Teorema Superposisi, Thevenin, dan Norton

Posted in Elektronika

Teorema Superposisi

Teorema superposisi adalah salah satu cara pintar yang membuat suatu rangkaian yang terlihat kompleks dijadikan lebih sederhana. Strategi yang digunakan pada teorema Superposisi adalah mengeliminasi semua sumber tetapi hanya disisakan satu sumber yang hanya bekerja pada waktu itu juga dan menganalisa rangkaian itu dengan konsep rangkaian seri-paralel masing-masing saat sumber bekerja sendiri-sendiri.  Lalu setelah masing-masing tegangan dan/atau arus yang tidak diketahui telah dihitung saat sumber bekerja sendiri-sendiri, masing-masing nilai yang telah diperoleh tadi dijumlahkan sehingga diperoleh nilai tegangan/arus yang sebenarnya. Perhatikan contoh rangkaian berikut ini, kita akan menganalisanya menggunakan teorema superposisi:

Karena terdapat dua sumber pada rangkaian ini, kita akan menghitung dua set nilai tegangan dan arus, masing-masing saat sumber 28 Volt bekerja sendirian (sumber tegangan 7 V “mati”)

Dan dihitung pada saat sumber 7 volt bekerja sendirian (sumber 28 V “mati”).

Saat kita menggambar ulang rangkaian seri/paralel dengan hanya satu sumber seperti pada rangkaian di atas, semua tegangan yang lainnya “dimatikan”, apabila sumber itu adalah sumber tegangan maka cara “mematiikannya” adalah dengan cara menggantinya dengan short circuit (hubung pendek).

Pertama-tama analisa rangkaian yang hanya mengandung sumber baterai 28 V, kita akan mendapatkan nilai tegangan dan arus :

Maka dengan analisa seri-paralel

Rtotal = [R2 ||R3]- – R1 =  [(2 × 1) / (2 + 1)] + 4 = 4.667 Ω

Itotal = E / Rtotal = 28 V / 4.667 Ω = 6 A

IR2 = Itotal × (R3 / R2 + R3) = 6 A × (1 / 1+2) = 2 A (pembagi arus)

IR3 = Itotal × (R2 / R2 + R3) = 6 A × (2 / 1+2) = 4 A (pembagi arus)

Jadi, drop tegangan pada masing-masing resistor dapat dihitung

VR1 = Itotal × R1= (6 A) (4 Ω) = 24 V              (hukum Ohm)

VR2 = IR2 × R2 = (2 A) (2 Ω) = 4 V  (hukum Ohm)

VR3 = IR3 × R3 = (4 A) (1 Ω) = 4 V  (hukum Ohm)

Setelah ditentukan semua nilai arus dan tegangan saat sumber 28 Volt bekerja, berikutnya adalah menganalisa saat sumber 7 V saja yang bekerja (sumber 28 V dimatikan dengan cara di ganti short circuit)

Analisa seri-paralel,

RT = [R1||R2] – - R3 = [(4 × 2)/(4 + 2)] + 1 = 2.333 Ω

Itotal = E/RT = 7 V / 2.333 Ω = 3 A = IR3

IR1 = Itotal × [R2 / (R1 + R2)] = 3 × [(2 / (4 + 2)] = 1 A               (pembagi arus)

IR2 = Itotal × [R1 / (R1 + R2)] = 3 × [(4 / (4 + 2)] = 2 A               (pembagi arus)

VR1 = IR1 × R1 = (1 A) (4 Ω) = 4 V

VR2 = IR2 × R2 = (2 A) (2 Ω) = 4 V

VR3 = IR3 × R3 = (3 A) (1 Ω) = 43V

Setelah mendapatkan nilai-nilai saat sumber bekerja sendiri-sendiri. Kita tinggal menjumlahkannya untuk memperoleh nilai yang sebenarnya. Namun, perhatikan polaritas tegangannya dan arah arusnya sebelum nilai-nilai ini dijumlahkan secara aljabar.

Setelah kita menjumlahkan nilai-nilai tegangan secara aljabar, kita dapatkan rangkaian seperti pada gambar ini:

 VR1 = VR1(saat sumber 28 V menyala) + VR1 (saat sumber 7 V menyala) = 24 V + (-4 V) = 20 V

 VR2 = VR2(saat sumber 28 V menyala) + VR2 (saat sumber 7 V menyala) = 4 V + 4 V = 20 V

VR3 = VR3(saat sumber 28 V menyala) + VR3 (saat sumber 7 V menyala) = 4 V + (-3 V) = 1 V

Begitu juga dengan nilai-nilai arusnya, ditambahkan secara aljabar, namun perhatikan arah arusnya juga.

IR1 = IR1(saat sumber 28 V menyala) + IR1 (saat sumber 7 V menyala) = 6A + (-1 A) = 5 A

IR2 = IR1(saat sumber 28 V menyala) + IR1 (saat sumber 7 V menyala) = 2A + (2 A) = 4 A

IR3 = IR3(saat sumber 28 V menyala) + IR3 (saat sumber 7 V menyala) = 4A + (-3 A) = 1 A

Setelah arus-arusnya dijumlahkan secara aljabar, diperoleh rangkaian seperti gambar berikut ini:

Begitu sederhana dan bagus bukan?Namun perlu anda perhatikan, bahwa teorema Superposisi hanya dapat digunakan untuk rangkaian yang bisa direduksi menjadi seri-paralel saja saat salah satu sumber yang bekerja. Jadi, teorema ini tidak bisa digunakan untuk menganalisa rangkaian jembatan Wheatstone yang tidak seimbang. Karena  rangkaian tersebut tidak bisa direduksi menjadi kombinasi seri-paralel. Selain itu, teorema ini hanya bisa menghitung persamaan-persamaan yang linier. Jadi, teorema ini tidak bisa digunakan untuk menghitung dissipasi daya, misal pada resistor. Ingat, rumus menghitung daya adalah mengandung elemen kuadrat (P = I2R = V2 /

R). Teorema ini juga tidak berlaku apabila dalam rangkaian itu mengandung komponen yang nilai tegangan dan arusnya berubah-ubah.

Teorema ini bisa digunakan untuk menganalisa rangkaian yang didalamnya mmengandung sumber dc dan ac. Kita matikan sumber ac nya, lalu hanya sumber dc yang bekerja. Setelah itu sumber dc yang dimatikan, sumber ac nya yang bekerja. Masing-masing hasil perhitungan bisa dijumlahkan untuk memperoleh nilai yang sebenarnya.

Review :

Teorema superposisi menyatakan bahwa suatu rangkaian dapat dianalisa dengan hanya satu sumber bekerja pada suatu waktu, masing-masing tegangan dan arus komponen dijumlahkan secara aljabar untuk mendapatkan nilai sebenarnya pada saat semua sumber bekerja.

Untuk mematikan sumber, sumber tegangan diganti short circuit (hubung singkat), sumber arus diganti open circuit (rangkaian terbuka).

Teorema Thevenin

Teorema Thevenin menyatakan bahwa dimungkinkan untuk menyederhanakan suatu rangkaian yang linier, seberapa rumit sekalipun rangkaian itu, menjadi sebuah rangkaian ekivalen yang berisi sumber tunggal yang disusun seri dengan sebuah beban (resistor). Kata-kata linier adalah identik dengan yang ditemukan pada teorema superposisi, dimana semua persamaan dasarnya harus linier (tidak ada bentuk eksponen atau akar). Bila kita menjumpai rangkaian pasif (seperti resistor, induktor, dan kapasitor), teorema ini bisa dipakai. Namun, ada beberapa komponen seperti komponen semikonduktor adalah tidak linier.

Teorema Thevenin ini berguna untuk menganalisa sistem daya dan rangkaian lainnya dimana terdapat satu resistor pada rangkaian tersebut (biasa disebut resistor beban) yang dijadikan subjek perubahan, sehingga apabila nilai resistor beban itu diubah-ubah, kita tidak perlu susah-susah menganalisa rangkaian secara menyeluruh.

Perhatikan gambar rangkaian berikut ini:

Misalkan kita memilih R2 sebagai beban pada rangkaian ini. Kita bisa menyelesaikan rangkaian semacam ini dengan berbagai cara (arus cabang, arus mesh, teorema superposisi) untuk menghitung tegangan dan arus R2,

tetapi metode-metode ini banyak memakan waktu apabila nilai dari beban R2 ini diuba-ubah (tiap kali nilai R2 berubah, maka kita harus menganalisa ulang rangkaian secara menyeluruh). Jadi, bila beban ini dirubah, kita harus menganalisanya lagi, Nilai beban berubah, kita harus ,menganalisa lagi. Begitu seterusnya, dan ini tidaklah praktis dan membuang banyak waktu.

Teorema Thevenin membuat masalah ini menjadi sederhana yaitu dengan “membuang” resistansi beban ini dari rangkaian aslinya dan mereduksi rangkaian yang sudah dibuang bebannya itu hingga menyisakan sebuah sumber yang tersusun seri dengan sebuah resistor. Kemudian resistansi beban yang telah dibuang tadi disambung ulang ke rangkaian yang telah terduksi. Maka rangkaian ini disebut rangkaian ekivalen Thevenin. Rangkaian Thevenin ini ekivalen/sama dengan/ sudah mewakili rangkaian yang asli.

Rangkaian Asli

Setelah diubah menjadi rangkaian ekivalen Thevenin

Rangkaian ekivalen Thevenin adalah rangkaian ekivalen dari B1, R1, R3, dan B2 yang “terlihat”dari dua titik dimana resistor beban (R2) terhubung. Rangkaian ekivalen Thevenin, bila diturunkan dengan benar, akan mempunyai sifat yang sama dengan rangkaian aslinya yang terdiri dari B1, R1, R3, dan B2. Dengan kata lain, resistor beban (R2) tegangan dan arusnya haruslah sama dengan nilai R2 saat berada pada rangkaian aslinya. Keuntungan menggunnakan konversi Thevenin adalah untuk menyederhankan rangkaian, tentu saja agar nilai tegangan dan arus bisa dihitung lebih mudah dari pada dihitung dengan rangkaian aslinya. Untuk mendapatkan sumber tegangan dan resistor Thevenin adalah hal yang mudah. Pertama-tama, pilih resistor bebannya dan “singkirkan” dari rangkaian aslinya. Selanjutnya, tegangan di antara dua titik yang ditempati oleh resistor beban tadi dihitung nilainya. Gunakan analisa apa saja untuk menghitung  tegangan ini.  Untuk kasus ini, rangkaian yang telah dibuang resistor bebannya ini hanyalah sebuah rangkaian seri, sehingga kita bisa menghitung tegangan di terminal beban yang terbuka tadi dengan mudah

Baterai B1 dan B2 tersusun seri, bisa digantikan dengan sumber tegangan tunggal yaitu E = 28 – 7 V = 21 V.

Dengan pembagi tegangan

VR3 = (21 V) × (1 Ω / 1 Ω + 4 Ω) = 4.2 V, tegangan terminal terbuka ini paralel dengan B2 yang seri dengan R3, maka

Vthevenin = VR3  +  B2 = 4.2 V + 7 V = 11.2 V

11.2 V adalah nilai tegangan thevenin pada rangkaian ekivalen seperti :

Selanjutnya, untuk menghitung resistansi seri (Rthevenin), kita kembali ke rangkaian asli (tanpa resistor beban), “singkirkan” sumber-sumber nya (sama seperti aturan pada teorema Superposisi : sumber tegangan di short circuit dan sumber arus di open circuit), berarti rangkaian tersebut hanya menyisakan resistor-resistor saja, lalu hitung resistansi penggantinya.

Dengan dibuangnya kedua baterai, total resistansi yang terukur adalah

Rthevenin =  R1 || R3 = 4 Ω || 1 Ω = 0.8 Ω

Setelah mendapatkan tegangan thevenin dan resistansi thevenin, maka rangkaian pengganti Theveninnya adalah

Rangkaian pengganti ini terhubung dengan resistor beban (2 Ω) , kita dapat menghitung tegangan dan arus resistor beban ini. Perhitungan menjadi mudah, karena sekarang rangkaian sudah menjadi rangkaian seri yang sederhana.

Itotal = Ibeban = Ethevenin / Rthevenin + Rbeban =  11.2 V / (0.8 Ω + 2 Ω) = 4 A

Vbeban = Itotal × Rbeban = (4 A) (2 Ω) = 8 V

Perhatikan bahwa nilai tegangan dan arus R2 (8 V, dan 4 A) adalah identik apabila anda menghitungnya dengan menggunakan metode analisa yang lainnya. Tapi, keuntungan teorema ini  adalah anda dapat dengan cepat menghitung arus dan tegangan apabila nilai resistor beban ini berubah, jadi anda dapt langsung menghitungnya tanpa menganalisa rangkaian secara menyeluruh.

Soal-soal contoh di atas adalah rangkaian yang berisi sumber independen. Namun pada gambar 3-28, rangkaian yang kita analisa mengandung sumber dependen. Kita ingin merubah rangkaian tersebut menjadi rangkaian ekivalen Theveninnya. untuk menentukan vTh (selanjutnya kita sebut  vTh = voc , OC singkatan dari open circuit) , kita perhatikan bahwa vx = voc, dan arus  yang dihasilkan dari dependen source mau tidak mau harus mengalir melewati  resistor 2 kΩ karena arus tidak bisa mengalir ke arah kanan (rangkaian yang kanan open). Dengan menerapkan KVL terhadap loop yang terluar, kita dapatkan

-4 + 2 × 103 (-vx / 4000) + 3 × 103 (0) + vx = 0

diperoleh

vx = voc = 8 V (ini adalah nilai vTh)

Dengan menggunakan teorema Thevenin, rangkaian ekivalennya dapat dibentuk dari rangkaian yang telah dimatikan sumbernya (sumber tegangan independen 4V dishort) seri dengan sumber tegangan 8V, seperti ditunjukkan gambar 3-28 b. Rangkaian ini sudah benar, tetapi pada rangkaian linier, rangkaian ini masih belum sederhana. Kita masih harus menentukan RTh.  Maka untuk mendapatkannya kita harus mencari nilai isc (sc singkatan dari short circuit). Caranya adalah dengan membuat short terminal yang terbuka di sebelah kanan pada gambar rangkaian 3-28 a, jadi nilai vx = 0 sehingga sumber arus dependen ini nilainya juga nol (open circuit). Maka nilai isc = 4 / (5×103) = 0.8 mA. Sehingga RTh = voc/isc = 8 V / (0.8 mA) = 10 kΩ, dan rangkaian ekivalen Theveninnya ditunjukkan pada gambar 3-28 c.

Contoh rangkaian berikutnya lebih sulit. Pada gambar 3-29 a rangkaian yang akan dianalisa hanya mengandung sumber dependen (tidak ada sumber independen) . Sehingga rangkaian ini sudah dalam kondisi mati (tidak ada sumber lagi yang bisa dimatikan, ingat bahwa sumber dependen tidak dapat dimatikan) dan nilai voc = 0. Jadi, kita harus menentukan nilai RTh. Pada contoh sebelumnya, RTh dapat dihitung dari hasil pembagian voc dengan isc (hukum Ohm). Namun, untuk kasus rangakaian ini, nilai voc dan isc nya sudah jelas adalah nol karena tidak ada sumber independen. Maka kita harus melakukan suatu trik. Kita menggunakan sumber arus eksternal sebesar 1 A. Kemudian hitung nilai tegangan v pada sumber arus eksternal ini seperti ditunjukkan pada gambar 3-29 b. Pada gambar itu kita lihat i = -1.

nilai v pada gambar 3-29 b dapat dihitung (pakai KCL)

(v – (1.5) (-1)) / 3) + (v/2) = 1

diperoleh v = 0.6 V

Sehingga RTh dapat dihitung dengan cara RTh = v / sumber arus eksternal = 0.6 V / 1 A = 0.6 Ω

Jadi kita peroleh rangkaian ekivalen Theveninnya seperti pada gambar 3-29 c. perhatikan bahwa rangkaian itu tidak memiliki sumber tegangan (vTh) alias vTh = 0.

Teorema Norton

Teorema Norton menyatakan bahwa dimungkinkan untuk menyederhanakan suatu rangkaian yang linier, tidak peduli seberapa kompleks rangkaian itu, menjadi sebuah rangkaian ekivalen yang terdiri dari sebuah sumber arus yang disusun paralel dengan sebuah resistansi yang biasanya dihubungkan juga ke beban. Seperti pada teorema Thevenin, kualifikasi “linier” disini identik dengan yang ditemukan pada Teorema Superposisi : semua persamaan harus linier (tidak mengandung perpangkatan atau akar).

Misalkan ada rangkaian seperti pada gambar berikut ini:

Setelah konversi Norton

Ingat bahwa sebuah sumber arus adalah sebuah komponen yang kerjanya untuk menyediakan arus yang nilainya konstan, seberapapun tegangan yang diperlukan beban,sumber arus yang ideal akan tetap menyuplai arus yang konstan.

Seperti pada teorema thevenin, semua yang ada pada rangkaian asli kecuali resistansi beban disederhanakan dan direduksi menjadi suatu rangkaian yang ekivalen yang lebih sederhana untuk  dianalisa.  Juga sama seperti teorema Thevenin, cara untuk mendapatkan rangkaian pengganti Norton harus menghitung nilai arus Norton (INorton) dan resistansi nortonnya (RNorton).

Sama seperti sebelumnya, langkah pertama adalah memngidentifikasi resistansi beban dan menyingkirkannya dari rangkaian asli:

Kemudian, untuk menghitung nilai arus Norton (sebagai sumber arus pada rangkaian ekivalen Nortonnya), ubah terminal terbuka yang ditempati resistansi beban tadi dengan hubung singkat (short circuit) sedangkan pada teorema Thevenin tadi, terminal resistansi beban dibuat open circuit.

Dengan menggunakan analisa apa saja, anda akan memperoleh rangkaian seperti pada gambar ini:

Maka sumber arus Nortonnya adalah 14 A.

Untuk menghitung resistansi Nortonnya (RNorton), kita melakukan hal yang sama sperti saat menghitung resistansi Thevenin : dari rangkaian yang asli (tanpa resistor beban), singkirkan/matikan semua beban (dengan aturan yang sama seperti Teorema Superposisi : sumber tegangan diganti short circuit sedangkan sumber arus: open circuit) lalu hitung resistansi yang ‘terlihat’ dari titik-titik yang ditempati resistansi beban.

Setelah sumber-sumbernya dimatikan, maka resistor R1 dan R3 akan tampak tersusun paralel bila dilihat dari tempat resistansi beban. Maka resistansi Norton dapat dihitung

RNorton = R1 || R3 = 4 Ω || 1 Ω = 0.8 Ω

Sekarang, rangkaian ekivalen Nortonnya yang dihubungkan juga dengan resistansi beban (R2) tampak seperti pada gambar berikut ini:

Sekarang, kita akan lebih mudah menghitung arus dan tegangan resistor beban (R2).

IR2 = INorton × (RNorton) / (RNorton + R2) = 14 × (0.8) / (2 + 0.8) = 4 A

VR2 = IR2 × R2 = (4 A) (2 Ω) = 8 V

Sama seperti pada rangkaian ekivalen Thevenin, kita hanya bisa memperoleh informasi dari analisa ini yaitu tegangan adan arus dari R2. Namun perhitungan ini lebih sederhana, apabila resistor beban ini berubah-ubah nilainya. Jadi kita tidak perlu menganalisa rangkaian secara keseluruhan apabila resistansi bebannya berubah.

Ekivalensi (Kesamaan) Thevenin-Norton

Karena teorema Thevenin dan Norton adalah metode yang sama dalam mereduksi rangkaian yang kompleks menjadi rangkaian yang lebih sederhana, maka ada suatu cara untuk mengkonversikan rangkaian ekivalen Thevenin menjadi rangkaian ekivalen Norton, begitu pula sebaliknya.

Anda dapt memperhatikan bahwa prosedur untuk menghitung resistansi Thevenin adalah sama dengan prosedur untuk menghitung resistansi Norton: matikan semua sumber dan hitung resistansi yang terlihat dari titik beban yang terbuka. Seperti pada contoh sebelumnya, resistansi Norton dan thevenin memiliki nilai yang sama. Dari kedua contoh sola sebelumnya, diketahui bahwa

Rthevenin = RNorton = 0.8 Ω

Berdasarkan fakta ini, rangkaian ekivalen kedua teorema sama-sama terdiri dari sebuah sumber tunggal yang dirangkai dengan resistansi tunggal. Hal ini berarti baik itu teorema Thevenin maupun Norton memiliki rangkaian ekivalensi yang harusnya bisa memproduksi tegangan yang nilainya sama pada terminal yang terbuka (tanpa  terhubung dengan beban). Jadi, tegangan Thevenin sama dengan arus Norton dikalikan dengan resistansi:

Ethevenin = INorton RNorton

Jadi, apabila kita ingin mengubah rangkaian ekivalen Norton menjadi rangkaian  ekivalen Thevenin, kita bisa menggunakan resistansi yang sama dan menghitung sumber tegangan Thevenin dengan hukum Ohm).

Begitu juga sebaliknya, apabila kita ingin mengubah rangkaian ekivalen Thevenin menjadi rangkaian ekivalen Norton, kita bisa menggunakan hukum Ohm untuk menghitung nilai arus Nortonnya:

INorton = Ethvenin /  Rthevenin