Logika MatematikaLogika Matematika

Pertemuan 2Pertemuan 2

Teori HimpunanTeori Himpunan

AGUS SALIM AFROZI, STAGUS SALIM AFROZI, ST

11

PembahasanPembahasan

Diagram GarisDiagram Garis Operasi HimpunanOperasi Himpunan

22

Diagram GarisDiagram Garis

Menggambarkan hubungan antar himpunan dalam Menggambarkan hubungan antar himpunan dalam bentuk garisbentuk garis

Jika : A B maka kita menulis B pada kedudukan ⊂Jika : A B maka kita menulis B pada kedudukan ⊂yang lebih tinggi dari Ayang lebih tinggi dari A

BB CC││ │ │AA BB

Jika A B dan B C ⊂ ⊂Jika A B dan B C ⊂ ⊂ │ │AA

33

Contoh:Contoh:

1. A = {a}, B = {b}, C = {a,b}1. A = {a}, B = {b}, C = {a,b}

Maka diagram garisnya:Maka diagram garisnya:

CC

AA BB

2. Jika X = {x}, Y= {x,y}, Z = {x,y,z} dan W = {x,y,w}2. Jika X = {x}, Y= {x,y}, Z = {x,y,z} dan W = {x,y,w}

Diagram garisnya: Z WDiagram garisnya: Z W

YY

XX44

Latihan soal:Latihan soal:

1.Buatlah diagram garisnya:1.Buatlah diagram garisnya:

a. X = {a,b,c}, Y = {a,b}, Z = {b}a. X = {a,b,c}, Y = {a,b}, Z = {b}

b. Jika V = {d}, W = {c,d}, X = {a,b,c}, Y = {a,b} b. Jika V = {d}, W = {c,d}, X = {a,b,c}, Y = {a,b}

Z = {a,b,d}Z = {a,b,d}

55

Operasi antar himpunanOperasi antar himpunanI. Gabungan ( )∪I. Gabungan ( )∪ Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan

semua anggota A atau semua anggota B atau anggota semua anggota A atau semua anggota B atau anggota kedua-duanya. kedua-duanya.

A B ={x | x A atau x B}∪ ∈ ∈A B ={x | x A atau x B}∪ ∈ ∈

77

II. Irisan /Intersection ( ∩ )II. Irisan /Intersection ( ∩ ) Irisan dari himpunan A dan himpunan B adalah Irisan dari himpunan A dan himpunan B adalah

himpunan yang anggota – anggotanya termasuk himpunan yang anggota – anggotanya termasuk anggota A dan anggota B anggota A dan anggota B

A ∩ B = {x | x A dan x B} ∈ ∈A ∩ B = {x | x A dan x B} ∈ ∈

88

III. Selisih dua himpunanIII. Selisih dua himpunan Selisih himpunan A dan himpunan B adalah Selisih himpunan A dan himpunan B adalah

himpunan dari elemen yang termasuk A tetapi tidak himpunan dari elemen yang termasuk A tetapi tidak termasuk B atau irisan A dan termasuk B atau irisan A dan B B c c

A - B = A ∩ BA - B = A ∩ BCC

A – B = {x | x A , x B} ∈ ∉A – B = {x | x A , x B} ∈ ∉

99

Contoh : Contoh :

A = {a,b,c,d} dan B = {p,q,b,d} A = {a,b,c,d} dan B = {p,q,b,d}

A – B = {a,c} dan B – A = {p,q} A – B = {a,c} dan B – A = {p,q}

IV. Komplemen dari AIV. Komplemen dari A (A (ACC)) Himpunan anggota – anggota di dalam semesta Himpunan anggota – anggota di dalam semesta

pembicaraan yang bukan anggota A pembicaraan yang bukan anggota A A A c c = {x | x A , x U} ∉ ∈= {x | x A , x U} ∉ ∈

1010

V. Selisih Simetri (∆) V. Selisih Simetri (∆) A A ∆ B =∆ B = (A ∪ (A ∪ B) – ( B) – (A ∩ B)A ∩ B)

Contoh : Contoh : P = {1,2,3} dan Q = {3,4,5} P = {1,2,3} dan Q = {3,4,5} P P ∆∆ Q = {1,2,4,5} Q = {1,2,4,5}

1111

Hukum dalam Aljabar HimpunanHukum dalam Aljabar Himpunan

1.1.IdempotenIdempoten A A = A ∪A A = A ∪ A ∩ A = A A ∩ A = A

2. 2. Asosiatif Asosiatif (A B) C = A (B C) ∪ ∪ ∪ ∪(A B) C = A (B C) ∪ ∪ ∪ ∪(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

3.Komutatif 3.Komutatif A B = B A ∪ ∪A B = B A ∪ ∪A ∩ B = B ∩ A A ∩ B = B ∩ A

1212

4. Distributif 4. Distributif

A (B ∩ C) = (A B) ∩ (A C) ∪ ∪ ∪A (B ∩ C) = (A B) ∩ (A C) ∪ ∪ ∪

A ∩ (B C) = (A ∩ B) (A ∩ C) ∪ ∪A ∩ (B C) = (A ∩ B) (A ∩ C) ∪ ∪

5. Identitas 5. Identitas

A = A A S = S ∪ ∪∅A = A A S = S ∪ ∪∅

A ∩ S = A A ∩ = ∅ ∅A ∩ S = A A ∩ = ∅ ∅

6. Komplemen 6. Komplemen

A A ∪A A ∪ c c = S (A = S (A cc) ) c c = A = A

A ∩ A A ∩ A c c = S ∅= S ∅ c c = , ∅ ∅= , ∅ ∅ c c = S = S 1313

7. De Morgan 7. De Morgan

(A B) ∪(A B) ∪ c c = A = A c c ∩ B ∩ B c c

(A ∩ B) (A ∩ B) c c = A = A c c B ∪ B ∪ c c

8. Penyerapan 8. Penyerapan

A (A ∩ B) = A ∪A (A ∩ B) = A ∪

A ∩ (A B) = A ∪A ∩ (A B) = A ∪

1414

Aplikasi Himpunan dan Diagram VennAplikasi Himpunan dan Diagram Venn

n(A) = a yaitu di daerah I dan III

n(B) = b yaitu di daerah II dan III

n (A ∩ B) = x yaitu di daerah III

Daerah A B adalah daerah I, II, dan ∪III

Maka banyak obyek di daerah A B ∪= n (A B) ∪= (a – x) + x + (b – x) = a – x + x + b – x = a + b – x

Kasus 1Kasus 1

1515

Kasus 2Kasus 2

1616

Contoh kasus 1:Contoh kasus 1:

Dari 100 mahasiswa pada semester ini 50 mahasiswa mengambil Dari 100 mahasiswa pada semester ini 50 mahasiswa mengambil mata kuliah praktikum komputer, 54 mahasiswa mengambil mata mata kuliah praktikum komputer, 54 mahasiswa mengambil mata kuliah Pancasila, 40 mahasiswa mengambil mata kuliah kuliah Pancasila, 40 mahasiswa mengambil mata kuliah praktikum komputer dan Pancasila. praktikum komputer dan Pancasila. a. Berapa mahasiswa yang mengambil mata kuliah praktikum a. Berapa mahasiswa yang mengambil mata kuliah praktikum komputer komputer b. Berapa mahasiswa yang mengambil mata kuliah Pancasila b. Berapa mahasiswa yang mengambil mata kuliah Pancasila c. Berapa mahasiswa yang mengambil mata kuliah praktikum c. Berapa mahasiswa yang mengambil mata kuliah praktikum komputer atau Pancasila komputer atau Pancasila d. Berapa mahasiswa yang tidak mengambil kedua mata kuliah d. Berapa mahasiswa yang tidak mengambil kedua mata kuliah itu itu

1717

a. n(A – B) = n(A) – n(A ∩ B) = 50 – 40 = 10 a. n(A – B) = n(A) – n(A ∩ B) = 50 – 40 = 10 Jadi mahasiswa yang mengambil praktikum komputer sebanyak 10 Jadi mahasiswa yang mengambil praktikum komputer sebanyak 10 mahasiswa mahasiswa b. n(B – A) = n(B) – n(A ∩ B) = 54 – 40 = 14 b. n(B – A) = n(B) – n(A ∩ B) = 54 – 40 = 14 Jadi mahasiswa yang mengambil Pancasila sebanyak 14 mahasiswa Jadi mahasiswa yang mengambil Pancasila sebanyak 14 mahasiswa c. n(A B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) = 50 + 54 – 40 = 64 ∪c. n(A B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) = 50 + 54 – 40 = 64 ∪Jadi mahasiswa yang mengambil praktikum komputer atau Pancasila 64 Jadi mahasiswa yang mengambil praktikum komputer atau Pancasila 64 mahasiswa mahasiswa d. n(A B) ∪d. n(A B) ∪ c c = 100 – 64 = 36 = 100 – 64 = 36 Jadi mahasiswa yang tidak mengambil kedua mata kuliah tersebut 36 Jadi mahasiswa yang tidak mengambil kedua mata kuliah tersebut 36 mahasiswa mahasiswa

n(A) = 50 n(A) = 50 n(B) = 54 n(B) = 54 n (A ∩ B) = 40n (A ∩ B) = 40 Ditanyakan : Ditanyakan : a. n(A – B) b. n(B – A) a. n(A – B) b. n(B – A) c. n(A B) d.n(A B)∪ ∪c. n(A B) d.n(A B)∪ ∪ cc

Jawab Jawab ::

1818

1919

Tugas 1.(dikumpulkan minggu depan)

1.Jika A = {1,2,3,4,6,a,h}, B={1,2,3,a,c,d,g,i} dan C = {3,4,6,8,9,a,c,d} Carilah:

a. (A U B) ∩ C c. (A U B) - Cb. (A ∩ C) U A d. (A U B) ∆ C

2. Dengan data no.1, buktikan kaidah De Morgan : a. (A B) ∪ c = A c ∩ B c

b. (A ∩ B) c = A c B ∪ c

3. Dari 100 mahasiswa TI pada semester ini, 47 mahasiswa mengambil mata kuliah Logika Mat (LM), 43 mahasiswa mengambil mata kuliah Fisika (F), 45 mahasiswa mengambil mata kuliah Bahasa Inggris (BI), 32 mahasiswa mengambil LM dan F, 31 mahasiswa mengambil F dan BI, 28 mahasiswa mengambil BI dan LM, 25 mahasiswa mengambil ketiga-tiganya.

a. Berapa mahasiswa yang mengambil mata kuliah Logika matematika saja?b. Berapa mahasiswa yang mengambil mata kuliah Fisika atau Bahasa Inggris?c. Berapa mahasiswa yang tidak mengambil ketiga mata kuliah di atas?