trabajo jacobiana hessiana

UNIVERSIDAD NACIONAL

“SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”

FACULTAD DE CIENCIAS

ESCUELA PROFESIONAL DE ING. DE SISTEMAS E INFORMÁTICA

HESSIANA Y JACOBIANA

DOCENTE : Lic. MINAYA SALINAS SEGUNDO OSCAR

INTEGRANTES : HUAMAN CAMONES Clinton Yeferson

GARCIA LOYOLA Ibette Pamela

ALVA FLORES Roosbelth Eufrain

CICLO : III

AÑO ACADEMICO : 2014-II

HUARAZ 2014

ING. DE SISTEMAS E INFORMÁTICA

HESSIANA Y JACOBIANA Página 2

ÍNDICE

CAPÍTULO I

HESSIANA

1.1. DEFINICIÓN………………………………………………………………….3

1.2. MATRIZ HESSIANA DE UNA FUNCION DE VARIAS VARIABLES…..4

1.2.1. Observación…………………………………………………………..4

1.3. EJEMPLOS………………………………………………………….………..5

CAPÍTULO II

JACOBIANA

2.1. DEFINICIÓN………………………………………………………………….7

2.2. JACOBIANO DE UNA FUNCION DE n VARIABLES…………………….8

2.3. TRANSFORMACIONES………………………………………….…………..8

2.3.1. COORDENADAS CILINDRICAS……………………….…………..8

2.3.2. COORDENADAS ESFÉRICAS………………………..……………9

2.4. EJEMPLOS………………………………………………………………….10

BIBLIOGRAFÍA



CAPÍTULO I

HESSIANA

1.1. DEFINICIÓN

Dado una función 3:f D definida en el conjunto

Abierta D de 3 , si las derivadas de segundo orden:

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2, , , , , , , ,

f f f f f f f f f

x x y x z y y x y z z z x z y

Existen en el punto 0 0 0( , , )P X Y Z , a la matriz cuadrada de orden 3

definida por:

Se llama MATRIZ HESSIANA de una función f en P y se denota

( )H f

PROPIEDAD: La matriz Hessiana es simétrica.

( , , ) ( , , )x y z f x y z

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

2

( )

f f f

x y x z x

f f fH f

x y y z y

f f f

x z y z z



1.2. MATRIZ HESSIANA DE UNA FUNCION DE VARIAS VARIABLES

Una función cuadrática 𝐹 = 𝑅𝑛.

→ 𝑅 es una función cuyo valor en

1, , n es dado por 𝐹(𝛼) = 𝜋 ∑ ℎ𝑖𝑗𝑛𝑖=1 𝛼𝑖𝛼𝑗 donde 𝐻 =

[ℎ𝑖𝑗]𝑛𝑥𝑚

es una matriz simétrica de orden 𝑛𝑥𝑛, esto es:

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ...

...

n

n

ij nxn

n n nn

h h h

h h hH h

h h h

y

En forma matricial la forma cuadrática está definida por:

11 12 1 1

21 22 2

1

1 1

1 2

...

...( ) . . ( ,..., )

... ...

...

n

n nnt

n ij i j

i j

n n nn n

h h h

h h hF H h

h h h

1.2.1. Observación: Se observa que el desarrollo de una forma

cuadrática, en términos de las variables 1( ,..., )nα α , corresponde

a un polinomio homogéneo de grado 2, donde los coeficientes de

los términos cuadráticos (𝑖2) son los elementos de la diagonal de

la matriz simétrica H, y cada coeficiente de un término,

rectangular es el doble de elemento ijh de la misma matriz( i j )

t tH H H transpuesta de H



1.3. EJEMPLOS:

1.3.1. Hallar la matriz hessiana de la función 3 3( , ) 9 1f x y x y xy

Solución

Luego la matriz hessiana de f es 6 9

( ( , ))9 6

xH f x y

y

1.3.2. Dada la función 2 2 2( , , ) 2 5 3 6 2 1f x y z x y z xy xz yz ,

hallar la matriz Hessiana.

Solución

1.3.3. Identificar los puntos críticos de la función f(x, y) y determinar sus

tipos: f(x, y) = x + y2 bajo el vínculo son lineal representado por la

función: φ(x, y) = x2 + y2 − 25 = 0 Sea el lagrangiano asociado:

ζ(x, y,λ) = f(x, y) −λφ(x, y) = x + y2 − λ (x2 + y2 − 25)

𝜕ζ(x, y, λ)

𝜕𝑥= 1 − 2λx;

𝜕ζ(x, y, λ)

𝜕𝑦= 2𝑦 − 2λy;

𝜕ζ(x, y, λ)

𝜕λ

= −𝑥2 − 𝑦2 + 25

Los puntos críticos de ζ(x,y, λ) son las soluciones del sistema

siguiente:

2

2

2

2

3 9 , 6 , 9

3 9 , 6 , 9

f f fx y x

x y xx

f f fy x y

y x yy

' ' ' 4 1 6

( ) ' ' ' 1 10 2

' ' ' 6 2 6

xx yx zx

xy yy zy

xz yz zz

f f f

H J f f f

f f f



Solución



CAPÍTULO II

JACIBIANO

2.1. DEFINICION:

Sea 2 2:T E D una función (transformacional) biunívoca,

Continua y diferenciable, definida por ( , ) ( , ),T u v x y donde

Que lleva una región E del plano UV en la región D del plano XY .

El Jacobiano de T está dado por

Si m y n (esto es, si la matriz Jacobiana es cuadrada), a la

determinante de la matriz se le llama Jacobiana de f.

El valor absoluto del Jacobiano de f es de aplicación muy importante

en las transformaciones (Cambio de Variable) que se hacen en las

integrales dobles y triples.

( , ) ( ( , ), ( , ))u v x u v y u v

( , ){

( , )

x x u v

y y u v

( , )( , )

( , )

x x

x y u vJ u v

y yu v

u v



2.2. JACOBIANO DE UNA FUNCION DE n VARIABLES

Sea : ,n mf D D conjunto abierto, y a D .Se llama matriz

Jacobiano de f en a, (denotando por Jf a ) en la matriz mxn :

1 1 1

1 2

2 2 2

1 2

1 1

...

...( )

...

n

n

m m m

n

f f f

x x x

f f f

x x xJf a

f f f

x x x

2.3. TRANSFORMACIONES

2.3.1. COORDENADAS CILINDRICAS

3 3

( , , ) ( , , ) ( , , )

F

r z F r z x y z

( , , ) cos

( , , )

( , , )

x x r z r

y y r z rsen

x x r z z

[0,2 ]

0r

z

cos 0( , , )

( , , ) cos 0( , , )

0 0 1

rsenx y z

J r z sen rr z



2.3.2. COORDENADAS ESFÉRICAS

3 3

( , , ) ( , , ) ( , , )

F

F x y z

( , , ) cos

( , , )

( , , ) cos

x x sen

y y sen sen

x x

cos cos cos( , , )

( , , ) cos cos( , , )

cos 0

sen sen senx y z

J sen sen sen sen

sen

desarrollando 2( , , )

( , , )( , , )

x y zJ sen

cos 0 0 coscos ( ) 0

0 1 0 1 0 0

r sen sen rrsen

cos ( cos 0) ( 0)r rsen sen r

[0,2 ]

[0, ]

0

cos cos coscos

cos cos cos

sen sen sen sen sensen

sen sen sen sen sen



2.4. EJEMPLOS:

2.4.1. Dado una función 2 2:f D definido por

( , ) ( cos , )f r r rsen donde { , / 0 , 2 }.D r r α α

Hallar el Jacobiano de f.

Solución

El Jacobiano de f es la determinación de la matriz Jacobiana de f en

( , )r .

1 1

2 2

2 2

coscos

cos

f f

rsenrJf r rsen r

f f sen r

r

2.4.2. Sea 3 3 una transformación definida por

Donde: 1 1 23X Y Y , 2 22X Y y 3 3X Y

Solución

1 1 1

1 2 3

1 2 3 2 2 21 2 2

1 2 2 1 2 3

3 3 3

1 2 3

3 1 0( , , )

( , , ) 0 2 0 6( , , )

0 0 1

X X X

Y Y Y

X X X X X XJ Y Y Y

Y Y Y Y Y Y

X X X

Y Y Y

1 2 2 1 2 3( , , ) ( , , )Y Y Y X X X



2.4.3. La matriz jacobiana de la función 3 3F definida como:

Solución

Nota: Al hallarse la matriz jacobiana queda en una matriz como

se muestra en el ejemplo 2.4.3. , pero es posible hallar su

módulo o determinante, en cambio en un siguiente ejemplo que

se muestra no sucede lo mismo.

2.4.4. Supóngase la función 3 4F , cuyas componentes son:

Solución

Aplicando la definición de matriz jacobiana:



BIBLIOGRAFÍA

MOISES LAZARO C. (2009), “ANALISIS MATEMÁTICO III” Lima,

Editorial MOSHERA.

MÁXIMO MITAC M. (2009), “CÁLCULO III” Lima, Editorial THALES

VENERO. A. (1998), “MATEMATICAS III” Lima, Editorial

GEMAR

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