teori himpunan (kajian tentang karakteristik, … teori himpunan (kajian tentang karakteristik,...
TRANSCRIPT
Outline
TEORI HIMPUNAN(Kajian tentang Karakteristik, Relasi, Operasi
dan Representasi Himpunan)
Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc
PS. Pendidikan Matematika FKIPPS. Sistem Informasi
University of JemberIndonesia
Jember, 2009
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Outline
Outline
1 Karakteristik HimpunanKarakteristikEkspresi Himpunan
2 Relasi dan Operasi HimpunanRelasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
3 Kardinalitas dan Produk KartesiusKardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Outline
Outline
1 Karakteristik HimpunanKarakteristikEkspresi Himpunan
2 Relasi dan Operasi HimpunanRelasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
3 Kardinalitas dan Produk KartesiusKardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Outline
Outline
1 Karakteristik HimpunanKarakteristikEkspresi Himpunan
2 Relasi dan Operasi HimpunanRelasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
3 Kardinalitas dan Produk KartesiusKardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KarakteristikEkspresi Himpunan
Karakteristik Himpunan
Well-defined
Sebuah himpunan dikatakan well-defined, jika secara definitifdapat dinyatakan apakah suatu obyek merupakan elemen ataubukan elemen dari himpunan tersebut. Misalkan,S = {beberapa bilangan asli}, maka S bukan merupakanhimpunan yang well-defined sebab tidak dapat dinyatakanapakah 5 ∈ S ataukah 5 6∈ S. Berbeda jika dinyatakan,S = {empat bilangan asli pertama } , maka elemen-elemen Sdapat disebutkan secara definitif, yakni 1, 2, 3, 4.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KarakteristikEkspresi Himpunan
Ekspresi Himpunan
Ekspresi
Sebuah himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkansifat-sifatnya, atau dengan mendaftar elemen-elemennya.Misalnya, himpunan bilangan prima yang kurang dari atausama dengan 5, dapat dinyatakan sebagai {2, 3, 5}, atau {x |xbilangan prima ≤ 5}.
Sebuah himpunan S tersusun atas elemen-elemen, dan jika amerupakan salah satu elemennya, maka dapat dinotasikana ∈ S.
Ada tepat satu himpunan yang tidak memiliki elemen, yangdisebut sebagai himpunan kosong, dan dinotasikan sebagai φ.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KarakteristikEkspresi Himpunan
Ekspresi Himpunan
Ekspresi
Sebuah himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkansifat-sifatnya, atau dengan mendaftar elemen-elemennya.Misalnya, himpunan bilangan prima yang kurang dari atausama dengan 5, dapat dinyatakan sebagai {2, 3, 5}, atau {x |xbilangan prima ≤ 5}.
Sebuah himpunan S tersusun atas elemen-elemen, dan jika amerupakan salah satu elemennya, maka dapat dinotasikana ∈ S.
Ada tepat satu himpunan yang tidak memiliki elemen, yangdisebut sebagai himpunan kosong, dan dinotasikan sebagai φ.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KarakteristikEkspresi Himpunan
Ekspresi Himpunan
Ekspresi
Sebuah himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkansifat-sifatnya, atau dengan mendaftar elemen-elemennya.Misalnya, himpunan bilangan prima yang kurang dari atausama dengan 5, dapat dinyatakan sebagai {2, 3, 5}, atau {x |xbilangan prima ≤ 5}.
Sebuah himpunan S tersusun atas elemen-elemen, dan jika amerupakan salah satu elemennya, maka dapat dinotasikana ∈ S.
Ada tepat satu himpunan yang tidak memiliki elemen, yangdisebut sebagai himpunan kosong, dan dinotasikan sebagai φ.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KarakteristikEkspresi Himpunan
Ekspresi Himpunan
Mana yang merupakan himpunan?
1 kumpulan bunga putih2 kumpulan orang tinggi3 kumpulan warga negara RI4 kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ5 kumpulan bilangan6 kumpulan orang miskin7 kumpulan anak pandai8 kumpulan gedung tinggi di Jember9 kumpulan manusia yang pernah menginjakkan kaki di
bulan
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KarakteristikEkspresi Himpunan
Ekspresi Himpunan
Mana yang merupakan himpunan?
1 kumpulan bunga putih2 kumpulan orang tinggi3 kumpulan warga negara RI4 kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ5 kumpulan bilangan6 kumpulan orang miskin7 kumpulan anak pandai8 kumpulan gedung tinggi di Jember9 kumpulan manusia yang pernah menginjakkan kaki di
bulan
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KarakteristikEkspresi Himpunan
Ekspresi Himpunan
Mana yang merupakan himpunan?
1 kumpulan bunga putih2 kumpulan orang tinggi3 kumpulan warga negara RI4 kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ5 kumpulan bilangan6 kumpulan orang miskin7 kumpulan anak pandai8 kumpulan gedung tinggi di Jember9 kumpulan manusia yang pernah menginjakkan kaki di
bulan
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KarakteristikEkspresi Himpunan
Ekspresi Himpunan
Mana yang merupakan himpunan?
1 kumpulan bunga putih2 kumpulan orang tinggi3 kumpulan warga negara RI4 kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ5 kumpulan bilangan6 kumpulan orang miskin7 kumpulan anak pandai8 kumpulan gedung tinggi di Jember9 kumpulan manusia yang pernah menginjakkan kaki di
bulan
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KarakteristikEkspresi Himpunan
Ekspresi Himpunan
Mana yang merupakan himpunan?
1 kumpulan bunga putih2 kumpulan orang tinggi3 kumpulan warga negara RI4 kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ5 kumpulan bilangan6 kumpulan orang miskin7 kumpulan anak pandai8 kumpulan gedung tinggi di Jember9 kumpulan manusia yang pernah menginjakkan kaki di
bulan
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KarakteristikEkspresi Himpunan
Ekspresi Himpunan
Mana yang merupakan himpunan?
1 kumpulan bunga putih2 kumpulan orang tinggi3 kumpulan warga negara RI4 kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ5 kumpulan bilangan6 kumpulan orang miskin7 kumpulan anak pandai8 kumpulan gedung tinggi di Jember9 kumpulan manusia yang pernah menginjakkan kaki di
bulan
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KarakteristikEkspresi Himpunan
Ekspresi Himpunan
Mana yang merupakan himpunan?
1 kumpulan bunga putih2 kumpulan orang tinggi3 kumpulan warga negara RI4 kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ5 kumpulan bilangan6 kumpulan orang miskin7 kumpulan anak pandai8 kumpulan gedung tinggi di Jember9 kumpulan manusia yang pernah menginjakkan kaki di
bulan
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KarakteristikEkspresi Himpunan
Ekspresi Himpunan
Mana yang merupakan himpunan?
1 kumpulan bunga putih2 kumpulan orang tinggi3 kumpulan warga negara RI4 kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ5 kumpulan bilangan6 kumpulan orang miskin7 kumpulan anak pandai8 kumpulan gedung tinggi di Jember9 kumpulan manusia yang pernah menginjakkan kaki di
bulan
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KarakteristikEkspresi Himpunan
Ekspresi Himpunan
Mana yang merupakan himpunan?
1 kumpulan bunga putih2 kumpulan orang tinggi3 kumpulan warga negara RI4 kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ5 kumpulan bilangan6 kumpulan orang miskin7 kumpulan anak pandai8 kumpulan gedung tinggi di Jember9 kumpulan manusia yang pernah menginjakkan kaki di
bulan
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KarakteristikEkspresi Himpunan
Ekspresi Himpunan
Mana yang merupakan himpunan?
1 kumpulan bunga putih2 kumpulan orang tinggi3 kumpulan warga negara RI4 kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ5 kumpulan bilangan6 kumpulan orang miskin7 kumpulan anak pandai8 kumpulan gedung tinggi di Jember9 kumpulan manusia yang pernah menginjakkan kaki di
bulan
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KarakteristikEkspresi Himpunan
Ekspresi Himpunan
Himpunan kosongkah?
1 himpunan segitiga yang mempunyai 2 sudut siku-siku2 himpunan segitiga yang ketiga sudutnya tumpul3 apakah {0} merupakan himpunan kosong4 apakah {φ} merupakan himpunan kosong
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KarakteristikEkspresi Himpunan
Ekspresi Himpunan
Himpunan kosongkah?
1 himpunan segitiga yang mempunyai 2 sudut siku-siku2 himpunan segitiga yang ketiga sudutnya tumpul3 apakah {0} merupakan himpunan kosong4 apakah {φ} merupakan himpunan kosong
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KarakteristikEkspresi Himpunan
Ekspresi Himpunan
Himpunan kosongkah?
1 himpunan segitiga yang mempunyai 2 sudut siku-siku2 himpunan segitiga yang ketiga sudutnya tumpul3 apakah {0} merupakan himpunan kosong4 apakah {φ} merupakan himpunan kosong
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KarakteristikEkspresi Himpunan
Ekspresi Himpunan
Himpunan kosongkah?
1 himpunan segitiga yang mempunyai 2 sudut siku-siku2 himpunan segitiga yang ketiga sudutnya tumpul3 apakah {0} merupakan himpunan kosong4 apakah {φ} merupakan himpunan kosong
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KarakteristikEkspresi Himpunan
Ekspresi Himpunan
Himpunan kosongkah?
1 himpunan segitiga yang mempunyai 2 sudut siku-siku2 himpunan segitiga yang ketiga sudutnya tumpul3 apakah {0} merupakan himpunan kosong4 apakah {φ} merupakan himpunan kosong
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KarakteristikEkspresi Himpunan
Ekspresi Himpunan
Think about it!
Apakah kumpulan pernyataan sehari-hari yang bernilai benarmerupakan suatu himpunan?
Jika kita perhatikan pernyataan yang kita gunakan sehari-hariternyata ada pernyataan yang belum pasti benar atausalahnya. Misalkan ”ada makhluk hidup di planet Mars” atau”besok akan hujan”. Pikirkan!
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KarakteristikEkspresi Himpunan
Ekspresi Himpunan
Think about it!
Apakah kumpulan pernyataan sehari-hari yang bernilai benarmerupakan suatu himpunan?
Jika kita perhatikan pernyataan yang kita gunakan sehari-hariternyata ada pernyataan yang belum pasti benar atausalahnya. Misalkan ”ada makhluk hidup di planet Mars” atau”besok akan hujan”. Pikirkan!
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Relasi Himpunan
Himpunan Bagian
Sebuah himpunan B merupakan himpunan bagian (subset)dari himpunan A dan dinotasikan ”B ⊆ A” atau ”A ⊇ B”, jikasetiap elemen B merupakan elemen A.
Sejati dan Tak Sejati
Untuk setiap himpunan A, A dan φ keduanya merupakanhimpunan bagian pada A. A disebut sebagai himpunan bagiantak sejati (improper subset), sedangkan himpunan bagianlainnya disebut himpunan bagian sejati (proper subset)
Contoh
Misalkan S = {a, b, c}, maka S memiliki 8 macam himpunanbagian yakni φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Relasi Himpunan
Himpunan Bagian
Sebuah himpunan B merupakan himpunan bagian (subset)dari himpunan A dan dinotasikan ”B ⊆ A” atau ”A ⊇ B”, jikasetiap elemen B merupakan elemen A.
Sejati dan Tak Sejati
Untuk setiap himpunan A, A dan φ keduanya merupakanhimpunan bagian pada A. A disebut sebagai himpunan bagiantak sejati (improper subset), sedangkan himpunan bagianlainnya disebut himpunan bagian sejati (proper subset)
Contoh
Misalkan S = {a, b, c}, maka S memiliki 8 macam himpunanbagian yakni φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Relasi Himpunan
Himpunan Bagian
Sebuah himpunan B merupakan himpunan bagian (subset)dari himpunan A dan dinotasikan ”B ⊆ A” atau ”A ⊇ B”, jikasetiap elemen B merupakan elemen A.
Sejati dan Tak Sejati
Untuk setiap himpunan A, A dan φ keduanya merupakanhimpunan bagian pada A. A disebut sebagai himpunan bagiantak sejati (improper subset), sedangkan himpunan bagianlainnya disebut himpunan bagian sejati (proper subset)
Contoh
Misalkan S = {a, b, c}, maka S memiliki 8 macam himpunanbagian yakni φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Relasi Himpunan
Himpunan Sama
Himpunan A dan B dikatakan sama (dinotasikan A = B) jikadan hanya jika A ⊆ B dan B ⊆ A
Contoh1 Himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {3, 2, 4, 1} adalah
himpunan yang sama.2 Himpunan P = {a, b, c} dan Q = {b, a, c, b, c} adalah
himpunan yang sama.3 Himpunan N = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan M = {2, 6}
adalah himpunan yang sama.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Relasi Himpunan
Himpunan Sama
Himpunan A dan B dikatakan sama (dinotasikan A = B) jikadan hanya jika A ⊆ B dan B ⊆ A
Contoh1 Himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {3, 2, 4, 1} adalah
himpunan yang sama.2 Himpunan P = {a, b, c} dan Q = {b, a, c, b, c} adalah
himpunan yang sama.3 Himpunan N = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan M = {2, 6}
adalah himpunan yang sama.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Relasi Himpunan
Himpunan Sama
Himpunan A dan B dikatakan sama (dinotasikan A = B) jikadan hanya jika A ⊆ B dan B ⊆ A
Contoh1 Himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {3, 2, 4, 1} adalah
himpunan yang sama.2 Himpunan P = {a, b, c} dan Q = {b, a, c, b, c} adalah
himpunan yang sama.3 Himpunan N = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan M = {2, 6}
adalah himpunan yang sama.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Relasi Himpunan
Himpunan Sama
Himpunan A dan B dikatakan sama (dinotasikan A = B) jikadan hanya jika A ⊆ B dan B ⊆ A
Contoh1 Himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {3, 2, 4, 1} adalah
himpunan yang sama.2 Himpunan P = {a, b, c} dan Q = {b, a, c, b, c} adalah
himpunan yang sama.3 Himpunan N = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan M = {2, 6}
adalah himpunan yang sama.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Relasi Himpunan
Himpunan Sama
Himpunan A dan B dikatakan sama (dinotasikan A = B) jikadan hanya jika A ⊆ B dan B ⊆ A
Contoh1 Himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {3, 2, 4, 1} adalah
himpunan yang sama.2 Himpunan P = {a, b, c} dan Q = {b, a, c, b, c} adalah
himpunan yang sama.3 Himpunan N = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan M = {2, 6}
adalah himpunan yang sama.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Relasi Himpunan
Himpunan Berpotongan
Himpunan A dan B dikatakan berpotongan jika dan hanya jikaada elemen A yang menjadi elemen B
Contoh1 A = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan B = {x |x2 − 4 = 0}
berpotongan,2 P = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan Q = {1, 3, 5} tidak
berpotongan.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Relasi Himpunan
Himpunan Berpotongan
Himpunan A dan B dikatakan berpotongan jika dan hanya jikaada elemen A yang menjadi elemen B
Contoh1 A = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan B = {x |x2 − 4 = 0}
berpotongan,2 P = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan Q = {1, 3, 5} tidak
berpotongan.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Relasi Himpunan
Himpunan Berpotongan
Himpunan A dan B dikatakan berpotongan jika dan hanya jikaada elemen A yang menjadi elemen B
Contoh1 A = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan B = {x |x2 − 4 = 0}
berpotongan,2 P = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan Q = {1, 3, 5} tidak
berpotongan.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Relasi Himpunan
Himpunan Berpotongan
Himpunan A dan B dikatakan berpotongan jika dan hanya jikaada elemen A yang menjadi elemen B
Contoh1 A = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan B = {x |x2 − 4 = 0}
berpotongan,2 P = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan Q = {1, 3, 5} tidak
berpotongan.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Relasi Himpunan
Himpunan Saling Lepas
Himpunan A dan B dikatakan lepas (dinotasikan A||B) jikahanya jika kedua himpunan itu tak kosong dan tidakmempunyai elemen yang sama.
Contoh1 A = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan B = {x |x2 − 4 = 0} tidak
lepas,2 P = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan Q = {1, 3, 5} lepas.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Relasi Himpunan
Himpunan Saling Lepas
Himpunan A dan B dikatakan lepas (dinotasikan A||B) jikahanya jika kedua himpunan itu tak kosong dan tidakmempunyai elemen yang sama.
Contoh1 A = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan B = {x |x2 − 4 = 0} tidak
lepas,2 P = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan Q = {1, 3, 5} lepas.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Relasi Himpunan
Himpunan Saling Lepas
Himpunan A dan B dikatakan lepas (dinotasikan A||B) jikahanya jika kedua himpunan itu tak kosong dan tidakmempunyai elemen yang sama.
Contoh1 A = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan B = {x |x2 − 4 = 0} tidak
lepas,2 P = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan Q = {1, 3, 5} lepas.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Relasi Himpunan
Himpunan Saling Lepas
Himpunan A dan B dikatakan lepas (dinotasikan A||B) jikahanya jika kedua himpunan itu tak kosong dan tidakmempunyai elemen yang sama.
Contoh1 A = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan B = {x |x2 − 4 = 0} tidak
lepas,2 P = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan Q = {1, 3, 5} lepas.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Relasi Himpunan
Himpunan Ekivalen
Dua himpunan berhingga A dan B dikatakan ekuivalen jikahanya jika banyak elemen kedua himpunan tersebut adalahsama.
Contoh1 Himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {a, b, c, d} adalah
himpunan yang ekuivalen.2 Himpunan P = {a, b, c} dan Q = {p, q, r , s} adalah
himpunan yang tidak ekuivalen.3 Himpunan N = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan M = {5, 10}
adalah himpunan yang ekuivalen.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Relasi Himpunan
Himpunan Ekivalen
Dua himpunan berhingga A dan B dikatakan ekuivalen jikahanya jika banyak elemen kedua himpunan tersebut adalahsama.
Contoh1 Himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {a, b, c, d} adalah
himpunan yang ekuivalen.2 Himpunan P = {a, b, c} dan Q = {p, q, r , s} adalah
himpunan yang tidak ekuivalen.3 Himpunan N = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan M = {5, 10}
adalah himpunan yang ekuivalen.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Relasi Himpunan
Himpunan Ekivalen
Dua himpunan berhingga A dan B dikatakan ekuivalen jikahanya jika banyak elemen kedua himpunan tersebut adalahsama.
Contoh1 Himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {a, b, c, d} adalah
himpunan yang ekuivalen.2 Himpunan P = {a, b, c} dan Q = {p, q, r , s} adalah
himpunan yang tidak ekuivalen.3 Himpunan N = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan M = {5, 10}
adalah himpunan yang ekuivalen.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Relasi Himpunan
Himpunan Ekivalen
Dua himpunan berhingga A dan B dikatakan ekuivalen jikahanya jika banyak elemen kedua himpunan tersebut adalahsama.
Contoh1 Himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {a, b, c, d} adalah
himpunan yang ekuivalen.2 Himpunan P = {a, b, c} dan Q = {p, q, r , s} adalah
himpunan yang tidak ekuivalen.3 Himpunan N = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan M = {5, 10}
adalah himpunan yang ekuivalen.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Relasi Himpunan
Himpunan Ekivalen
Dua himpunan berhingga A dan B dikatakan ekuivalen jikahanya jika banyak elemen kedua himpunan tersebut adalahsama.
Contoh1 Himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {a, b, c, d} adalah
himpunan yang ekuivalen.2 Himpunan P = {a, b, c} dan Q = {p, q, r , s} adalah
himpunan yang tidak ekuivalen.3 Himpunan N = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan M = {5, 10}
adalah himpunan yang ekuivalen.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Relasi Himpunan
Exercise1 Jika A = {1, 2, 3, 4}, berapa banyak himpunan bagian dari
A? Sebutkan!2 Buktikan bahwa:
1 Jika M ⊂ φ, maka M = φ.2 Jika K ⊂ L, L ⊂ M dan M ⊂ K , maka K = M.
3 Jika P = {jajargenjang}, Q = {belahketupat},R = {persegi} dan T = {persegipanjang} pada bidangdatar.
1 tentukan relasi antar himpunan-himpunan tersebut!2 tentukan diagram Venn untuk melukiskan relasi antar
himpunan P, Q, R dan T
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Relasi Himpunan
Exercise1 Jika A = {1, 2, 3, 4}, berapa banyak himpunan bagian dari
A? Sebutkan!2 Buktikan bahwa:
1 Jika M ⊂ φ, maka M = φ.2 Jika K ⊂ L, L ⊂ M dan M ⊂ K , maka K = M.
3 Jika P = {jajargenjang}, Q = {belahketupat},R = {persegi} dan T = {persegipanjang} pada bidangdatar.
1 tentukan relasi antar himpunan-himpunan tersebut!2 tentukan diagram Venn untuk melukiskan relasi antar
himpunan P, Q, R dan T
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Relasi Himpunan
Exercise1 Jika A = {1, 2, 3, 4}, berapa banyak himpunan bagian dari
A? Sebutkan!2 Buktikan bahwa:
1 Jika M ⊂ φ, maka M = φ.2 Jika K ⊂ L, L ⊂ M dan M ⊂ K , maka K = M.
3 Jika P = {jajargenjang}, Q = {belahketupat},R = {persegi} dan T = {persegipanjang} pada bidangdatar.
1 tentukan relasi antar himpunan-himpunan tersebut!2 tentukan diagram Venn untuk melukiskan relasi antar
himpunan P, Q, R dan T
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Relasi Himpunan
Exercise1 Jika A = {1, 2, 3, 4}, berapa banyak himpunan bagian dari
A? Sebutkan!2 Buktikan bahwa:
1 Jika M ⊂ φ, maka M = φ.2 Jika K ⊂ L, L ⊂ M dan M ⊂ K , maka K = M.
3 Jika P = {jajargenjang}, Q = {belahketupat},R = {persegi} dan T = {persegipanjang} pada bidangdatar.
1 tentukan relasi antar himpunan-himpunan tersebut!2 tentukan diagram Venn untuk melukiskan relasi antar
himpunan P, Q, R dan T
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Relasi Himpunan
Exercise1 Jika A = {1, 2, 3, 4}, berapa banyak himpunan bagian dari
A? Sebutkan!2 Buktikan bahwa:
1 Jika M ⊂ φ, maka M = φ.2 Jika K ⊂ L, L ⊂ M dan M ⊂ K , maka K = M.
3 Jika P = {jajargenjang}, Q = {belahketupat},R = {persegi} dan T = {persegipanjang} pada bidangdatar.
1 tentukan relasi antar himpunan-himpunan tersebut!2 tentukan diagram Venn untuk melukiskan relasi antar
himpunan P, Q, R dan T
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Relasi Himpunan
Exercise1 Jika A = {1, 2, 3, 4}, berapa banyak himpunan bagian dari
A? Sebutkan!2 Buktikan bahwa:
1 Jika M ⊂ φ, maka M = φ.2 Jika K ⊂ L, L ⊂ M dan M ⊂ K , maka K = M.
3 Jika P = {jajargenjang}, Q = {belahketupat},R = {persegi} dan T = {persegipanjang} pada bidangdatar.
1 tentukan relasi antar himpunan-himpunan tersebut!2 tentukan diagram Venn untuk melukiskan relasi antar
himpunan P, Q, R dan T
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Relasi Himpunan
Exercise1 Jika A = {1, 2, 3, 4}, berapa banyak himpunan bagian dari
A? Sebutkan!2 Buktikan bahwa:
1 Jika M ⊂ φ, maka M = φ.2 Jika K ⊂ L, L ⊂ M dan M ⊂ K , maka K = M.
3 Jika P = {jajargenjang}, Q = {belahketupat},R = {persegi} dan T = {persegipanjang} pada bidangdatar.
1 tentukan relasi antar himpunan-himpunan tersebut!2 tentukan diagram Venn untuk melukiskan relasi antar
himpunan P, Q, R dan T
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Relasi Himpunan
Exercise1 Jika A = {1, 2, 3, 4}, berapa banyak himpunan bagian dari
A? Sebutkan!2 Buktikan bahwa:
1 Jika M ⊂ φ, maka M = φ.2 Jika K ⊂ L, L ⊂ M dan M ⊂ K , maka K = M.
3 Jika P = {jajargenjang}, Q = {belahketupat},R = {persegi} dan T = {persegipanjang} pada bidangdatar.
1 tentukan relasi antar himpunan-himpunan tersebut!2 tentukan diagram Venn untuk melukiskan relasi antar
himpunan P, Q, R dan T
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Relasi Himpunan
Exercise
Diketahui P ⊂ Q dan Q ⊂ R. Misalkan p ∈ P, q ∈ Q, r ∈ R danjuga t 6∈ P, u 6∈ Q, v 6∈ R. Mana diantara pernyataan berikutyang benar?
1 p ∈ R2 q 6∈ P3 u ∈ R4 v 6∈ Q5 {p, q} ⊂ R6 {t , u} ⊂ R7 P ⊂ R8 t 6∈ R
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Relasi Himpunan
Exercise
Diketahui P ⊂ Q dan Q ⊂ R. Misalkan p ∈ P, q ∈ Q, r ∈ R danjuga t 6∈ P, u 6∈ Q, v 6∈ R. Mana diantara pernyataan berikutyang benar?
1 p ∈ R2 q 6∈ P3 u ∈ R4 v 6∈ Q5 {p, q} ⊂ R6 {t , u} ⊂ R7 P ⊂ R8 t 6∈ R
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Relasi Himpunan
Exercise
Diketahui P ⊂ Q dan Q ⊂ R. Misalkan p ∈ P, q ∈ Q, r ∈ R danjuga t 6∈ P, u 6∈ Q, v 6∈ R. Mana diantara pernyataan berikutyang benar?
1 p ∈ R2 q 6∈ P3 u ∈ R4 v 6∈ Q5 {p, q} ⊂ R6 {t , u} ⊂ R7 P ⊂ R8 t 6∈ R
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Relasi Himpunan
Exercise
Diketahui P ⊂ Q dan Q ⊂ R. Misalkan p ∈ P, q ∈ Q, r ∈ R danjuga t 6∈ P, u 6∈ Q, v 6∈ R. Mana diantara pernyataan berikutyang benar?
1 p ∈ R2 q 6∈ P3 u ∈ R4 v 6∈ Q5 {p, q} ⊂ R6 {t , u} ⊂ R7 P ⊂ R8 t 6∈ R
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Relasi Himpunan
Exercise
Diketahui P ⊂ Q dan Q ⊂ R. Misalkan p ∈ P, q ∈ Q, r ∈ R danjuga t 6∈ P, u 6∈ Q, v 6∈ R. Mana diantara pernyataan berikutyang benar?
1 p ∈ R2 q 6∈ P3 u ∈ R4 v 6∈ Q5 {p, q} ⊂ R6 {t , u} ⊂ R7 P ⊂ R8 t 6∈ R
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Relasi Himpunan
Exercise
Diketahui P ⊂ Q dan Q ⊂ R. Misalkan p ∈ P, q ∈ Q, r ∈ R danjuga t 6∈ P, u 6∈ Q, v 6∈ R. Mana diantara pernyataan berikutyang benar?
1 p ∈ R2 q 6∈ P3 u ∈ R4 v 6∈ Q5 {p, q} ⊂ R6 {t , u} ⊂ R7 P ⊂ R8 t 6∈ R
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Relasi Himpunan
Exercise
Diketahui P ⊂ Q dan Q ⊂ R. Misalkan p ∈ P, q ∈ Q, r ∈ R danjuga t 6∈ P, u 6∈ Q, v 6∈ R. Mana diantara pernyataan berikutyang benar?
1 p ∈ R2 q 6∈ P3 u ∈ R4 v 6∈ Q5 {p, q} ⊂ R6 {t , u} ⊂ R7 P ⊂ R8 t 6∈ R
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Relasi Himpunan
Exercise
Diketahui P ⊂ Q dan Q ⊂ R. Misalkan p ∈ P, q ∈ Q, r ∈ R danjuga t 6∈ P, u 6∈ Q, v 6∈ R. Mana diantara pernyataan berikutyang benar?
1 p ∈ R2 q 6∈ P3 u ∈ R4 v 6∈ Q5 {p, q} ⊂ R6 {t , u} ⊂ R7 P ⊂ R8 t 6∈ R
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Relasi Himpunan
Exercise
Diketahui P ⊂ Q dan Q ⊂ R. Misalkan p ∈ P, q ∈ Q, r ∈ R danjuga t 6∈ P, u 6∈ Q, v 6∈ R. Mana diantara pernyataan berikutyang benar?
1 p ∈ R2 q 6∈ P3 u ∈ R4 v 6∈ Q5 {p, q} ⊂ R6 {t , u} ⊂ R7 P ⊂ R8 t 6∈ R
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Operasi Himpunan
Gabungan
Gabungan himpunan A dan B (dinotasikan A ∪ B) adalahhimpunan semua elemen A atau semua elemen B atau elemenkeduanya. Secara notasi operasi gabungan dapat ditulis
A ∪ B = {x |x ∈ A ∨ x ∈ B}
1 Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d , e, f} makaP ∪Q = {a, b, c, d , e, f}
2 A ∪ B dan B ∪ A merupakan dua himpunan yang sama.Buktikan!
3 Kedua himpunan A dan B masing-masing merupakanhimpunan bagian pada A ∪ B. Buktikan!
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Operasi Himpunan
Gabungan
Gabungan himpunan A dan B (dinotasikan A ∪ B) adalahhimpunan semua elemen A atau semua elemen B atau elemenkeduanya. Secara notasi operasi gabungan dapat ditulis
A ∪ B = {x |x ∈ A ∨ x ∈ B}
1 Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d , e, f} makaP ∪Q = {a, b, c, d , e, f}
2 A ∪ B dan B ∪ A merupakan dua himpunan yang sama.Buktikan!
3 Kedua himpunan A dan B masing-masing merupakanhimpunan bagian pada A ∪ B. Buktikan!
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Operasi Himpunan
Gabungan
Gabungan himpunan A dan B (dinotasikan A ∪ B) adalahhimpunan semua elemen A atau semua elemen B atau elemenkeduanya. Secara notasi operasi gabungan dapat ditulis
A ∪ B = {x |x ∈ A ∨ x ∈ B}
1 Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d , e, f} makaP ∪Q = {a, b, c, d , e, f}
2 A ∪ B dan B ∪ A merupakan dua himpunan yang sama.Buktikan!
3 Kedua himpunan A dan B masing-masing merupakanhimpunan bagian pada A ∪ B. Buktikan!
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Operasi Himpunan
Gabungan
Gabungan himpunan A dan B (dinotasikan A ∪ B) adalahhimpunan semua elemen A atau semua elemen B atau elemenkeduanya. Secara notasi operasi gabungan dapat ditulis
A ∪ B = {x |x ∈ A ∨ x ∈ B}
1 Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d , e, f} makaP ∪Q = {a, b, c, d , e, f}
2 A ∪ B dan B ∪ A merupakan dua himpunan yang sama.Buktikan!
3 Kedua himpunan A dan B masing-masing merupakanhimpunan bagian pada A ∪ B. Buktikan!
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Operasi Himpunan
Gabungan
Gabungan himpunan A dan B (dinotasikan A ∪ B) adalahhimpunan semua elemen A atau semua elemen B atau elemenkeduanya. Secara notasi operasi gabungan dapat ditulis
A ∪ B = {x |x ∈ A ∨ x ∈ B}
1 Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d , e, f} makaP ∪Q = {a, b, c, d , e, f}
2 A ∪ B dan B ∪ A merupakan dua himpunan yang sama.Buktikan!
3 Kedua himpunan A dan B masing-masing merupakanhimpunan bagian pada A ∪ B. Buktikan!
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Operasi Himpunan
Irisan
Irisan himpunan A dan B (dinotasikan A ∩ B) adalah himpunansemua elemen persekutuan dari himpunan A dan B. Secaranotasi operasi irisan dapat ditulis
A ∩ B = {x |x ∈ A ∧ x ∈ B}
1 Jika P = {a, b, c} dan Q = {1, 2} maka P ∩Q = φ
2 Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d , e, f} makaP ∩Q = {c, d}
3 A ∩ B dan B ∩ A merupakan dua himpunan yang sama.Buktikan!
4 Kedua himpunan A dan B masing-masing memuat A ∩ B.Buktikan!
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Operasi Himpunan
Irisan
Irisan himpunan A dan B (dinotasikan A ∩ B) adalah himpunansemua elemen persekutuan dari himpunan A dan B. Secaranotasi operasi irisan dapat ditulis
A ∩ B = {x |x ∈ A ∧ x ∈ B}
1 Jika P = {a, b, c} dan Q = {1, 2} maka P ∩Q = φ
2 Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d , e, f} makaP ∩Q = {c, d}
3 A ∩ B dan B ∩ A merupakan dua himpunan yang sama.Buktikan!
4 Kedua himpunan A dan B masing-masing memuat A ∩ B.Buktikan!
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Operasi Himpunan
Irisan
Irisan himpunan A dan B (dinotasikan A ∩ B) adalah himpunansemua elemen persekutuan dari himpunan A dan B. Secaranotasi operasi irisan dapat ditulis
A ∩ B = {x |x ∈ A ∧ x ∈ B}
1 Jika P = {a, b, c} dan Q = {1, 2} maka P ∩Q = φ
2 Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d , e, f} makaP ∩Q = {c, d}
3 A ∩ B dan B ∩ A merupakan dua himpunan yang sama.Buktikan!
4 Kedua himpunan A dan B masing-masing memuat A ∩ B.Buktikan!
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Operasi Himpunan
Irisan
Irisan himpunan A dan B (dinotasikan A ∩ B) adalah himpunansemua elemen persekutuan dari himpunan A dan B. Secaranotasi operasi irisan dapat ditulis
A ∩ B = {x |x ∈ A ∧ x ∈ B}
1 Jika P = {a, b, c} dan Q = {1, 2} maka P ∩Q = φ
2 Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d , e, f} makaP ∩Q = {c, d}
3 A ∩ B dan B ∩ A merupakan dua himpunan yang sama.Buktikan!
4 Kedua himpunan A dan B masing-masing memuat A ∩ B.Buktikan!
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Operasi Himpunan
Irisan
Irisan himpunan A dan B (dinotasikan A ∩ B) adalah himpunansemua elemen persekutuan dari himpunan A dan B. Secaranotasi operasi irisan dapat ditulis
A ∩ B = {x |x ∈ A ∧ x ∈ B}
1 Jika P = {a, b, c} dan Q = {1, 2} maka P ∩Q = φ
2 Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d , e, f} makaP ∩Q = {c, d}
3 A ∩ B dan B ∩ A merupakan dua himpunan yang sama.Buktikan!
4 Kedua himpunan A dan B masing-masing memuat A ∩ B.Buktikan!
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Operasi Himpunan
Irisan
Irisan himpunan A dan B (dinotasikan A ∩ B) adalah himpunansemua elemen persekutuan dari himpunan A dan B. Secaranotasi operasi irisan dapat ditulis
A ∩ B = {x |x ∈ A ∧ x ∈ B}
1 Jika P = {a, b, c} dan Q = {1, 2} maka P ∩Q = φ
2 Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d , e, f} makaP ∩Q = {c, d}
3 A ∩ B dan B ∩ A merupakan dua himpunan yang sama.Buktikan!
4 Kedua himpunan A dan B masing-masing memuat A ∩ B.Buktikan!
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Operasi Himpunan
Komplemen
Komplemen suatu himpunan A (dinotasikan A1 atau Ac) adalahhimpunan semua elemen dalam semesta pembicaraan tetapibukan elemen A. Secara notasi operasi komplemen dapatditulis
Ac = {x |x ∈ S ∧ x 6∈ A}
Contoh1 Jika P = {a, b, c} dan S = {a, b, c, d , e, f , g, h} maka
Pc = {d , e, f , g, h}2 A ∪ Ac = S dan A ∩ Ac = φ
3 Sc = φ dan φc = S4 (Ac)c = A.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Operasi Himpunan
Komplemen
Komplemen suatu himpunan A (dinotasikan A1 atau Ac) adalahhimpunan semua elemen dalam semesta pembicaraan tetapibukan elemen A. Secara notasi operasi komplemen dapatditulis
Ac = {x |x ∈ S ∧ x 6∈ A}
Contoh1 Jika P = {a, b, c} dan S = {a, b, c, d , e, f , g, h} maka
Pc = {d , e, f , g, h}2 A ∪ Ac = S dan A ∩ Ac = φ
3 Sc = φ dan φc = S4 (Ac)c = A.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Operasi Himpunan
Komplemen
Komplemen suatu himpunan A (dinotasikan A1 atau Ac) adalahhimpunan semua elemen dalam semesta pembicaraan tetapibukan elemen A. Secara notasi operasi komplemen dapatditulis
Ac = {x |x ∈ S ∧ x 6∈ A}
Contoh1 Jika P = {a, b, c} dan S = {a, b, c, d , e, f , g, h} maka
Pc = {d , e, f , g, h}2 A ∪ Ac = S dan A ∩ Ac = φ
3 Sc = φ dan φc = S4 (Ac)c = A.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Operasi Himpunan
Komplemen
Komplemen suatu himpunan A (dinotasikan A1 atau Ac) adalahhimpunan semua elemen dalam semesta pembicaraan tetapibukan elemen A. Secara notasi operasi komplemen dapatditulis
Ac = {x |x ∈ S ∧ x 6∈ A}
Contoh1 Jika P = {a, b, c} dan S = {a, b, c, d , e, f , g, h} maka
Pc = {d , e, f , g, h}2 A ∪ Ac = S dan A ∩ Ac = φ
3 Sc = φ dan φc = S4 (Ac)c = A.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Operasi Himpunan
Komplemen
Komplemen suatu himpunan A (dinotasikan A1 atau Ac) adalahhimpunan semua elemen dalam semesta pembicaraan tetapibukan elemen A. Secara notasi operasi komplemen dapatditulis
Ac = {x |x ∈ S ∧ x 6∈ A}
Contoh1 Jika P = {a, b, c} dan S = {a, b, c, d , e, f , g, h} maka
Pc = {d , e, f , g, h}2 A ∪ Ac = S dan A ∩ Ac = φ
3 Sc = φ dan φc = S4 (Ac)c = A.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Operasi Himpunan
Komplemen
Komplemen suatu himpunan A (dinotasikan A1 atau Ac) adalahhimpunan semua elemen dalam semesta pembicaraan tetapibukan elemen A. Secara notasi operasi komplemen dapatditulis
Ac = {x |x ∈ S ∧ x 6∈ A}
Contoh1 Jika P = {a, b, c} dan S = {a, b, c, d , e, f , g, h} maka
Pc = {d , e, f , g, h}2 A ∪ Ac = S dan A ∩ Ac = φ
3 Sc = φ dan φc = S4 (Ac)c = A.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Operasi Himpunan
Selisih
Selisih himpunan A dan B (dinotasikan A− B) adalahhimpunan semua elemen A yang bukan elemen B. Secaranotasi operasi selisih dapat ditulis
A− B = {x |x ∈ A ∧ x 6∈ B}
Contoh1 Jika P = {a, b, c} dan Q = {1, 2} maka P −Q = P2 Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d , e, f} maka
P −Q = {a, b}3 A− B dan A ∩ Bc merupakan dua himpunan yang sama.
Buktikan!
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Operasi Himpunan
Selisih
Selisih himpunan A dan B (dinotasikan A− B) adalahhimpunan semua elemen A yang bukan elemen B. Secaranotasi operasi selisih dapat ditulis
A− B = {x |x ∈ A ∧ x 6∈ B}
Contoh1 Jika P = {a, b, c} dan Q = {1, 2} maka P −Q = P2 Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d , e, f} maka
P −Q = {a, b}3 A− B dan A ∩ Bc merupakan dua himpunan yang sama.
Buktikan!
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Operasi Himpunan
Selisih
Selisih himpunan A dan B (dinotasikan A− B) adalahhimpunan semua elemen A yang bukan elemen B. Secaranotasi operasi selisih dapat ditulis
A− B = {x |x ∈ A ∧ x 6∈ B}
Contoh1 Jika P = {a, b, c} dan Q = {1, 2} maka P −Q = P2 Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d , e, f} maka
P −Q = {a, b}3 A− B dan A ∩ Bc merupakan dua himpunan yang sama.
Buktikan!
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Operasi Himpunan
Selisih
Selisih himpunan A dan B (dinotasikan A− B) adalahhimpunan semua elemen A yang bukan elemen B. Secaranotasi operasi selisih dapat ditulis
A− B = {x |x ∈ A ∧ x 6∈ B}
Contoh1 Jika P = {a, b, c} dan Q = {1, 2} maka P −Q = P2 Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d , e, f} maka
P −Q = {a, b}3 A− B dan A ∩ Bc merupakan dua himpunan yang sama.
Buktikan!
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Operasi Himpunan
Selisih
Selisih himpunan A dan B (dinotasikan A− B) adalahhimpunan semua elemen A yang bukan elemen B. Secaranotasi operasi selisih dapat ditulis
A− B = {x |x ∈ A ∧ x 6∈ B}
Contoh1 Jika P = {a, b, c} dan Q = {1, 2} maka P −Q = P2 Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d , e, f} maka
P −Q = {a, b}3 A− B dan A ∩ Bc merupakan dua himpunan yang sama.
Buktikan!
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Operasi Himpunan
Jumlah
Jumlah himpunan A dan B (dinotasikan A + B) adalahhimpunan semua elemen A atau semua elemen B tetapi bukanelemen keduanya. Secara notasi operasi jumlah dapat ditulis
A + B = {x |(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x 6∈ A ∩ B)}
1 Jika A = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan B = {x |x2 − 4 = 0}maka A + B = {−2, 6}
2 P = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan Q = {1, 3, 5} makaP + Q = {1, 2, 3, 5, 6}.
3 Himpunan N = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan M = {2, 6} makaM + N = φ.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Operasi Himpunan
Jumlah
Jumlah himpunan A dan B (dinotasikan A + B) adalahhimpunan semua elemen A atau semua elemen B tetapi bukanelemen keduanya. Secara notasi operasi jumlah dapat ditulis
A + B = {x |(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x 6∈ A ∩ B)}
1 Jika A = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan B = {x |x2 − 4 = 0}maka A + B = {−2, 6}
2 P = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan Q = {1, 3, 5} makaP + Q = {1, 2, 3, 5, 6}.
3 Himpunan N = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan M = {2, 6} makaM + N = φ.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Operasi Himpunan
Jumlah
Jumlah himpunan A dan B (dinotasikan A + B) adalahhimpunan semua elemen A atau semua elemen B tetapi bukanelemen keduanya. Secara notasi operasi jumlah dapat ditulis
A + B = {x |(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x 6∈ A ∩ B)}
1 Jika A = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan B = {x |x2 − 4 = 0}maka A + B = {−2, 6}
2 P = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan Q = {1, 3, 5} makaP + Q = {1, 2, 3, 5, 6}.
3 Himpunan N = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan M = {2, 6} makaM + N = φ.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Operasi Himpunan
Jumlah
Jumlah himpunan A dan B (dinotasikan A + B) adalahhimpunan semua elemen A atau semua elemen B tetapi bukanelemen keduanya. Secara notasi operasi jumlah dapat ditulis
A + B = {x |(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x 6∈ A ∩ B)}
1 Jika A = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan B = {x |x2 − 4 = 0}maka A + B = {−2, 6}
2 P = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan Q = {1, 3, 5} makaP + Q = {1, 2, 3, 5, 6}.
3 Himpunan N = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan M = {2, 6} makaM + N = φ.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Operasi Himpunan
Jumlah
Jumlah himpunan A dan B (dinotasikan A + B) adalahhimpunan semua elemen A atau semua elemen B tetapi bukanelemen keduanya. Secara notasi operasi jumlah dapat ditulis
A + B = {x |(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x 6∈ A ∩ B)}
1 Jika A = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan B = {x |x2 − 4 = 0}maka A + B = {−2, 6}
2 P = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan Q = {1, 3, 5} makaP + Q = {1, 2, 3, 5, 6}.
3 Himpunan N = {x |x2 − 8x + 12 = 0} dan M = {2, 6} makaM + N = φ.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Diagram Venn
Diagram Venn
Cara yang efektif menggambarkan relasi atau operasi antarbeberapa himpunan adalah dengan menggunakan diagramVenn
Misalnya himpunan semestanya adalah S = {1, 2, 3, ..., 10}.Misalkan pula A = {2, 4, 7, 9}, B = {1, 4, 6, 7, 10}, danC = {3, 5, 7, 9}. Tentukan:
1 A ∪ B2 A ∩ C3 B ∩ C4 (A ∩ B) ∪ C5 B ∪ C ∩ C
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Diagram Venn
Diagram Venn
Cara yang efektif menggambarkan relasi atau operasi antarbeberapa himpunan adalah dengan menggunakan diagramVenn
Misalnya himpunan semestanya adalah S = {1, 2, 3, ..., 10}.Misalkan pula A = {2, 4, 7, 9}, B = {1, 4, 6, 7, 10}, danC = {3, 5, 7, 9}. Tentukan:
1 A ∪ B2 A ∩ C3 B ∩ C4 (A ∩ B) ∪ C5 B ∪ C ∩ C
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Diagram Venn
Diagram Venn
Cara yang efektif menggambarkan relasi atau operasi antarbeberapa himpunan adalah dengan menggunakan diagramVenn
Misalnya himpunan semestanya adalah S = {1, 2, 3, ..., 10}.Misalkan pula A = {2, 4, 7, 9}, B = {1, 4, 6, 7, 10}, danC = {3, 5, 7, 9}. Tentukan:
1 A ∪ B2 A ∩ C3 B ∩ C4 (A ∩ B) ∪ C5 B ∪ C ∩ C
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Diagram Venn
Diagram Venn
Cara yang efektif menggambarkan relasi atau operasi antarbeberapa himpunan adalah dengan menggunakan diagramVenn
Misalnya himpunan semestanya adalah S = {1, 2, 3, ..., 10}.Misalkan pula A = {2, 4, 7, 9}, B = {1, 4, 6, 7, 10}, danC = {3, 5, 7, 9}. Tentukan:
1 A ∪ B2 A ∩ C3 B ∩ C4 (A ∩ B) ∪ C5 B ∪ C ∩ C
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Diagram Venn
Diagram Venn
Cara yang efektif menggambarkan relasi atau operasi antarbeberapa himpunan adalah dengan menggunakan diagramVenn
Misalnya himpunan semestanya adalah S = {1, 2, 3, ..., 10}.Misalkan pula A = {2, 4, 7, 9}, B = {1, 4, 6, 7, 10}, danC = {3, 5, 7, 9}. Tentukan:
1 A ∪ B2 A ∩ C3 B ∩ C4 (A ∩ B) ∪ C5 B ∪ C ∩ C
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Diagram Venn
Diagram Venn
Cara yang efektif menggambarkan relasi atau operasi antarbeberapa himpunan adalah dengan menggunakan diagramVenn
Misalnya himpunan semestanya adalah S = {1, 2, 3, ..., 10}.Misalkan pula A = {2, 4, 7, 9}, B = {1, 4, 6, 7, 10}, danC = {3, 5, 7, 9}. Tentukan:
1 A ∪ B2 A ∩ C3 B ∩ C4 (A ∩ B) ∪ C5 B ∪ C ∩ C
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Diagram Venn
Diagram Venn
Cara yang efektif menggambarkan relasi atau operasi antarbeberapa himpunan adalah dengan menggunakan diagramVenn
Misalnya himpunan semestanya adalah S = {1, 2, 3, ..., 10}.Misalkan pula A = {2, 4, 7, 9}, B = {1, 4, 6, 7, 10}, danC = {3, 5, 7, 9}. Tentukan:
1 A ∪ B2 A ∩ C3 B ∩ C4 (A ∩ B) ∪ C5 B ∪ C ∩ C
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Diagram Venn
Hukum-hukum operasi himpunan
A ∩ A = A A ∪ A = AA ∩ B = B ∩ A A ∪ B = B ∪ AA ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ CA ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ B = A ∪ B A ∪ B = A ∩ BA ∩ S = A A ∪ φ = AA ∩ φ = φ A ∪ S = SA ∩ A = φ A ∪ A = SA ∩ (A ∪ B) = A A ∪ (A ∩ B) = A
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Diagram Venn
Misalkan A dan B dua himpunan yang berpotongan, n(A) = a,n(B) = b, dan n(A ∩ B) = x , maka
n(A ∪ B) = n(A− B) + n(B − A) + n(A ∩ B)= (a− x) + (b − x) + x= a + b − x= n(A) + n(B)− n(A ∩ B)
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Diagram Venn
Persoalan
Di sebuah warung makan datang 100 tamu. 65 tamu memesanpecel, 58 tamu memesan soto, dan semua tamu memesanpaling sedikit satu soto atau pecel.a. Berapa tamu yang memesan pecel atau soto?b. Berapa tamu yang memesan pecel dan soto?c. Berapa tamu yang memesan pecel saja?d. Berapa tamu yang memesan soto saja?
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Diagram Venn
Pengembangan
Persoalan ini dapat dikembangkan untuk kasus yangmelibatkan tiga himpunan A, B, C. Jika n(A) = a, n(B) = b,n(C) = c, n(A ∩ B) = x , n(B ∩ C) = y , n(A ∩ C) = z, dann(A ∩ B ∩ C) = p, coba anda hitung n(A ∪ B ∪ C)!
Dari 75 mahasiswa yang tinggal di sebuah asrama, 47 orangmemiliki radio, 18 orang memiliki tv, 39 orang memiliki tape, 10orang memiliki radio dan tv, 12 orang memiliki tv dan tape, 30orang memiliki radio dan tape, dan 6 orang memiliki ketiganya.a. Berapa yang hanya memiliki tape?b. Berapa yang tidak memiliki satupun?c. Berapa yang memiliki radio dan tv tapi tidak memiliki tape?d. Berapa yang hanya memiliki satu macam saja?
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Diagram Venn
Pengembangan
Persoalan ini dapat dikembangkan untuk kasus yangmelibatkan tiga himpunan A, B, C. Jika n(A) = a, n(B) = b,n(C) = c, n(A ∩ B) = x , n(B ∩ C) = y , n(A ∩ C) = z, dann(A ∩ B ∩ C) = p, coba anda hitung n(A ∪ B ∪ C)!
Dari 75 mahasiswa yang tinggal di sebuah asrama, 47 orangmemiliki radio, 18 orang memiliki tv, 39 orang memiliki tape, 10orang memiliki radio dan tv, 12 orang memiliki tv dan tape, 30orang memiliki radio dan tape, dan 6 orang memiliki ketiganya.a. Berapa yang hanya memiliki tape?b. Berapa yang tidak memiliki satupun?c. Berapa yang memiliki radio dan tv tapi tidak memiliki tape?d. Berapa yang hanya memiliki satu macam saja?
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Diagram Venn
Buktikan1 A ⊂ (A ∪ B)
2 Jika A ∪ B = φ maka A = φ dan B = φ.3 (A ∩ B) ⊂ A4 A ⊂ B jika hanya jika (A ∪ B) = B5 (A− B) ⊂ A6 (A− B) ∩ B = φ
7 M ⊂ N jika hanya jika M − N = φ
8 M = N jika hanya jika M − N = φ dan N −M = φ
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Diagram Venn
Buktikan1 A ⊂ (A ∪ B)
2 Jika A ∪ B = φ maka A = φ dan B = φ.3 (A ∩ B) ⊂ A4 A ⊂ B jika hanya jika (A ∪ B) = B5 (A− B) ⊂ A6 (A− B) ∩ B = φ
7 M ⊂ N jika hanya jika M − N = φ
8 M = N jika hanya jika M − N = φ dan N −M = φ
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Diagram Venn
Buktikan1 A ⊂ (A ∪ B)
2 Jika A ∪ B = φ maka A = φ dan B = φ.3 (A ∩ B) ⊂ A4 A ⊂ B jika hanya jika (A ∪ B) = B5 (A− B) ⊂ A6 (A− B) ∩ B = φ
7 M ⊂ N jika hanya jika M − N = φ
8 M = N jika hanya jika M − N = φ dan N −M = φ
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Diagram Venn
Buktikan1 A ⊂ (A ∪ B)
2 Jika A ∪ B = φ maka A = φ dan B = φ.3 (A ∩ B) ⊂ A4 A ⊂ B jika hanya jika (A ∪ B) = B5 (A− B) ⊂ A6 (A− B) ∩ B = φ
7 M ⊂ N jika hanya jika M − N = φ
8 M = N jika hanya jika M − N = φ dan N −M = φ
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Diagram Venn
Buktikan1 A ⊂ (A ∪ B)
2 Jika A ∪ B = φ maka A = φ dan B = φ.3 (A ∩ B) ⊂ A4 A ⊂ B jika hanya jika (A ∪ B) = B5 (A− B) ⊂ A6 (A− B) ∩ B = φ
7 M ⊂ N jika hanya jika M − N = φ
8 M = N jika hanya jika M − N = φ dan N −M = φ
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Diagram Venn
Buktikan1 A ⊂ (A ∪ B)
2 Jika A ∪ B = φ maka A = φ dan B = φ.3 (A ∩ B) ⊂ A4 A ⊂ B jika hanya jika (A ∪ B) = B5 (A− B) ⊂ A6 (A− B) ∩ B = φ
7 M ⊂ N jika hanya jika M − N = φ
8 M = N jika hanya jika M − N = φ dan N −M = φ
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Diagram Venn
Buktikan1 A ⊂ (A ∪ B)
2 Jika A ∪ B = φ maka A = φ dan B = φ.3 (A ∩ B) ⊂ A4 A ⊂ B jika hanya jika (A ∪ B) = B5 (A− B) ⊂ A6 (A− B) ∩ B = φ
7 M ⊂ N jika hanya jika M − N = φ
8 M = N jika hanya jika M − N = φ dan N −M = φ
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Diagram Venn
Buktikan1 A ⊂ (A ∪ B)
2 Jika A ∪ B = φ maka A = φ dan B = φ.3 (A ∩ B) ⊂ A4 A ⊂ B jika hanya jika (A ∪ B) = B5 (A− B) ⊂ A6 (A− B) ∩ B = φ
7 M ⊂ N jika hanya jika M − N = φ
8 M = N jika hanya jika M − N = φ dan N −M = φ
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
Relasi HimpunanOperasi HimpunanDiagram Venn
Diagram Venn
Buktikan1 A ⊂ (A ∪ B)
2 Jika A ∪ B = φ maka A = φ dan B = φ.3 (A ∩ B) ⊂ A4 A ⊂ B jika hanya jika (A ∪ B) = B5 (A− B) ⊂ A6 (A− B) ∩ B = φ
7 M ⊂ N jika hanya jika M − N = φ
8 M = N jika hanya jika M − N = φ dan N −M = φ
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Kardinalitas
Definisi
Kardinalitas (atau bilangan kardinal) dari sebuah himpunanadalah banyaknya elemen dalam himpunan tersebut.Kardinalitas himpunan A dinotasikan |A|
Contoh
Jika A = {e, f , g, h} maka |A| = 4
Jika N = {x |x2 − 8x + 12 = 0} maka |N| = 2
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Kardinalitas
Definisi
Kardinalitas (atau bilangan kardinal) dari sebuah himpunanadalah banyaknya elemen dalam himpunan tersebut.Kardinalitas himpunan A dinotasikan |A|
Contoh
Jika A = {e, f , g, h} maka |A| = 4
Jika N = {x |x2 − 8x + 12 = 0} maka |N| = 2
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Kardinalitas
Definisi
Kardinalitas (atau bilangan kardinal) dari sebuah himpunanadalah banyaknya elemen dalam himpunan tersebut.Kardinalitas himpunan A dinotasikan |A|
Contoh
Jika A = {e, f , g, h} maka |A| = 4
Jika N = {x |x2 − 8x + 12 = 0} maka |N| = 2
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Kardinalitas
Definisi
Kardinalitas (atau bilangan kardinal) dari sebuah himpunanadalah banyaknya elemen dalam himpunan tersebut.Kardinalitas himpunan A dinotasikan |A|
Contoh
Jika A = {e, f , g, h} maka |A| = 4
Jika N = {x |x2 − 8x + 12 = 0} maka |N| = 2
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Kardinalitas
Power Set
Misalkan A adalah sebuah himpunan. Power set (himpunankuasa) dari himpunan A adalah himpunan semua subset dariA, dan dinotasikan P(A)
Contoh
Misalkan S = {a, b, c}, maka P(A) = { φ, {a}, {b}, {c}, {a, b},{a, c}, {b, c}, {a, b, c} }.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Kardinalitas
Power Set
Misalkan A adalah sebuah himpunan. Power set (himpunankuasa) dari himpunan A adalah himpunan semua subset dariA, dan dinotasikan P(A)
Contoh
Misalkan S = {a, b, c}, maka P(A) = { φ, {a}, {b}, {c}, {a, b},{a, c}, {b, c}, {a, b, c} }.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Kardinalitas
Teorema
Misalkan A adalah sebuah himpunan dengan n elemen. MakaA memiliki 2n subset.
Bukti
Misalkan A = {x1, x2, ..., xn}. Untuk menyusun sebuah subset Bpada A kita dapat melaksanakan dengan melihat setiap elemendari A secara berurutan dan memutuskan apakah elementtersebut merupakan anggota atau bukan anggota dari B. Ada 2kemungkinan untuk suatu elemen xi , apakah xi ∈ B ataukahxi 6∈ B. Indeks i bergerak dari 1 hingga n, sehingga total subsetyang terbentuk adalah
2× 2× 2× ...× 2 = 2n
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Kardinalitas
Teorema
Misalkan A adalah sebuah himpunan dengan n elemen. MakaA memiliki 2n subset.
Bukti
Misalkan A = {x1, x2, ..., xn}. Untuk menyusun sebuah subset Bpada A kita dapat melaksanakan dengan melihat setiap elemendari A secara berurutan dan memutuskan apakah elementtersebut merupakan anggota atau bukan anggota dari B. Ada 2kemungkinan untuk suatu elemen xi , apakah xi ∈ B ataukahxi 6∈ B. Indeks i bergerak dari 1 hingga n, sehingga total subsetyang terbentuk adalah
2× 2× 2× ...× 2 = 2n
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Produk Kartesius
Definisi
Produk Kartesius dari dua himpunan A dan B didefinisikansebagai
A× B = {(x , y)|x ∈ A, y ∈ B}
More generally
Produk Kartesius dari n himpunan A1, A2, ..., An didefinisikansebagai
A1 × A2 × ...× An = {(x1, x2, ..., xn)|∀i ∈ {1, 2, ..., n}, xi ∈ Ai}
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Produk Kartesius
Definisi
Produk Kartesius dari dua himpunan A dan B didefinisikansebagai
A× B = {(x , y)|x ∈ A, y ∈ B}
More generally
Produk Kartesius dari n himpunan A1, A2, ..., An didefinisikansebagai
A1 × A2 × ...× An = {(x1, x2, ..., xn)|∀i ∈ {1, 2, ..., n}, xi ∈ Ai}
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Produk Kartesius
Produk Kartesius dan Komputasi
Produk Kartesius muncul dalam komputasi saat kita berurusandengan strings dari karakter-karakter yang didefinisikanberdasarkan aturan tertentu
Misalnya
Pada beberapa komputer, kode pengguna yangmengidentifikasi seorang pengguna yang terdaftar harusberisikan 3 huruf, diikuti 3 digit angka, dan diakhiri dengansebuah huruf. Misalnya XYZ123A.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Produk Kartesius
Produk Kartesius dan Komputasi
Produk Kartesius muncul dalam komputasi saat kita berurusandengan strings dari karakter-karakter yang didefinisikanberdasarkan aturan tertentu
Misalnya
Pada beberapa komputer, kode pengguna yangmengidentifikasi seorang pengguna yang terdaftar harusberisikan 3 huruf, diikuti 3 digit angka, dan diakhiri dengansebuah huruf. Misalnya XYZ123A.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Produk Kartesius
Jika
L adalah himpunan semua huruf dan D adalah himpunansemua digit angka, maka himpunan semua kode penggunayang valid adalah
L× L× L× D × D × D × L
Kode pengguna
XYZ123A berkorespondensi dengan elemen(X , Y , Z , 1, 2, 3, A) dalam himpunan L× L× L×D ×D ×D × L.
Catatan
Perbedaan penulisan XYZ123A dengan (X , Y , Z , 1, 2, 3, A)hanya pada notasi saja dan bukan secara prinsip.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Produk Kartesius
Jika
L adalah himpunan semua huruf dan D adalah himpunansemua digit angka, maka himpunan semua kode penggunayang valid adalah
L× L× L× D × D × D × L
Kode pengguna
XYZ123A berkorespondensi dengan elemen(X , Y , Z , 1, 2, 3, A) dalam himpunan L× L× L×D ×D ×D × L.
Catatan
Perbedaan penulisan XYZ123A dengan (X , Y , Z , 1, 2, 3, A)hanya pada notasi saja dan bukan secara prinsip.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Produk Kartesius
Jika
L adalah himpunan semua huruf dan D adalah himpunansemua digit angka, maka himpunan semua kode penggunayang valid adalah
L× L× L× D × D × D × L
Kode pengguna
XYZ123A berkorespondensi dengan elemen(X , Y , Z , 1, 2, 3, A) dalam himpunan L× L× L×D ×D ×D × L.
Catatan
Perbedaan penulisan XYZ123A dengan (X , Y , Z , 1, 2, 3, A)hanya pada notasi saja dan bukan secara prinsip.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Produk Kartesius
Kadang kita perlu membentuk produk Kartesius dari sebuahhimpunan dengan dirinya sendiri. Jika A sebuah himpunan,maka produk Kartesius A× A× ...× A (sebanyak n kali)dinotasikan An
An = {(x1, x2, ..., xn)|∀i ∈ {1, 2, ..., n}(xi ∈ A)}
Contoh 1:
R2 = {(x , y)|x , y ∈ R}
Contoh 2
Terkait dengan produk Kartesius {0, 1}n. Elemen(1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1) ∈ {0, 1}8. Kita dapat memandang {0, 1}n
sebagai himpunan semua string n bits.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Produk Kartesius
Kadang kita perlu membentuk produk Kartesius dari sebuahhimpunan dengan dirinya sendiri. Jika A sebuah himpunan,maka produk Kartesius A× A× ...× A (sebanyak n kali)dinotasikan An
An = {(x1, x2, ..., xn)|∀i ∈ {1, 2, ..., n}(xi ∈ A)}
Contoh 1:
R2 = {(x , y)|x , y ∈ R}
Contoh 2
Terkait dengan produk Kartesius {0, 1}n. Elemen(1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1) ∈ {0, 1}8. Kita dapat memandang {0, 1}n
sebagai himpunan semua string n bits.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Produk Kartesius
Kadang kita perlu membentuk produk Kartesius dari sebuahhimpunan dengan dirinya sendiri. Jika A sebuah himpunan,maka produk Kartesius A× A× ...× A (sebanyak n kali)dinotasikan An
An = {(x1, x2, ..., xn)|∀i ∈ {1, 2, ..., n}(xi ∈ A)}
Contoh 1:
R2 = {(x , y)|x , y ∈ R}
Contoh 2
Terkait dengan produk Kartesius {0, 1}n. Elemen(1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1) ∈ {0, 1}8. Kita dapat memandang {0, 1}n
sebagai himpunan semua string n bits.
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Representasi Komputer untuk Himpunan
Pengantar
Beberapa bahasa pemrograman, seperti Pascal,memungkinkan himpunan-himpunan direkam dalam lingkungantipe data tertentu, dimana elemen-elemen dari himpunantersebut masuk dalam salah satu tipe data yang disediakandalam bahasa tersebut, seperti integers atau characters.
Pertanyaannya:
Bagaimana himpunan-himpunan disimpan dan dimanipulasidalam sebuah komputer?
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Representasi Komputer untuk Himpunan
Pengantar
Beberapa bahasa pemrograman, seperti Pascal,memungkinkan himpunan-himpunan direkam dalam lingkungantipe data tertentu, dimana elemen-elemen dari himpunantersebut masuk dalam salah satu tipe data yang disediakandalam bahasa tersebut, seperti integers atau characters.
Pertanyaannya:
Bagaimana himpunan-himpunan disimpan dan dimanipulasidalam sebuah komputer?
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Representasi Komputer untuk Himpunan
Sebuah himpunan
selalu didefinisikan dalam sebuah program dengan mengacupada sebuah himpunan semesta S. Dalam konteks ini adasuatu perkecualian terhadap aturan yang secara umummenyebutkan bahwa urutan elemen suatu himpunan tidakrelevan, karena perlu diasumsikan bahwa elemen-elemen darihimpunan semesta didaftar menurut urutan tertentu.
Setiap himpunan A
yang muncul dalam program dan didefinisikan denganmengacu pada himpunan semesta S merupakan subhimpunan pada S. Lalu bagaimana komputer menyimpan Asecara internal?
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Representasi Komputer untuk Himpunan
Sebuah himpunan
selalu didefinisikan dalam sebuah program dengan mengacupada sebuah himpunan semesta S. Dalam konteks ini adasuatu perkecualian terhadap aturan yang secara umummenyebutkan bahwa urutan elemen suatu himpunan tidakrelevan, karena perlu diasumsikan bahwa elemen-elemen darihimpunan semesta didaftar menurut urutan tertentu.
Setiap himpunan A
yang muncul dalam program dan didefinisikan denganmengacu pada himpunan semesta S merupakan subhimpunan pada S. Lalu bagaimana komputer menyimpan Asecara internal?
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Representasi Komputer untuk Himpunan
The answer:
A direpresentasikan dengan sebuah string n bits, b1b2...bn,dimana n adalah bilangan kardinal dari S. Bit string b1b2...bn
dapat dipandang sebagai elemen (b1, b2, ..., bn) dalam {0, 1}n.Bit tersebut ditentukan berdasarkan aturan:
bi = 1 jika elemen ke-i dari S berada dalam Abi = 0 jika elemen ke-i dari S tidak berada dalam A
dengan i bergerak dalam {1, 2, ..., n}
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Representasi Komputer untuk Himpunan
Contoh
Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}1 Tentukan representasi dari {2, 3, 5, 7} sebagai sebuah bit
string!2 Carilah himpunan yang direpresentasikan oleh bit string
1001011011!
Jawab:1 representasi bit string dari {2, 3, 5, 7} adalah 01101010002 himpunan yang direpresentasikan oleh 1001011011
adalah {1, 4, 6, 7, 9, 10}
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Representasi Komputer untuk Himpunan
Contoh
Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}1 Tentukan representasi dari {2, 3, 5, 7} sebagai sebuah bit
string!2 Carilah himpunan yang direpresentasikan oleh bit string
1001011011!
Jawab:1 representasi bit string dari {2, 3, 5, 7} adalah 01101010002 himpunan yang direpresentasikan oleh 1001011011
adalah {1, 4, 6, 7, 9, 10}
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Representasi Komputer untuk Himpunan
Contoh
Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}1 Tentukan representasi dari {2, 3, 5, 7} sebagai sebuah bit
string!2 Carilah himpunan yang direpresentasikan oleh bit string
1001011011!
Jawab:1 representasi bit string dari {2, 3, 5, 7} adalah 01101010002 himpunan yang direpresentasikan oleh 1001011011
adalah {1, 4, 6, 7, 9, 10}
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Representasi Komputer untuk Himpunan
Contoh
Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}1 Tentukan representasi dari {2, 3, 5, 7} sebagai sebuah bit
string!2 Carilah himpunan yang direpresentasikan oleh bit string
1001011011!
Jawab:1 representasi bit string dari {2, 3, 5, 7} adalah 01101010002 himpunan yang direpresentasikan oleh 1001011011
adalah {1, 4, 6, 7, 9, 10}
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Representasi Komputer untuk Himpunan
Contoh
Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}1 Tentukan representasi dari {2, 3, 5, 7} sebagai sebuah bit
string!2 Carilah himpunan yang direpresentasikan oleh bit string
1001011011!
Jawab:1 representasi bit string dari {2, 3, 5, 7} adalah 01101010002 himpunan yang direpresentasikan oleh 1001011011
adalah {1, 4, 6, 7, 9, 10}
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Representasi Komputer untuk Himpunan
Contoh
Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}1 Tentukan representasi dari {2, 3, 5, 7} sebagai sebuah bit
string!2 Carilah himpunan yang direpresentasikan oleh bit string
1001011011!
Jawab:1 representasi bit string dari {2, 3, 5, 7} adalah 01101010002 himpunan yang direpresentasikan oleh 1001011011
adalah {1, 4, 6, 7, 9, 10}
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Representasi Komputer untuk Himpunan
Operasi
irisan, gabungan dan komplemen juga dapat dinyatakan dalambit string, dengan catatan bahwa himpunan-himpunan yangterlibat menggunakan referensi himpunan semesta yang sama
Proses kalkulasi
untuk mendapatkan bit string dari A ∩ B disebut operasi bitwiseand .
untuk mendapatkan bit string dari A ∪ B disebut operasi bitwiseor .
untuk mendapatkan bit string dari A disebut operasi bitwise not .
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Representasi Komputer untuk Himpunan
Operasi
irisan, gabungan dan komplemen juga dapat dinyatakan dalambit string, dengan catatan bahwa himpunan-himpunan yangterlibat menggunakan referensi himpunan semesta yang sama
Proses kalkulasi
untuk mendapatkan bit string dari A ∩ B disebut operasi bitwiseand .
untuk mendapatkan bit string dari A ∪ B disebut operasi bitwiseor .
untuk mendapatkan bit string dari A disebut operasi bitwise not .
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Representasi Komputer untuk Himpunan
Operasi
irisan, gabungan dan komplemen juga dapat dinyatakan dalambit string, dengan catatan bahwa himpunan-himpunan yangterlibat menggunakan referensi himpunan semesta yang sama
Proses kalkulasi
untuk mendapatkan bit string dari A ∩ B disebut operasi bitwiseand .
untuk mendapatkan bit string dari A ∪ B disebut operasi bitwiseor .
untuk mendapatkan bit string dari A disebut operasi bitwise not .
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Representasi Komputer untuk Himpunan
Operasi
irisan, gabungan dan komplemen juga dapat dinyatakan dalambit string, dengan catatan bahwa himpunan-himpunan yangterlibat menggunakan referensi himpunan semesta yang sama
Proses kalkulasi
untuk mendapatkan bit string dari A ∩ B disebut operasi bitwiseand .
untuk mendapatkan bit string dari A ∪ B disebut operasi bitwiseor .
untuk mendapatkan bit string dari A disebut operasi bitwise not .
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Representasi Komputer untuk Himpunan
Contoh
Jika bit string untuk himpunan A adalah 00101110 dan bitstring untuk himpunan B adalah 10100101. Maka tentukan bitstring untuk:A ∩ B, A ∪ B, dan A
Jawab:1 bit string untuk A ∩ B adalah 001001002 bit string untuk A ∪ B adalah 101011113 bit string untuk A adalah 11010001
Coba cek
kebenaran bit string tersebut dengan menggunakan operasihimpunan biasa
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Representasi Komputer untuk Himpunan
Contoh
Jika bit string untuk himpunan A adalah 00101110 dan bitstring untuk himpunan B adalah 10100101. Maka tentukan bitstring untuk:A ∩ B, A ∪ B, dan A
Jawab:1 bit string untuk A ∩ B adalah 001001002 bit string untuk A ∪ B adalah 101011113 bit string untuk A adalah 11010001
Coba cek
kebenaran bit string tersebut dengan menggunakan operasihimpunan biasa
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Representasi Komputer untuk Himpunan
Contoh
Jika bit string untuk himpunan A adalah 00101110 dan bitstring untuk himpunan B adalah 10100101. Maka tentukan bitstring untuk:A ∩ B, A ∪ B, dan A
Jawab:1 bit string untuk A ∩ B adalah 001001002 bit string untuk A ∪ B adalah 101011113 bit string untuk A adalah 11010001
Coba cek
kebenaran bit string tersebut dengan menggunakan operasihimpunan biasa
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Representasi Komputer untuk Himpunan
Contoh
Jika bit string untuk himpunan A adalah 00101110 dan bitstring untuk himpunan B adalah 10100101. Maka tentukan bitstring untuk:A ∩ B, A ∪ B, dan A
Jawab:1 bit string untuk A ∩ B adalah 001001002 bit string untuk A ∪ B adalah 101011113 bit string untuk A adalah 11010001
Coba cek
kebenaran bit string tersebut dengan menggunakan operasihimpunan biasa
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Representasi Komputer untuk Himpunan
Contoh
Jika bit string untuk himpunan A adalah 00101110 dan bitstring untuk himpunan B adalah 10100101. Maka tentukan bitstring untuk:A ∩ B, A ∪ B, dan A
Jawab:1 bit string untuk A ∩ B adalah 001001002 bit string untuk A ∪ B adalah 101011113 bit string untuk A adalah 11010001
Coba cek
kebenaran bit string tersebut dengan menggunakan operasihimpunan biasa
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Representasi Komputer untuk Himpunan
Contoh
Jika bit string untuk himpunan A adalah 00101110 dan bitstring untuk himpunan B adalah 10100101. Maka tentukan bitstring untuk:A ∩ B, A ∪ B, dan A
Jawab:1 bit string untuk A ∩ B adalah 001001002 bit string untuk A ∪ B adalah 101011113 bit string untuk A adalah 11010001
Coba cek
kebenaran bit string tersebut dengan menggunakan operasihimpunan biasa
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN
Karakteristik HimpunanRelasi dan Operasi Himpunan
Kardinalitas dan Produk Kartesius
KardinalitasProduk KartesiusRepresentasi Komputer untuk Himpunan
Terima kasih
TERIMA KASIH
Antonius Cahya Prihandoko TEORI HIMPUNAN