tinjauan numerik rapat keadaan graphene layer

SKRIPSI

TINJAUAN NUMERIK RAPAT KEADAAN GRAPHENE LAYERGANDA DENGAN UNTIRAN PADA ENERGI RENDAH

MENGGUNAKAN METODE NEWTON RAPHSON

NUMERICAL CONSIDERATION OF DENSITY OF STATE OFTWISTED BILAYER GRAPHENE AT LOW ENERGY USING

NEWTON RAPHSON METHOD

Diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh derajatSarjana Sains Fisika

Ilham Pebrika10/305455/PA/13520

PROGRAM STUDI FISIKAJURUSAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS GADJAH MADA

YOGYAKARTA

2015

HALAMAN PENGESAHAN

SKRIPSI

TINJAUAN NUMERIK RAPAT KEADAAN GRAPHENE LAYERGANDA DENGAN UNTIRAN PADA ENERGI RENDAH

MENGGUNAKAN METODE NEWTON RAPHSON

Telah dipersiapkan dan disusun oleh


Telah dipertahankan di depan Tim Pengujipada tanggal 20 Februari 2015

Susunan Tim Penguji

Dr. Iman Santosa, M.Sc Dr. Edi Suharyadi, M.EngPembimbing Penguji

Drs. Eko Sulistya, M.SiPenguji

PERNYATAAN

Dengan ini saya menyatakan bahwa dalam Skripsi ini tidak terdapat karya yangpernah diajukan untuk memperoleh gelar kesarjanaan di suatu Perguruan Ting-gi, dan sepanjang pengetahuan saya juga tidak terdapat karya atau pendapatyang ditulis atau diterbitkan oleh orang lain, kecuali yang secara tertulis diacudalam naskah ini dan disebutkan dalam daftar pustaka.

Yogyakarta, 20 Februari 2015

Ilham Pebrika

iii

Karya sederhana ini kupersembahkanuntuk kebermanfaatan terutama untuk Ilmu

Pengetahuan, semoga bisa menjadi sedikit kontribusidari penulis,

untuk orang tua tercinta semoga senantiasa dirahmatidan dilindungi oleh Allah,

Kakak dan adikku yang kusayangidan untuk semua keluargaku di Pariaman

iv

Sesungguhnya dalam penciptaan langit dan bumi, dan silih bergantinyamalam dan siang terdapat tanda-tanda bagi orang-orang yang berakal, (yaitu)orang-orang yang mengingat Allah sambil berdiri atau duduk atau dalam keadaanberbaring dan mereka memikirkan tentang penciptaan langit dan bumi (serayaberkata) : Ya Tuhan kami, tiadalah Engkau menciptakan ini dengan sia-sia,Maha Suci Engkau, maka peliharalah kami dari siksa neraka.

(Q.S. Ali Imran : 190 - 191)

Harga diri seseorang itu adalah berdasarkan apa yang ia lakukan untukmemperbaiki dirinya

(Ali Bin Abu Thalib ra)

v

PRAKATA

Segala puji dan syukur kepada Allah SWT atas kemudahan dan izinNya,akhirnya Skripsi dengan judul "Tinjauan Rapat Keadaan Pada Graphene La-yer Ganda Energi Rendah Menggunakan Metode Newton Raphson" telah selesaipenulis susun. Ucapan terima kasih juga penulis sampaikan kesegenap pihak te-lah membantu penulis baik secara moril maupun materil.Di antara pihak-pihaktersebut adalah

1. Ibuk dan Ayah yang selama ini telah sabar membimbing dan mendoakanpenulis tanpa kenal lelah dan mendukung penulis baik spiritual maupunmateril, semangat dan cinta kasih mulia yang penulis tidak akan pernahmampu membalasnya

2. Dr. Iman Santoso, sebagai dosen Pembimbing yang telah ikhlas dan sabarmemberikan ilmunya kepada penulis, memberikan inspirasi dan semangatJazzakumullahu khairan atas kesabaran bapak selama ini yang telah mem-bimbing kami.

3. Dr. Edi Suharyadi M.Eng dan Drs. Eko Sulistya M.si, Yang membantupenulis menyempurnakan karya ini dengan masukan dan saran yang telahdiberikan

4. Qosim dan Lisa sebagai rekan satu bimbingan terima kasih atas diskusinyaselama ini serta Eksperian, mas Sidiq dan mas Anas atas bantuannyamenjadi guru pemrograman Matlab yang harus penulis pelajari dari nolserta kelompok penelitian KAM Laboratorium Fisika Atom Inti yang telahdiizinkan menggunakan komputer untuk running program

5. Keluarga MLU-01 Halsel 2013. Rahmat,Miski, Eli, Alifah, Fatma, Nana,Wiji, Saftyan, Arman, Ivan, Dani, Arya,Ghoffur, Hamdy, mbk Iffa, mbkYana, mas Sahar, mbak Eni, mas Alif dan mbk Elsa, terima kasih atasmotivasi, kerjasamanya,pengertiannya, kisah,dan ceritanya selama ini

6. Rekan-rekan Fisika Angkatan 2010, Rekan rekan BEM KM FMIPA UGMkhususnya kabinet cerdas melayani dan pinisi, rekan rekan kfgama, danjamaah Shalahudin (JS) UGM, terima kasih atas ilmu dan pengalamannyayang tidak akan mungkin penulis dapatkan di bangku perkuliahan

vi

vii

7. Keluarga Pesantren Mahasiswa LPI khususnya LPI angkatan IV dan wabilkhususJazakallah atas bimbingannya untuk ust. Arif Rif’an yang telah menjadiBapak, kakak serta musyrif bagi penulis, uda zakwan dan para asatidzyang telah ihklas memberikan ilmunya

8. Asrama Pesantren Fisika, Ibu Zahra yang telah menjadi ibu bagi penulisselama dijogja, mas Chalis, mas Akrom, mas Arista, mas Mujrin, Ronidan Faiq, terima kasih atas kebaikan dan pengertiannya terhadap penulis

9. Seluruh keluarga besar Fakultas FMIPA UGM, Jurusan dan Prodi Fisikayang telah membantu penulis selama melaksanakan studi dan

10. Segenap pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu

Skripsi ini tentunya tidak lepas dari segala kekurangan dan kelemahan,untuk itu segala kritikan dan saran yang bersifat membangun guna kesempur-naan Skripsi ini sangat diharapkan. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagikita semua dan lebih khusus lagi bagi pengembagan ilmu fisika.

Yogyakarta, 13 Februari 2015

Penulis

DAFTAR ISI

Halaman Judul i

Halaman Pengesahan ii

Halaman Pernyataan iii

Halaman Persembahan iv

Halaman Motto v

PRAKATA vi

INTISARI xvii

ABSTRACT xviii

I PENDAHULUAN 11.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6 Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

II Landasan Teori 142.1 Struktur Kristal dan sifat elektronik Graphene Monolayer . . . . 14

2.1.1 Struktur Ruang Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.2 Kisi Balik (Reciprocal Lattice) Graphene . . . . . . . . 152.1.3 Metode ikatan kuat (Tight Binding) Monolayer Graphene 15

2.2 Struktur Kristal dan sifat elektronik Bilayer Graphene . . . . . 182.2.1 Tumpukan AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.2 Tumpukan AA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Struktur Kristal dan sifat elektronik Twisted Bilayer Graphene 232.3.1 Struktur Kristal pada Twisted bilayer Graphene . . . . 23

viii

ix

2.3.2 Model Hamiltonan dan Energi Dispersi Twisted BilayerGrapene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.3 Rapat Keadaan (Density of State) Graphene Layer Tung-gal (Graphene Monolayer) . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.4 Rapat Keadaan (DOS) Twisted Bilayer Grapene . . . . . 292.4 Low − Energy SVH dan renormalisasi Kecepatan fermi (vf ) . . 302.5 Metode penentuan nilai akar-akar Newton-Raphson (NR) . . . . 32

2.5.1 Perhitungan nilai ralat pada metode Newton-Raphson . 33

III Hasil dan Pembahasan 363.1 Analisa Hasil Perhitungan Numerik Rapat Keadaan (DOS) untuk

graphene Monolayer Menggunakan metode Newto Raphson . . . 363.2 Analisa Hasil Perhitungan Numerik Rapat Keadaan (DOS)untuk

graphene Layer Ganda dengan untiran (Twisted Bilayer Graphene)Untuk Sudut Untiran θ = 1, 16o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3 Analisa Hasil Perhitungan Numerik Rapat Keadaan (DOS)untukgraphene Layer Ganda dengan untiran (Twisted Bilayer Graphene)Untuk Sudut Untiran θ = 1, 79o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4 Analisa Hasil Perhitungan Numerik Rapat Keadaan (DOS)untukgraphene Layer Ganda dengan untiran (Twisted Bilayer Graphene)Untuk Sudut Untiran θ = 3, 48o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5 Analisa nilai SVH dan Renormalisasi Kecepatan Fermi dari nilaiDOS pada TBG pada Sudut Untiran θ = 1.16o, θ = 1.79o, danθ = 3.48o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

IVPENUTUP 534.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

A Lampiran Perhitungan dan Syntac Menggunakan Matlab 581.1 Perhitungan nilai kesetaraan gradien (β),Vektor Pergeseran ∆K,

Luasan dari sel satuan (Unit Cell) pada TBG, dan faktor lom-patan energi tθ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581.1.1 Perhitungan nilai kesetaraan gradien (β) antara nilai gra-

dien pada grafik energi dispersi (md) dan gradien padaDOS (mD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

x

1.1.2 Perhitungan nilai Vektor Pergeseran ∆K untuk sudut un-tiran θ = 1.16o,θ = 1.79o, dan θ = 1.48o . . . . . . . . . . 59

1.1.3 Perhitungan nilai Luasan dari sel satuan (Unit Cell) padaTBG sudut untiran θ = 1.16o,θ = 1.79o, dan θ = 1.48o . . 60

1.1.4 Perhitungan nilai faktor lompatan energi tθ untuk sudutuntiran sudut untiran θ = 1.16o,θ = 1.79o, dan θ = 1.48o 60

DAFTAR GAMBAR

1.1 Struktur Kisi Hexagonal Graphene (Novoselov,2011) . . . . . . . 21.2 Rapat muatan (DOS) yang dihitung dari energi dispersi Dengan

variasi nilai t’=0 (atas) dan t’=0.2 (bawah)(t merupakan para-meter lompatan atom terdekat dan t’ parameter lompatan atomterdekat selanjutnya(Neto dkk,2009) . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 (atas)Dos untuk graphene monolayer mengguanakan metode me-tode numerik pengembangan dari model TDSE (Yuan, 2010)(ba-wah)(a)Rapat muatan (DOS) Graphene layer tunggal(b)DOS Gra-phene layer Ganda tumpukan AA (b.1)Tanpa Symmetri dan (b.2)DenganSymmetri(Tabert,2012) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 (a)DOS Graphene layer ganda tumpukan AB (Tabert,2012) (b)DOSpada TBG dengan sudut untiran θ = 1.79o, t⊥ = 0.24 eV(Lidkk,2009)(bawah)DOS untuk variasi nilai sudut puntiran padabilayer graphene 1, 16o,1, 79o,dan 3, 48o (Manaf,2014) . . . . . . 9

1.5 Bagan alir penggunaan metode Newton Raphson untuk menghi-tung DOS berdasarkan persamaan energi dispersi E(~k) . . . . . 11

1.6 Diagram alir penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1 Struktur kristal sarang Lebah pada monolayer Graphene yangatom atomnya dilabeli dengan atom A(Warna Putih) dan B (war-na Hitam)(Raza ,2012) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Kisi Balik Pada Graphene (atas)Zona Brilloun pada Graphene(bawah)(Raza,2012) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Energi dispersi dengan nilai t = 3, 033 dan t′ = 0, 29 dilihat daripenampang tiga dan dua dimensi (Raza,2011) . . . . . . . . . . 17

2.4 Energi dispersi dengan t′ = 0 dilihat dari penampang tiga dandua dimensi (Raza,2011) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5 Tumpukan AB Graphene (Tabert,2012) . . . . . . . . . . . . . . 192.6 Struktur Pita Energi pada tumpukan AB Graphene tanpa gap

dan dengan gap (Tabert,2012) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.7 Tumpukan AA Graphene (Tabert,2012) . . . . . . . . . . . . . . 212.8 Struktur Pita Energi pada tumpukan AB Graphene(Tabert,2012) 23

xi

xii

2.9 (2.1(a))Struktur atom pada TBG dengan sudut untiran θ = 21.8o.(2.1(b))ZBpada TBG (Cocemasov, dkk,2013) . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.10 (Visualisasi luasan dari sel satuan (unit sel) pada TBG padaberagam sudut untiran (Moon dan Koshino,2012) . . . . . . . . 25

2.11 Dispersi Energi dengan sudut untiran θ = 10o diperoleh menggu-nakan persamaan(2.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.12 Dispersi Energi dengan sudut untiran θ = 1.16o (Manaf :2014) . 282.13 Tunneling spectra untuk berbagai sudut untiran(Raza,2012) . . 312.14 Skema ilustrasi tahap untuk menemukan akar persamaan meng-

gunakan methode Newton raphson (Pang, 2006) . . . . . . . . . 32

3.1 (a)Grafik Energi Dispersi Graphene Layer Tunggal untuk nilaiharap t = 2, 8 dan t = 0.(b)Grafik Energi Dispersi GrapheneLayer Tunggal untuk parameter lompatan t = 2, 8 dan t = 0 padasaat nilai Kx=0 diperoleh dari persamaan energi dispersi(2,8). . 36

3.2 Posisi saddle point (SP) pada energi dispersi untuk graphene mo-nolayer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3 Variasi grafik DOS untuk graphene monolayer (c) ∆ ~Kx=0.05E=0.05∆ ~Ky=0.1 Dengan variasi nilai parameter iterasi (n) 50,100,300,dan 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4 Beberapa bentuk grafik DOS monolayer graphene (a)∆ ~Kx=0.05∆E=0.1 ∆ ~Ky=0.1(b)∆ ~Kx=0.1 ∆E=0.05 ∆ ~Ky=0.1 (c) ∆ ~Kx=0.05∆E=0.05 ∆ ~Ky=0.1 dan (d) Grafik DOS Monolayer dengan nilairalat dan aproksimasi pola linear pada grafik DOS . . . . . . . . 39

3.5 (a)Grafik energi dispersi untuk nilai θ = 1, 16o (b) grafik energidispersi untuk nilai ∆Kx=0 pada sudut untiran θ = 1, 16o berda-sarkan persamaan 2.32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.6 Posisi Saddle Point (SP) pada energi dispersi pada TBG untuksudut untiran θ = 1.16o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.7 Beberapa grafik DOS TBG untuk sududt untiran θ = 1, 16o(a)∆ ~Kx=0,0001 ∆E=0,00005 ∆ ~Ky=0,01 (b) ∆ ~Kx=0,00005 ∆E=0,00001∆ ~Ky=0,01 (c) ∆ ~Kx=0,00005,∆E=0,00005 ∆ ~Ky=0,01 (d)GrafikDOS TBG untuk sudut untiran θ = 1, 16o dengan nilai ralat . . 43

3.8 (a)Grafik energi dispersi untuk nilai θ = 1, 79o grafik energi dis-persi dengan sudut untiran θ = 1, 79o pada saat ∆Kx=0 . . . . 44

xiii

3.9 Posisi Saddle Point pada energi dispersi pada TBG untuk sudutuntiran θ = 1, 79o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.10 Beberapa grafik DOS TBG untuk sudut untiran θ = 1, 79o(a)∆ ~Kx=0,001 ∆E=0,001 ∆ ~Ky=0,001 (b) ∆ ~Kx=0,0005 ∆E=0,0005∆ ~Ky=0,001 (c) ∆ ~Kx=0,0001,∆E=0,0005 ∆ ~Ky=0,001 (d)GrafikDOS Monolayer dengan nilai ralat . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.11 (a)Grafik energi dispersi untuk nilai θ = 1.79o grafik 3 Dimensidan grafik 2 Dimensi (b)Grafik energi dispersi untuk nilai θ =

3.48o (b) grafik energi dispersi untuk nilai ∆Kx=0 pada sudutuntiran θ = 3.48o (c)Posisi Saddle Point pada energi dispersipada TBG untuk sudut untiran θ = 3.48o . . . . . . . . . . . . . 47

3.12 Beberapa bentuk grafik DOS monolayer graphene (a)∆ ~Kx=0.05,∆ ~Ky=0.05,∆E(~k)=0.1(b) ∆ ~Kx=0.01, ∆ ~Kx=0.1,∆E(~k)=0.01 dan(c) ∆ ~Kx=0.01,∆ ~Ky=0.01,∆E(~k)=0.01 dan (d) Grafik DOS Mo-nolayer dengan nilai galat 0.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.13 (a,b, dan c) Perbandingan grafik DOS untuk masing masing un-tiran yang diplot pada nilai energi dan DOS yang sama (bawah)Grafik DOS dari variasi ketiga sudut untiran θ 1.16o, 1.79o, dan3.48o yang diplot dalam satu grafik . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.14 Gambaran nilai kearapatan tiap layernya yang menyebabkan nilaikecepatan fermi semakin besar untuk nilai kerapatan yang sema-kin besar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.1 Aproksimasi pola linear pada energi dispersi TBG untuk sudutuntiran 1.16o,1.79o, dan 3.48o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

xiv

DAFTAR SINGKATAN

TBG Twisted Bilayer Graphene

SVH Singular V an Hove

DOS Rapat Keadaan/Density Of States

ZB Zona Brilloun(Brilloun Zone)

STM Scanning Tunnelling Microscopy

STS Scanning Tunnelling Spectroscopy

NR Newton Raphson

FLG Few Layer Graphene

xv

DAFTAR LAMBANG

θ Sudut Untiran Antar lembaran Graphene

E(~k) Energi Dispersi

s,p,px, py, pz Konfigurasi Elektron pada Atom

σ Ikatan sigma (Sigma Bonds)

π,π∗ ikatan konduksi dan ikatan valensi (pi Bonds)

~ h2π,h tetapan Planck h = 6.62x10−34 Js,~ = 1.054x10−34

vf Kecepatan Fermi

D(E) Rapat Keadaan

γ Parameter energi lompatan antara atom A(B) pada lembar-an pertama menuju atom A(B) yang terdekat pada lembarankedua(Pada tumpukan AA)

γ0 Parameter energi lompatan pada bidang yang sama (Padatumpukan AB)

γ1 Parameter energi lompatan antara atom A1 dan atom A2 (Pa-da tumpukan AB)

γ2 Parameter energi lompatan antara atom A1(A2) dan atomB1(B2) (Pada tumpukan AB)

t⊥ Coupling antara lembaran Graphene

xvi

~δ1,~δ2, dan ~δ3 Vektor Posisi Atom Terdekat (nearest− neighbor)

~δ′1, ~δ

′2, dan ~δ

′3 Vektor posisi atom terdekat berikutnya (second −

nearest neighbor)

aσi(a†σi) Operator penghancur(Kreasi) Elektron

aσi(a†σi) Indeks spin

t Energi Lompatan ke atom terdekat

t′ Energi Lompatan ke atom terdekat berikutnya

m Massa Elektron

H Hamiltonan

ψk Vektor Eigen

φ Perubahan ElectrochemicalPotential antar dua lem-baran graphene

L Konstatnta kisi pada TBG

S Luasan dari sel satuan TBG

H⊥0 Model hamiltonan antar lembaran graphene (pada lem-baran ganda graphene dengan untiran)

~K Posisi titik braggg (titik Dirac) sebelum mengalami ro-tasi

~Kθ Posisi titik braggg (titik Dirac) yang baru ketika telahmengalami rotasi

∆ ~K Vektor Pergeseran titik Bragg (titik Dirac)(pada lem-baran ganda graphene dengan untiran)

∆ESV H Jarak antar SVH

tθ⊥ Coupling antar lembaran graphene

INTISARI

Tinjauan Numerik Rapat Keadaan Graphene LayerGanda dengan Untiran pada Energi Rendah

Menggunakan Metode Newton Raphson

Oleh


Telah dilakukan perhitungan secara numerik terhadap rapat keadaan padagraphene Layer ganda dengan untiran, dimana pada kajian ini salah satu lembaranmengalami beberapa variasi sudut untiran (θ) yakni sebesar 1, 160,1, 790, dan 3, 480.Rapat keadaan dihitung berdasarkan persamaan energi dispersi E(~k) pada energi ren-dah. Pada umumnya rapat keadaan dihitung secara numerik menggunakan persamaanN(E) = Nf

∑k δ(E−E(k)), yakni ketika posisi ε = E(k) dengan Nf merupakan fak-

tor degenerasi. Nilai N(E) dikelompokan berdasarkan nilai-nilai yang hampir samayang kemudian dijumlahkan menjadi nilai rapat keadaan. Hanya saja metode ini me-miliki ralat yang lebih besar karena nilai N(ε) yang diperoleh dianggap sama dengannilai yang terdekat. Pada kajian ini nilai rapat keadaan dihitung dengan metode yangberbeda yakni mengimplementasikan nilai ε = E(k) tetapi dengan pendekatan nilaiyang mendekati nilai yang sebenarnya. Nilai tersebut direpresentasikan dengan nilaiakar-akar dari persamaan energi dispersi dikurangi nilai level energi E sebegai fungsipembuat nol (E(k)−E). Nilainya dapat dihitung dengan metode Newton-Raphson.Nilai akar ini kemudian diidentifikasikan dengan nilai 1 dan dijumlahkan per levelenergi E sehingga setiap levelnya memiliki nilai rapat keadaan yang telah dijumlahkanberdasarkan banyak akar yang ada. Dari grafik rapat keadaan, diperoleh informasinilai rapat keadaan pada posisi SVH untuk tiap untiran, yakni iga sudut untiran, di-peroleh nilai DOS pada SVH yakni 1,5 1025 eV−1 m−2, 2,8 1025 eV−1 m−2, dan 111025 eV−1 m−2, Energi pada Singularitas Van-Hove (SVH), ±6 meV, ±41 meV, ±215meV dari titik Dirac. Nilai kecepatan Fermi( vf ) yang direpresentasikaan dengannilai gradien (m) pada pola linear dari grafik DOS, yakni 0,21 1025 eV−2 m−2, 0,81025 eV−2 m−2 dan 4,3 1025 eV−2 m−2, menggambarkan renormalisasi kecepatan fer-mi yang terkait dengan adanya interaksi yang berhubungan dengan parameter energilompatan. Nilai parameter ini merupakan nilai faktor energi yang dibutuhkan bagielektron untuk berpindah antar layer dimana besar nilainya 5,38 meV, 39,93 meV, dan209,35 meV

Kata-kata kunci :Graphene, Energi Dispersi, Rapat Keadaan.

xvii

ABSTRACT

Numerical Consideration of Density of state Of TwistedBilayer Graphene at Low Energy Using Newton Raphson

method

By


The Numerical Computation of Density Of States of Twisted Bilayer Graphehe(TBG) has been carried out. TBG that consist of two layer graphene with one layeris twisted with respect to other layer. In this study the twisted angles (θ) are chosento be 1.160, 1.790, and 3.480. Calculation of Density of States (DOS) based onenergy dispersion (E(~k)) at low energy. Generally calculation of DOS using numericallymethods using N(E) = Nf

∑k δ(E − E(k)) equation, that at ε = E(k) with Nf is

factor of degeneration. The values of N(E) has been included in nearly equall valuesand has been summed be a DOS. This method be possessed of large errors becausethe values of N(E) acquired same with closest values. In this study the values ofDOS is calculated using different method that is implementation of true values. itcan be represented using the values ot root from energy dispersion minus values oflevel energy be a zero maker equation (E(k)−E). it can be calculated using Newton-Raphson method. Next the values of root is identified by one unit and summed perlevel energy E, with the result that every level be possessed of DOS based by summingall roots. From graphics of DOS we can get information about values of DOS, atSVH for each twisted angle are 1.5 1025 eV−1 m−2, 2.8 1025 eV−1 m−2, and 11 1025

eV−1 m−2, Energy at Singularitas Van-Hove points are ±6 meV, ±41 meV, and ±215meV, from the Dirac point. The results of the values of fermy velocity whose valueshas been represented by gradien (m) of linearity pattern at DOS graphics are 0.211025 eV−2 m−2, 0.8 1025 eV−2 m−2, and 4.3 1025 eV−2 m−2, for each each twistedangle respectively. it described renormalisation of Fermy velocity is concerned withinteraction that related with flying jump of energy. This parameters is factor energyis needed to electron to migratory inter layer. Thats value are 5.38 meV, 39.93 meV,and 209.35 meV.

Keywords:Graphene, Dispersion Energy, Density Of States.

xviii

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Setelah berhasil diisolasi oleh Konstantin Novoselov dan Andre Geim pa-da tahun 2004, yang kemudian dikenal dengan "Scotch− tape method" (Tabertdan Nicol, 2012) yang berhasil mengantarkan mereka meraih penghargaan nobelpada tahun 2010, Graphene yang merupakan kristal atom karbon dua dimensiyang terdiri atas susunan atom karbon pada kisi hexagonal (Novoselov,2011),telah menarik banyak ilmuan untuk menelitinya. Hal ini disebabkan karenaadanya sifat-sifat unik pada material graphene yang dahulunya mustahil di-temukan dalam kajian fisika material, diantaranya Massless Dirac Fermions,Balistic Electron Transport Efek Hall Quantum, dan Chiral Tunneling(Netodkk, 2009). Graphene tersusun pada kisi kisi seperti sarang lebah Honeycomb

Lattice(Gambar 1.1)dimana kisi-kisinya terdiri dari dua atom A dan B per unitsel dan invarian terhadap rotasi 120o pada kisinya (Geim,2011).

Graphene tersusun atas atom-atom karbon dengan konfigurasi 1s22s22p2,dimana terdapat 4 elektron bebas pada orbital 2s dan orbital 2p. Pada orbi-tal p, kemudian bisa dipecah menjadi orbital px,py,dan pz (Tabert,2012). Padagraphene 2s, 2px dan 2py, orbital dari atom karbon berkombinasi (hybridize un-tuk membentuk tiga orbital baru yang disebut SP 2 yang menghasilkan ikatan σbonds). Orbital pz(satu elektron) tegak lurus pada bidang yang dibentuk atomkarbon orbital 2pz dari kombinasi atom-atom yang berbeda untuk membentukikatan π(valensi) dan ikatan π*(konduksi). Masing-masing pz menyumbangkansatu elektron. Ikatan π juga bertindak sebagai muatan pembawa pada sistem(Tabert,2012), dimana orbital π berpengaruh terhadap sifat elektronik dari gra-phene (Perez : 2009) dan hibridisasi dari SP 2 yang merupakan ciri simetrihexagonal pada Graphite, Graphene dan Carbon Nanotubes (CNTs) (Dasmukhdan Singh,2013).

Pada sudut-sudut Zona Brilloun (Brilloun Zone) yang berbentuk hek-sagonal, terdapat dua titik yang saling berhimpit antara pita konduksi dan pitavalensi yakni pada K dan K ′ yang disebut sebagai titik Dirac (Dirac Points).Struktur pita yang terletak dekat dengan salah satu titik Dirac ini memiliki

1

2

dispersi energi yang menyerupai dispersi energi partikel-partikel ultrarelativis-tik. Partikel-partikel ini dapat dideskripsikan dalam mekanika kuantum melaluipersamaan Dirac tak bermassa (Dirac Massless)(Castro Neto, 2009).

Pada lembaran graphene netral, ikatan valensi dan konduksi bertemupada fermi energi yang menyebabkan graphene menjadi semi-metal atau semi-konduktor dengan gap bernilai nol. Band-nya berbentuk lembah kerucut yangbersentuhan pada dua simetri tinggi yang ditandai dengan K dan K ′ pada ZonaBrilloun (ZB) dekat titik ini dengan variasi energi linear dengan jumlah momen-tum. (Peres,2009).

Gambar 1.1: Struktur Kisi Hexagonal Graphene (Novoselov,2011)

Selain layer tunggal (Monolayer) kajian terhadap graphene juga dila-kukan pada pada layer ganda (bilayer) atau banyak layer (multilayer) atauyang dikenal dengan istilah Few Layer Graphene (FLG). Salah satu modelgraphene layer ganda adalah graphene layer ganda dengan untiran Twisted

Bilayer Graphene (TBG). Model ini sebenarnya berasal dari model tumpuk-an AA (AA Stack) atau tumpukan AB (AB Stack) pada graphene layer gan-da tetapi diantara lembaran adanya sudut rotasi (θ)(Morel dan Pacheo, 2013).Model TBG ini cukup menarik untuk dikaji karena menghasilkan sifat sifat fi-sis yang tidak ditemukan pada model graphene monolayer seperti pola superstruktur(superstructure) yang dikenal dengan pola moire (Moire Pattern),Low − Energy SVH (Singularitas V an Hove), massless, Dirac fermionsdan renormalisasi kecepatan fermi(Raza,2012). Selain itu model TBG juga dija-dikan gagasan untuk merekayasa graphene murni menjadi superkonduktor yaknidengan cara mendekatkan nilai SVH dengan aras-Fermi. SVH atau juga dikenal

3

dengan titik kritis (Critical Point) pada ZB, merupakan nilai singularitas DOSpada kristal zat padat. Singularitas ini terjadi berkaitan dengan distribusi elek-tron pada level states energi. Informasi nilai SVH dapat diamati dari nilai rapatkeadaan, sehingga nilai rapat keadaan menarik untuk dikaji. Rapat Keadaanatau Density Of State (DOS) merupakan gambaran tentang keadaan(States)pada tiap level energi (Yuan dkk, 2010). Tabert dalam publikasinya mendefe-nisikan dengan "gambaran tentang keadaan (States)yang bebas ditempati elek-tron". Dengan kata lain dari informasi nilai DOS,bisa diperoleh informasi nilaielektron di setiap states pada tiap level energi. Nilai SVH bisa diprediksi pa-da grafik energi dispersi yakni pada saat nilai gradien garis bernilai minimum.Pada grafik tiga dimensi nilai SVH ini bisa diprediski dari posisi saddle Point,yakni pada titik pertemuan pada saat nilai valensi dan konduksi bernilai mini-mum dan bernilai maksimum yang dalam graphene netral berada pada titik M.Dari Informasi DOS juga bisa diperoleh informasi tentang kecepatan fermi vfdimana nilainya bisa diperoleh dari nilai gradien (m) pada pola linearitas yangdibentuk pada energi rendah (Low − Energy) yang terdapat pada grafik DOS.Perubahan kecepatan fermi vf pada tiap variasi sudut untiran akibat perubahangradien (m) yang dibentuk dari pola linear pada nilai DOS bisa diperoleh infor-masi perubahan kecepatan fermi atau disebut Renormalisasi Kecepatan Fermi(vf ).

Kajian terhadap nilai DOS sendiri juga telah banyak dilakukan baik seca-ra analitik maupun numerik. Castro Neto, dkk(2009) misalnya menghitung nilaiDOS secara analitik pada graphene monolayer dengan memvariasikan parameterlompatan atom (Hopping Parameter) t dan t′ dimana nilai t merupakan nilailompatan untuk atom terdekat dan t′ adalah nilai lompatan atom terdekat selan-jutnya. Pada perhitungan tersebut diperoleh nilai SVH yang berada pada nilai±1eV (Neto dkk,2009). Nilai DOS yang sama juga didapatkan oleh Yuan, dkk(2010) dengan menggunakan pengembangan metode numerik dari model TDSE(Time − Dependent Schrodinger Equation). Selain monolayer, Tabert(2012)juga Menghitung nilai DOS secara analitik untuk model Graphene Bilayer, ba-ik untuk tumpukan AA maupun tumpukan AB. Sedangkan perhitungan DOSuntuk nilai TBG juga dilakukan oleh Li dkk (2009) secara eksperimen menggu-nakan STM dan STS untuk melihat nilai SVH pada nilai DOS yang diperoleh.Hasil inilah yang menjadi acuan bagi Manaf (2014) untuk menghitung nilai DOSsecara analitik dengan sudut untiran θ = 1, 16o,θ = 1, 79o,dan θ = 3, 48o. Ma-

4

naf(2014) mengkaji nilai DOS untuk TBG secara analitik, untuk melihat variasinilai SVH dan jaraknya terhadap aras-Fermi terhadap variasi nilai sudut untir-an θ (Sudut untiran/rotasi antar layer graphene). Li dkk, dalam publikasinya(2009) melakukan pengamatan nilai energi rendah SVH pada nilai DOS seca-ra eksperimen. Pengukuran menggunakan Scanning Tunnelling Spectroscopy(STS) ini dilakukan menggunakan graphene TBG. Mereka menemukan bahwaposisi dari singularitas dapat diatur dengan memvariasikan sudut relatif padasudut diantara layer (Morell dkk, 2010).

Perhitungan untuk menghitung nilai DOS pada skripsi ini berdasarkannilai DOS yang telah diteliti sebelumnya dengan sudut untiran θ = 1, 16o,θ =

1, 79o,dan θ = 3, 48o (Manaf, 2014). Pada umumnya rapat keadaan dihitungsecara numerik menggunakan persamaan N(E) = Nf

∑k δ(E − E(k)), yakni

ketika posisi E = E(k) dimana nilai selisihnya sama dengan nol. Nf meru-pakan faktor degenerasi kemudian nilai-nilai N(E) dikelompokan berdasarkannilai-nilai yang memiliki nilai-nilai yang hampir sama, misal nilai akar-akar yangdiperoleh adalah 1.85, 1.9, 2, 2,1 dan 2.15. Nilai-nilai ini dikelompokan kedalamnilai 2 sehingga berjumlah lima untuk menjadi jumlah nilai rapat keadaan padalevel energi (E) tersebut. Dari metode yang digunakan akan terlihat bahwa nilaiyang dihasilkan akan memilki nilai ralat yang cukup besar dikarenakan nilai-nilaiyang ada dianggap sama dengan nilai yang terdekat sehingga memiliki selisihberdasarkan nilai rentang pengelompokan nilai-nilai tersebut, misal untuk ka-sus diatas nilai dua berkisar antara nilai 1,8-2,15 sahingga nilai ralat memilikirentang sebesar ±0, 35. Atas dasar inilah untuk tinjauan pada skripsi ini di-gunakan metode yang lebih akurat yakni mengimplementasikan nilai ε = E(k)

tetapi dengan pendekatan nilai yang mendekati nilai yang sebenarnya. Nilaitersebut dapat direpresentasikan dengan nilai akar-akar dari persamaan energidispersi dikurangi dengan nilai level energi E. Salah satu metode yang bisadigunakan adalah metode Newton-Raphson(NR). Penggunaan metode pencari-an nilai akar, Newton-Raphson. dikarenakan untuk menghitung nilai akar-akarpada netode NR hanya membutuhkan satu nilai tebakan awal, sehingga nilaitebakan awal bisa dibuat pada rentang nilai tertentu karena setiap nilai akandianggap sebagai nilai tebakan awal. Selain karena yang akan menjadi nilai ra-pat keadaan adalah jumlah dari nilai-nilai yang ada, misal seperti contoh diatasuntuk nilai N(k) pada level energi (E) yakni 1,85, 1,9, 2, 2,1 dan 2,15 sehingganilainya berjumlah lima untuk nilai N(k)=2. Pada persamaan energi dispersi ti-

5

dak semua nilai tebakan awal akan memiliki nilai akar-akar sehingga setiap nilaiakar-akar yang ada akan didefenisikan sebagai nilai 1 jika memilki nilai akar danbernilai 0 jika tidak memilki nilai akar. Penjumlahan nilai akar yang telah dide-fenisikan inilah yang kemudian dijumlahkan pada tiap level energi yang menjadinilai rapat keadaan. Karena perhitungan nilai rapat keadaan berdasarkan ener-gi dispersi pada dengan dua variabel x dan y selain penjumlahan berdasarkannilai level energi misal variabel y, nilai-nilai rapat keadaan yang diperoleh jugadijumlahkan pada pada variabel y sehingga jika divisualisasikan akan berupapenjumlahan slices. sejauh ini penulis belum menemukan metode perhitung-an rapat-keadaan mengimplementasikan metode NR. Oleh karena itulah penulistertarik untuk mencoba mengkaji metode ini.

1.2 Batasan Masalah

Batasan masalah dalam penelitian ini adalah: Material Graphene layerganda (Bilayer Graphene) ditinjau secara puntiran TBG dimana sudut untirandivariasi sebesar 1, 16o 1, 79o dan 3, 84o. Penelitian ini dilakukan dengan mela-kukan perhitungan secara numerik untuk membandingkannya dengan hasil yangdidapatkan secara analitik maupun eksperimen dari acuan nilai yang telah ada.Nilai yang dihitung ialah Rapat keadaan atau Density of State (DOS) menggu-nakan metode Newton-Raphson (NR) dan menganalisa nilai SVH,renormalisasidari kecepatan fermi vf , dan faktor lompatan energi (tθ) yang didapatkan darinilai DOS untuk variasi sudut untiran (θ).

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah :

1. Memahami struktur elektronik dari Sistem TBG.

2. Membuat program perhitungan menggunakan metode Newton Raphson(NR) untuk menghitung nilai DOS pada graphene layer tunggal dan gra-phene layer ganda.

3. Menghitung dan membandingkan dengan nilai DOS dan SVH pada per-hitungan yang diperoleh menggunakan metode Newton-Raphson denganhasil yang telah diperoleh sebelumnya baik analitik maupun eksperimen

6

serta mengkaji nilai renormalisasi kecepatan fermi vf dan parameter faktorenergi lompatan (tθ) pada TBG.

1.4 Tinjauan Pustaka

Kajian terhadap terhadap nilai DOS dari graphene juga telah banyakdikaji, baik secara teoretik maupun numerik, Castro Neto, dkk (2009) dalampublikasinnya melakukan kajian analitik untuk nilai DOS pada Monolayer Gra-phene dimana diperoleh nilai persamaan DOS per unit sel:

ρ(E) =2Acπ

|E|v2f

(1.1)

Ac adalah area unit sel dengan nilai Ac = 3√

3a2/2. Nilai DOS tersebutmerupakan nilai graphene yang berbeda dari nilai DOS pada Carbon Nanotubes(Neto dkk,2009).

Yuan, dkk (2010), menghitung nilai DOS secara numerik dengan algori-tma yang merupakan pengembangan dari model TDSE untuk menemukan distri-busi nilai eigen (Eigen V alue) dalam area matriks yang sangat luas. Ide utamayang digunakan ialah superposisi acak dari semua basis states sebagai inisialstate |ϕ(0)〉 =

∑i ai|i〉, dimana |i〉 merupakan basis states dan ai merupakan bi-

langan kompleks. Solusi numerik dari TDSE (Time Dependent SchrodingerEquation) menggunakan persamaan alghoritma Chebyshev polynomial yangberdasarkan pada representasi dari polinomial dari operator U(t) = eitH .

Dari gambar (1.2) dan (1.3) yang merupakan hasil dari perhitungan DOSsecara analitik pada graphene monolayer, diperoleh nilai DOS terhadap variasinilai Energi dispersi (E(~k))/Nilai harap (t). Hasil dengan pola yang sama,dengan faktor SVH berkisar pada rentang pada rentang nilai ±1eV, Tabert(2012) dalam publikasinya menghitung nilai DOS untuk graphene layer gandauntuk tumpukan AA dan tumpukan AB. Berdasarkan nilai persamaan DOS(Tabert,2012):

N(ε) =2γ

π (~υf )2

[∣∣∣∣ εγ − 1

∣∣∣∣+

∣∣∣∣ εγ + 1

∣∣∣∣] . (1.2)

Gambar (1.3(atas)) dan (1.4(a)) memperlihatkan perbedaan nilai DOSantara lembaran tumpukan AA dan tumpukan AB. Untuk nilai DOS padaAA stack (gambar 1.5)ada dua variasi nilai yakni tanpa nilai assymmetri gap

7

Gambar 1.2: Rapat muatan (DOS) yang dihitung dari energi dispersi Denganvariasi nilai t’=0 (atas) dan t’=0.2 (bawah)(t merupakan parameter lompat-an atom terdekat dan t’ parameter lompatan atom terdekat selanjutnya(Netodkk,2009)

(∆=0)dan dengan assymetri gap (∆=1,5γ) untuk nilai rapat muatan pada tum-pukan AB dan rapat spin ganda untuk tumpukan AA pada units 2γ/π(~vf )2.

Li dkk (2009), juga mengkaji nilai DOS secara eksperimen dengan meng-gunakan STM (scanning tunneling microscopy) dan dan STS (scanniing tunnelingspectroscopy) yang didasarkan pada pola moire′ (moire′ pattern), menemukannilai DOS untuk sudut untiran θ = 1, 79o (Gambar 1.9) (Li dkk,2009).

Gambar (1.4 c) memperlihatkan pola SVH untuk TBG yang memilikikemiripan dengan energi pada kondisi saddle point (Pola Pelana Kuda) untukθ = 1, 79o,dan t⊥ = 0, 24 eV (Guohong Li dkk,2009).

Manaf (2014) dalam publikasinya juga menghitung nilai DOS pada TBGsecara analitik berdasarkan nilai eksperimen yang telah dikaji sebelumnya (Lidkk,2009) dengan menggunakan persamaan :

D(E) =1

16απ3N [ln|

βα2 + E2f

βα2 + E2|]. (1.3)

Gambar (1.4 ) menunjukan nilai DOS dari graphene layer untiran untukvariasi 3 sudut yakni1, 16o,1, 79o,dan 3, 48o. dari ketiga tersebut memperlihatkan

8

Gambar 1.3: (atas)Dos untuk graphene monolayer mengguanakan metode me-tode numerik pengembangan dari model TDSE (Yuan, 2010)(bawah)(a)Rapatmuatan (DOS) Graphene layer tunggal(b)DOS Graphene layer Ganda tumpuk-an AA (b.1)Tanpa Symmetri dan (b.2)Dengan Symmetri(Tabert,2012)

grafik DOS pola yang sama. Perbedaannya terdapat pada nilai SVH (Menjadipuncak pada grafik) yang berbeda pada masing masing grafik. Semakin besarsudut untirannya maka besar nilai SVH bergeser ke nilai yang lebih besar yaknidari Dirac Point. Nilai DOS yang di plot pada sumbu-y pada grafik yangdiperoleh juga memperlihatkan nilai yang lebih besar untuk nilai untiran yanglebih besar.

Dari hasil kajian pustaka yang telah dilakukan menunjukan bahwa perhi-tungan nilai DOS menggunakan Metode NR khususnya untuk perhitungan nilaiDOS graphene monolayer maupun graphene TBG, belum pernah ada sebelum-nya sehingga penulis tertarik untuk mencoba melakukan perhitungan nilai DOSmenggunakan metode NR ini.

9

Gambar 1.4: (a)DOS Graphene layer ganda tumpukan AB (Tabert,2012)(b)DOS pada TBG dengan sudut untiran θ = 1.79o, t⊥ = 0.24 eV(Lidkk,2009)(bawah)DOS untuk variasi nilai sudut puntiran pada bilayer graphene1, 16o,1, 79o,dan 3, 48o (Manaf,2014)

10

1.5 Metode Penelitian

Metode penelitian yang digunakan dalam skripsi adalah studi/kajian li-teratur dan perhitungan secara numerik menggunakan program Matlab.Secaraumum tahap tahapnya adalah :

1. Mempelajari Struktur elektronik dari sistem graphene baik Monolayer,Bilayer, dan TBG sampai dengan persamaan energi dispersi.

2. Membuat program perhitungan untuk menentukan nilai DOS pada graphe-ne dan TBG untuk variasi θ 1, 16o,1, 79o,dan 3, 48o menggunakan metodeNewton-Raphson.

3. Menganalisa nilai DOS yang telah diperoleh yakni perbandingan nilaiDOS tiap untiran, posisi SVH/sudut kritis, renormalisasi kecepatan fer-mi (Fermy V elocity,vf ) akibat variasi sudut untiran dan faktor energilompatan (to) untuk TBG.

Nilai DOS yang dihitung pada model graphene monolayer dan modelTBG. Model graphene monolayer bertujuan untuk melihat apakah program per-hitungan yang dibuat hasilnya sama dengan nilai perhitungan DOS pada modelgraphene monolayer yang telah ada sebelumnya. Kemudian jika hasilnya sesu-ai modal perhitungan tersebut digunakan untuk perhitungan DOS pada modelgraphene TBG dengan variasi variasi θ 116o,1, 79o,dan 3, 48o.

Alur perhitungan persamaan energi dispersi untuk menghasilkan nilaiDOS menggunakan metode Newton Raphson berdasarkan persamaan energi dis-persi dijelaskan pada bagan alir pada gambar (1.5).

Sedangkan bagan alir penelitian dan bagan algoritma perhitungan DOSdari persamaan energi dispersi menggunakan metode NR dengan parameter-parameter numerik yang ada, dijelaskan pada gambar (1.6) dan gambar (1.7)

11

Gambar 1.5: Bagan alir penggunaan metode Newton Raphson untuk menghi-tung DOS berdasarkan persamaan energi dispersi E(~k)

Gambar 1.6: Diagram alir penelitian

12

Mulai

Energi dispersi E(k), E’(k)

Parameter, E, Ky, Kx,n

)(xE

E)E(x - = xx

i

iii

' 1

Iterasi > n Iterasi < n

)(xE

E)E(x - x x

i

iii

' 1

)(xE

E)E(x - = xx

i

iii

' 1

Xi+1 = 0 Xi+1 = 1

i

ni

iyiy x = x 11

i

ni

iy

i

ni

ixix x =x )( 11

Selesai

Gambar 1.7 Algoritma menghitung DOS menggunakan metode Newton-Raphson

13

Perhitungan secara numerik menggunakan metode Newton Raphson (NR)berdasarkan energi dispersi. Persamaan ini dimasukan kedalam program per-hitungan dengan berbagai variasi parameter numerik yang telah dibuat meng-gunakan program Matlab dengan spesifikasi komputer yang digunakan yakniOS processor intel(R) Core(TM)i3-3217U CPU @1.8 GHz RAM 4 GB 64 BitOperating.

Sedangkan untuk nilai turunan dari energi dispersi (E ′(x)) yang dipakaipada persamaan NR dihitung secara numerik menggunakan fungsi diff(E(x),Ky)yang telah tersedia pada program Matlab (Lampiran A 1.2).

1.6 Sistematika Penulisan

Skripsi ini terdiri dari beberapa bab dan masing-masing terdiri dari bebe-rapa sub-bab dengan merinci pokok-pokok permasalahan sehingga penulisannyadapat dilakukan secara sistematis.

1. Bab I. Pendahuluan berisi uraian latar belakang masalah, batasan ma-salah, tujuan penulisan, tinjauan pustaka, metode penelitian, sistematikapenelitian dan keaslian skripsi.

2. Bab II.Landasan Teori ; berisi tentang konsep -konsep dasar dari beberapasifat graphene meliputi, Sifat Geometri, Nilai Halmitonan, Energi disper-si,dan Density Of State (DOS) SVH dan Renormalisasi Kecepatan Fermi(vf ) untuk lembaran tunggal (Monolayer) graphene,lembaran ganda (Bila-yer) dan lembaran ganda dengan untiran atau Twisted Bilayer Graphene(TBG).

3. Bab III.Hasil dan Pembahasan; berisi hasil dari peritungan numerik sertapembahasan tentang hasil perhitungan numerik dan perbandingan dengannilai yang telah diteliti sebelumnya baik secara teoritik maupun eksperi-men.

4. Bab IV.Kesimpulan dan saran.

BAB II

Landasan Teori

2.1 Struktur Kristal dan sifat elektronik Graphene Monolayer

2.1.1 Struktur Ruang Real

Lembaran tunggal Graphene monolayer merupakan atom karbon yangtersusun dari struktur kristal Sarang Lebah (Honeycomb Lattice) yang meru-pakan kisi hexagonal bravais dengan basis terdiri dari dua atom yang ditandaidengan A dan B pada masing masing kisi.

Gambar 2.1: Struktur kristal sarang Lebah pada monolayer Graphene yang atomatomnya dilabeli dengan atom A(Warna Putih) dan B (warna Hitam)(Raza,2012)

.

Jika menggunakan sistem koordinat kartesian dengan sumbu x dan ypada bidang kristal graphene dan tegak lurus terhadap sumbu z untuk bidangpada graphene. vektor dua dimensi dalam bidang yang sama pada graphenedigambarkan sendiri dalam koordinat x dan y. Vektor kisi primitif dari kisiBravais Hexagonal (gambar 2.1) ditandai dengan a1 dan a2.

a1 =(a

2,

√3a

2

), a2 =

(a2,−√

3a

2

), (2.1)

dimana a=|a1|=|a1| adalah kisi konstan. Pada graphene a= 2.46 ÅLattice konstan adalah jarak antara unit sel yang merupakan jarak atom kar-

14

15

bon. Ikatan lengan-lengan karbon yang panjangnya acc= a/√

3 Å (Raza:2012).Vektor posisi dari atom terdekat nearest − neighboor disimbolkan dengan δi (Ta-bert,2012), yakni ~δ1,~δ2, dan ~δ3. ketiganya dapat dituliskan sebagai :

~δ1 =a

2(1,√

3), ~δ2 =a

2(1,−

√3), ~δ1 = −1(a, 0). (2.2)

Sedangkan untuk vektor posisi dari atom terdekat berikutnya (SecondNearest Neighbour) adalah (Neto dkk,2009):

~δ1 = ±~a1, ~δ2 = ±~a1, ~δ3 = ±(~a2 − ~a1). (2.3)

2.1.2 Kisi Balik (Reciprocal Lattice) Graphene

Kisi balik merupakan kisi yang dibentuk oleh vektor translasi dari kisiprimitif (Quinn dan Yi, 2009) .Kisi balik pada graphene memiliki simetri yangidentik yakni hexagonal, akan tetapi kisi baliknya berotasi 90o bila dibandingkandengan kisi sesungguhnya (Wong dan Akinwende ,2011).Dengan penyelesaiankisi balik digambarkan pada gambar (2.2) ,dimana kisi hexagonal bravais. ZBadalah wilayah hexagonal yang ditandai (Raza,2012).

Zona Brilloun (ZB) atau (Brilloun Zone) merupakan selWigner−Seitzpada kisi balik. dimana sifat simetrinya memuat banyak informasi yang mewa-kili sistem material yang dikaji(Manaf,2014). Vektor kisi balik pada ZB dapatditulis:

~b1 =2π

3a(1,√

3), ~b2 =2π

3a(1,−

√3). (2.4)

Dimana terdapat beberapa titik yang menjadi pusat yang berkaitan de-ngan energi dispersi E(~k)(Manaf,2014). titik titik tersebut adalah ~K dan ~K ′

dimana masing masing memiliki posisi di ruang momentum (Neto dkk,2009)

~K = (2π

3a,

2π

3√

3a), ~K = (

2π

3a,− 2π

3√

3a). (2.5)

2.1.3 Metode ikatan kuat (Tight Binding) Monolayer Graphene

Model ikatan kuat (Tight Binding) adalah model pendekatan untukmenghitung struktur pita elektronik pada sistem yang digunakan dengan mem-perkirakan kumpulan pita berdasarkan fungsi gelombang sebagai superposi-

16

Gambar 2.2: Kisi Balik Pada Graphene (atas)Zona Brilloun pada Graphene(bawah)(Raza,2012)

.

si fungsi gelombang atom yang terisolasi pada kisi kisi gelombang (Tabert :2012).Dengan mempertimbangkan elektron yang berpindah ke atom terdekatmaupun ke atom terdekat berikutnya dapat dituliskan (dengan ~=1)(Neto dkk,2009)

H = −t∑

<i,j>,σ

(a†σib†σj +H.c)− t′

∑<i,j>,σ

(a†σia†σjb†σia†σj +H.c), (2.6)

dimana aσi(a†σi) merupakan operator penghancur (kreasi)elektron denganspin σ(σ = ↑, ↓) di titik ~Ri pada sub kisi A (defenisi yang sama untuk kisiB).Notasi diatas ditulis dalam bentuk kuantisasi kedua (Second Quantization)(Tabert,2012) dengan parameter t(≈ 2, 8eV ) yang merupakan energi lompatan

17

ke atom terdekat dan t′ merupakan energi lompatan ke atom berikutnya (Netodkk,2009).

~E± = ±t√

(3 + f(~k)) + t′f(~k), (2.7)

dengan nilai f~k

f(~k) = 2cos(√

3kya)

+ 4cos

(√3

2kya

)cos

(3

2kxa

), (2.8)

dimana tanda ± merupakan tanda untuk menunjukan pita atas (bawah)π∗(π)(Neto dkk,2009).

Gambar 2.3: Energi dispersi dengan nilai t = 3, 033 dan t′ = 0, 29 dilihat daripenampang tiga dan dua dimensi (Raza,2011)

18

Gambar 2.4: Energi dispersi dengan t′ = 0 dilihat dari penampang tiga dan duadimensi (Raza,2011)

2.2 Struktur Kristal dan sifat elektronik Bilayer Graphene

Lembaran ganda graphene ( Graphene Bilayer) tersusun atas dua lem-baran tunggal graphene yang keduanya terikat melalui gaya V an Der Waals.Dimana lembaran ini diklasifikasikan dalam dua tipe tumpukan yakni tumpukanAB (AB Stacked Bilayer) dan tumpukan AA (AA Stacked Bilayer)(Manaf,2014).

2.2.1 Tumpukan AB

Tumpukan AB atau dikenal dengan Bernal Stacking merupakan susunanalami lembaran lembaran tunggal graphene membentuk graphite (Neto, dkk :2009). Tumpukan ini memiliki empat atom untuk tiap sel satuan yakni A1 danB1 pada lembaran bawah dan A2 dan B2 pada lembaran atas atau sebaliknya.Sehingga dalam tumpukan AB, pada atom B1(lembaran bawah) berpasangandengan atom A2 pada lembaran atas. Vektor kisi primitif pada tumpukan AByakni ~a1 = (1/2,

√3/2)a0 dan ~a1 = (−1/2,

√3/2)a0. Nilai a0 sama dengan

lembaran tunggal yakni a ≈ 2, 46 angstrom. Sel satuan dari tumpukan ABsama dengan nilai pada graphene lembaran tunggal begitu juga dengan nilaikisi balik dan ZB, sama dengan lembaran tunggal graphene (Raza,2012).

Model Hamiltonan tight binding pada tumpukan AB adalah (Neto dkk,2009)

19

Gambar 2.5: Tumpukan AB Graphene (Tabert,2012)

H = −γ0∑

<i,j>m,σ

(a†1,i,σb†m,j,σ +H.c)− γ1

∑j,σ

(a†1,j,σa†2,j,σ +H.c)

− γ4∑j,σ

(a†1,j,σb†2,j,σ + (a†2,j,σb

†1,j,σH.c)

− γ3∑

<i,j>m,σσ

(b†2,i,σb†2,j,σ +H.c), (2.9)

dimana am,i,σ(am,i,σ) merupakan operator penghancur elektron denganspin σ pada sub kisi A(B) untuk bidang m=1,2 di ~Ri. Sedangkan a†m,i,σ(b†m,i,σ)

merupakan operator kreasi elektron dengan spin σ pada subkisi A(B) untukbidang m=1,2 di ~Ri. Nilai γ0,γ1,γ3, dan γ4 merupakan parameter lompatanenergi (energi yang dibutuhkan untuk melompat dari satu atom ke atom yanglain)yang nilainya sama dengan nilai pada graphite. Nilai γ0=t merupakan pa-rameter energi lompatan pada bidang yang sama γ1(γ1 = t⊥ ≈ 0, 4) eV meru-pakan parameter lompatan energi antara atom A1 dan atom A1. γ4(γ4 = 0, 04)

eV merupakan parameter energi lompatan antara atom A1(A2) dan B1(B2). Se-dangkan γ3 merupakan parameter energi lompatan antara atom B1 dan B2 (Netodkk,2009).

Pembahasan tentang Hamiltonan (Persamaan 2.10) dapat difokuskan pa-da daerah titik ~K pada ZB, dengan cara mengekspansikan momentum dekat titik~K. Nilai Hamiltonannya dapat ditulis (Neto dkk,2009):

H =∑k

ψ†k.Hk.ψk, (2.10)

20

dimana nilai parameter γ4 dapat diabaikan maka:

H =

−φ vfk 0 3γ3ak

vfk∗ −φ γ1 0

0 γ1 φ vfk

3γ3ak 0 vfk∗ φ

(2.11)

k = kx + iky merupakan bilangan kompleks, φ merupakan perubahanelectrochemical potential antar dua lembaran φ yang akan muncul ketika poten-sial bias diberikan pada dua lembaran tersebut. ψ†k dengan nilai ψ†k = (b†1a

†1a†2b†2)

merupakan eigen vektor. Jika φ = 0 dan γ3, vfk � γ1 maka model hamiltonanpada persamaan (2.12) dapat dituliskan dalam bentuk Hamiltonan efektif (Netodkk,2009)

Hk =

(0 v2k2

γ1+ 3γ3ak∗

v2k∗2γ1

+ 3γ3ak 0

)(2.12)

untuk γ = 0 maka persamaan diatas menghasilkan dua pita berbentukparabolik εk,± = ±v2fk2/t⊥ yang keduanya saling bersentuhan di ε = 0 (gambar2.7). Dari sana juga bisa diketahui bahwa adanya simetri elektron-holes. De-ngan pendekatan yang sama diperoleh juga dua pita tambahan yakni masingmasing satu pada pita valensi dan pita konduksi yaitu γ1(γ1 = tt ≈ 0.04).(Netodkk,2009).

Pada persamaan (2.11) apabila φ 6= 0 hal ini akan merusak ekuivalen-si dari dua lembaran graphene (tumpukan AB)tersebut atau dengan kata lainmerusak simetri inversi. Energi dispersi dapat dituliskan (Neto dkk,2009):

ε±,~k = φ2 + v2fk2 + t2⊥ ±√

4φ2v2fk2 + t2v2fk2 + t2⊥/4. (2.13)

2.2.2 Tumpukan AA

Seperti pada tumpukan AB (Bernal Stacking), tumpukan AA tersusunjuga atas dua lembaran graphene yang terikat melalui gaya Van Der Walls. Padatumpukan AA atom A(B) pada lembaran atas ditumpuk berpasangan denganatom A(B) pada lembaran bawah (gambar 2.8). Model hamiltonan spin tunggal

21

Gambar 2.6: Struktur Pita Energi pada tumpukan AB Graphene tanpa gap dandengan gap (Tabert,2012)

pada tumpukan AA adalah (Tabert dan Nicol,2012).

Gambar 2.7: Tumpukan AA Graphene (Tabert,2012)

H = −t∑n,σ

(b†ln+σaln+H.c)−t∑n,σ

(b†2n+σa2n+H.c)+γ∑n

(a†2na1n+(b†2nb1n+H.c),

(2.14)dimana dua suku pertama pada persamaan (2.15) merupakan bentuk pa-

rameter lompatan elektron ke atom terdekat pada bidang atau lembaran yangsama dengan energi lompatan yakni t ∼ 3 eV.Dua bidang penyusun tumpuk-an AA ditandai dengan i dengan i = 1.2.ai,n merupakan operator penghancurelektron pada atom A di titik n pada lembaran Graphene i.Label n merupakanindeks dari posisi pada kisi Bravais triangular. Sebaliknya b†i,n+δ merupakan

22

operator kreasi elektron pada lembaran i di dekat atom B pada posisi n + δ

dengan δ merupakan vektor posisi atom terdekat.Vektor posisinya dapat ditu-liskan:

~δ1 = −(~a1 + ~a2)/3, ~δ2 = (2~a1 − ~a2)/3, dan ~δ3 = −(~a1 − 2~a2)/3. (2.15)

Vektor kisi primitif dari subkisi triangular adalah : ~aa = (a√

3/2, a/2)

dan ~aa = (a√

3/2,−a/2) dengan |~a1| = |~a1| =√

3aC−C dimana aC−C merupakanjarak terdekat dari ikatan karbon (Tabert dan Nicol,2012)

Suku ketiga dari persamaan (2.21) terkait dengan parameter energi lom-patan antar lembaran graphene. Dimana parameter lompatan antara antaraatom A(B) pada lembaran pertama menuju atom A(B) yang terdekat pada lem-baran kedua dituliskan dalam bentuk γ ≈ 0.2 eV.Pada tumpukan AA, elektronjuga dapat melompat dari atom A(B) pada lembaran pertama menuju atomB(A) yang terdekat pada lembaran kedua. Tetapi energi lompatannya sangatkecil sehingga suku lompatan tersebut dapat diabaikan (Tabert dan Nicol,2012).

Bentuk hamiltonan pada persamaan (2.15) dapat ditransformasikan keruang ~k sehingga dapat dituliskan (Tabert dan Nicol,2012)

H =

0 0 γ f(~k)

0 0 f ∗ (~k) γ

γ f(~k) 0 0

f ∗ (~k) γ 0 0

(2.16)

Dimana f(~k) = −t∑

σ ei~k.~σ dan digunakan vektor eigen ψ = (a1k, b2k, a2k, b1k)

(Manaf:2014).Penyelesaian untuk nilai eigen dari H diperoleh nilai energi dis-persi (Tabert dan Nicol,2012)

εα(~k) = ±[|f(~k)|+ (−1)αγ], (2.17)

dengan α=1 dan 2 sedangkan f(~k) merupakan dispersi energi untuk lem-baran tunggal. Untuk energi rendah maka nilai f(~k) dapat diekspansikan disekitar titik ~K pada ZB dan diperoleh f(~k) = ~vfkeiθ dengan vf =

√3ta/2~

dan θ merupakan sudut ruang ~k disekitar titik ~K. Dari gambar (2.9) dapat dida-patkan dua pita energi yang identik dengan lembaran tunggal grpahene (Tabert

23

dan Nicol,2012).

Gambar 2.8: Struktur Pita Energi pada tumpukan AB Graphene(Tabert,2012)

2.3 Struktur Kristal dan sifat elektronik Twisted Bilayer Graphene

2.3.1 Struktur Kristal pada Twisted bilayer Graphene

Untiran pada permukaan Graphite yang sebelumnya telah diteliti meng-gunakan Scanning Tunnelling Microscope (STM)(Li,dkk : 2010) dijadikan da-sar dalam kajian terhadap untiran antar lembaran Graphene (Twisted BilayerGraphene Layers)yang kemudian dikembangkan menjadi model Twisted BilayerGraphene (TBG)(Santos dkk,2007).

Model TBG dikarakterisasi melalui keberadaan sudut rotasi dan vektortranslasi relatif antara dua lembaran graphene. Apabila kedua struktur kisi ter-sebut sepadan, maka diperolah vektor kisi primitif ~L1 dan ~L2 yang diperoleh darihasil perkalian bilangan bulat dengan vektor-vektor kisi masing-masing lembar-an.Nilai ~L1 dapat dituliskan dalam bentuk bilangan bulat m,n,m’,n’.Persamaaanyaadalah:

~L1 = m~

a(1)1 + n

~a(1)2 = m′

~a(2)1 + n′

~a(2)2 , (2.18)

dengan ~a(1)1 dan ~

a(2)1 merupakan vektor kisi dari lembaran Graphene l =

1.2. Sedangkan ~L2 diperoleh dengan cara merotasikan ~L1 sebesar 60o. indeks

24

(m,n) dapat dibuat sama dengan indeks (n′,m′) dengan cara memilih vektorposisi sehingga TBG dapat dimodelkan melalui sepasang bilangan bulat (m,n).Nilainya dapat dituliskan(Moon dan Koshino,2012) :

cosθ =1

2

m2 + n2 + 4mn

m2 + n2 +mn, (2.19)

dimana konstanta kisi pada TBG L = | ~L1| = | ~L2| bernilai:

L = a0√m2 + n2 +mn =

|m− n|2sin(θ/2)

a0, (2.20)

dengan a0 = |~a1| = |~a2| ≈ 0.246 merupakan konstanta kisi pada graphene(Moon dan Koshino,2012).

Gambar 2.9: (2.1(a))Struktur atom pada TBG dengan sudut untiran θ =21.8o.(2.1(b))ZB pada TBG (Cocemasov, dkk,2013)

Luasan dari sel satuan (Unit cell) pada model TBG adalah

S = | ~L1 × ~L2| = (√

3/2)L2. (2.21)

Bentuk ZB pada TBG ditunjukan pada gambar 2.10(b). Terdapat duatitik Dirac ~K dan ~Kθ pada Zona Brilloun dari TBG dikarenakan adanya untiranantara satu lembaran relatif terhadap lembaran yang lain dimana jarak antaratitik Dirac ~K( ~Kθ) dengan pusat Zona Brilloun Γ bernilai 2π/ao. Besar Vektorpergeseran dari ~K menuju ~Kθ (Luican dkk,2011).

25

Gambar 2.10: (Visualisasi luasan dari sel satuan (unit sel) pada TBG padaberagam sudut untiran (Moon dan Koshino,2012)

∆K =8π

3aosin(θ/2), (2.22)

dengan θ merupakan sudut untiran dan ao merupakan konstanta kisi padalembaran tunggal graphene. Vektor pergeseran ∆K memiliki komponen ∆Kx

dan ∆Ky dimana sudut yang dibentuuk antara ∆Kx dan ∆K adalah θ/2 se-hingga untuk nilai ∆Kx dan ∆Ky diperoleh nilai (Manaf,2014).

∆Kx = ∆Ksin(θ/2). (2.23)

∆Ky = ∆Kcos(θ/2). (2.24)

26

2.3.2 Model Hamiltonan dan Energi Dispersi Twisted Bilayer Gra-pene

Model Hamiltonan pada daerah disekitar ~K dan ~Kθ diformulasikan (Ta-bert dan Nicol,2009):

H(~k) =

(H0(~k + ∆ ~K/2) H⊥

H†⊥ H0(~k −∆ ~K/2)

)(2.25)

dengan

H0(~k) =

(0 f ∗ (~k)

f(~k) 0

)(2.26)

dimana f = ~vf (kk + iky) dan

H0⊥(~k) = t⊥

(1 1

1 1

)(2.27)

H±⊥ (~k) = t⊥

(e∓iφ 1

e±iφ e∓iφ

)(2.28)

Parameter lompatan energi disimbolkan dengan t⊥ (berkisar antara 100 meVsampai dengan 150 meV), φ = 2π/3, ~ merupakan tetapan planck sedangkan vfmerupakan kecepatan fermi. Dari persamaan (2.25) sampai persamaan (2.28)diatas diperoleh bentuk analitik dari persamaan dispersi energi (saat tidak adamagnet luar)(Tabert dan Nicol,2009)

E2α(~k) =

1

2[t2⊥ + ε+2

G + ε−2G + (−)ξΓ ],

dimana

Γ =√

(t2⊥ + ε+2G + ε−2G )2 + 4ε+2

G ε−2G . (2.29)

ξ bernilai 1 dan 2 serta ε±G = |f(~k ± ∆ ~K)|. dispersi ini hanya berlakupada sudut untiran 3o ≤ θ ≤ 10o(Manaf : 2014).

Sedangkan untuk sudut untiran θ ≤ 3o tidak berlaku persamaan (2.29).

27

Gambar 2.11: Dispersi Energi dengan sudut untiran θ = 10o diperoleh menggu-nakan persamaan(2.3)

Oleh karena itu dikembangkan model hamiltonan yang sesuai untuk sudut un-tiran yang relatif lebih kecil. Model hamiltonan tersebut dapat dituliskan (Ma-naf,2014):

Heff =2~2v2f15t2⊥

(0 (k∗)2 − (1

2∆K)2

k2 − (12∆K)2 0

)(2.30)

dengan bilangan kompleks k didefinisikan sebagai k = kx+iky dan ∆K =

∆Kx + ∆Ky. (kx, ky) merupakan komponen vektor dari ~k relatif terhadap titiktengah (mid point) dari titik Dirac (Dirac Points). Dari persamaan (2.30)diperoleh persamaan (He dkk : 2013):

E(kx, ky) = α

√(k2x − k2y −

1

4∆K2

x +1

4∆K2

y )2 + (2k2x− k2y −1

2∆Kx∆Ky)2,

(2.31)dengan α = ±2~2v2f/15t⊥. Dispersi energi (persamaan 2.31) diatas dikhu-

suskan untuk tinjauan pada daerah energi dekat aras fermi dan terkait denganSVH. keberadaan SVH sendiri mulai teramati saat θ ≤ 10o, oleh karena itudispersi energi diatas ahanya valid pada sudut untiran θ ≤ 10o (He, dkk,2013).

28

Gambar 2.12: Dispersi Energi dengan sudut untiran θ = 1.16o (Manaf :2014)

2.3.3 Rapat Keadaan (Density of State) Graphene Layer Tunggal(Graphene Monolayer)

Rapat Keadaan (DOS)merupakan gambaran tentang kondisi energi pa-da tiap keadaan (States) yang bebas ditempati elektron (Tabert, 2012).Rapatkeadaan (DOS) per unit area dapat dituliskan :

N(ε) = Nf

∑k

δ(ε− E(k)), (2.32)

dimana Nf adalah faktor degenerasi. jumlah k dapat diganti denganintegral dua dimensi

∑k

→ 1

(2π)2

∫d2k, (2.33)

Persamaan diatas bisa dihitung secara numerik menggunakan represen-tasi lorentzian pada delta fungsi

δ(x) = lim1

π

η

η2 + x2, (2.34)

dengan perluasan penyebaran nilai dari η. Untuk rapat muatan penuhdigunakan persamaan (2.8)untuk E(k). Untuk Rapat Muatan Penuh

29

N(ε) = Nf1

(2π)2

∫ ∫1stB.Z

dkxdkyδ(ε− E(k)), (2.35)

Untuk Nf = gx = 2 diperoleh (Neto,2009):

N(ε) =1

(2π)

∫ ∫1stB.Z

dkxdkyδ(ε− E(k)), (2.36)

Nilai DOS juga dapat diperoleh dengan penjumlahan kecepatan group(group velocity)dari Dirac Fermion. Kecepatan group bisa diperoleh denganDivergence dari energi dispersi E(~k)(Manaf,2014):

~v =1

~5 E(~k), (2.37)

dengan nilai DOS:

D(E) =1

4π3N~

∫dl

|~v|, (2.38)

Sehingga nilai DOS bisa dituliskan :

D(E) =1

4π3N

∫dl

5E(~k). (2.39)

2.3.4 Rapat Keadaan (DOS) Twisted Bilayer Grapene

Bentuk Rapat Keadaan pada model Twisted Bilayer Graphene (TBG)diperoleh dari nilai E(~k) berdasarkan persamaan (He dkk 2013) :

E(kx, ky) = α(A2 +B2)1/2, (2.40)

dimana untuk nilai α = ±2~2v2f15t

, A= k2x − k2y − 14∆K2

x + 14∆K2

x dan nilaiB= 2k2xk

2y − 1

2∆kxky dimana t adalah coupling antar layer dan (kx, ky) vek-

tor gelombang dua dimensi relatif terhadap titik tengah titik Dirac. Vektor∆K(∆Kx,∆Ky) adalah pergeseran relatif dari Dirac Point pada ZB(Gambar2.10(b)). Untuk nilai ∆K:

∆K =8π

3aosin(

θ

2). (2.41)

30

Untuk nilai ao adalah kisi konstan dari graphene layer tunggal. dan θ ada-lah sudut dari rotasi setara yakni ∆Kx = ∆Ksin(θ/2) dan ∆Ky = ∆Kcos(θ/2)

(Manaf dkk, 2014)Untuk nilai DOS dirumuskan (Manaf,2014) :

D(E) =1

16απ3N

[ln

∣∣∣∣βα2 + E2f

βα2 + E2

∣∣∣∣] , (2.42)

dengan

β = −2(A1(k2x − k2y) +B1(k

2xk

2y))−

1

16|∆K|4. (2.43)

Pada persamaan (2.33) efek dopingnya diabaikan, sehingga posisi arasFermi Ef diasumsikan bernilai 0 meV (berada pada titik Dirac)atau identikdengan Graphene murni (Manaf,2014) Pendekatan ini dilakukan berdasarkanmodel TBG yang menunjukan bahwa Dirac Cones masih terlihat pad susutuntiran θ > 1o sehingga sifat graphene murni masih dimiliki Dirac Cones akanmulai tidak terlihat pad susut untiran θ < 1o, sehingga sifat graphene murniakan menghilang pada sudut untiran tersebut (Santos, dkk ,2012). Posisi arasfermi yang berada pada titik Dirac maka persamaan (2.33) dapat dituliskan(Manaf,2014):

D(E) = N0

[ln

∣∣∣∣βα2 + E2D

βα2 + E2

∣∣∣∣] , (2.44)

dengan ED merupakan energi pada titik Dirac dan N0 = 1/16απ3N (Ma-naf ,2014).

2.4 Low − Energy SVH dan renormalisasi Kecepatan fermi (vf)

Berdasarkan data eksperimen menggunakan STS dengan sudut untiranθ = 1, 16o didapatkan nilai beda jarak antara satu SVH dengan SVH satunya(jarak antar SVH) adalah ∆ESV H=12 meV (Li dkk, 2009). Aras Fermi beradapada energi nol (Zero−Energy States) dan tepat berada ditengah-tengah SVH,sehingga jarak SVH dan aras Fermi adalah 6 meV (Manaf, 2014). Jarak antarSVH yang diperoleh dari model tersebut untuk sudut untiran 2o < θ < 5o dapatdiformulasikan dengan :(Santos dkk,2007; Raza,2012)

31

∆ESV H ≈ ~vf∆K − 2tθ, (2.45)

dimana tθ merupakan faktor energi lompatan antar bidang yang gayutdengan sudut untiran ditambahkan dengan potensial bias (gate voltagge). Bedajarak SVH lainnya yang berhasil dikaji secara eksperimen pada sudut untiranθ = 1, 79o dengan beda nilai SVH ∆ESV H=82 meV dan pada sudut untiranθ = 3, 48o dengan beda nilai SVH ∆ESV H=430 meV (Li dkk,2009; Raza,2012;Manaf,2014).

Gambar 2.13: Tunneling spectra untuk berbagai sudut untiran(Raza,2012)

Selain SVH yang dekat dengan aras fermi, pada kajian graphene dengansudut untiran muncul sifat-sifat yang identik dengan lembaran tunggal graphe-ne, yakni partikel yang terlibat merupakan massless Dirac Fermions dan re-normalisasi kecepatan Fermi (vf ). Kedua hal ini berkaitan dengan pergeseranDirac Cones seperti pada perubahan nilai SVH pada variasi sudut untiran.Semakin bertambahnya pergeseran ke Dirac Cones akan membuat dispersi ener-gi terlihat semakin linear. Dimana akan diperoleh keberadaan dua Dirac Conesyang semakin jelas (Manaf, 2014) Bentuk dispersi energi berbentuk Dirac Conesidentik pada lembaran tunggal graphene yang menggambarkan bahwa partikelmerupakan massless Dirac Fermions (Raza,2012).

Berdasarkan fakta teori dan eksperimen kecepatan fermi (vf ) akan ber-tambah seiring dengan bertambahnya sududt untiran hingga mencapai sudutuntiran maksimum yakni θ = 30o, dimana nilai ini teramati pada Chemical

V apour Deposition (CVD) graphene films. Pada CVD terlihat keberadaanmassless Dirac Fermions baik untuk sudut untiran kecil θ < 10o dan sudut un-

32

tiran lebih besar 10o < θ < 30o. sedangkan untuk nilai kecepatan fermi vf terjadiperbedaan untuk perbedaan sudut untiran yakni 0.87× 106 m/s dan 1.10× 106

m/s.perubahan ini disebut dengan renormalisasi kecepatan fermi vf yang secarateori dapat dimodelkan dengan persamaan(Sanos dkk,2007;Raza,2012):

vf (θ)

vθf= 1− 9

(tθ±

~vf∆K

)2

. (2.46)

vf (θ) vθf adalah kecepatan fermi pada lembaran-lembaran graphene yangmengalami untiran (Kecepatan fermi vf pada lembaran tunggal graphene).

2.5 Metode penentuan nilai akar-akar Newton-Raphson (NR)

Metode NR merupakan salah satu metode untuk menentukan akar akarsuatu persamaan.Metode NR menggunakan satu nilai tebakan awal yakni nilaiperkiraan awal dari akar akar persamaan yang ingin dihitung xi. Suatu garissinggung dapat dibuat dari titik (xi,f(xi), dimana garis singgung tersebut me-motong sumbu x yang biasanya memberikan perkiraan yang lebih dekat dengannilai akar.Dasar dari persamaan ini adalah Aproksimasi linear dari fungsi di-sekitar nilai akar. nilainya bisa diperoleh dengan memperluas fungsi f(xr = 0

disekitar nilai akar xr melalui ekspansi Taylor (Pang, 2006).

Gambar 2.14: Skema ilustrasi tahap untuk menemukan akar persamaan meng-gunakan methode Newton raphson (Pang, 2006)

.

Penurunan rumus Newton-Raphson(NR) menggunakan deret Taylor

33

f(xi+1) w f(x− i) + (xi+1 − xi)f ′(xi) + frac(xi+1 − xi)22f ′′(xi), xi < t < xi+1.

(2.47)Nilai dipotong sampai orde suku satu menjadi f(xr+1) w f(x − r) +

(xr+1 − xr)f′(xr) karena nilai suku orde dua bernilai sangat kecil dan dapat

diabaikan.Dimana nilai x dianggap sebagai nilai coba untuk nilai akar xr pada ting-

kat tertentu misal i dan aproksimasi untuk tahap setelah i yakni i+ 1 diperolehdari :

f(xi+1) = f(xi) + (xi+1 − xi)f ′(x) w 0, (2.48)

Sehingga

xi+1 = xi + ∆xi = xi −fif ′i, (2.49)

dan jika ditentukan berdasarkan grafik suatu persamaan melewati padanilai y=0 :

xi+1 = xi −f(xi − 0)

f ′(xi). (2.50)

Nilai 0 pada f(xi − 0) merupakan nilai pembuat nol pada Metode NRsehingga persamaannya menjadi :

xi+1 = xi −f(xi)

f ′(xi). (2.51)

Pada metode NR yang dipakai pada perhitungan di skripsi ini nilai pem-buat nol diberikan oleh nilai E(~k) (sb-y) sebagai level energi pada grafik Energidispersi terhadap nilai Kx dan Ky sehingga persamaannya menjadi

xi+1 = xi −E(~xi)− EE ′(~xi)

. (2.52)

2.5.1 Perhitungan nilai ralat pada metode Newton-Raphson

Perhitungan numerik hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekatinilai sebenarnya sehingga terdapat nilai kesalahan atau ralat terhadap nilai yangsebenarnya. Ralat berkaitan dengan seberapa dekat solusi hampiran dengan

34

solusi yang sebenarnya. Misalkan a adalah nilai hampiran terhadap nilai sejati a,maka nilai selisih ε = a−a disebut ralat, dimana nilai positif maupun negatifnyatidak berpengaruh sehingga dapat didefenisikan (Tresnaningsih, 2010) :

|ε| = |a− a|. (2.53)

Ukuran ralat ini tidak terlalu bermakna karena tidak menjelaskan sebe-rapa besar ralat tersebut dari nilai sejatinya. Sehingga diperlukan interpretasiralat tersebut yang dinormalkan terhadap nilai sejatinya. ralat ini dikenal de-ngan istilah ralat relatif (ε|R). ralat ini didefenisikan sebagai εR = ε

aatau jika

ditulsi dalam persentase εR = εa× 100%¸, untuk ralat relatif hampiran εR = ε

a.

Nilai ralat ini juga disebut nilai ralat relatif sejati karena dinormalkan terha-dap nilai sebenarnya (Tresnaningsih, 2010).

Sedangkan untuk sumber utama ralat dalam perhitungan numerik secaraumum ada dua yakni(Tresnaningsih, 2010) :

1. Ralat PemotonganRalat pemotongan mengacu pada ralat yang disebabkan karena penggan-

tian ekspresi matematika yakni pemotongan suatu deret(Tresnaningsih, 2010).Contoh : Hampiran deret taylor

1− x2

2!+x4

4!+x6

6!‖x

8

8!+x10

10!+ ......, (2.54)

Pada deret diatas nilai deret dipotong pada pada suku x6

6!. Nilai ralat

dapat dihitung melalui hampiran ralat pemotongan menggunakan rumus sukusisa(Tresnaningsih, 2010) :

Rx(x) =n∑k=1

(x− x0)(n+1)

(n+ 1)!fn+1(c), x0 < c < x. (2.55)

Untuk nilai c pada batasan selang tertentu, maka nilai mungkin dari Rn

untuk c dalam selang tersebut(Tresnaningsih, 2010):

|Rx(x)| < maxx0<c<x

|fn+1(c)|x(x− x0)(n+1)

(n+ 1). (2.56)

2.Ralat PembulatanRalat Pembulatan merupakan pengurangan cacah digit pada suatu nilai

hampiran dengan cara membuang beberapa digit terakhir. Penjelasan tentang

35

ralat pembulatan telah dijelaskan diatas dan terjadi karena adanya pembulatandalam komputasi numerik.

BAB III

Hasil dan Pembahasan

3.1 Analisa Hasil Perhitungan Numerik Rapat Keadaan (DOS) un-tuk graphene Monolayer Menggunakan metode Newto Raphson

Gambar 3.1: (a)Grafik Energi Dispersi Graphene Layer Tunggal untuk nilaiharap t = 2, 8 dan t = 0.(b)Grafik Energi Dispersi Graphene Layer Tunggaluntuk parameter lompatan t = 2, 8 dan t = 0 pada saat nilai Kx=0 diperolehdari persamaan energi dispersi(2,8).

Gambar 3.1a dan 3.1b merupakan grafik dari energi dispersi untuk gra-phene monolayer dengan nilai parameter lompatan t = 2.8 dan t′ = 0 yang dipe-roleh dari perhitungan menggunakan persamaan energi dispersiE(~k)(Persamaan2.8). Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya bahwa grafik energi dispersi bi-sa memberikan informasi distribusi elektron pada setiap level E sehingga darisini bisa diprediksi grafik DOS yang akan dihasilkan. Atas dasar inilah padaperhitungan DOS kali ini hanya diambil rentang nilai E dari -2 eV sampai 2 eVdikarenakan pada rentang energi tersebutlah elektron terdistribusi lebih banyaksehingga kemungkinan posisi SVH pada DOS akan berada pada rentang energitersebut(Lihat gambar 3.1b grafik DOS pada saat Kx=0).

Selain dari energi dispersi E(~k), nilai SVH juga bisa diprediksi dari posisititik pelana Saddle Point (SP) pada grafik energi dispersi. Posisi titik pelanamenunjukan posisi flat (seperti bentuk pelana) pada energi dispersi dimanaenergi (E) energi bernilai konstan. Gambar 3.2 menunjukan posisi SP pada

36

37

grafik monolayer dimana nilainya berkisar pada nilai E/t= 1 eV

Gambar 3.2: Posisi saddle point (SP) pada energi dispersi untuk graphene mo-nolayer

Perhitungan numerik untuk menghitung nilai DOS pada graphene mono-layer didasarkan pada persamaan energi dispersi E(~k)(Persamaan 2.9), meng-gunakan metode Newton Raphson yang menghasilkan beberapa grafik DOS de-ngan beberapa variasi parameter numerik. Parameter-parameter tersebut yak-ni,parameter level energi(E) parameter K(x), parameter tebakan awal (K(y))dan iterasi (n). Untuk variasi parameter tebakan awal K(y) dan nilai itera-si (n) tidak memberikan pengaruh yang terlalu berarti terhadap nilai bentukgrafik yang dihasilkan. Untuk variasi parameter tebakan awal K(y) juga tidakmemberikan perubahan pada hasil grafik hal ini karena nilai tebakan awal yangmerupakan nilai predisksi akar-akar yang sebenarnya sehingga nilai tersebut ak-an mengacu pada nilai-nilai akar sebenarnya dari persamaan. Jika nilainya tidakada atau jauh dari nilai akar-akar yang ada maka nilai prediksi akar dari tebakanawal dianggap nol. Sedangkan untuk parameter iterasi (n) juga diperoleh hasilgrafik yang sama untuk beberapa variasi parameter iterasi (n). Hal ini dikare-nakan faktor kekonvergenan dari fungsi yang digunakan (energi dispersi ~E(k).Dimana nilai akan mencapai nilai konvergen untuk pengulangan iterasi yangtidak terlalu lama. Nilai iterasi (n) yang diberikan dengan jumlah 50, 100, 300,500 dan 1000, menghasilkan grafik yang sama. Walaupun tidak memeberikanpengaruh pada hasil grafik DOS, parameter tebakan awal K(y) maupun para-

38

meter iterasi (n) tetap memberikan pengaruh pada proses lamanya perhitunganyakni jika nilai iterasi (n) dan parameter tebakan awal K(y) yang diberikansemakin besar maka waktu untuk proses perhitungan akan bertambah karenasetiap proses perhitungan program akan menghitung nilai yeng lebih banyaksehingga membutuhkan waktu yang lebih lama untuk masuk ke perhitunganselanjutnya.

Gambar 3.3: Variasi grafik DOS untuk graphene monolayer (c) ∆ ~Kx=0.05E=0.05 ∆ ~Ky=0.1 Dengan variasi nilai parameter iterasi (n) 50,100,300, dan500

Sedangkan untuk variasi parameter level energi E dan parameter K(x)

akan memeberikan pengaruh terhadap bentuk grafik DOS yang dihasilkan. Jikanilai parameter yang diberikan baik parameter E dan K(x) semakin besar (Ni-lai rentang (∆E dan ∆K(x) semakin kecil) maka grafik yang dihasilkan akansemakin baik(halus).

Pada gambar (3.2) memperlihatkan hasil perhitungan DOS berupa grafik.Dari beberapa grafik yang dihasilkan, grafik pada gambar (3.2(c)) merupakangrafik yang paling baik dibadingkan grafik (3.2(a)) dan (3.2(b)). Sehingga da-pat disimpulkan bahwa pada perhitungan DOS menggunakan metode Newton-

39

Raphson, parameter E dan K(x) merupakan parameter yang paling berpenga-ruh terhadap nilai grafik DOS yang dihasilkan.

Nilai ralat yang digunakan pada metode NR ini yaitu menggunakan sum-ber ralat pembulatan. Nilai ini diambil dari nilai selisih antara nilai tebakanawal dengan nilai akar sebenaarnya. Untuk perhitungan monolayer graphenediperoleh nilai ralat ±0.002 atau 0.2%¸. Nilai ralat yang diperoleh menunjukannilai ralat yang cukup kecil sehingga dapat disimpulkan nilai perhitungan pa-da graphene monolayer menghasilkan nilai yang tidak terlalu jauh dengan nilaisebenarnya (gambar 3.1(d)).

Gambar 3.4: Beberapa bentuk grafik DOS monolayer graphene (a)∆ ~Kx=0.05∆E=0.1 ∆ ~Ky=0.1(b)∆ ~Kx=0.1 ∆E=0.05 ∆ ~Ky=0.1 (c) ∆ ~Kx=0.05 ∆E=0.05∆ ~Ky=0.1 dan (d) Grafik DOS Monolayer dengan nilai ralat dan aproksimasipola linear pada grafik DOS

Gambar 3.2 merupakan hasil perhitungan DOS dari graphene layer tung-gal untuk nilai t = 2.8 dan t′ = 0. Grafik DOS yang diperoleh memperlihatkanbentuk yang simetri antara nilai DOS positif dan nilai DOS negatif, dengan ni-lai SVH/titik kritis berkisar pada nilai ±1eV . Nilai ini sesuai dengan prediksiposisi SVH pada grafik DOS pada posisi Saddle Point pada energi dispersi.

40

Nilai ini juga sesuai dengan nilai yang telah diteliti sebelumnya untuk graphenelayer tunggal baik secara analitik maupun numerik seperti yang telah ditelitioleh Nicol dkk(2009) dan Yuan dkk(2010).

Dari grafik DOS yang diperoleh terlihat pola linear untuk rentang energi-0,6 - 0,6 (dekat titik dirac (zero point)) dan pola logaritmik untuk rentangenergi > -0,6 eV dan < 0,6 eV sampai titik kritis(SVH). Pola linear yang terben-tuk pada DOS bisa dijelaskan dari persamaan energi dispersi dimana terbentukgaris linear disekitar tenaga nol. Nilai ini terbentuk karena adanya keterlibatanDirac Fermions yang memiliki dispersi energi yang menyerupai dispersi energipartikel-partikel ultrarelativistik sehingga membentuk pola linear. Pola linearini juga bisa dijelaskan dari persamaan Dirac untuk Dirac Fermions, dima-na m=0, dengan persamaan Ef = hvfk, memperlihatkan pola linear dimanaterlihat nilai energi akan sebanding dengan nilai (k). Sedangkan untuk polalogaritmik bisa dijelaskan dari posisi flat(datar) pada pita dispersi atau padaposisi saddle Point dimana jika mengacu pada persamaanD(E) = 1

4π3N

∫dl

5E(~k),

dimana nilai ∆E(~k)=0 maka nilai D(E) dengan faktor 1

5E(~kakan menghasilkan

tak berhingga sehingga nilainya akan direpresentasikan dengan pola logaritmikpada grafik DOS. Pola logaritmik ini yang juga merupakan nilai pada posisiSVH juga merepresentasikan nilai elektron yang terdapat pada daerah terse-but keadaan elektron pada level energi tertentu yang terdistribusi lebih banyakpada titik tersebut (Pada posisi flat atau posisi Saddle Point). Pola linearyang terbentuk pada energi rendah (Low − Energy) yang bisa dijelaskan de-ngan persamaan energi fermi sehingga dari grafik DOS juga bisa jelaskan faktorkecepatan elektron sebagai Dirac Fermion pada energi rendah atau disebutjuga dengan Kecepatan Fermi vf (Fermi V elocity). Nilai vf ini bisa didekatidengan pendekatan nilai gradien(m) pada pola linear yang terbentuk dimanauntuk graphene monolayer pada rentang energi -0,6 eV sampai 0,6 eV dekat ti-tik Dirac, diperoleh nilai m = 0,33 DOS eV −1, besarnya dipengaruhi oleh faktorenergi dan faktor rapat keadaan (DOS).

41

3.2 Analisa Hasil Perhitungan Numerik Rapat Keadaan (DOS)untukgraphene Layer Ganda dengan untiran (Twisted Bilayer Graphene)Untuk Sudut Untiran θ = 1, 16o

Untuk perhitungan nilai DOS pada graphene TBG secara numerik meng-gunakan metode Newton Raphson sama dengan perhitungan untuk DOS untukgraphene monolayer yakni berdasarkan persamaan energi dispersi E(~k) (2.32),yakni Persamaan energi dispersi untuk TBG yang dihitung pada rentang energirendah. Sama dengan perhitungan DOS pada graphene monolayer perhitunganDOS pada graphene TBG untuk sudut untiran θ ≤ 10o yakni θ = 1, 16o, jugadihitung pada beberapa variasi parameter yakni parameter level energi E, nilaitebakan awal K(y), nilai K(x), dan nilai iterasi(n). Untuk persamaan energidispersi pada TBG dengan sudut untiran θ = 1, 16o digunakan nilai tetapan yak-ni h dan v yang merupakan nilai tetapan planck dan kecepatan group dengannilai masing-masing 6,58 dan 0,87 (Manaf, 2014). Hanya saja pada perhitung-an DOS untuk TBG pada energi rendah ini, digunakan faktor pengali yakni αdimana α = ±99, 24~2v2f/t⊥. Nilai ini merupakan faktor kesetaraan, agar nilaiyang diperoleh mendekati nilai yang diperoleh sama dengan nilai yang diperolehpada nilai eksperimen(Manaf,2014)(untuk untiran θ = 1, 16o SVH berada padanilai 6 meV (Li dkk,2009)).

Gambar 3.5: (a)Grafik energi dispersi untuk nilai θ = 1, 16o (b) grafik energi dis-persi untuk nilai ∆Kx=0 pada sudut untiran θ = 1, 16o berdasarkan persamaan2.32

Sama seperti pada graphene monolayer, nilai DOS pada TBG bisa diper-kirakan nilainya dari grafik energi dispersi (3.5 (a) dan (b)). Nilai pada grafikenergi dispersi bisa dijadikan acuan untuk mengambil rentang nilai E sebagai

42

Gambar 3.6: Posisi Saddle Point (SP) pada energi dispersi pada TBG untuksudut untiran θ = 1.16o

nilai pembuat nol yang akan digunakan pada perhitungan (nilai -0.008 eV sam-pai 0.008 eV untuk sudut untiran θ = 1, 16o). Selain itu dari nilai energi dispersijuga bisa diprediksi posisi titik kritis(SVH) pada grafik DOS. Posisi SVH ju-ga bisa diprediksi pada posisi saddle Point (gambar 3.6) dimana posisi saddlePoint merupakan posisi yang akan menjadi nilai puncak SVH pada grafik DOS(gambar 3.7).

Untuk variasi parameter numerik dalam menghitung DOS diperoleh nilaigrafik terbaik untuk nilai ~Kx dan E yang paling besar (nilai partisi∆E dan∆ ~Kx yang paling kecil)(Gambar 3.7). Untuk nilai ralat juga diperoleh dengancara yang sama dengan nilai ralat pada graphene monolayer yakni sumber ralatpembulatan, dimana nilainya berkisar ±0, 001.

Grafik DOS yang dihasilkan untuk TBG pada sudut untiran θ = 1, 16o

membentuk pola linear, yakni pada rentang -0,0022 eV sampai 0,0022 eV da-ri titik Dirac (Dirac Point). Pola linear ini dapat dijelaskan karena adanyaketerlibatan Dirac Fermions yang sifat-sifat ini identik dengan graphene de-ngan lembaran graphene. Pola linear ini juga bisa dijelaskan dengan persamaanEf = hvfk, memperlihatkan pola linear dimana terlihat nilai energi akan seban-ding dengan nilai (k).Dibandingkan dengan pola linear pada grafik DOS graphe-ne monolayer yang berada pada rentang energi eV, pola linear yang terbentukpada grafik DOS TBG terbentuk pola linear yang lebih rendah karena beradapada rentang energi meV. Sedangkan pola logaritmik berada pada rentang nilai> 0,005 eV dan > 0,005 eV sampai titik kritis(SVH). Pola logaritmik ini bi-

43

Gambar 3.7: Beberapa grafik DOS TBG untuk sududt untiran θ =1, 16o(a) ∆ ~Kx=0,0001 ∆E=0,00005 ∆ ~Ky=0,01 (b) ∆ ~Kx=0,00005 ∆E=0,00001∆ ~Ky=0,01 (c) ∆ ~Kx=0,00005,∆E=0,00005 ∆ ~Ky=0,01 (d)Grafik DOS TBG un-tuk sudut untiran θ = 1, 16o dengan nilai ralat

sa dijelaskan dari posisi flat(datar) pada pita dispersi atau pada posisi saddlePoint dimana jika mengacu pada persamaan D(E) = 1

4π3N

∫dl

5E(~k), dimana nilai

∆E(~k)=0 maka nilai D(E) dengan faktor 1

5E(~kakan menghasilkan tak berhing-

ga sehingga nilainya akan direpresentasikan dengan pola logaritmik pada grafikDOS. Pola logaritmik ini yang juga merupakan nilai pada posisi SVH/titik kritisyang menggambarkan keadaan elektron yang terdapat pada level energi tersebut(Pada posisi flat atau posisi Saddle Point) pada energi dispersi.

untuk nilai SVH/titik kritis pada grafik DOS pada TBG, untuk sudutuntiran θ = 1.16o berada pada nilai 6 meV dan −6 meV dari titik dirac, dengannilai DOS 1.5 1025 eV−1 m−2. Nilai ini sama dengan nilai yang telah ditelitisebelumnya baik secara analitik oleh Manaf(2014), dengan dimensi berorde 1025,dan secara eksperimen oleh Li dkk(2009). Sedangkan untuk nilai kecepatan fermi(vf ) yang merupakan kecepatan elektron pada tiap level pada energi dispersi,nilainya bisa direpresentasikan dengan nilai gradien (m), diperoleh nilai m =

44

0,21 1025 eV−2 m−2 .


Untuk perhitungan DOS pada TBG dengan sudut untiran θ = 1, 79o

digunakan faktor faktor kesetaraan α = ±119, 6~2v2f/t⊥. Untuk grafik DOS pa-ling baik diperoleh pada variasi paramater nilai ∆ ~Kx=0,001, ∆E=0,001, dan∆ ~Ky=0,001(Gambar 3.8(c)). Nilai ini sesuai dengan nilai perhitungan sebe-lumnya dimana grafik yang dihasilkan akan semakin baik (halus) untuk variasiparameter ~Kx dan E yang semakin besar (nilai partisi ∆ ~Kx dan ∆E semakinkecil). Sedangkan untuk Untuk nilai ralat juga digunakan sumber ralat pe-motongan dimana nilai untuk ralat pada TBG pada sudut untiran θ = 1, 79o

diperoleh nilai ± 0, 002.

Gambar 3.8: (a)Grafik energi dispersi untuk nilai θ = 1, 79o grafik energi dispersidengan sudut untiran θ = 1, 79o pada saat ∆Kx=0

Pada grafik DOS yang diperoleh(gambar 3.10) diperoleh pola linear padarentang energi E>-3,6(10−2)eV dan E>3,6(10−2)eV, dari point dirac dan polalogaritmik pada nilai rentang energi E<-3,6(10−2)eV dan E>3.6(10−2)eV sam-pai nilai SVH/titik kritis. Pola linear ini juga bisa diprediksi dari persamaanenergi dispersi (gambar 3.8) dan terjadi akibat adanya keterlibatan darimasslesDirac Fermion pada TBG yang identik dengan lembaran tunggal graphene se-perti pada TBG untuk sudut untiran θ = 1, 16o. pola linear juga bisa dijelaskandari persamaan Dirac untuk Dirac Fermions, dimana m=0, dengan persama-an Ef = hvfk, memperlihatkan pola linear dimana terlihat nilai energi akan

45

Gambar 3.9: Posisi Saddle Point pada energi dispersi pada TBG untuk sudutuntiran θ = 1, 79o

sebanding dengan nilai (k). Sementara untuk pola logaritmik juga bisa dije-laskan pada posisi flat atau posisi Saddle Poin pada energi dispersi(Gambar3.8 dan 3.9) yang menggambarkan kondisi elektron pada level energi tersebut.Untuk Posisi SVH pada grafik DOS untuk TBG pada sudut untiran θ = 1, 79o

berada pada nilai -41 meV dan 41 meV dari point dirac dengan nilai DOS 2,81025 eV−1 m−2, yang nilai ini juga bisa diprediksi grafik energi dan pada posisiSaddle point(gambar 3.9). Nilai ini sama dengan nilai yang telah diteliti sebe-lumnya oleh Manaf (2014), dengan dimensi berorde 1025, dan secara eksperimenoleh Guohong Li dkk (2009). Sedangkan untuk pola kecepatan fermi (vf ) yangnilainya bisa direpresentasikan dengan nilai gradien (m) diperoleh nilai m= 0,81025 eV−1 m−2.


Sama seperti perhitungan DOS TBG untuk sududt untiran θ = 1, 16o

dan θ = 1, 79o, perhitungan DOS pada TBG dengan sudut untiran θ = 3, 48o

berdasarkan pada energi dispersi dispsersi (E(k)) dimana untuk sudut untiranθ = 1, 79o digunakan nilai faktor kesetaraan α = ±218, 3~2v2f/t⊥ (Manaf,2014).Dari variasi variasi parameter numerik yang diberikan memberikan hasil gra-fik yang terbaik untuk parameter ~Kx dan E yang semakin besar (nilai partisi

46

Gambar 3.10: Beberapa grafik DOS TBG untuk sudut untiran θ = 1, 79o(a)∆ ~Kx=0,001 ∆E=0,001 ∆ ~Ky=0,001 (b) ∆ ~Kx=0,0005 ∆E=0,0005 ∆ ~Ky=0,001(c) ∆ ~Kx=0,0001,∆E=0,0005 ∆ ~Ky=0,001 (d)Grafik DOS Monolayer dengan ni-lai ralat

∆ ~Kx dan ∆E semakin kecil) yakni ∆ ~Kx=0,0005, ∆E=0,0005, dan ∆ ~Ky=0,001(Gambar 3.11(c)). Sedangkan untuk nilai ralat menggunakan sumber ralat pem-bulatan diperoleh nilai ralat ±0, 003.

Dari grafik DOS yang diperoleh terbentuk pola linear pada pola linearpada rentang energi E>-0,19 eV dan E>0,19 eV, dari point dirac, yang bisa di-jelaskan dari energi dispersi akibat keterlibatan Massless Dirac fermion yangidentik dengan graphene monolayer dan persamaan persamaan Dirac untukDirac Fermion dimanamassa = 0. Sedangkan untuk pola logaritmik yang ber-ada pada nilai rentang energi E<-0,19 eV dan E>0,19 eV sampai nilai SVH/titikkritis Untuk nilai SVH dari poin dirac yang bisa dijelaskan pada posisi flat atauposisi Saddle Poin pada energi dispersi(Gambar 3.11) sama seperti TBG untuksudut untiran θ = 1, 16o dan θ = 1, 79o.

Untuk posisi SVH untuk sudut untiran θ = 3, 48o pada grafik DOS jugabisa diprediksi dari grafik energi dan pada posisi Saddle Point pada energi

47

Gambar 3.11: (a)Grafik energi dispersi untuk nilai θ = 1.79o grafik 3 Dimensidan grafik 2 Dimensi (b)Grafik energi dispersi untuk nilai θ = 3.48o (b) grafikenergi dispersi untuk nilai ∆Kx=0 pada sudut untiran θ = 3.48o (c)Posisi SaddlePoint pada energi dispersi pada TBG untuk sudut untiran θ = 3.48o

dispersi(Gambar 3.11), yakni pada pada nilai -215 meV dan 215 meV dengannilai DOS 11 1025 eV−1 m−2. Posisi SVH pada DOS ini sama dengan posisi DOSyang telah diteliti sebelumnya oleh (Li dkk,2009) dan Manaf (2014). Sedangkanuntuk kecepatan fermi (vf ) pada grafik DOS yang direpresentasikan dengan nilaigradien (m) diperoleh nilai m= 4,3 1025 eV−2 m−2.

48

Gambar 3.12: Beberapa bentuk grafik DOS monolayer graphene (a)∆ ~Kx=0,05,∆ ~Ky=0,05,∆E(~k)=0,1(b) ∆ ~Kx=0,01, ∆ ~Kx=0,1,∆E(~k)=0,01 dan (c)∆ ~Kx=0,01,∆ ~Ky=0,01,∆E(~k)=0,01 dan (d) Grafik DOS Monolayer dengannilai galat 0,18

3.5 Analisa nilai SVH dan Renormalisasi Kecepatan Fermi dari nilaiDOS pada TBG pada Sudut Untiran θ = 1, 16o, θ = 1, 79o, danθ = 3, 48o

Gambar 3.13 menunjukan perbandingan nilai DOS diantara ketiga variasisudut untiran θ. Untuk perbandingan nilai DOS diantara ketiga sudut untiran,diperoleh nilai DOS pada SVH yakni 1,5 1025 eV−1 m−2, 2,8 1025 eV−1 m−2,dan 11 1025 eV−1 m−2 dimana nilai ini bernilai sama dengan nilai DOS untukketiga sudut untiran 1, 16o,1, 79o, dan 3, 48o yang diteliti secara analitik olehmanaf(2014)dengan dimensi berorde 1025.

Sedangkan untuk nilai ralat yang menggunakan sumber ralat pembulatan(Selisih antara nilai tebakan awal dengan nilai-nilai akar sebenarnya) diperolehnilai ralat ±0, 01, 0, 002 dan 0, 003(nilai pembulatan) untuk masing-masing su-dut untiran θ 1, 16o, 1, 79o, dan 3, 48o. Nilai ini menunjukan bahwa semakin

49

Gambar 3.13: (a,b, dan c) Perbandingan grafik DOS untuk masing masinguntiran yang diplot pada nilai energi dan DOS yang sama (bawah) Grafik DOSdari variasi ketiga sudut untiran θ 1, 16o, 1, 79o, dan 3, 48o yang diplot dalamsatu grafik

besar nilai sudut untiran maka nilai ralat juga akan semakin besar. Selainperbandingan sudut untiran θ, hal ini juga bisa dijelaskan dengan nilai fak-tor kesetaraan yang diberikan untuk masing masing sudut untiran α = ±99, 24,α = ±119, 6~2v2f/t⊥, dan α = ±218, 3~2v2f/t⊥. Jika mengacu pada penghitungannilai ralat dengan pendekatan nilai turunan, faktor kesetaraan akan memberikanhasil turunan yang lebih besar sehingga akan memberikan nilai ralat yang lebihbesar seperti nilai kesetaraan persamaan energi dispersi pada masing-masingsudut untiran

Pada grafik DOS yang dihasilkan diperoleh nilai SVH/titik kritis untukmasing masing uniran θ yakni,± 6 meV, ±41 meV, dan ±215 meV dari titik

50

dirac. Nilai ini sesuai dengan fakta eksperimen yang ada, dimana semakin besarsudut untiran yang diberikan untuk TBG maka akan terjadi pergeseran DiracCones yang lebih besar dari titik dirac (Dirac point)(Li dkk,2009; Raza,2012;Manaf,2014).

Selain itu dari grafik DOS yang dihasilkan bisa diperoleh informasi ten-tang renormaliasi kecepatan fermi(vf ). Dari pola linear yang terbentuk padamasing masing grafik DOS untuk masing masing untiran, bisa direpresentasikandengan nilai gradien (m) dari persamaan linear yang dibentuk. Nilai renorma-lisasi kecepatan fermi ini bisa dijelaskan dengan hubungan antara nilai energidispersi dan k, yakni pada persamaan persamaanDirac untukDirac Fermions,dimana massa=0. Dari Persamaan Dirac diatas terlihat hubungan yang seban-ding antara nilai E dan nilai k dimana hal ini bisa menjelaskan pola linear padagrafik DOS yang diperoleh seperti yang telah dijelaskan sebelumnya. Untuknilainya tergantung pada sudut untiran yang diberikan. Nilai gradien(m) un-tuk masing-masing sudut untiran yaitu 0,21 1025 eV−2 m−2, 0,8 1025 eV−2 m−2

dan 4,3 1025 eV−2 m−2. Nilai gradien (m) tersebut bisa merepresentasikan nilaikecepatan fermi vf . Dengan adanya perubahan gradien untuk masing masingsudut untiran yakni semakin besar nilai sudut untiran yang diberikan maka nilaikecepatan fermi (vf ) yang direpresentasikan dengan nilai gradien (m). perubah-an kecepatan tiap perubahan sudut untiran ini menjelaskan adanya perubahankecepatan fermi per sudut untiran yang disebut dengan renormalisasi kecepatanfermi vf (Renormalisation Fermy V elocity).Nilai ini merupakan nilai represen-tasi dari nilai representasi perubahan kecepatan antar fermi vf pada grapheneTBG yang menunjukan nilainya akan semakin besar jika sudut untiran (θ) se-makin besar. Nilai ini juga bisa dicari dengan mencari nilai kesetaraan antaragradien pada energi dispersi dengan gradien pada DOS. Nilai ini diausmsikanbahwa antara nilai gradien pada pola linear pada energi dispersi dan gradienpada pola linear pada DOS memuat informasi kecepatan fermi vf , hanya sa-ja pada gradien DOS nilai gradien merupkan nilai representasi dari kecepatanfermi dengan dimensi eV−2 m−2 sehingga dibutuhkan nilai kesetaraan dari gra-dien energi dispersi dengan dimensi eV10−10m untuk nilai kesetaraan gradien(β) untuk masing masing sudut untiran 1, 16o,1, 79o, dan 3, 48o diperoleh nilai0,47 eV−3m8, 0,42 eV−3m8, dan 0,43 eV−3m8

Nilai DOS pada posisi SVH, posisi SVH, dan nilai gradien pada polalinear grafik DOS sebagai nilai representasi dari kecepatan fermi (vf ), nilai vek-

51

tor pergeseran ∆K dan besar faktor lompatan energi (tθ) untuk masing-masingsudut untiran 1, 16o,1, 79o, dan 3, 48o diperlihatkan pada tabel 3.1.

Tabel 3.1: Perbandingan nilai DOS, posisis SVH, dan nilai gradien(m)sebagairepresentasi nilai vf , nilai vektor pergeseran ∆K dan besar faktor lompatanenergi (tθ) untuk masing-masing sudut untiran 1, 16o,1, 79o, dan 3, 48o

.DOS Gradien Gradien Kece- faktor

Sudut pada SVH/ (m)DOS (m)Energi -patan ∆K lompatanUntiran SVH titik (1025 eV−2 dispersi fermi (10−10 Energi

(θ) (1025 kritis m−2) (eV (vf ) m) (to)eV−1 (meV) 10−10m m/s (meV)m−2)

1, 16o 1,5 ± 6 0,21 0,75 0, 114× 106 1,13 5,38

1, 79o 2,8 ± 41 0,8 1,9 0, 29× 106 1,61 39,93

3, 48o 11 ± 215 4,3 10 1, 52× 106 2,03 209,35

Faktor energi lompatan (tθ) merupakan suatu tetapan yang menunjukanbesarnya energi yang dibutuhkan untuk elektron berpindah dari satu layer kelayer yang lain, nilainya berdasarkan persamaan (2.46). Untuk masing-masingsudut untiran 1, 16o,1, 79o, dan 3, 48o diperoleh nilai parameter lompatan energi5,38 meV, 39,93 meV, dan 209,35 meV.

Gambar 3.14: Gambaran nilai kearapatan tiap layernya yang menyebabkan nilaikecepatan fermi semakin besar untuk nilai kerapatan yang semakin besar

52

Nilai kecepatan fermi (vf ) akan berkaitan dengan nilai interaksi antarelektron pada tiap layer dimana semakin kecil sudut untiran (θ) maka nilai in-teraksinya akan semakin besar akibat nilai kerapatan yang semakin besar(Lihatgambar 3.14 dimana visualisasi nilai interaksi anatr elektron akibat nilai kerapat-an pada TBG dengan sudut untiran yang berbeada). Hal ini akan memberikanpengaruh pada besar kecepatan fermi (vf ) pada masing-masing layer, dimanapergerakan elektron akan lebih terbatas. Nilai ini bisa dilihat dari represen-tasi dari besar gradien pada grafik DOS dimana nilainya akan semakin besarsejalan dengan semakain besarnya sudut untiran. Perubahan nilai kecepatanfermi fermi ini disebut dengan renormalisasi kecepatan fermi dimana nilainyajuga berkaitan dengan nilai faktor lompatan energi yakni semakin besar sudutuntiran maka nilai faktor lompatan energi juga akan semakin besar. Hal ini bisadikaitkan dengan dengan interaksi antar atom pada layer yang semakin jauh,akibatnya dibutuhkan energi yang semakin besar untuk berpindah yang nilai inibisa dilihat pada perubahan nilai gradien (m), Kecepatan fermi (vf ), dan Faktorlompatan energi (tθ) terhadap sudut untiran pada tabel (3.1).

BAB IV

PENUTUP

4.1 Kesimpulan

1. Metode Newton Raphson bisa digunakan sebagai salah satu metode untukmenghitung nilai DOS berdasarkan persamaan Energi DispersiE(k).Faktoryang paling berpengaruh terhadap hasil grafik yang dihasilkan adalah pa-rameter E dan K(x), dimana semakin besar nilainya (nilai partisi ∆E dan∆K(x) semakin kecil) maka grafik yang dihasilkan akan semakin baik.

2. Pola linear yang terbentuk pada DOS bisa dijelaskan dari persamaan ener-gi dispersi dimana terbentuk garis linear disekitar tenaga nol. Nilai initerbentuk karena adanya keterlibatan Dirac Fermions yang memiliki dis-persi energi yang menyerupai dispersi energi partikel-partikel ultrarelati-vistik sehingga membentuk pola linear. Pola linear ini juga bisa dijelaskandari persamaan energi Fermi (Fermy Energy),dimana berdasarkan per-samaan persamaan Ef = hvfk dimana nilai energi akan sebanding dengannilai (k) dan energi fermi sehingga bisa menjelaskan pola linear. Sedangk-an untuk pola logaritmik bisa dijelaskan dari posisi flat(datar) pada pitadispersi atau pada posisi saddle Point dimana jika mengacu pada per-samaan D(E) = 1

4π3N

∫dl

5E(~k), dimana nilai ∆E(~k)=0 maka nilai D(E)

dengan faktor 1

5E(~k)akan menghasilkan tak berhingga sehingga nilainya

akan direpresentasikan dengan pola logaritmik pada grafik DOS.

3. Nilai DOS pada posisi SVH yang diperoleh untuk masing masing untiranθ 1, 16o, 1, 79, dan 3, 48 yakni 1,5 1025 eV−1 m−2,2,8 1025 eV−1 m−2,dan11 1025 eV−1 m−2 dengan nilai titik kritis/SVH 6 meV dan −6 meV untuksudut untiran 41 meV dan −41 meV 215 meV dan −215 meV. Sedangkannilai gradien yang diperoleh dari aproksimasi pola linear untuk tinjauanenergi rendah (Low − Energy) sebagai representasi dari nilai kecepatanfermi diperoleh nilai untuk masing-masing untiran θ = 1, 16o,θ = 1, 79o,dan θ = 3, 48o yakni, 0,21 1025 eV−2 m−2, 0,8 1025 eV−1 m−2, dan 4,3 1025

eV−1 m−2 serta nilai faktor lompatan (tθ) untuk masing-masing untiranyakni 5,38 meV, 39,93 meV, dan 209,35 meV. Nilai ini berkaitan dengan

53

54

renormalisasi kecepatan fermi (vf ) yang berkaitan dengan adanya interak-si antar elektron, dimana nilainya akan semakin besar untuk perubahansudut untiran (θ) yang semakin besar.

4.2 Saran

Pada Skripsi ini penulis menggunakan variabel bertingkat untuk nilaimasukan E sebagai level energi dan Kx sebagai nilai penjumlah, dimana perhi-tungan yang dilakukan secara bertahap untuk tiap nilainya sehingga memerluk-an waktu yang lama pada proses perhitungan. Untuk selanjutnya bisa dibuatperhitungan yang lebih cepat yakni nilai E danK(x) dibuat dalam bentuk perhi-tungan luasan yakni berbentuk matriks sehingga perhitungan akan lebih cepat.Kemudian untuk nilai turunan dari persamaan E(k) dilakukan pada worksheetlain pada program perhitungan. Penulis belum bisa menemukan formulasi tu-runan yang bisa diprogram langsung pada loop perhitungan. Sehingga untukkedepan program perhitungan menggunakan metode Newton Raphson ini bi-sa terus dikembangkan untuk menghasilkan nilai yang lebih akurat serta cepatdalam proses perhitungannya.

DAFTAR PUSTAKA

Cocemasov, A. I., Denis L. N., and Balandin A. A., 2013,Phonon in Twistedbilayer graphene, Rev. Phys. B., 88, 035428.

Desmukh, M. M., and Singh, V., 2011,Graphene-An Exciting Two-DimensionalMaterial For Science and Technology, Resonance, 16, 238-253.

Geim, A. K., 2011,Nobel Lecture:Random walk to graphene, Rev. Mod. Phys.,83, 851-852.

He, W. ,Chu W. dan He, L. ,2013,Tunneling a Twisted Graphene Bilayer,Phys.Rev. Lett. 111, 066803.

Luican, A. ,Li G., Reina, A., Kong, J., Nair, R.R., Novoselov, K. S., Geim,A. K., and Andrei, Y. E., 2011,Single-Layer Behavior and Its breakdown inTwisted Graphene layers, Phys. Rev. Lett., 106, 126802.

Li, G. A., Lopez, D. S., J. M. B. Peres, Neto, Castro A. H., Reina, A. KongJ., and Andrei, Y. E., 2010,Observation of Van Hove Singularity in TwistedGraphene Layers, Nature phys. 6, 109-113.

Manaf, M. N., Thesis S2, 2014,Kemungkinan Watak ketidakstabilan Superkon-diktivitas Antar Lembaran Graphene dengan Untiran, Jurusan Fisika UGM,Yogyakarta.

Manaf, M. N., Santoso, I., and Hermanto, A., 2014,Density of states of Twis-ted bilayer graphene at Low Energy, Procedding of Confeerence on Phys(ICP2014), 19-21.

Moon, P. and Koshino, M., 2012,Energy Spectrum and Quantum Hall Effects inTwisted Bilayer Graphene, Phys. Rev. B. 85, 195458

Neto, Castro, A. H. Guinea, F., N. M. R. Novoselov, K.S. and Geim, A. K.,2009,The Electronic Properties of Graphene, Rev. Mod. Phys., 81, 109-162.

Novoselov, K. S., 2011,Nobel Lecture:Graphene: Materials in the Flatland, Rev.Mod. Phys. 83, 837-838.

55

56

Novoselov, K. S., Jiang, D., Schedin, F., Booth, T. J., Khotkevich, V. V., Mo-rozov, S. V., and Geim, A. K., 2005,Two Dimensional Atomic Crystals, Proc.Natl. Acad. Sci. USA. 102, 10451-10453.

Peres, N. M., 2009,Graphene: New Physics in Two Dimension, EurophysicsNews, 40/3, doi: 10. 1051/epn/2009501, 17-20.

Raza, H., (Editor), 2012,Graphene Nanoelectronics ; Metrology, Synthe-sis,Properties and Applications, Springer-Verlag, New York.

Santos, Lopes Dos, J. M. B. Peres, and Neto,Castro A. H. ,2007, GrapeheneBilayer with a twist:Electronic Structure, Phys. Rev. B. 99, 256802.

Tabert, C. J., (Thesis), 2012,Optical Properties of AA-Stacked Bilayer Graphe-ne, University of Guelph, Ontorio, Canada.

Tabert, C. J. and Nicol, E. J., 2012,Dynamical Conductivity of AA-StackedBilayer Graphene, Phys. Rev. B, 86, 075439.

Tabert, C. J. and Nicol, E. J., 2012,Optical Conductivity of Twisted bilayerGraphene, Phys. Rev. B, 87, 121402.

Tiryaki, A. A. S., (Thesis), 2013,The Electronic Band p Structure of Grapheneand Carbon Nanotubes, An-Najjah National University, Nablus, Palestine.

Tresnaningsih, Rizky, 2010,Modul Mata Kuliah Analisis Numerik, FMIPA, IKIPPGRI. Madiun.

Pang, Tao, 2006,An Introduction Computational Physiscs, Second Edition, Cam-bridgr University Press, UK.

Pujiyanta, Ardi, 2007 Komputasi Numerik dengan Matlab, Graha Ilmu, Yogya-karta

Quinn, John. J. ,Kyung, Soo Yi, 2007,Solid State Physics, principle and ModernApplications, Springer, Berlin, Jerman.

Wong, H. S. P., and Akinwande, D., 2011,Carbon Nanotube and Graphene DevicePhysics, Cambridge University Press, UK.

57

Yan, Wei, Mengxi L., Rui-Fen, D., Lan, Meng, Lei, Feng, Zhao-Dong, C., Yan-feng, Z., Zhongfan, Liu, ia-Cai, N., and Lin, He ,2011,Carbon Nanotube andGraphene Device Physics, Cambridge University Press, UK.

Yuan, Shengjun ,Hans, De R. ,and Mikhail, I. K., 2011,Modeling electronic stru-cture and transport properties of graphene with resonant scattering centers,Phys. Rev. B, 82, 115448.

LAMPIRAN A

Lampiran Perhitungan dan Syntac Menggunakan Matlab

1.1 Perhitungan nilai kesetaraan gradien (β),Vektor Pergeseran ∆K,Luasan dari sel satuan (Unit Cell) pada TBG, dan faktor lom-patan energi tθ

1.1.1 Perhitungan nilai kesetaraan gradien (β) antara nilai gradienpada grafik energi dispersi (md) dan gradien pada DOS (mD)

Faktor kesetaraan (β) untuk membandingkan gradien pada pola linearpada energi dispersi (md) dan pola linear pada DOS (mD).

Gambar 1.1: Aproksimasi pola linear pada energi dispersi TBG untuk sudutuntiran 1.16o,1.79o, dan 3.48o

mD = βmd, (1.1)

dengan nilai md berdsarkan aprokmasi linear pada grafik energi dispersiuntuk TBG (gambar 1.1) diperoleh nilai md:

md =0, 3− 0

2, 1− 1.7= 0, 75eV 10−10m (1.2)

md =1, 5− 0

3, 3− 2, 5= 1, 9eV 10−10m (1.3)

md =10− 0

6, 5− 5, 5= 10eV 10−10m. (1.4)

58

59

Untuk nilai kesetaraan (β) diperoleh persamaan

β = mD/md (1.5)

jika nilai (md) dan (mD) untuk masing-masing masing sudut untiranθ = 1, 16o,θ = 1, 79o, dan θ = 1, 48o, maka nilai kesetaraan gradien (β) untukmasing-masing sudut untiran :

untuk sudut untiran θ = 1, 16o dengan mD = 0,21 1025 eV−1 m−2 dan md

= 0,75 eV 10−10, diperoleh nilai kesetaraan β :

β =0, 21× 1025eV −1m−2

0, 75eV × 10−10= 0, 47eV −3m8 (1.6)

Untuk sudut untiran θ = 1, 79o dengan mD = 0,8 1025 eV−1 m−2 dan md

= 1,9 eV 10−10, diperoleh nilai kesetaraan β :

β =0, 8× 1025eV −1m−2

1, 9eV × 10−10= 0, 47eV −3m8, dan (1.7)

untuk sudut untiran θ = 3, 48o dengan mD = 4,3 1025 eV−1 m−2 dan md

= 10 eV 10−10, diperoleh nilai kesetaraan β :

β =4, 3× 1025eV −1m−2

10eV × 10−10= 0, 47eV −3m8 (1.8)

1.1.2 Perhitungan nilai Vektor Pergeseran ∆K untuk sudut untiranθ = 1, 16o,θ = 1, 79o, dan θ = 1, 48o

Nilai vektor pergeseran ∆K didasarkan pada persamaan (2.23). Nilaivektor pergeseran ∆K untuk masing-masing sudut untiran θ = 1.16o,θ = 1.79o,dan θ = 1.48o.

∆K =8π

3.0.246nmsin(1.16o/2) = 1.13 (1.9)

∆K =8π

3.0.246nmsin(1.79o/2) = 1.61 (1.10)

∆K =8π

3.0.246nmsin(3.48o/2) = 2.03 (1.11)

60

1.1.3 Perhitungan nilai Luasan dari sel satuan (Unit Cell) pada TBGsudut untiran θ = 1.16o,θ = 1.79o, dan θ = 1.48o

Perhitungan nilai Luasan dari sel satuan (Unit Cell) pada TBG sudutmasing-masing untiran θ = 1.16o,θ = 1.79o, dan θ = 1.48o, didasarkan padapersamaan (2.21) dan (2.22) diperoleh nilai :

Untuk nilai a= 0.246 nm, besar nilai L pada sudut θ = 1.16 dengan nilaim=23 dan n=24

L = 0.246nm√

232 + 242 + 23.24 = 10.01nm (1.12)

sehingga

S = | ~L1 × L2| = (√

3/2)10.01nm2 = 86.78× 10−18nm2 (1.13)

Besar nilai L pada sudut θ = 1.79 dengan nilai m= 21 dan n= 22

L = 0.246nm√

212 + 222 + 21.22 = 9.16nm (1.14)

maka nilai luasan dari satuan sel

S = | ~L1 × L2| = (√

3/2)9.16nm2 = 72.66× 10−18nm2, dan (1.15)

Besar nilai L pada sudut θ = 3.48 dengan nilai m=9 dan n=10

L = 0.246nm√

92 + 102 + 9.10 = 4.05nm (1.16)

maka nilai S

S = | ~L1 × L2| = (

√3

2)4.052 = 14.21× 10−18nm2 (1.17)

1.1.4 Perhitungan nilai faktor lompatan energi tθ untuk sudut untir-an sudut untiran θ = 1.16o,θ = 1.79o, dan θ = 1.48o

Nilai faktor lompatan energi tθ didasarkan pada persamaan (2.46), dima-na untuk nilai faktor lompatan energi tθ :

61

tθ ≈ ∆ESV H − ~vf∆K2

. (1.18)

dengan nilai vf berdasarkan nilai gradien pada energi dispersi, diperolehpersamaan :

vf =m

~(1.19)

Nilai kecepatan fermi vf untuk masing-masing sudut untiran diperolehnilai :

vf =0.75eV × 10−10

6.5810−16= 0.114× 106m/s (1.20)

vf =1.9eV × 10−10

6.5810−16= 0.29× 106m/s, dan (1.21)

vf =0.75eV × 10−10

6.5810−16= 1.52× 106m/s. (1.22)

dan nilai tθ untuk masing-masing sudut untiran θ = 1.16o,θ = 1.79o, danθ = 1.48o

tθ ≈ 12− 6.58× 10−160.114× 1061.13× 10−10

2= 5.38meV (1.23)

tθ ≈ 82− 6.58× 10−160.29× 1061.61× 10−10

2= 39.93meV, dan (1.24)

tθ ≈ 430− 6.58× 10−161.52× 1061.61× 10−10

2= 209.35meV. (1.25)

62

1.2 Syntac Menggunakan Matlab

1.2.1 Turunan Energi Dispersi (Ek) Graphene layer tunggal Menggunakan Perintah Diff

(f(x),x) pada Matlab

%Mendefinisikan nilai variabel

syms x0

syms t1

syms t2

syms a

syms b

syms c

syms d

syms y

%Mendefienisikan fungsi

f=2.*cos(b.*x0.*a)+4.*cos(c.*x0.*a).*cos(1.5.*d.*a);}

E1=t1.*sqrt(3+f)-t2.*f-y;}

%Menurunkan fungsi terhadap variabel x0

z=diff(E1,x0)

z=t2*(2*a*b*sin(a*b*x0) + 4*a*c*sin(a*c*x0)*cos((3*a*d)/2))

- (t1*(2*a*b*sin(a*b*x0) + 4*a*c*sin(a*c*x0)*cos((3*a*d)/2)))/

(2*(2*cos(a*b*x0) + 4*cos((3*a*d)/2)*cos(a*c*x0) + 3)\^(1/2))}

1.2.2 Turunan Energi Dispersi (Ek) Graphene layer Ganda dengan

Untiran θ =1.16o Menggunakan Perintah Diff (f(x),x) pada Matlab

%Mendefenisikan variabel

a=1.42;

b=sqrt(3);

c=0.5*b;

t1=2.8;

%Menentukan input variabel

[x,y]=meshgrid(-2:0.01:2);

%Mendefenisikan fungsi

f=2.*cos(b.*y.*a)+4.*cos(c.*y.*a).*cos(1.5.*x.*a);

E1=+t1.*sqrt(3+f)-t2.*f;

E2=-t1.*sqrt(3+f)-t2.*f;

%Plot kedalam grafik

figure(1)

hold on;

plot(y,E1);

plot(y,E2);

ylabel('E(k)(10^-^2 eV)','fontsize',12,'fontname','Arial')

xlabel('(Ky(10^-^2 A^-^1)','fontsize',12,'fontname','Arial')

63

1.2.3 Energi Dispersi (Ek) pada Lembaran Tunggal Graphene

Plot Grafik

%Mendefenisikan variabel

a=1.42;

b=sqrt(3);

c=0.5*b;

t1=2.8;


[x,y]=meshgrid(-2:0.01:2);



E1=+t1.*sqrt(3+f)-t2.*f;

E2=-t1.*sqrt(3+f)-t2.*f;

%Plot kedalam grafik

figure(1)

hold on;

plot(y,E1);

plot(y,E2);



Plot Grafik pada saat Kx=0

%Mendefenesikan variabel tetapan

a=1.42;

b=sqrt(3);

c=0.5*b;

t1=2.8;

%Menentukan input masukan variabel

y=(-4:0.01:4);

x=0;



E1=+t1.*sqrt(3+f)-t2.*f;

E2=-t1.*sqrt(3+f)-t2.*f;

%Plot ke dalam grafik

figure(2)

hold on;

plot(y,E1);

plot(y,E2);



64

1.2.4 Energi Dispersi Ek pada Graphene Layer Ganda (TBG) dengan Untiran θ =1.16o

Plot Grafik

%Mendefenisikan variabel tetapan

h=6.58;

v=0.87;

dkx=3.49.*10.^-4;

dky=3.45.*10.^-2;


[x,y]=meshgrid (-0.04:0.0001:0.04);


alpha1=+49.62.*(2.*(h.^2).*(v.^2)./15.*0.093);

alpha2=-49.62.*(2.*(h.^2).*(v.^2)./15.*0.093);


A=(x.^2-y.^2-0.25.*dkx.^2+0.25.*dky.^2);

B=abs(2.*x.*y-0.5.*dkx.*dky);

E0=sqrt(A.^2+B.^2);

E0=abs (E0);

E1=alpha1.*E0;

E2=alpha2.*E0;

%Plot ke grafik

figure(3)

hold on

mesh (x,y,E1);

mesh (x,y,E2);

title ('Kurva Energi Dispersi Twisted Bilayer');

xlabel('Kx');ylabel('Ky');zlabel('Ek');

hold off}

axis tight

colorbar

view(60,10)

zlabel('E(k)(10^-^2 eV)','fontsize',12,'fontname','Arial')

ylabel('(Ky(10^-^2 A^-^1)','fontsize',12,'fontname','Arial')


Plot Grafik pada saat Kx=0

h=6.58;

v=0.87;

dkx=3.49.*10.^-4;

dky=3.45.*10.^-2;


y=(-0.04:0.0001:0.04);

x=0;


alpha1=+49.62.*(2.*(h.^2).*(v.^2)./15.*0.093);

alpha2=-49.62.*(2.*(h.^2).*(v.^2)./15.*0.093);


65

A=(x.^2-y.^2-0.25.*dkx.^2+0.25.*dky.^2);


E0=sqrt(A.^2+B.^2);

E0=abs (E0);

E1=alpha1.*E0;

E2=alpha2.*E0;

%Plot ke grafik

figure(3)

hold on

plot (y,E1);

plot (y,E2);

title ('Kurva Energi Dispersi Twisted Bilayer');

xlabel('Kx');ylabel('Ky');zlabel('Ek');

hold off}

axis tight

colorbar

view(60,10)

zlabel('E(k)(10^-^2 eV)','fontsize',12,'fontname','Arial')

ylabel('(Ky(10^-^2 A^-^1)','fontsize',12,'fontname','Arial')


1.2.5 Posisi Saddle Point graphene layer tunggal


a=1.42;

b=sqrt(3);

c=0.5*b;

t1=2.8;

t2=0;


[x,y]=meshgrid(-2:0.01:2);



E1=+t1.*sqrt(3+f)-t2.*f;

E2=-t1.*sqrt(3+f)-t2.*f;

%Plot grafik

figure(1)

mesh(x,y,E1);

box off

axis tight

colorbar

view (0,90)

xlabel('Kx (10^-^2 A)','fontsize',16)

ylabel('Ky (10^-^2 A)','fontsize',16)

1.2.6 Posisi Saddle Point TBG dengan sudut untiran θ =1.16o


h=6.58;

66

v=0.87;

dkx=3.49.*10.^-4;

dky=3.45.*10.^-2;


[x,y]=meshgrid (-0.01:0.00001:0.01);


alpha1=+49.62.*(2.*(h.^2).*(v.^2)./15.*0.093);

alpha2=-49.62.*(2.*(h.^2).*(v.^2)./15.*0.093);

A=(x.^2-y.^2-0.25.*dkx.^2+0.25.*dky.^2);


E0=sqrt(A.^2+B.^2);

E0=abs (E0);

E1=alpha1.*E0;

E2=alpha2.*E0;

%Plot ke grafik

figure(6)

mesh(x*1000,y*1000,E1*1000);

box off

axis tight

colorbar

view (0,90)

xlabel('Kx (10^-^2 A)','fontsize',16)

ylabel('Ky (10^-^2 A)','fontsize',16)

zlabel('E(meV)','fontsize',16)

1.2.7 DOS Graphene Layer tunggal

%Menentukan nilai konstanta

err=0.005;

eps=1;

a=1.42;

b=sqrt(3);

c=0.5*b;

t1=2.8;

t2=0;

no=0;

% Menentukan nilai array

xout=[];

xout1=[];

Beda_out=1;

Beda_out1=1;

Beda=1;

Beda1=1;

iterasi=0;

xplot=[];

xplot1=[];

% Menentukan nilai variabel-variabel untuk nilai parameter

nd=0;

67

nd1=0;

y1=0:0.01:6;

y3=-6:0.01:0;

%Perhitungan Newton-Raphson nilai positif

for d=(-2.5:0.01:2.5);

nd=nd+1;

ny=0;

for y=y1;

ny=ny+1;

for x0=(-4:0.1:4);

while eps>err

iterasi=iterasi+1;

f=2.*cos(b.*x0.*a)+4.*cos(c.*x0.*a).*cos(1.5.*d.*a);

E1=t1.*sqrt(3+f)-t2.*f-y;

E2=t2*(2*a*b*sin(a*b*x0) +

4*a*c*sin(a*c*x0)*cos((3*a*d)/2)) - (t1*(2*a*b*sin(a*b*x0) +

4*a*c*sin(a*c*x0)*cos((3*a*d)/2)))/(2*(2*cos(a*b*x0) +

4*cos((3*a*d)/2)*cos(a*c*x0) + 3)^(1/2));

x1=x0-(E1/E2);

%xgalat=[xgalat;x1];

eps=abs(x1-x0);

x0=x1;

if iterasi>50;

eps=0;

end;

end;

if iterasi<50;

iterasi=0;

x0=round(10000*x0); %pembulatan 5 angka dibelakang

koma

x0=x0/10000;

eps=1; %reset epsilon

if x0<=4 && x0>=-4

if isempty (xout)

xout=[xout;x0];

end

for i=1:length(xout)

if xout(i)~=x0

Beda=1;

elseif xout(i)==x0

Beda=0;

end

Beda_out=Beda_out*Beda;

end

if Beda_out==1

xout=[xout;x0];

no=no+1;

end

end

end

68

iterasi=0;

eps=1;

Beda_out=1;

Beda=1;

end

fprintf('nilai d : %5.1f\n',d);

fprintf('nilai y : %5.2f\n',y);

fprintf('------------------------------------------------

/n');

fprintf('Pada Iterasi ke-%1d, Selisih<%5.3f\n',no,err);

fprintf('Jadi, akar persamannya adalah %7.5f.\n',xout);

fprintf('Jumlah titik yang dilewati : %3d\n',

length(xout));

xplot=[xplot;length(xout)];

xout=[];

end

end

for d1=(-2.5:0.01:2.5);

nd1=nd1+1;

ny2=0;

for y2=y3;

ny2=ny2+1;

for x01=(-4:0.1:4);

while eps>err

iterasi=iterasi+1;

f1=2.*cos(b.*x01.*a)+4.*cos(c.*x01.*a).*cos(1.5.*d1.*a);

E11=-t1.*sqrt(3+f1)-t2.*f1-y2;

E21=t2*(2*a*b*sin(a*b*x01) +

4*a*c*sin(a*c*x01)*cos((3*a*d1)/2)) + (t1*(2*a*b*sin(a*b*x01) +

4*a*c*sin(a*c*x01)*cos((3*a*d1)/2)))/(2*(2*cos(a*b*x01) +

4*cos((3*a*d1)/2)*cos(a*c*x01) + 3)^(1/2));

x2=x01-(E11/E21);

eps=abs(x2-x01);

%xgalat1=[xgalat1;x2];

x01=x2;

%Penentuan jumlah iterasi

%nilai = 0 jika tidak ditemukan akar pada iterasi

lebih dari 50

if iterasi>50;

eps=0;

end;

end;

%nilai akar akan diidentifikasikan = 1 jika tidak

ditemukan akar pada iterasi kecil dari 50

if iterasi<50;

iterasi=0;


koma

x01=x01/10000;

69


if x01<=4 && x01>=-4

if isempty (xout1)

xout1=[xout1;x01];

end

for j=1:length(xout1)

if xout1(j)~=x01

Beda1=1;

elseif xout1(j)==x01

Beda1=0;

end

Beda_out1=Beda_out1*Beda1;

end

if Beda_out1==1

xout1=[xout1;x01];

no=no+1;

end

end

end

iterasi=0;

eps=1;

Beda_out1=1;

Beda1=1;

end

fprintf('nilai d : %5.1f\n',d1);

fprintf('nilai y : %5.2f\n',y2);

fprintf('------------------------------------------------

/n');


fprintf('Jadi, akar persamannya adalah %7.5f.\n',xout1);


length(xout1));

xplot1=[xplot1;length(xout1)];

xout1=[];

end

end

%Menjumlahkan nilai-nilai akar yang tlah diidentifikasi berdasarkan

nilai

% Level energi (E) dan Kx

z=reshape(xplot,ny,nd);

z1=(sum(z'))';

z2=reshape(xplot1,ny2,nd1);

z11=(sum(z2'))';

figure (1)

hold on

plot(y1/2.8,z1/(length(z1)));

plot(y3/2.8,z11/(length(z11)));

ylabel('D(E)','fontsize',12,'fontname','Arial')

xlabel('E/t','fontsize',12,'fontname','Arial')

70

1.2.8 (DOS Graphene Layer Ganda dengan Untiran Menggunakan

Metode Newton raphson untuk sudut untiran θ = 1.16o

%Menentukan nilai konstanta

err=0.005; % nilai batas iterasi

eps=1; % nilai variabel iterasi mulai berjalan

h=6.58; % Tetapan Planck

v=0.87; % Kecepatan group

dkx=3.49.*10.^-4;

dky=3.45.*10.^-2;

no=0;

% Menentukan nilai array

xout=[];

xout1=[];

Beda_out=1;

Beda_out1=1;

Beda=1;

Beda1=1;

iterasi=0;

xplot=[];

xplot1=[];

% Menentukan nilai variabel-variabel untuk nilai parameter

nd=0;

nd1=0;

y1=0:0.00005:0.009; % nilai level energi (E) positif

y3=-0.009:0.00005:0; % nilai level energi (E) negatif

d2=-0.04:0.0005:0.04; % nilai Kx

%Perhitungan Newton-Raphson nilai positif

for d=d2

nd=nd+1;

ny=0;

for y=y1;

ny=ny+1;

for x0=(-0.04:0.001:0.04);

while eps>err

iterasi=iterasi+1;

alpha1=+49.62.*(2.*(h.^2).*(v.^2)./15.*0.093);

alpha2=-49.62.*(2.*(h.^2).*(v.^2)./15.*0.093);

A=(d.^2-x0.^2-0.25.*dkx.^2+0.25.*dky.^2);

B=abs(2.*d.*x0-0.5.*dkx.*dky);

E0=sqrt(A.^2+B.^2);

E0=abs (E0);

E1=alpha1.*E0-y;

E2=-(76911*h^2*v^2*sign(abs((dkx*dky)/2 -

2*d*x0)^2 + (d^2 - dkx^2/4 + dky^2/4 - x0^2)^2)*(4*x0*(d^2 - dkx^2/4 +

dky^2/4 - x0^2) + 4*d*abs((dkx*dky)/2 - 2*d*x0)*sign((dkx*dky)/2 -

2*d*x0)))/(250000*abs(abs((dkx*dky)/2 - 2*d*x0)^2 + (d^2 - dkx^2/4 +

dky^2/4 - x0^2)^2)^(1/2));

71

x1=x0-(E1/E2);

eps=abs(x1-x0);

x0=x1;

%Penentuan jumlah iterasi

%nilai = 0 jika tidak ditemukan akar pada iterasi

lebih dari 50

if iterasi>50;

eps=0;

end;

end;

%nilai akar akan diidentifikasikan = 1 jika tidak

ditemukan akar pada iterasi kecil dari 50

if iterasi<50;

iterasi=0;


koma

x0=x0/10000;

eps=1;

%Memasukan nilai ke array

if x0<=0.04 && x0>=-0.04

if isempty (xout)

xout=[xout;x0];

end

for i=1:length(xout)

if xout(i)~=x0

Beda=1;

elseif xout(i)==x0

Beda=0;

end

Beda_out=Beda_out*Beda;

end

if Beda_out==1

xout=[xout;x0];

no=no+1;

end

end

end

iterasi=0;

eps=1;

Beda_out=1;

Beda=1;

end

fprintf('nilai d : %5.1f\n',d);

fprintf('nilai y : %5.2f\n',y);

fprintf('------------------------------------------------

/n');


fprintf('Jadi, akar persamannya adalah %7.5f.\n',xout);


length(xout));

%memasukan nilai-nilai akar yang telah diidentifikasi ke

dalam array yang telah dibuat

72

xplot=[xplot;length(xout)];

xout=[];

end

end

% Perhitungan Newton-Raphson nilai positif

for d1=d3

nd1=nd1+1;

ny2=0;

for y2=y3;

ny2=ny2+1;

for x01=(-0.04:0.001:0.04);

while eps>err

iterasi=iterasi+1;

alpha1=+49.62.*(2.*(h.^2).*(v.^2)./15.*0.093);

alpha2=-49.62.*(2.*(h.^2).*(v.^2)./15.*0.093);

A=(d1.^2-x01.^2-0.25.*dkx.^2+0.25.*dky^2);

B=abs(2.*d1.*x01-0.5.*dkx.*dky);

E01=sqrt(A.^2+B.^2);

E01=abs (E01);

E11=alpha2.*E01-y2;

E21=(76911*h^2*v^2*sign(abs((dkx*dky)/2 -

2*d1*x01)^2 + (d1^2 - dkx^2/4 + dky^2/4 - x01^2)^2)*(4*x01*(d1^2 -

dkx^2/4 + dky^2/4 - x01^2) + 4*d1*abs((dkx*dky)/2 -

2*d1*x01)*sign((dkx*dky)/2 - 2*d1*x01)))/(250000*abs(abs((dkx*dky)/2 -

2*d1*x01)^2 + (d1^2 - dkx^2/4 + dky^2/4 - x01^2)^2)^(1/2));

x2=x01-(E11/E21);

eps=abs(x2-x01);

x01=x2;

if iterasi>50;

eps=0;

end;

end;

if iterasi<50;

iterasi=0;


koma

x01=x01/10000;


if x01<=0.04 && x01>=-0.04

if isempty (xout1)

xout1=[xout1;x01];

end

for j=1:length(xout1)

if xout1(j)~=x01

Beda1=1;

elseif xout1(j)==x01

Beda1=0;

end

Beda_out1=Beda_out1*Beda1;

end

if Beda_out1==1

xout1=[xout1;x01];

73

no=no+1;

end

end

end

iterasi=0;

eps=1;

Beda_out1=1;

Beda1=1;

end

fprintf('nilai d : %5.1f\n',d1);

fprintf('nilai y : %5.2f\n',y2);

fprintf('------------------------------------------------

/n');


fprintf('Jadi, akar persamannya adalah %7.5f.\n',xout1);


length(xout1));

xplot1=[xplot1;length(xout1)];

xout1=[];

end

end

%Menjumlahkan nilai-nilai akar yang tlah diidentifikasi berdasarkan

nilai

% Level energi (E) dan Kx

z=reshape(xplot,ny,nd);

z1=(sum(z'))';

z2=reshape(xplot1,ny2,nd1);

z11=(sum(z2'))';

%Plot ke grafik DOS

figure (1)

hold on

plot(y1,z1/(length(z1)));

plot(y3,z11/(length(z11)));

axis ([-0.008 0.008 0 9]);

title ('Kurva DOS');

xlabel('E(k)');

ylabel('DOS');