1. !eubah acak (p.a) +ern"ulli bernilai 1 dan 0 dengan pr"babilitasnya masingmasing p

dan 6 1 p

(1) itunglah m"men pusat dan bukan pusat "rde k dari X, itung 7uga khusus *(X)

dan 8(X)

(#) 9yatakan X*(X) danZ =

  1

1−Y 

1AAB:

(1)

a. itung m"men pusat

 M (t )=∑ etx f  ( x )   ¿et 0f  (0 )+e t .1 f  (1)   ¿1. (1−  )+et .

¿1− +et 

.   ¿1+ (et 

−1)  

 b. itung *(X) dan 8(X)

 x .  x (1− )1− x=0+¿  1(1− )1−1= 

 E ( X )=∑ x=0

1

 x . f  ( x)=∑ x=0

1

¿

!ar ( X )= E [ ( X − E ( X  ) )2 ]=∑ x=0

1

( x− E ( X ) )2 . f  ( x)

¿∑ x=0

1

( x−  )2 .  x (1− )1− x

¿ (−  )2 . 0(1− )1+(1−  )2. 1(1− )0

¿ 2(1− )+ (1−  )2 

¿ 2− 3+ −2  2+ 3

¿ − 2

  ¿  (1− )

(#) a. Y = X − E ( X )= X − 

8/16/2019 TUGAS 3 dan 4 (1)

10/20

 b.Z =

  1

1−Y  =

  1

1−( X − )=

  1

1− X + 

#. ukum bin"mial3isal n:integer p"s dan p bilangan real antara 0 dan 1

!erhatikan %ungsi %(x), dide%inisikan sebagai

f  ( x )=" k n 

k (1−  )n−k , untuk x=0,1,2,…,n " k n=(nk )

(1) $un7ukkan bah2a %(x) dapat dipandang sebagai hukum dari suatu p.a diskrit X

(#)$entukan *(X) dan 8ar(X)

1AAB:

(1) $un7ukkan bah2a %(x) dapat dipandang sebagai h"kum dari suatu peubah acak

diskrit X

(a+b)n=∑ x=0

n

"  xna xb

n− x,untuk a>0,b>0  ika a = p , b = 1 – p , dan 0 ; p ; 1 maka

(a+b)n=[ +(1−  ) ]n=∑ x=0

n

"  xn 

 x (1− )n− x

  /ehingga diper"leh:

∑ x=0

n

f ( x )=∑ x=0

n

"  xn 

 x (1− )n− x=[ +(1− ) ]n=1n=1

 

8/16/2019 TUGAS 3 dan 4 (1)

11/20

¿∑ x=1

n x . n(n−1)#

 x . ( x−1 )# (n− x )#  .

 x−1(1− )n− x

¿n∑ x=1n ( n−1 ) #

( x−1 )# (n− x )#   x−1

(1−  )n− x

¿n∑ x=1

n

" ( x−1 )(n−1)

  x−1(1− )n− x

3isal y x 1 dan m n 1 maka batasbatasnya men7adi:

=ntuk x 1 maka y 0

=ntuk x n maka y n 1 m

/ehingga

 E ( X )=n∑ $=0

m

"  $m 

 $ (1− )m−  $=n (1 )=n

 b. 3enentukan 8ar (X)

!ar ( X )= E [( X − E ( X ) )2 ]= E [ X 2−2 XE ( X )+ E ( X )2 ]

 X 

(¿¿2)−2 E( X ) E ( X )+[ E ( X ) ]2

¿ E ¿

 X 

(¿¿2)−[ E ( X ) ]2

¿ E ¿

¿ E[ X  ( X −1)+ X ]− [ E ( X ) ]2

¿ E[ X  ( X −1) ]+ E( X )− [ E ( X ) ]2

8/16/2019 TUGAS 3 dan 4 (1)

12/20

 x ( x−1 ) . f  ( x )=¿∑ x=0

n

 x ( x−1 )"  xn 

 x (1− )n− x

 E [ X  ( X −1 ) ]=∑ x=0

n

¿

¿∑ x=2

n x ( x−1) . n# x # (n− x )#

  x (1− )n− x

¿∑ x=2

n x ( x−1 )n#

 x . ( x−1 )( x−2)# (n− x )# 

 x (1− )n− x

¿∑ x=2n

n (n−1 )(n−2)#( x−2 ) # (n− x ) #  

2

  x−2

(1−  )n− x

¿n(n−1) 2∑ x=2

n

" ( x−2)(n−2)

  x−2(1− )n− x

3isal y x # dan m n #maka batasbatasnya men7adi:

=ntuk x # maka y 0

=ntuk x n maka y n # m

/ehingga

 E [ X ( X −1) ]=n (n−1 )  2∑ $=0

m

"  $m 

 $ (1−  )m− $

  ¿n (n−1 )  2

(1)=n (n−1 ) 2

adi, !ar ( X )= E [ X ( X −1) ]+ E ( X )−[ E ( X ) ]2

n (n−1 ) 2+n−n2 2

n2 

2−n 2+n−n2 2

8/16/2019 TUGAS 3 dan 4 (1)

13/20

n−n 2=n(1− )

8/16/2019 TUGAS 3 dan 4 (1)

14/20

. ukum !"iss"n !(3)

3isal m : bilangan real p"s. !erhatikan %ungsi yang dide%inisikan untuk semua x p"s

atau n"l sebagai :

f  ( x )=e−m m x

 x #

(1) $un7ukkan bah2a %(x) dapat dipertimbangkan sebagai h"kum pr"b dari suatu p.a

diskret X

(#) itung *(X) dan 8ar(X)

1AAB:

(1) $un7ukkan bah2a %(x) dapat dipertimbangkan sebagai h"kum pr"b dari suatu p.a

diskret X

f  ( x )=e−m m

 x

 x #  , x ≥ 0

∑ x=0

∞

f ( x )=∑ x=0

∞

e−m m

 x

 x #=e−m∑

 x=0

∞m

 x

 x #

¿e−m(1+m1

1 #+m

2

2 #+m

3

3 #+…)

¿e−m+em=1

8/16/2019 TUGAS 3 dan 4 (1)

15/20

/ehingga

 E ( X )=∑ $=0

∞e−m

m $+1

 $ #  =m∑

 $=0

∞e−m

m $

 $ #  =m (1 )=m

+erdasarkan de%inisi !ar ( X )= E [ X ( X −1 )]+ E ( X )−[ E ( X ) ]2

 E [ X ( X −1 ) ]=∑ x=0

∞

 x ( x−1 ) . f  ( x )=∑ x=0

∞

 x ( x−1 ) e−mm x

 x #

¿∑ x=2

∞

 x ( x−1 )e−mm

 x

 x ( x−1 )( x−2) #

=∑ x=2

∞

e−m m

 x

( x−2)#

3isal y x # maka batasbatasnya men7adi:

=ntuk x # maka y 0

=ntuk x ∞  maka y ∞

/ehingga

 E [ X  ( X −1 ) ]=∑ x=2

∞

e−m m

 x

( x−2 ) #=∑

 $=0

∞

e−m m

 $+2

 $ #

¿m2∑ $=0

∞

e−m m

 $

 $ #

¿m2 (1)=m2

adi, !ar ( X )= E [ X  ( X −1 ) ]+ E ( X )−[ E ( X  ) ]2=m2+m−m2=m

8/16/2019 TUGAS 3 dan 4 (1)

16/20

. 3isal ?a,b@ suatu interal dalam B. X:p.a k"ntinu yang mempunyai densitas %(x) yang

dide%insikan sebagai:

f  ( x )=  1

b−a ,untuk x∈ [a ,b ]m (b>a )   ¿0,untuk $an%lain

8/16/2019 TUGAS 3 dan 4 (1)

17/20

 E( X )   ∫a

b

 x  1

b−adx  

1

2

 x2

b−a ]ab

 b

2−a2

2(b−a)   (b+a)(b−a)

2(b−a)  

b+a2  

 E( X 2)   ∫a

b

 x2   1

b−adx  

1

3

 x3

b−a ]ab

 b

3−a3

3 (b−a)  

b

(¿¿2+ab+a2)(b−a)3 (b−a)

¿

 

b

(¿¿2+ab+a2)3

¿

!ar ( X )    E( X 2)− [ E ( X )]2  

b

(¿¿2+ab+a2)3

−b+a2

¿

 

b

b(¿¿2+2ab+a2)

4

(¿¿2+ab+a2)3

−¿

¿

 

4b

2+4ab+4a2−3b2−6ab−3 a2

12  

b

(¿¿2−2ab+a2)12

¿ 

(b−a)2

12

() $entukan &(X)

8/16/2019 TUGAS 3 dan 4 (1)

18/20

 F ( x )=∫a

 x

f  ( x ) dx   ¿∫a

 x1

b−adx   ¿

 x−ab−a

untuk x∈[a,b ]

8/16/2019 TUGAS 3 dan 4 (1)

19/20

. ukum n"rmal  & (m,' )

!erhatikan %ungsi %(u) yang dide%inisikan sebagai f  (u )=ke−u2

2 ,∀ u∈ (

(1) $entukan k"nstanta

k ∋ f (u) merupakan densitas pr"b dari suatu p.a k"ntinu =

(#) itung *(=) dan 8ar(=)

1AAB:

(1) $entukan k"nstanta k ∋ f (u)  merupakan densitas pr"b dari suatu p.a k"ntinu =

Agar %(u) merupakan pd% dari peubah acak k"ntinu = , maka ∫−∞

∞

f (u)du=1

/ehingga

∫−∞

∞

ke

−u2

2 du=k [∫−∞

∞

e

−u2

2 du]=k [∫−∞

0

e

−u2

2 du+∫0

∞

e

−u2

2 du ]

¿k [2∫0

∞

e

−u2

2 du]=2k [∫0

∞

e

−u2

2 du]=2k  √ 2) 2   =k √ 2)    ∫−∞∞

ke

−u2

2 du=1

k √ 2) =1 k =  1

√ 2) 

(#) itung *(=) dan 8ar(=)

3"men generating %uncti"n dari %(u) adalah

 M (t )= E (etu )=∫−∞

∞

etu.

  1

√ 2) e

−u2

2 du=∫−∞

∞1

√ 2 ) etue

−u2

2 du

¿∫−∞

∞1

√ 2 ) e

tu−u2

2

du=∫−∞

∞1

√ 2) e

−12

(u2−2 tu )

du=∫−∞

∞1

√ 2) e

−12

(u2−2 tu+t 2−t 2)

du

¿∫−∞

∞1

√ 2 ) e

−12

  ((u−t )2−t 2 )du=∫

−∞

∞1

√ 2) e

1

2t 

2

e

−12

  (u−t )2

du=e1

2t 

2

∫−∞

∞1

√ 2) e

−12

  (u−t )2

du⏟

−1

¿e1

2t 2

8/16/2019 TUGAS 3 dan 4 (1)

20/20

 M (t )=e1

2t 

2

 M * ( t )=te1

2t 

2

+M * (0 )=0  M **  (t )=e

1

2t 2

+t 2e1

2t 2

+M * *  (0 )=1

maka  E ( X )= M *  (0 )=0 !ar ( X )= M  (0)- {[M'(0)]} ^ {2} ¿1−0   ¿1