transformasi laplace
DESCRIPTION
DIKTAT MATKUL MATEMATIKA TEKNIKTRANSCRIPT
BAB VII
PAGE Danang Yugo PratomoPKJ 2013/ 130551818136
TRANSFORMASI LAPLACE1. Transformasi Laplace Definisi Transformasi Laplace adalah suatu metode operasional yang dapat digunakan secara mudah untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier. Dengan menggunakan transformasi Laplace, dapat diubah beberapa fungsi umum seperti fungsi sinusoida, fungsi sinusoida teredam, dan fungsi eksponensial menjadi fungsi-fungsi aljabar variabel kompleks. Bila persamaan aljabar dalam s dipecahkan, maka penyelesaian dari persamaan diferensial (transformasi Laplace balik dari variabel tidak bebas) dapat diperoleh dengan menggunakan tabel transformasi Laplace. Suatu kelebihan metode transformasi Lapalace adalah bahwa metode ini memungkinkan penggunaan teknik grafis untuk meramalkinerja sistem tanpa menyelesaikan persamaan diferensial sistem. Kelebihan lain metode transformasi Laplace adalah diperolehnya secara serentak baik komponen transien maupun komponen keadaan tunak. Secara sederhana prosedur dasar pemecahan menggunakan metode transformasi Laplace adalah:
Persamaan diferensial yang berada dalam kawasan waktu (t), ditransformasikan ke kawasan frekuensi (s) dengan transformasi Laplace. Untuk mempermudah proses transformasi dapat digunakan tabel transformasi laplace.
Persamaan yang diperoleh dalam kawasan stersebut adalah persamaan aljabar dari variabel s yang merupakan operator Laplace.
Penyelesaian yang diperoleh kemudian ditransformasi-balikkan ke dalam kawasan waktu.
Hasil transformasi balik ini menghasilkan penyelesaian persamaan dalam kawasan waktu.
2. Notasi Transformasi Laplace Misalkan suatu fungsi t dan t > 0, maka transformasi Laplace dari F(t) dinotasikan dengan L{F(t)} yang didefinisikan oleh:
Karena adalah integral tidak wajar dengan batas atas di tak hingga () maka
Transformasi Laplace dari F(t) dikatakan ada, jika integralnya konvergen untuk beberapa nilai s, bila tidak demikian maka transformasi Laplace tidak ada. Selanjutnya bila suatu fungsi dari t dinyatakan dengan huruf besar, misalnya W(t), G(t), Y(t) dan seterusnya, maka transformasi Laplace dinyatakan dengan huruf kecil yang bersangkutan sehingga L {W(t)} = w(s), L {G(t)} = g(s), L {Y(t)} = y(s) dan seterusnya. Teorema
Jika F(t) adalah fungsi yang kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap interval 0N dan eksponensial berorde untuk t > N, maka transformasi Laplace f(s) ada untuk setiap s >
Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace beberapa fungsi sederhana.
No.
1.1
2.t
3.t
4.t
n = 0,1,2,3,.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Sebagai pemahaman bagi pembaca, berikut ini diberikan beberapa contoh transformasi Laplace suatu fungsi.
Tentukan transformasi Laplace fungsi berikut:1.
2.
3.
4.
5.
Syarat Cukup Transformasi Laplace Ada
Jika F(t) adalah kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap selang berhingga 0dan eksponensial berorde untuk t > N, maka transformasi Laplacenya f(s) ada untuk semua s > .Perlu ditekankan bahwa persyaratan-persyaratan yang dinyatakan adalah cukup untuk menjamin bahwa transformasi Laplace-nya ada. Akan tetapi transformasi Laplace dapat ada atau tidak walaupun persyaratan ini tidak dipenuhi.
3. Metode Transformasi LaplaceUntuk memudahkan bagi pengguna matematika, terdapat beberapa cara yang digunakan untuk menentukan transformasi Laplace. Cara tersebut adalah:
a. Metode langsung, berkaitan dengan definisi.Metode ini berkaitan langsung dengan definisi
Contoh
b. Metode Deret
Misal F(t) mempunyai uraian deret pangkat yang diberikan oleh
Maka transformasi Laplacenya dapat diperoleh dengan menjumlahkan transformasi setiap sukunya dalam deret, sehingga:
, syarat ini berlaku jika deretnya konvergen untuk s >
c. Metode Persamaan differensial
Metode ini menyangkut menemukan persaman differensial yang dipenuhi oleh F(t) dan kemudian menggunakan teorema-teorema di atas.
d. Menurunkan terhadap parameter
e. Aneka ragam metode, misalnya dengan menggunakan teorema-teorema yang ada.f. Menggunakan tabel-tabel, melalui penelusuran rumus yang sudah ditetapkan. 4. Sifat-sifat Transformasi Laplace
Transformasi Laplace suatu fungsi mempunyai beberapa sifat, sifat-sifat tersebut antara lain:a) Sifat linear
Jika c dan cadalah sebarang konstanta, sedangkan dan adalah fungsi-fungsi dengan transformasi-transformasi Laplace masing-masing dan , maka:
Bukti:
1.
2.
3.
4.
Dengan menggunakan sifat linear, tentukan transformasi Laplace fungs berikut.
1. t2.
3.
4.
5.
6.
b) Sifat translasi atau pergeseran pertama
Jika
Bukti
Karena , maka
Contoh:
1. Tentukan
Menurut sifat 2 di atas,
Maka
2. Tentukan
Menurut sifat 2 di atas,
Karena
3. Tentukan
Karena maka menurut sifat translasi pertama
4. Tentukan
Me6nurut sifat linear,
}
Karena
maka menurut sifat translasi
, dan
sehingga
L{e
SoalTentukan transformasi Laplace fungsi 1)
2)
3)
4)
5)
6)
c. Sifat translasi atau pergeseran kedua
Jika dan
maka
Bukti
Misal u = t-a maka t = u+a dan du = dt, sehingga
Contoh
Carilah jika
Menurut definisi transformasi Laplace
d. Sifat pengubahan skala
Jika maka
Bukti
Karena
maka
Misal
Menurut definisi
Contoh:
1. Jika
maka
Soal:
1. Hitunglah jika
2. Jika , carilah
3. Jika carilah
Jawab Karena maka menurut sifat 4 diperoleh
Sehingga
Berdasarkan sifat Jika
maka (sifat 2)
Maka
e. Transformasi Laplace dari turunan-turunan
Jika maka
Karena Karena , maka
Jika maka
Bukti
Dengan cara yang sama diperoleh
Akhirnya dengan menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa, jika
maka
Contoh soalDengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turuan, tunjukkan bahwa
Misal diperoleh
sehingga
Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turunan diperoleh
f. Tansformasi Laplace dari integral-integral
Jika maka
Bukti:
Misal maka
Dengan mentransformasikan Laplace pada kedua pihak, diperoleh:
Jadi diperoleh
Contoh1. Carilah
Misal
Maka
Sehingga menurut sifat transformasi di atas
2. Buktikan Bukti:
Misal
dan
Dengan mengambil transformasi Laplace kedua bagian
Menurut teorema harga awal,
Sehingga diperoleh .
Jadi
3. Buktikan
Bukti:
Misal maka atau
Menurut teorema harga akhir, sehingga c = 0.
Jadi atau
g. Perkalian dengan t
Jika maka
Bukti.
Karena maka menurut aturan Leibnitz untuk menurunkan dibawah tanda integral, diperoleh:
Jadi
Contoh1. Tentukan
Jawab
, maka menurut sifat perkalian dari pangkat tdiperoleh
, sehingga
2. Tentukan
Menurut sifat di atas,
h. Sifat pembagian oleh t
Jika maka
Bukti:
Misal maka
Dengan menggunakan definisi transformasi Laplace untuk kedua bagian, maka diperoleh bentuk atau
Selanjutnya dengan mengintegralkan diperoleh
.
Jadi
Soal-soal
1) Tentukan transformasi Laplace untuk fungsi yang diberikan
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
2) Jika
Carilah
3) Diketahui a. carilah
b. carilah
c. apakah berlaku untuk kasus ini
4) Tunjukkan bahwa
5) Tunjukkan bahwa
6) Perlihatkan bahwa
a.
b.
7) Tunjukkan bahwa:
a.
b. Jika maka
5. Transformasi Laplace Invers
Definisi
Jika transformasi Laplace suatu fungsi F(t) adalah f(s), yaitu jika maka F(t) disebut suatu transformasi Laplace Invers dari f(s). Secara simbolis ditulis . disebut operator transformasi Laplace invers.
Contoh.
1. Karena maka
2. Karena maka
3. Karena maka
Ketunggalan Transformasi Laplace Invers
Misal N(t) adalah suatu fungsi dan L{N(t)} = 0 maka L{F(t)+N(t)} = L{F(t)} Dengan demikian dapat diperoleh dua fungsi yang berbeda dengan transformasi Laplace yang sama.
Contoh
dan Mengakibatkan
Jika kita menghitung fungsi-fungsi nol, maka terlihat bahwa transformasi Laplace invers tidak tunggal. Akan tetapi apabila kita tidak dapat memperhitungkan fungsi-fungsi nol (yang tidak muncul dalam kasus-kasus fisika) maka ia adalah tunggal. Hasilnya dinyatakan oleh teorema berikut.
Teorema Lerch
Jika membatasi diri pada fungi-fungsi F(t) yang kontinu secara sebagian-sebagaian dalam setiap selang berhingga 0 dan eksponensial berorde untuk t > N, maka inversi transformasi laplace dari f(s) yaitu , adalah tunggal. Jika tidak ada pernyataan lainnya, maka kita selalu menganggap ketunggalan di atas.Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace invers beberapa fungsi sederhana dibawah ini.Nomorf(s)
1.
1
2.
t
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
6. Sifat-sifat transformasi Laplace Invers
Beberapa sifat penting dari transformasi Laplace invers adalah:1) Sifat LinearMisal dan adalah sebarang bilangan konstanta, sedangkan dan berturut-turut adalah transformasi Laplace dari dan , maka:
Contoh
2) Sifat translasi atau pergeseran pertama
Jika maka
Contoh
maka
3) Sifat translasi atau pergeseran keduaJika maka
Contoh
maka
4) Sifat pengubahan skala
Jika maka
Contoh
Karena maka diperoleh
5) Transformasi Laplace invers dari turunan-turunan
Jika maka
Contoh
Karena dan maka diperoleh
6) Transformasi Laplace invers dari antiturunan-antiturunanJika maka
Contoh
Karena maka
diperoleh
7) Sifat perkalian dengan
Jika maka
Dengan demikian perkalian dengan s berakibat menurunkan F(t) Jika
f(t) , sehingga
dengan adalah fungsi delta Dirac atau fungsi impuls satuan.
Contoh
arena dan maka
8) Sifat pembagian dengan s
Jika maka
Jadi pembagian dengan s mengakibatkan integral F(t) dari 0 sampai dengan t.
Contoh
Karena maka diperoleh
9) Sifat konvolusi
Jika dan maka
F*G disebut konvolusi atau faltung dari F dan G, dan teoremanya dinamakan teorema konvolusi atau sifat konvolusi.
Contoh
Karena dan
maka diperoleh
7. Metode Transformasi Laplace Invers
Menentukan transfomasi Laplace dapat dilakukan dengan beberapa cara, sehingga dalam transformasi Laplace invers terdapat beberapa metode yang dapat digunakan, antara lain:
1) Metode pecahan parsialSetiap fungsi rasional , dengan P(s) dan Q(s) fungsi pangkat banyak (polinom) dan derajat P(s) lebih kecil dari Q(s). Selanjutnya dapat ditulis jumlah dari fungsi rasional yang mempunyai bentuk Dengan memperoleh transformasi Laplace invers tiap pecahan parcial maka dapat ditentukan
Konstanta A, B, C, dapat diperoleh dengan menyelesaikan pecahan-pecahan dan menyamakan pangkat yang sama dari kedua ruas persamaan yang diperoleh atau dengan menggunakan metode khusus.
Contoh
1. Tentukan
Jawab
atau A+B = 3 dan 2B-3A = 16 atau 2(3-A)3A=16 sehingga didapat
A = -2 dan B = 5
2. Tentukan
Jawab
Sehingga
Diperoleh A+B = 0, 2A+3B+C=1, 2A+3C=-1 Atau A = , B = , dan C =
Akhirnya diperoleh
2) Metode Deret
Jika f(s) mempunyai statu uraian dari kebalikan pangkat dari s yang diberikan oleh
Maka dibawah persyaratan-persyaratan yang sesuai kita dapat menginversi suku demi suku untuk memperoleh
Contoh
Tentukan
Jawab
=
Sehingga
+ ...3) Metode persamaan diferensial
4) Turunan terhadap statu parameter
5) Aneka ragam metode yang menggunakan teorema-teorema
6) Penggunaan tabel
7) Rumus inversi kompleks
8) Rumus Penguraian Heaviside
Andaikan P(s) dan Q(s) adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan derajat P(s) lebih kecil dari Q(s). Misal Q(s) mempunyai n akar-akar yang berbeda yaitu , k= 1, 2, 3, 4, ..., n. Maka
Bukti rumus di atas diuraikan sebagai berikut:
Karena Q(s) adalah polinomial dengan n akar berbeda ,,, ... ,maka menurut metode pecahan-pecahan parsial diperoleh
.....(1)Dengan mengalikan kedua ruas dengan (s-dan mengambil s dengan menggunakan aturan LHospital diperoleh
...Sehingga (1) dapat ditulis sebagai
dengan demikian
9) Fungsi Beta
Jika m>0 dan n>0 didefinisikan fungsi beta sebagai
B(m,n) = a dan kita dapat memperlihatkan sifat-sifat:
1.
2.
Soal-soal
1. Tentukan,a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
m.
2. Buktikan bahwa:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
3. Dengan menggunakan rumus penguraian Heaviside, tunjukkan bahwa
a.
b.
c.
d.
8. Penggunaan pada Persamaan Diferensial a) Persamaan Diferensial dengan Koefisien Konstan
Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menentukan selesaian suatu persamaan diferensial dengan koefisien konstan.
Misal ditentukan persamaan diferensial
atau dengan p,q adalah konstanta dan persamaan tersebut mempunyai syarat awal atau batas Y(0)=A dan Y(0)=B, A dan B adalah konstanta yang diberikan.
Selesaian persamaan diferensial yang diketahui dapat ditentukan dengan cara melakukan transformasi Laplace pada masing-masing persamaan dan selanjutnya gunakan syarat awal yang diberikan. Akibatnya diperoleh persamaan Aljabar .Selesaian yang diperlukan diperoleh dengan menggunakan transformasi Laplace invers dari y(s). Cara ini dapat diperluas pada persamaan-pers amaan diferensial tingkat tinggi.
Contoh
Tentukan selesaian persamaan diferencial berikut.
1) dengan Y(0) = 0 dan Y(0)=-2
Jawab
Dengan transformasi Laplace masing-masing bagian dari persamaan diferensial diperoleh
Menurut sifat (5) transformasi Laplace
, sehingga
=
=
Untuk menentukan selesaian, gunakan transformasi Laplace invers
Untuk pemeriksaan jawab di atas
dan Y(0) = 1, Y(0)=-22) dengan Y(0) = -3 dan Y(0)=5
Jawab
Dengan transformasi Laplace masing-masing bagian dari persamaan diferencial diperoleh
Menurut sifat (5) transformasi Laplace
, sehingga
Untuk menentukan selesaian, gunakan transformasi Laplace invers
b) Persamaan Diferensial dengan Koefisien Variabel Transformasi Laplace juga dapat digunakan untuk menentukan selesaian persamaan diferensial dengan koefien variable. Khususnya persamaan diferensial yang berbentuk sehingga transformasi Laplace diperoleh
Hal ini sesuai dengan sifat transformasi Laplace
Jika maka
Untuk jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut
Tentukan selesaian persamaan diferensial 1) dengan Y(0) = 1 dan Y()= 0
Jawab
Dengan transformasi Laplace pada masing-masing bagian persamaan diperoleh:
Diperoleh
Karena bila kita dapatkan , sehingga
Akhirnya didapat , hal ini memenuhi Y(=02) , dengan Y(0) = 1 dan Y(0) = 2
Jawab
Dengan transformasi Laplace pada masing-masing bagian persamaan diperoleh:
Persamaan di atas merupakan persamaan difererensial liner tingkat satu derajat satu dan dapat diubah menjadi:
Faktor integral persamaan di atas adal
Maka
Sehingga
Akhirnya diperoleh
Soal-soalTentukan selesaian persamaan diferensial berikut:
1) dengan Y(0) = 0 dan Y(0) = 1
2) dengan Y(0) = 1 dan Y(0) = 2
3) dengan Y(0) = 5 dan Y() = 0
4) dengan Y(0) = 3 dan Y(0) = 0
5) dengan Y(0)=0 dan Y(0)=7
6) dengan Y(0) = 0 dan Y(0)=-1
9. Persamaan Diferensial Simultan Pada bab sebelumnya telah dibahas tentang menentukas selesaian persamaan diferensial dengan rmenggunakan transformasi Laplace dan transformasi Laplace invrers. Selanjutnya transformasi Laplace dan transformasi Laplace invers dapat dipergunakan untuk menentukan dua atau lebih persamaan diferensial biasa simultan. Metode yang digunakan tidak berbeda dengan penjelasan sebelumnya.Persamaan diferensial simultan adalah persamaan diferensial yang secara bersama-sama sebagai unsur yang tidak dapat dipisahkan dan didalamnya terdapat turunan-turunan atau diferensial dari suatu fungsi yang belum diketahui. Di dalam persamaan difersial simultan diberikan syarat awal yang tertentu dan diketahui nilainya pada variabel yang saling bergantung.
Berikut ini diberikan beberapa contoh persamaan diferensial simultan.1.
2.
3.
Cara menentukan selesaiannya adalah dengan mengambil transformasi Laplace pada masing-masing bagian persamaan diferensial , selanjutnya gunakan metode substitusi atau eliminasi variabel persamaan dan dari proses eliminasi atau substitusi akhirnya gunakan transformasi Laplace invers pada persamaan yang diperoleh. Contoh
Tentukan selesaian persamaan diferensial simultan berikut ini
1)
Jawab
Gunakan transformasi Laplace pada masing masing persamaan, dengan menggu gunakan sifat transformasi Laplace sehingga diperoleh:
atau
Dengan metode eliminasi terhadap variabel x diperoleh:
Analog, untuk variabel y
Sehingga
Atau
dan merupakan selesaian persamaan diferensial simultan
2)
Jawab
Gunakan transformasi Laplace pada masing masing persamaan, dengan menggu gunakan sifat transformasi Laplace sehingga diperoleh:
atau
atau
Atau
Dengan metode eliminasi terhadap variabel x diperoleh:
Analog, untuk variabel y
Sehingga
merupakan selesaian persamaan diferensial simultan
Soal-soal
Tentukan selesaian persamaan diferensial simultan berikut ini:
1)
2)
3)
4)
5)
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
PAGE 1Kompetensi Dasar
a. Mahasiswa dapat menentukan transformasi Laplace fungsi dengan menggunakan metode langsung (integral tak wajar)
b. Mahasiswa dapat menentukan transformasi Laplace fungsi dengan menggunakan metode deret.
c. Mahasiswa dapat menentukan transformasi Laplace invers fungsi dengan menggunakan metode pecahan parsial.
d. Mahasiswa dapat menentukan transformasi Laplace invers fungsi dengan menggunakan rumus penguraian Heaviside.
e. Menentukan selesian persamaan diferensial tingkat tinggi dengan menggunakan aplikasi transformasi Laplace dan transformasi Laplace invres.
_1392873173.unknown
_1392873304.unknown
_1392873369.unknown
_1392873434.unknown
_1392873467.unknown
_1392873483.unknown
_1392873501.unknown
_1392873510.unknown
_1392873518.unknown
_1392873668.unknown
_1392873801.unknown
_1392873951.unknown
_1392874005.unknown
_1392873853.unknown
_1392873716.unknown
_1392873522.unknown
_1392873524.unknown
_1392873526.unknown
_1392873527.unknown
_1392873528.unknown
_1392873525.unknown
_1392873523.unknown
_1392873520.unknown
_1392873521.unknown
_1392873519.unknown
_1392873514.unknown
_1392873516.unknown
_1392873517.unknown
_1392873515.unknown
_1392873512.unknown
_1392873513.unknown
_1392873511.unknown
_1392873506.unknown
_1392873508.unknown
_1392873509.unknown
_1392873507.unknown
_1392873503.unknown
_1392873505.unknown
_1392873502.unknown
_1392873491.unknown
_1392873497.unknown
_1392873499.unknown
_1392873500.unknown
_1392873498.unknown
_1392873494.unknown
_1392873495.unknown
_1392873496.unknown
_1392873493.unknown
_1392873492.unknown
_1392873487.unknown
_1392873489.unknown
_1392873490.unknown
_1392873488.unknown
_1392873485.unknown
_1392873486.unknown
_1392873484.unknown
_1392873475.unknown
_1392873479.unknown
_1392873481.unknown
_1392873482.unknown
_1392873480.unknown
_1392873477.unknown
_1392873478.unknown
_1392873476.unknown
_1392873471.unknown
_1392873473.unknown
_1392873474.unknown
_1392873472.unknown
_1392873469.unknown
_1392873470.unknown
_1392873468.unknown
_1392873451.unknown
_1392873459.unknown
_1392873463.unknown
_1392873465.unknown
_1392873466.unknown
_1392873464.unknown
_1392873461.unknown
_1392873462.unknown
_1392873460.unknown
_1392873455.unknown
_1392873457.unknown
_1392873458.unknown
_1392873456.unknown
_1392873453.unknown
_1392873454.unknown
_1392873452.unknown
_1392873442.unknown
_1392873447.unknown
_1392873449.unknown
_1392873450.unknown
_1392873448.unknown
_1392873445.unknown
_1392873446.unknown
_1392873443.unknown
_1392873438.unknown
_1392873440.unknown
_1392873441.unknown
_1392873439.unknown
_1392873436.unknown
_1392873437.unknown
_1392873435.unknown
_1392873402.unknown
_1392873418.unknown
_1392873426.unknown
_1392873430.unknown
_1392873432.unknown
_1392873433.unknown
_1392873431.unknown
_1392873428.unknown
_1392873429.unknown
_1392873427.unknown
_1392873422.unknown
_1392873424.unknown
_1392873425.unknown
_1392873423.unknown
_1392873420.unknown
_1392873421.unknown
_1392873419.unknown
_1392873410.unknown
_1392873414.unknown
_1392873416.unknown
_1392873417.unknown
_1392873415.unknown
_1392873412.unknown
_1392873413.unknown
_1392873411.unknown
_1392873406.unknown
_1392873408.unknown
_1392873409.unknown
_1392873407.unknown
_1392873404.unknown
_1392873405.unknown
_1392873403.unknown
_1392873385.unknown
_1392873393.unknown
_1392873397.unknown
_1392873399.unknown
_1392873400.unknown
_1392873398.unknown
_1392873395.unknown
_1392873396.unknown
_1392873394.unknown
_1392873389.unknown
_1392873391.unknown
_1392873392.unknown
_1392873390.unknown
_1392873387.unknown
_1392873388.unknown
_1392873386.unknown
_1392873377.unknown
_1392873381.unknown
_1392873383.unknown
_1392873384.unknown
_1392873382.unknown
_1392873379.unknown
_1392873380.unknown
_1392873378.unknown
_1392873373.unknown
_1392873375.unknown
_1392873376.unknown
_1392873374.unknown
_1392873371.unknown
_1392873372.unknown
_1392873370.unknown
_1392873337.unknown
_1392873353.unknown
_1392873361.unknown
_1392873365.unknown
_1392873367.unknown
_1392873368.unknown
_1392873366.unknown
_1392873363.unknown
_1392873364.unknown
_1392873362.unknown
_1392873357.unknown
_1392873359.unknown
_1392873360.unknown
_1392873358.unknown
_1392873355.unknown
_1392873356.unknown
_1392873354.unknown
_1392873345.unknown
_1392873349.unknown
_1392873351.unknown
_1392873352.unknown
_1392873350.unknown
_1392873347.unknown
_1392873348.unknown
_1392873346.unknown
_1392873341.unknown
_1392873343.unknown
_1392873344.unknown
_1392873342.unknown
_1392873339.unknown
_1392873340.unknown
_1392873338.unknown
_1392873320.unknown
_1392873329.unknown
_1392873333.unknown
_1392873335.unknown
_1392873336.unknown
_1392873334.unknown
_1392873331.unknown
_1392873332.unknown
_1392873330.unknown
_1392873325.unknown
_1392873327.unknown
_1392873328.unknown
_1392873326.unknown
_1392873323.unknown
_1392873324.unknown
_1392873322.unknown
_1392873312.unknown
_1392873316.unknown
_1392873318.unknown
_1392873319.unknown
_1392873317.unknown
_1392873314.unknown
_1392873315.unknown
_1392873313.unknown
_1392873308.unknown
_1392873310.unknown
_1392873311.unknown
_1392873309.unknown
_1392873306.unknown
_1392873307.unknown
_1392873305.unknown
_1392873239.unknown
_1392873272.unknown
_1392873288.unknown
_1392873296.unknown
_1392873300.unknown
_1392873302.unknown
_1392873303.unknown
_1392873301.unknown
_1392873298.unknown
_1392873299.unknown
_1392873297.unknown
_1392873292.unknown
_1392873294.unknown
_1392873295.unknown
_1392873293.unknown
_1392873290.unknown
_1392873291.unknown
_1392873289.unknown
_1392873280.unknown
_1392873284.unknown
_1392873286.unknown
_1392873287.unknown
_1392873285.unknown
_1392873282.unknown
_1392873283.unknown
_1392873281.unknown
_1392873276.unknown
_1392873278.unknown
_1392873279.unknown
_1392873277.unknown
_1392873274.unknown
_1392873275.unknown
_1392873273.unknown
_1392873256.unknown
_1392873264.unknown
_1392873268.unknown
_1392873270.unknown
_1392873271.unknown
_1392873269.unknown
_1392873266.unknown
_1392873267.unknown
_1392873265.unknown
_1392873260.unknown
_1392873262.unknown
_1392873263.unknown
_1392873261.unknown
_1392873258.unknown
_1392873259.unknown
_1392873257.unknown
_1392873247.unknown
_1392873251.unknown
_1392873254.unknown
_1392873255.unknown
_1392873252.unknown
_1392873249.unknown
_1392873250.unknown
_1392873248.unknown
_1392873243.unknown
_1392873245.unknown
_1392873246.unknown
_1392873244.unknown
_1392873241.unknown
_1392873242.unknown
_1392873240.unknown
_1392873206.unknown
_1392873223.unknown
_1392873231.unknown
_1392873235.unknown
_1392873237.unknown
_1392873238.unknown
_1392873236.unknown
_1392873233.unknown
_1392873234.unknown
_1392873232.unknown
_1392873227.unknown
_1392873229.unknown
_1392873230.unknown
_1392873228.unknown
_1392873225.unknown
_1392873226.unknown
_1392873224.unknown
_1392873215.unknown
_1392873219.unknown
_1392873221.unknown
_1392873222.unknown
_1392873220.unknown
_1392873217.unknown
_1392873218.unknown
_1392873216.unknown
_1392873211.unknown
_1392873213.unknown
_1392873214.unknown
_1392873212.unknown
_1392873209.unknown
_1392873210.unknown
_1392873208.unknown
_1392873189.unknown
_1392873198.unknown
_1392873202.unknown
_1392873204.unknown
_1392873205.unknown
_1392873203.unknown
_1392873200.unknown
_1392873201.unknown
_1392873199.unknown
_1392873194.unknown
_1392873196.unknown
_1392873197.unknown
_1392873195.unknown
_1392873192.unknown
_1392873193.unknown
_1392873191.unknown
_1392873181.unknown
_1392873185.unknown
_1392873187.unknown
_1392873188.unknown
_1392873186.unknown
_1392873183.unknown
_1392873184.unknown
_1392873182.unknown
_1392873177.unknown
_1392873179.unknown
_1392873180.unknown
_1392873178.unknown
_1392873175.unknown
_1392873176.unknown
_1392873174.unknown
_1392873043.unknown
_1392873108.unknown
_1392873140.unknown
_1392873157.unknown
_1392873165.unknown
_1392873169.unknown
_1392873171.unknown
_1392873172.unknown
_1392873170.unknown
_1392873167.unknown
_1392873168.unknown
_1392873166.unknown
_1392873161.unknown
_1392873163.unknown
_1392873164.unknown
_1392873162.unknown
_1392873159.unknown
_1392873160.unknown
_1392873158.unknown
_1392873149.unknown
_1392873153.unknown
_1392873155.unknown
_1392873156.unknown
_1392873154.unknown
_1392873151.unknown
_1392873152.unknown
_1392873150.unknown
_1392873144.unknown
_1392873147.unknown
_1392873148.unknown
_1392873145.unknown
_1392873142.unknown
_1392873143.unknown
_1392873141.unknown
_1392873124.unknown
_1392873132.unknown
_1392873136.unknown
_1392873138.unknown
_1392873139.unknown
_1392873137.unknown
_1392873134.unknown
_1392873135.unknown
_1392873133.unknown
_1392873128.unknown
_1392873130.unknown
_1392873131.unknown
_1392873129.unknown
_1392873126.unknown
_1392873127.unknown
_1392873125.unknown
_1392873116.unknown
_1392873120.unknown
_1392873122.unknown
_1392873123.unknown
_1392873121.unknown
_1392873118.unknown
_1392873119.unknown
_1392873117.unknown
_1392873112.unknown
_1392873114.unknown
_1392873115.unknown
_1392873113.unknown
_1392873110.unknown
_1392873111.unknown
_1392873109.unknown
_1392873075.unknown
_1392873092.unknown
_1392873100.unknown
_1392873104.unknown
_1392873106.unknown
_1392873107.unknown
_1392873105.unknown
_1392873102.unknown
_1392873103.unknown
_1392873101.unknown
_1392873096.unknown
_1392873098.unknown
_1392873099.unknown
_1392873097.unknown
_1392873094.unknown
_1392873095.unknown
_1392873093.unknown
_1392873083.unknown
_1392873087.unknown
_1392873090.unknown
_1392873091.unknown
_1392873089.unknown
_1392873085.unknown
_1392873086.unknown
_1392873084.unknown
_1392873079.unknown
_1392873081.unknown
_1392873082.unknown
_1392873080.unknown
_1392873077.unknown
_1392873078.unknown
_1392873076.unknown
_1392873059.unknown
_1392873067.unknown
_1392873071.unknown
_1392873073.unknown
_1392873074.unknown
_1392873072.unknown
_1392873069.unknown
_1392873070.unknown
_1392873068.unknown
_1392873063.unknown
_1392873065.unknown
_1392873066.unknown
_1392873064.unknown
_1392873061.unknown
_1392873062.unknown
_1392873060.unknown
_1392873051.unknown
_1392873055.unknown
_1392873057.unknown
_1392873058.unknown
_1392873056.unknown
_1392873053.unknown
_1392873054.unknown
_1392873052.unknown
_1392873047.unknown
_1392873049.unknown
_1392873050.unknown
_1392873048.unknown
_1392873045.unknown
_1392873046.unknown
_1392873044.unknown
_1392872978.unknown
_1392873010.unknown
_1392873026.unknown
_1392873035.unknown
_1392873039.unknown
_1392873041.unknown
_1392873042.unknown
_1392873040.unknown
_1392873037.unknown
_1392873038.unknown
_1392873036.unknown
_1392873031.unknown
_1392873033.unknown
_1392873034.unknown
_1392873032.unknown
_1392873029.unknown
_1392873030.unknown
_1392873027.unknown
_1392873018.unknown
_1392873022.unknown
_1392873024.unknown
_1392873025.unknown
_1392873023.unknown
_1392873020.unknown
_1392873021.unknown
_1392873019.unknown
_1392873014.unknown
_1392873016.unknown
_1392873017.unknown
_1392873015.unknown
_1392873012.unknown
_1392873013.unknown
_1392873011.unknown
_1392872994.unknown
_1392873002.unknown
_1392873006.unknown
_1392873008.unknown
_1392873009.unknown
_1392873007.unknown
_1392873004.unknown
_1392873005.unknown
_1392873003.unknown
_1392872998.unknown
_1392873000.unknown
_1392873001.unknown
_1392872999.unknown
_1392872996.unknown
_1392872997.unknown
_1392872995.unknown
_1392872986.unknown
_1392872990.unknown
_1392872992.unknown
_1392872993.unknown
_1392872991.unknown
_1392872988.unknown
_1392872989.unknown
_1392872987.unknown
_1392872982.unknown
_1392872984.unknown
_1392872985.unknown
_1392872983.unknown
_1392872980.unknown
_1392872981.unknown
_1392872979.unknown
_1392872939.unknown
_1392872961.unknown
_1392872970.unknown
_1392872974.unknown
_1392872976.unknown
_1392872977.unknown
_1392872975.unknown
_1392872972.unknown
_1392872973.unknown
_1392872971.unknown
_1392872965.unknown
_1392872967.unknown
_1392872968.unknown
_1392872966.unknown
_1392872963.unknown
_1392872964.unknown
_1392872962.unknown
_1392872949.unknown
_1392872956.unknown
_1392872958.unknown
_1392872959.unknown
_1392872957.unknown
_1392872954.unknown
_1392872955.unknown
_1392872950.unknown
_1392872945.unknown
_1392872947.unknown
_1392872948.unknown
_1392872946.unknown
_1392872941.unknown
_1392872944.unknown
_1392872940.unknown
_1392872923.unknown
_1392872931.unknown
_1392872935.unknown
_1392872937.unknown
_1392872938.unknown
_1392872936.unknown
_1392872933.unknown
_1392872934.unknown
_1392872932.unknown
_1392872927.unknown
_1392872929.unknown
_1392872930.unknown
_1392872928.unknown
_1392872925.unknown
_1392872926.unknown
_1392872924.unknown
_1392872915.unknown
_1392872919.unknown
_1392872921.unknown
_1392872922.unknown
_1392872920.unknown
_1392872917.unknown
_1392872918.unknown
_1392872916.unknown
_1392872911.unknown
_1392872913.unknown
_1392872914.unknown
_1392872912.unknown
_1392872908.unknown
_1392872909.unknown
_1392872907.unknown