4.2 TEOREMA LIMIT 4.2.1 Definisi DiberikanR A _ ,R A f : , dan diberikanR c etitik limit dariA. Kita katakanbahwaf terbataspadapersekitaranc jika terdapatpersekitaran o , ) (c Vo dankonstanta0 > Mseperti yang kitamilikiM x f s ) ( untuksemua ) (c V A xo e . 4.2.2 Teorema JikaR A _ danR A f : mempunyaisebuahlimitdiR c e ,makafterbatas pada suatu persekitaran pada c Bukti : Jikaf Lc x= lim : , maka untuk1 = e , terdapat0 > osedemikian hingga jika o < < c x 0 , kemudian1 ) ( < x f( oleh corollary 2.2.4(a)), 1 ) ( ) ( < s L x f L x fKarenaitu,jika( ) c x c V A x = e ,o,maka( ) 1 + s L x f .JikaA c e ,kita ambil1 + =L M ,sementarajikaA c e kitaambil( ) { } 1 , sup : + = L c f M .Maka bilaada( ) c V A xo e ,kemudian( ) M x f s .Inimenunjukkanbahwa f terbatas pada suatu persekitaran pada c. Berikutakandiberikandefinisi,penjumlahan,selisih,perkaliandanpembagian dari fungsi, seperti halnya dalam barisan. 4.2.3 Definisi DiberikanR A _ ,f dang fungsiyangterdefinisipadaAkeR .Didefinisikan jumlah g f + , selisihg f dan perkalianfgpadaA keR denganfungsi ( )( ) ( ) ( ) x g x f x g f + = +( )( ) ( ) ( ) x g x f x g f = ( )( ) ( ) ( ) x g x f x fg =untuksemua A x e .SelanjutnyajikaR be didefinisikanperkalianbf dengan fungsi( )( ) ( ) x bf x bf =untuk semuaA x e . Akhirnya,jika( ) 0 = x h untukA x e ,kitadefinisikanpembagih f / dengan fungsi( )( )( ) x hx fxhf=|.|

\| untuk semuaA x e 4.2.4 Teorema DiberikanR A _ ,diberikanf dang merupakanfungsipadaAkeR ,dan diberikanR c etertimbun dariA. Lebih lanjut diberikanR be . a.JikaL fc x=lim danM gc x=lim , maka : ( ) M L g fc x+ = +lim ,( ) M L g fc x = lim( ) LM fgc x=lim ( ) bL bfc x=limb.JikaR A h : ,jika( ) 0 = x h untuksemuaA x e ,danjika0 lim = =H hc x, maka HLhfc x=|.|

\|lim BuktiSalah satu buktiteorema ini persis sama dengan teorema 3.2.3. Alternatif , dapat dibuktikandenganmenggunakanteorema3.2.3dan4.1.8.Sebagaicontoh, biarkan( )nx menjadiurutanapapundiAsehinggac xn = untukN ne ,dan ( )nx c lim = . Mengikuti dari teorema 4.1.8 bahwa( ) ( ) L x f = lim ,( ) ( ) M x g = limDi sisi lain, definisi 4.2.3 menyiratkan bahwa ( )( ) ( ) ( )n n nx g x f x fg =untukN ne Oleh karena itu aplikasi dari teorema 3.2.3 hasilnya( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n nx g x f x fg lim lim = =( ) ( ) | | ( ) ( ) | | LM x g x fn n= lim limBagian lain dari teorema ini terbukti dengan cara yang sama.Kita meninggalkan rincian untuk pembaca. Komentar1.Catatankita,bahwabagianb,asumsikanpenjumlahanbahwa 0 lim= =h Hc xdibuat. Jika diasumsikan ini tidak dipenuhi, maka limit( )( ) x hx fc xlimmungkinataumungkintidakada.Tetapibahkanjikalimitada,kitadapat menggunakan teorema 4.2.4 b untuk mengevaluasinya. 2.DiberikanR A _ ,dan nf f f ,........ ,2 1denganfungsiAkeR ,dandiberikan c titik timbun dariA. Jikakc xkf L= lim untukn k . ,......... 1 =Maka berikut teorema 4.2.4 oleh argumen induksi bahwa( )nc xnf f f L L L ..... lim .....2 1 2 1+ + = + + + Dan( )nc xnf f f L L L ..... lim ......2 1 2 1 = Khususnya, kami menyimpulkan bahwa jikaf Lc x= limdanN ne , maka ( ) ( )nc xnx f L= lim 4.2.5 Contoh i.Beberapadarilimitdibagian4.1dapatdibuktikandenganmenggunakan teorema4.2.4.Sebagaicontoh,mengikutidarihasilinibahwac xc x=lim , kemudian 2 2lim c xc x=dan jika0 > c , maka c xc xc x1lim1 1lim = = ii.( )( ) 20 4 1 lim3 22= +x xx Ikuti dari teorema4.2.4 bahwa ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 lim 1 lim 4 1 lim32223 22 + = + x x x xx x x =( )( ) 4 2 1 23 2 +=( )( ) 4 8 1 4 +=4 5=20 iii. 5414lim232=||.|

\|+xxx Jika berlaku teorema 4.2.4 b, maka ( )( ) 541 lim4 lim14lim2232232=+=+xxxxxxx Catatanbahwalimitdenganpenyebut(i.e( ) 5 1 lim22= +xx)tidaksamadengan0, maka teorema 4.2.b berlaku. iv. 346 34lim22=xxx,Jika diberikan( ) 42 = x x fdan( ) 6 3 = x x huntukR x emaka tidak dapat digunakan teorema 4.2.4b untuk mengevaluasi( ) ( ) ( ) x h x fx 2lim karena ( ) ) 6 3 ( lim lim2 2 = = x x h Hx x =0 6 2 . 3 6 lim 32= = xx Bagaimanpun, jika2 = x , maka ) 2 (31) 2 ( 3) 2 )( 2 (6 342+ = +=xxx xxx Maka dari itu ( )342 lim31) 2 (31lim6 34lim2 222= + = + = x xxxx x x Catatanbahwafungsi) 6 3 ( ) 4 ( ) (2 = x x x g mempunyailimitdi2 = xmeskipun tidak ada definisinya. v. xx1lim0 tidak terdapat diRTentusaja1 1 lim1= xdan0 lim0= =x Hx.Bagaimanapun,ketika0 = H ,tidak dapatdigunakanteorema4.2.4buntukmengevaluasi) 1 ( lim0xx.Dalam faktanya,lihatcontoh4.1.10a,fungsix x 1 ) ( = tidakmempunyaisebuah limitdi0 = x .Kesimpulanmengikutijugadariteorema4.2.2ketikafungsi x x 1 ) ( = tidak terbatas dipersekitaran0 = x vi.Jikap adalah sebuah fungsi polynominal, maka) ( ) ( lim c p x pc x= Biarkanp menjadi fungsi polynominal di Rmaka 0 111.... ) ( a x a x a x a x pnnnn+ + + + =untuksemuaR x e .Berdasarkan teorema 4.2.4 dan fakta bahwa k kc xc x=lim , maka 0 111...... [ lim ) ( lim a x a x a x a x pnnnnc x c x+ + + + = = 0 111lim ) ( lim ..... ) ( lim ) ( lim a x a x a x ac x c xnnc xnnc x + + + + = 0 111..... a c a c a c annnn+ + + + =) (c pKarenanya) ( ) ( lim c p x pc x= untuk setiap fungsi polynominalp vii. Jikapdanq adalah fungsi polynominal diRdan jika0 ) ( = c qmaka ) () () () (limc qc px qx pc x= Ketika) (x q adalahsebuahfungsipolynominal,berdasarkandarisebuah teoremadialjabarbahwaadapalingbanyakbilanganterbatasbilanganreal mo o ,.....1[bilanganrealnoldi) (x q ]maka0 ) ( =jq o danjika ) ,..... (1 mx o o e ,maka0 ) ( = x q .Karenanya,jika) ,..... (1 mx o o e kitadapat definisikan) () () (x qx px r =Jikactidak nol di) (x q , maka0 ) ( = c q , dan mengikuti dari bagian vi bahwa 0 ) ( ) ( lim = =c q x qc x.Olehkarenaitukitadapatmenerapkanteorema4.2.4b untuk menyimpulkan bahwa) () () ( lim) ( lim) () (limc qc px qx px qx pc xc xc x= = Hasil berikutnya adalah analog langsung dari teorema 3.2.6 4.2.6 Teorema DiberikanR A _ ,R A f : ,dandiberikanR c etitik limit dariA.Jika b x f a s s ) ( untuksemuac x A x = e , danjikaterdapatfc xlim ,maka b f ac xs slim . BuktiMemang,jikafc xlim ,makaberdasarkandariteorema4.1.8bahwajika) (nxadalah setiap barisan bilangan real berlaku bahwaA x cn e =untuk semuaN nedanjikabarisan) (nx konvergenkec ,makabarisan( ) ( ) x f konvergenkeL . Ketikab x f a s s ) ( untuksemuaN ne ,berdasarkandariteorema3.2.6bahwa b L a s s . Sekarangkitabagiananalogdariteoremasqueeze3.2.7.untuk membuktikannya kita1 serahkan kepada pembaca. 4.2.7 Teorema Squeeze DiberikanR A _ ,R A h g f : , , ,danR c e titiklimitdiA.Jika ) ( ) ( ) ( x h x g x f s s untuksemuac x A x = e , ,danjikah L fc x c x = = lim lim ,maka L gc x=lim4.2.8 Contoh 0 lim23=xc x) 0 (> xDiberikan 23) ( x x f = untuk0 > x sejakketidaksamaan121s < x x memegang untuk1 0 s < x . Hal berikut bahwax x x f x s = s232) (untuk1 0 s < x . Maka0 lim20=xx dan0 lim0=xx Berdasarkan dari teorema 4.2.7 squeeze bahwa0 lim23=xc x 4.2.9 Teorema DiberikanR A _ , R A f : dandiberikanR c e cmempunyaisebuahlimitdi A, jika0 lim >fc x[masing-masing,0 lim x f [masing-masing,0 ) ( < x f ]untuk semua( ) c x c V A x = e ,o. BuktiDiberikanf Lc x= lim danmendugabahwa0 > L .Kitaambil021> = L c di definisi4.1.4,danmemperolehsebuah0 > o sehinggajikao < < c x 0 dan A x e ,makaL L x f21) ( < .Olehkarenaituberikutbahwajika ( ) c x c V A x = e ,o,maka021) ( > > L x f .Jika0 < L berlakuargumenyang sama. 4.3 Beberapa Eksentensi Konsep Limit 4.3.1 Definisi DiberikanR AedanR A f :i.JikaR c eadalah titik limit dari bagian} : { ) , ( c x A x c A > e = maka kita katakan bahwaR Leadalah limit kananfdicdan kita tulisL fc x=+limL x fc x=+) ( limJikadiberi0 > c terdapatsebuah0 ) ( > = c o o sehinggauntuksemuaA x edengano < < c x 0makac < L x f ) ( . ii.JikaR c e adalahtitiklimitdaribagian} : { ) , ( c x A x c A < e = maka kita katakan bahwaR Le adalah limit kirifdicdan kita tulis L fc x=limL x fc x=) ( lim 4.3.2 Teorema DiberikanR Ae danR A f : dandiberikanR c e titiklimitdi) , ( c A . Maka pernyataan berikut adalah ekuivalen : i.L fc x=+lim ii.Untuk setiap barisan) (nxkonvergen kecsehinggaA xn edanc xn >untuk semuaN ne . Barisan( ) ) (x fkonvergen keL 4.3.3 TeoremaDiberikanR A _ , R A f :dan diberikanR c e membiarkan menjadi titik limit bagian) , ( c A dan) , ( c A .Makaf Lc x= lim jikadanhanyajika f L fc x c x + = = lim lim 4.3.4 Contoh (a).Diberikan) sgn( ) ( x x f =Kitatelahmelihatcontoh4.1.10(b)bahwasgn tidak mempunyailimitdi0. Jelas bahwa1 ) sgn( lim0+ =+xx dan1 ) sgn( lim0 =xx. Karena limit ini satu sisi yangberbeda.Itujugamengikutidariteorema4.3.3bahwa) sgn( x tidak mempunyai limit di 0. (b). Diberikan 21) ( e x g = untuk0 = x ( lihat gambar 4.3.1) Gambar 4.3.1 grafik 21) ( e x g = untuk0 = xKamipertamamenunjukkang tidakmempunyaisebuahlimitkanan berhinggadi0 = c karenatidakdibatasipadasetiappersekitarankanan ) , 0 (o di0.kitawajibmemanfaatkanketidaksamaan(1) te t < < 0 untuk 0 > t Yangakandibuktikankemudian(lihatcollary8.3.3).mengikutidari(1) bahwajika0 > x ,kemudian xe x11 0 < < .Makajikakitamengambil nxn1= , kemudiann x gn > ) (untuk semuaN ne .Maka dari itu xxe10lim+ tidak terdapat diR . Namun,0 lim10=xxe .Memangjika0 < x dankitaambil xt1 = di(1)kita mendapatkan xex110< < . Ketika0 < x ,ini berartix ex