PERSAMAAN SUPERDIFUSI DAN

PENYELESAIAN FUNDAMENTALNYA

SKRIPSI

Oleh

IRFAN NURHIDAYAT

H1B012034

KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI, DAN PENDIDIKAN TINGGI

UNIVERSITAS JENDERAL SOEDIRMAN

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

PURWOKERTO

2016

i

PERSAMAAN SUPERDIFUSI DAN

PENYELESAIAN FUNDAMENTALNYA

SKRIPSI

Oleh

IRFAN NURHIDAYAT

H1B012034

Sebagai Salah Satu Persyaratan untuk Memperoleh

Gelar Sarjana Strata Satu (S1) pada Jurusan Matematika

KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI, DAN PENDIDIKAN TINGGI

UNIVERSITAS JENDERAL SOEDIRMAN

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

PURWOKERTO

2016

iv

PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI

Skripsi ini terdaftar dan tersedia di Pusat Informasi Ilmiah Fakultas Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam dan terbuka untuk umum dengan ketentuan bahwa

hak cipta ada pada penulis dengan mengikuti aturan HaKI yang berlaku di

Universitas Jenderal Soedirman. Pengutipan dan atau peringkasan hanya dapat

dilakukan dengan mengikuti kebiasaan ilmiah untuk menyebutkan sumbernya.

v

KATA PENGANTAR

Bismillaahirrohmaanirrohim,

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, karena berkat

limpahan taufik, hidayah, dan inayah-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini

dengan judul “PERSAMAAN SUPERDIFUSI DAN PENYELESAIAN

FUNDAMENTALNYA”. Sholawat serta salam semoga tetap tercurah kepada

junjungan kita Nabi Besar Muhammad SAW.

Skripsi ini ditujukan untuk memenuhi persyaratan memperoleh gelar

Sarjana Strata Satu (S1) pada Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Jenderal Soedirman. Sistematika dalam penulisan

skripsi ini yaitu Bab I, Pendahuluan, memberikan gambaran umum yang menjadi

dasar dilakukannya penelitian terdiri dari latar belakang, perumusan masalah,

batasan masalah, tujuan penelitian, dan manfaat penelitian. Bab II, Tinjauan

Pustaka, merangkum berbagai teori dari permasalahan yang diteliti, yang akan

digunakan sebagai landasan berpikir untuk memecahkan permasalahan. Teori-

teori tersebut antara lain mengenai teori gerak acak, ruang ,pL ruang Schwarz,

transformasi Laplace, transformasi Fourier, deret Taylor, teorema Fubini, teorema

Riemann-Lebesgue, dan teorema kekonvergenan monoton. Bab III, Metodologi

Penelitian, menjelaskan tentang prosedur penelitian. Bab IV, Hasil dan

Pembahasan, menjelaskan mengenai penurunan persamaan superdifusi dan

penyelesaian fundamental persamaan superdifusi. Persamaan superdifusi

diturunkan melalui proses gerak acak pada lattice h dengan menggunakan

peluang arah lompatan tertentu. Penyelesaian fundamental persamaan superdifusi

diperoleh dengan menggunakan transformasi Laplace, transformasi Fourier, dan

fungsi Mittag-Leffler. Bab V, Kesimpulan dan Saran, memaparkan kesimpulan

dan saran dari hasil penelitian.

Penulis mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada yang

terhormat :

1. Bapak Dr. Mashuri, M.Si. selaku Ketua Jurusan Matematika yang telah

mendukung dan memberikan semangat hingga terselesaikannya skripsi ini;

vi

2. Bapak Bambang Hendriya Guswanto, M.Si., Ph.D. selaku Dosen

Pembimbing I yang telah mendukung, memberikan semangat, memberikan

arahan, dan mendidik penulis hingga terselesaikannya skripsi ini;

3. Bapak Agung Prabowo, M.Si. selaku Dosen Pembimbing II yang telah

dengan sabar dan tekun memberikan koreksi dan semangat dalam proses

penyusunan skripsi ini;

4. Ibu Dr. Idha Sihwaningrum, M.Sc.St. selaku Dosen Pembimbing Seminar I

yang telah memberikan masukan, koreksi, dan saran-saran dalam

penyempurnaan skripsi;

5. Bapak Agus Sugandha, M.Si. selaku Dosen Pembimbing Seminar II yang

telah memberikan masukan dan saran-saran dalam penyempurnaan skripsi;

6. Ibu Renny, M.Si. selaku Dosen Pembimbing Akademik yang telah

memberikan bimbingan, arahan, dan motivasi selama penulis menempuh

studi di Jurusan Matematika;

7. Bapak Suroto, M.Sc. yang telah dengan sabar dan tekun memberikan arahan,

koreksi, dan semangat dalam proses penyusunan skripsi ini;

8. Dosen dan staf nonedukatif pada Jurusan Matematika yang telah memberi

kuliah dan pelayanan;

9. Bapak Moh. Hidayat, M.Pd. dan Ibu Dedeh Nuridah terimakasih tak

terhingga penulis ucapkan atas restu dari orang tua penulis untuk semua do’a,

pengorbanan, pengertian, dan dorongan dari keluarga tercinta;

10. Rekan-rekan kuliah, yang telah berinteraksi secara positif selama studi;

11. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu, atas segala bantuan

dan dukungannya.

Akhirnya, dengan tangan terbuka, kritik dan saran dari semua pihak akan

penulis terima demi perbaikannya.

Purwokerto, September 2016

Penulis,

vii

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL .......................................................................................... i

HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................ ii

HALAMAN PERNYATAAN ........................................................................... iii

PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI ........................................................... iv

KATA PENGANTAR ....................................................................................... v

DAFTAR ISI ...................................................................................................... vii

DAFTAR SINGKATAN DAN LAMBANG ..................................................... ix

DAFTAR LAMPIRAN ...................................................................................... x

ABSTRAK ……………………………………………………………………. xi

ABSTRACT …………………….. ..................................................................... xii

BAB I PENDAHULUAN ...................................................................... 1

1.1 Latar Belakang .................................................................. 1

1.2 Perumusan Masalah .......................................................... 2

1.3 Batasan Masalah ............................................................... 2

1.4 Tujuan Penelitian .............................................................. 2

1.5 Manfaat Penelitian ............................................................ 3

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ............................................................. 4

2.1 Gerak Acak ....................................................................... 4

2.2 Ruang pL ........................................................................... 4

2.3 Ruang Schwarz ................................................................. 6

2.4 Transformasi Laplace ........................................................ 6

2.5 Transformasi Fourier ......................................................... 7

2.6 Deret Taylor ...................................................................... 8

2.7 Teorema Fubini, Teorema Riemann-Lebesgue, dan

Teorema Kekonvergenan Monoton .................................. 8

BAB III METODE PENELITIAN ........................................................... 11

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN .................................................. 12

4.1 Penurunan Persamaan Superdifusi .................................... 12

4.2 Penyelesaian Fundamental Persamaan Superdifusi .......... 22

viii

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN .................................................. 28

5.1 Kesimpulan ....................................................................... 28

5.2 Saran .................................................................................. 28

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 29

ix

DAFTAR SINGKATAN DAN LAMBANG

: Himpunan bilangan kompleks

: Himpunan bilangan riil

: Himpunan bilangan bulat

V : Ruang vektor

( ), 0t t : Peluang waktu tunggu

( ), x xK : Peluang arah lompatan 2 ( )x t : Mean Squared Displacement (MSD) saat t

, ( )E z : Fungsi Mittag-Leffler

S : Ruang Schwarz pL : Ruang pL

L : Operator transformasi Laplace

F : Operator transformasi Fourier

: Fungsi gamma

: Fungsi delta Dirac

p

: Norm di ruang pL

( , )u x t : Peluang suatu partikel berada di x h pada waktu t

( , )G x t : Penyelesaian fundamental persamaan superdifusi

: Operator Laplace

2

: Operator Laplace fraksional

( )B x : Bola dengan pusat x dan jari-jari

x

2

2x

( )C

terdiferensialkan tak berhingga kali secara kontinuf f

( )S ,

( ) : , ,f C f

1( )L | terintegral Riemann, ( ) f f f x dx

( )pL | terintegral Riemann, ( ) p

f f f x dx

( )L | terintegral Riemann, sup ( )x

f f f x

1( )L | terintegral Riemann, ( , ) f f f x y dxdy

x

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

RIWAYAT HIDUP ........................................................................................... 32

xi

ABSTRAK

Penelitian ini membahas penurunan persamaan superdifusi dan

penyelesaian fundamentalnya. Persamaan superdifusi diturunkan dari proses gerak

acak pada lattice h dengan menggunakan peluang arah lompatan 1

( ) , \{0},( )

0, 0,

C x xx

x

K

dengan 0 2 dan ( )C adalah koefisien normalisasi. Penyelesaian

fundamental persamaan superdifusi diperoleh dengan memanfaatkan transformasi

Laplace, transformasi Fourier, dan fungsi Mittag-Leffler. Sifat-sifat penyelesaian,

seperti simetris, menuju nol di ketakberhinggaan, positif, dan normal, diperoleh

dengan menggunakan pendekatan matematika analisis.

Kata kunci: persamaan superdifusi, penyelesaian fundamental, peluang arah

lompatan.

xii

ABSTRACT

This research discusses the derivation of superdiffusion equation and its

fundamental solution. Superdiffusion equation is derived from random walk

process on lattice h by using the probability of jump direction 1

( ) , \{0},( )

0, 0,

C x xx

x

K

with 0 2 and ( )C is the normalization coefficient. The fundamental

solution of superdiffusion equation is obtained by employing Laplace transform,

Fourier transform, and Mittag-Leffler function. The properties of the solution,

such as symmetric, tending to zero at infinity, positive, and normal, are gotten by

mathematical analysis approach.

Keywords: superdiffusion equation, fundamental solution, the probability of

jump direction.

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Difusi adalah peristiwa berpindahnya suatu zat dalam pelarut dari bagian

yang berkonsentrasi tinggi ke bagian yang berkonsentrasi rendah (Labbẻ dan

Bustamante, 2012). Difusi akan terus terjadi hingga seluruh partikel tersebar luas

secara merata atau mencapai keadaan setimbang (Kruse dan Iomin, 2008).

Menurut Murray (2002), difusi adalah pergerakan mikroskopis dari kumpulan

partikel pada sel, bakteri, bahan kimia, dan hewan di mana dalam pergerakannya

biasanya partikel bergerak acak dan menyebar. Pergerakan acak partikel yang

demikian dapat dimodelkan dalam bentuk persamaan matematika. Proses difusi

dapat dimodelkan dengan persamaan

, 0.tu u t

Berikut ini beberapa proses difusi dalam kehidupan sehari-hari, seperti saat

membuat teh manis yaitu dengan memasukkan gula pada air tawar dan

mengaduknya sampai gula terlarut dalam air tawar, kemudian saat kelembaban di

dalam rumah tinggi dikarenakan curah hujan yang rendah di sekitar rumah.

Pergerakan partikel proses difusi mengikuti pola

2 ( ) , 0x t t t

dengan 2 ( )x t adalah Mean Square Displacement pada saat .t

Pada proses difusi, terdapat proses yang mengalami anomali, yaitu proses

subdifusi (difusi lambat) dan proses superdifusi (difusi cepat). Beberapa contoh

proses yang menunjukkan proses subdifusi adalah dispersi pada akuifer yang

heterogen (Adams dan Gelhar, 1992), penyebaran ion pada suatu eksperimen

kolom (Hatano dkk, 1998), penyebaran kontaminan pada formasi geologi

(Berkowitz dkk, 2006), dan difusi air tanah (Laffaldano dkk, 2005). Berbeda

dengan proses difusi, dalam proses subdifusi pergerakan partikel mengikuti pola

2( ) , 0, 0 1.x t t t

Beberapa contoh proses superdifusi, yaitu kepadatan molekul pada reaksi kimia

dan gerakan bertumbukan molekul karena adanya perbedaan kecepatan gerak

2

antar molekul (Stauffer dkk, 2007), transportasi dari kompartemen satu ke

kompartemen lainnya untuk menunjukkan kepekaan rangsangan pada sel (Kruse

dan Iomin, 2008), dan perubahan gerak protein dalam inti (nucleus) yang terjadi

karena sel darah putih (leukosit) lebih banyak dari sel darah merah (eritrosit)

(Pederson, 2000). Proses difusi anomali yang demikian tidak dapat dimodelkan

dengan menggunakan persamaan difusi biasa dan persamaan subdifusi. Pada

proses superdifusi pergerakan partikel mengikuti pola

2( ) , 0, 1.x t t t

Berdasarkan uraian diatas, maka penulis tertarik untuk membahas penurunan

persamaan superdifusi dan penyelesaian fundamentalnya.

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah di atas, permasalahan yang muncul

adalah bagaimana :

1. Penurunan model persamaan superdifusi ?

2. Penyelesaian fundamental persamaan superdifusi dan sifat-sifatnya ?

1.3 Batasan Masalah

Batasan masalah dalam penelitian ini adalah bahwa model diturunkan dari

proses gerak acak dengan pergerakan partikel yang terlibat dalam proses tersebut

terjadi pada lattice :h hz z dengan 0.h

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan dilakukannya penelitian ini adalah untuk mendapatkan :

1. model persamaan superdifusi;

2. penyelesaian persamaan superdifusi beserta sifat-sifatnya.

1.5 Manfaat Penelitian

Persamaan superdifusi dan penyelesaiannya, yang merupakan hasil dari

penelitian ini, dapat digunakan sebagai model matematika alternatif untuk

menjelaskan proses difusi dengan pergerakan partikel

3

2( ) , 0, 1x t t t

yang tidak dapat dimodelkan secara baik oleh persamaan difusi biasa.

4

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

Bagian ini membahas beberapa teori yang digunakan dalam pembahasan

di bab-bab berikutnya. Teori dasar ini meliputi teori gerak acak, ruang ,pL ruang

Schwarz, transformasi Laplace, transformasi Fourier, deret Taylor, teorema

Fubini, teorema Riemann-Lebesgue, dan teorema kekonvergenan monoton.

2.1 Gerak Acak

Pada tahun 1965, Montroll dan Weiss memperkenalkan teori gerak acak.

Menurut Gorenflo dan Mainardi (2000), gerak acak diperoleh dari barisan variabel

acak waktu tunggu akan terjadinya lompatan 1 2, ,...T T dan barisan variabel acak

arah lompatan 1 2, ,...J J yang terdistribusi secara independen. Setiap variabel acak

waktu tunggu mempunyai peluang ( ),t untuk 0,t sedangkan setiap variabel

acak arah lompatan mempunyai peluang ( ),xK untuk .x Contoh gerak acak

diantaranya adalah gerak partikel yang berada dalam ruang angkasa di mana

partikel mengalami gerak acak yang diakibatkan oleh medium di sekitarnya dan

lompatan seseorang dari suatu posisi ke posisi lain ketika menghindari genangan

air. Gerak acak adalah gerak suatu partikel yang melakukan serangkaian lompatan

yang dipengaruhi oleh waktu tunggu terjadinya lompatan dan arah lompatan. Pada

gerak acak, distribusi waktu tunggu dan arah lompatan saling independen.

2.2 Ruang pL

Bagian ini membahas tentang suatu ruang fungsi yang dinamakan ruang

.pL Sebelum mendefinisikan ruang pL ini, konsep mengenai norm, barisan

Cauchy, dan ruang Banach dibahas terlebih dahulu.

Definisi 2.1

Misalkan V adalah ruang vektor atas lapangan . Fungsi :V

merupakan norm jika memenuhi sifat-sifat :

5

1. 0, 0 0,x untuk setiap x V dan x x

2. , , ,x x untuk setiap x V

3. , , .x y x y untuk setiap x y V

Ruang vektor yang dilengkapi dengan suatu norm dinamakan sebagai ruang

bernorm, contoh ruang bernorm adalah .N

Selanjutnya, dibahas mengenai barisan Cauchy di ruang bernorm.

Definisi 2.2

Barisan nx pada ruang bernorm V dikatakan barisan Cauchy jika

,lim 0.m n

m nx x

Jika setiap barisan Cauchy di V konvergen ke suatu titik di ,V maka ruang

bernorm V dikatakan lengkap. Ruang bernorm yang lengkap disebut sebagai

ruang Banach, contoh ruang Banach adalah .N

Selanjutnya, dibahas definisi yang menjelaskan tentang ruang fungsi .pL

Definisi 2.3

Ruang fungsi ( )pL dengan adalah himpunan yang terdiri dari fungsi-

fungsi :f yang terintegralkan dengan

( ) ,p

f x dx

untuk 1 ,p

dan

sup ( ) , .x

f x untuk p

Ruang ( )pL yang dilengkapi dengan norm

1

( ) ,p p

pf f x dx

untuk 1 ,p

6

dan

sup ( ) ,x

f f x

bersifat lengkap. Dengan demikian, ruang pL merupakan ruang Banach. Contoh

ruang 1L adalah himpunan yang terdiri dari fungsi-fungsi :f yang

terintegralkan dengan

( ) ,f x dx

dan norm 1

( ) .f f x dx

2.3 Ruang Schwarz

Ruang Schwarz, dinotasikan dengan ( )S atau ,S adalah subruang dari

ruang fungsi terdiferensial tak berhingga kali secara kontinu ( ).C Di sisi lain,

ruang fungsi 0

( ) ( )k

k

C C

merupakan subruang dari ruang ( )pL dengan

1 .p Dengan demikian, ( ) ( ) ( ).pC L S Berikut ini adalah definisi

yang menjelaskan tentang ruang Schwarz.

Definisi 2.4

Ruang Schwarz adalah himpunan fungsi terdiferensial tak berhingga kali secara

kontinu :u sedemikian sehingga untuk setiap bilangan nonnegatif k

dan

multiindeks berlaku

2sup 1 ( ) .

k

x

x D u x

Fungsi-fungsi yang berada di ruang Schwarz dinamakan fungsi turun cepat. Salah

satu contoh fungsi turun cepat adalah 2

( ) .x

f x e

2.4 Transformasi Laplace

Bagian ini membahas beberapa definisi dan teorema tentang transformasi

Laplace yang akan digunakan pada saat menurunkan penyelesaian fundamental

7

dari persamaan superdifusi. Berikut ini adalah definisi yang menjelaskan

transformasi Laplace dari suatu fungsi.

Definisi 2.5

Diberikan suatu fungsi ( )f t yang terdefinisi di 0.t Transformasi Laplace

untuk ( ),f t yang dilambangkan dengan ( ) ( )f t sL atau ( ),f s didefinisikan

sebagai

0

( ) ( ) ( ) ( ) ,stf s f t s e f t dt

L untuk setiap .s

Transformasi Laplace bersifat linier terhadap operasi penjumlahan. Berikut ini

adalah teorema yang menjelaskan kelinieran transformasi Laplace.

Teorema 2.1

Diberikan suatu fungsi ( )f t dan ( )g t yang terdefinisi di 0,t maka untuk suatu

konstanta a dan b berlaku

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).af s bg s af t bg t s a f t s b g t s L L L

Contoh dari transformasi Laplace adalah

1

!( ) ,n

n

nt s

s L

untuk setiap .s

2.5 Transformasi Fourier

Transformasi Fourier akan digunakan pada saat menurunkan penyelesaian

fundamental dari persamaan superdifusi. Bagian ini menjelaskan tentang definisi

transformasi Fourier dari suatu fungsi dan menjelaskan teorema kelinieran pada

transformasi Fourier.

Definisi 2.6

Transformasi Fourier dan invers transformasi Fourier dari fungsi 1f L secara

berurutan didefinisikan dengan

8

ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ,iu xf u f x u e f x dx F

1 1ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) .2

iu xf x f u x e f u du

F

Transformasi Fourier bersifat linier terhadap operasi penjumlahan. Berikut ini

adalah teorema yang membahas kelinieran transformasi Fourier.

Teorema 2.2

Diberikan suatu fungsi ( )f x dan ( )g x yang terdefinisi untuk setiap ,x maka

untuk suatu konstanta a dan b berlaku

ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).af u bg u af x bg x u a f x u b g x u F F F

Contoh dari transformasi Fourier adalah

ˆ( , ) ( ) ( ) ( , ) 1.su x s x k s k su F

2.6 Deret Taylor

Bagian ini membahas definisi deret Taylor untuk fungsi satu peubah.

Definisi 2.7

Jika :u adalah fungsi terdiferensial tak berhingga kali secara kontinu

pada setiap ,x maka deret Taylor dari u di sekitar y didefinisikan sebagai

( )

0

( )( ) ( ) .

!

nn

n

u yu x x y

n

2.7 Teorema Fubini, Teorema Riemann-Lebesgue, dan Teorema

Kekonvergenan Monoton

Bagian ini membahas teorema Fubini, teorema Riemann-Lebesgue, dan

teorema kekonvergenan monoton. Terlebih dahulu, kita akan membahas teorema

Fubini untuk fungsi satu peubah.

9

Teorema 2.3

Misalkan ,A B dan : f A B adalah fungsi terintegralkan. Untuk

setiap ,x A maka

( ) ( , )xg y f x y

terintegralkan atas .B Artinya, fungsi

,

( , ) B

A

x f x y dy

terintegral atas ,A yaitu

( , ) .A B A B

f f x y dy dx

(2.1)

Sementara itu, untuk setiap ,y B

( ) ( , )yh x f x y

terintegralkan atas .A Artinya, fungsi

,

( , ) A

B

y f x y dx

terintegralkan atas B sehingga

( , ) .A B B A

f f x y dx dy

(2.2)

Pada persamaan (2.1) dan (2.2) integral f atas A B bersifat simetris.

Berikutnya, kita akan membahas teorema Riemann-Lebesgue untuk fungsi satu

peubah.

Teorema 2.4

Jika 1( ),f L maka ( ) 0,ik xe f x dx untuk .x

Selanjutnya, kita akan membahas teorema kekonvergenan monoton untuk fungsi

satu peubah.

10

Teorema 2.5

Jika nf adalah barisan fungsi monoton dengan lim ( ) ( ),nn

f x f x

untuk setiap

,x I maka I

f ada jika dan hanya jika lim .n

Inf

Lebih lanjut,

lim .nI In

f f

Untuk bukti teorema Fubini dapat merujuk (Cameron dan Martin, 1941), teorema

Riemann-Lebesgue dapat merujuk (Kirkwood, 1995: 7), dan untuk bukti teorema

kekonvergenan monoton dapat merujuk (Kos, 2009: 13).

11

BAB III

METODE PENELITIAN

Penelitian ini dilakukan untuk mengkaji penurunan model dan

penyelesaian persamaan superdifusi beserta sifat-sifatnya. Metode penelitian yang

digunakan adalah studi literatur, yaitu dengan mempelajari materi dari berbagai

sumber yang berkaitan dengan penelitian seperti jurnal, buku, skripsi, tesis, dan

disertasi. Yang dilakukan dalam penelitian ini adalah :

1. menurunkan model melalui proses gerak acak pada lattice h dengan

menggunakan peluang arah lompatan

1( ) , \{0},

( )0, 0,

C x xx

x

K

dengan 0 2 dan ( )C adalah koefisien normalisasi;

2. menyelesaikan model dengan menggunakan transformasi Laplace, transformasi

Fourier, dan fungsi Mittag-Leffler;

3. mengkaji sifat-sifat penyelesaian persamaan superdifusi, seperti sifat simetris,

sifat di ketakberhinggaan, sifat positif, dan sifat normal.

12

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

Bab ini membahas tentang penurunan dan penyelesaian fundamental dari

persamaan superdifusi. Persamaan tersebut diturunkan dari proses gerak acak,

sedangkan penyelesaian fundamentalnya diperoleh dengan menggunakan

transformasi Laplace, transformasi Fourier, dan fungsi Mittag-Leffler.

4.1 Penurunan Persamaan Superdifusi

Misalkan : [0, ) K adalah suatu fungsi genap, yaitu

( ) ( )y y K K untuk setiap ,y dan memenuhi kondisi

( ) 1.k

k

K (4.1)

Di sini, persamaan superdifusi akan diturunkan dari proses yang dilakukan oleh

suatu partikel yang bergerak secara acak pada lattice h yang didefinisikan

sebagai

:h hz z

dengan 0.h Dalam proses ini, pada setiap satuan waktu 0, partikel

melompat dari suatu titik ke titik lainnya di .h Asumsikan peluang suatu partikel

untuk melompat dari titik hk h ke titik hk h adalah

( ) ( ).k k k k K K

Di sini, kita mengasumsikan (0) 0K yang berarti bahwa peluang suatu partikel

tidak melompat adalah 0. Dengan kata lain, partikel pasti selalu melompat pada

setiap jangka waktu tertentu. Selanjutnya, misalkan ( , )u x t adalah peluang suatu

partikel berada di x h dan pada waktu t dengan didefinisikan

sebagai

: .z z

Karenanya, ( , )u x t adalah penjumlahan semua peluang partikel berada pada

posisi x hk dan pada waktu t dikalikan dengan peluang partikel melompat dari

posisi x hk ke x dalam jangka waktu , yaitu

13

( , ) ( ) ( , ).k

u x t k u x hk t

K

Dari persamaan (4.1), kita memperoleh

( , ) ( ) ( , ).k

u x t k u x t

K

Akibatnya,

( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )k k

u x t u x t k u x hk t k u x t

K K

( ) ( , ) ( , ) .k

k u x hk t u x t

K

(4.2)

Berikutnya, misalkan fungsi K memenuhi persamaan

1

( ) , 0,( )

0, 0,

C y yy

y

K (4.3)

dengan ( )C adalah suatu konstanta sedemikian sehingga kondisi (4.1) terpenuhi.

Jika , (0,2),h maka

1 1 ( )

( ) ( ) ( ) .k

h hk hC hk h C k

K

K = = (4.4)

Misalkan ( , , ) ( ) ( , ) ( , ) .y x t y u x y t u x t K Dari persamaan (4.2) dan (4.4),

kita memperoleh

( , ) ( , ) ( )( , ) ( , )

( ) ( , ) ( , )

( ) ( , ) ( , )

k

k

k

u x t u x t ku x hk t u x t

h hk u x hk t u x t

h hk u x hk t u x t

K

K

K

( , , ).k

h hk x t

(4.5)

Dari persamaan (4.5), jika 0 yang berimplikasi pada 0,h kita

mendapatkan

0 0

( , ) ( , )lim lim ( , , )

hk

u x t u x th hk x t

sehingga

( , ) ( , , ) .u x t y x t dyt

14

Akibatnya,

1

( , ) ( , , )

( ) ( , ) ( , )

( ) ( , ) ( , )

u x t y x t dyt

y u x y t u x t dy

C y u x y t u x t dy

K

1

( , ) ( , )( ) .

u x y t u x tC dy

y

(4.6)

Untuk t yang tetap, persamaan (4.6) dapat dituliskan menjadi

1

( ) ( )( , ) ( ) .

u x y u xu x t C dy

t y

(4.7)

Selanjutnya, kita akan menunjukkan, untuk (0,2), ( ),uS dan terbatas,

integral pada persamaan (4.7) terdefinisi dengan baik. Integral pada persamaan

(4.7) dapat dituliskan dalam pengertian the Principle Value, disingkat . .,PV yaitu

1 1\ (0)0

( ) ( ) ( ) ( ). . lim

B

u x u y u x u yPV dy dy

x y x y

dengan \ (0) : .B y y Jika z y x dan ' ,z x y maka

1

1 1\ (0) \ (0)0 0

1 1\ (0) \ (0)0 0

( ) ( ). .

1 ( ) ( ) ( ) ( ')lim lim '

2 '

1 ( ) ( ) ( ) ( )lim lim

2

B B

B B

u x u yPV dy

x y

u x u x z u x u x zdz dz

z z

u x u x y u x u x ydy dy

y y

1\ (0)0

1 2 ( ) ( ) ( )lim .

2 B

u x u x y u x ydy

y

(4.8)

Dengan menggunakan deret Taylor orde kedua, maka untuk ( )y B x dan 0

yang cukup kecil, kita memperoleh

2 22 2

2 2

2 ( ) ( ) ( )

( ) 1 ( ) ( ) 1 ( )2 ( ) ( ) ( )

2 2

u x u x y u x y

du x d u x du x d u xu x u x y y u x y y

dx dx dx dx

15

2 22 2

2 2

22

2

( ) 1 ( ) ( ) 1 ( )2 ( ) ( ) ( )

2 2

( ).

du x d u x du x d u xu x u x y y u x y y

dx dx dx dx

d u xy

dx

Dengan demikian,

2 222

2 2

( ) ( )2 ( ) ( ) ( ) .

d u x d u xu x u x y u x y y y

dx dx

Jadi, untuk setiap ( )y B x berlaku

21

1 2

2 ( ) ( ) ( ) ( ).

u x u x y u x y d u xy

dxy

Selanjutnya, untuk setiap \ ( )y B x berlaku

1

1

1

1

1

1

2 ( ) ( ) ( )2 ( ) ( ) ( )

2 ( ) ( ) ( )

2 ( ) ( ) ( )

sup 2 ( ) ( ) ( )

4 sup ( )

x

x

u x u x y u x yu x u x y u x y y

y

u x u x y u x y y

u x u x y u x y y

u x u x y u x y y

y u x

14 .y u

Dengan demikian, untuk setiap y berlaku

1

2 ( ) ( ) ( )( )

u x u x y u x yf y

y

dengan

1 2

1

( ) , ( ),( )

, \ ( ).

y D u x y B xf y

y u y B x

Lemma 4.1 Fungsi 1( ) ( )y f y L dengan

1 2

1

( ) , ( ),( )

, \ ( ).

y D u x y B xf y

y u y B x

16

Bukti. Perhatikan bahwa kasus (0),x B

1 12

( ) \ ( )

1 12

( ) \ ( )

1 12

(0) \ (0)

2 1 1

1

( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

B x B x

B x B x

B B

x

x

f y dy y D u x dy y u dy

D u x y dy u y dy

D u x y x dy u y x dy

D u x x y dy y x dy

u x y dy y x

1

2 1 1

1 1

2 22

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

2 2

( ) ( )

x

x

y x y

y y x

y

y y

dy

D u x x y d x y y x d y x

u x y d x y y x d y x

x y y xD u x

x y y xu

2 22 ( ) ( ) ( ) ( )

( ) .2 2

y

x x x xD u x u

Selanjutnya, kasus (0)x B dengan ,x

1 12

( ) \ ( )

1 12

( ) \ ( )

1 12

(0) \ (0)

2 1

1 1 1

( ) ( )

( )

( ) .

( ) ( )

( ) ( ) ( )

B x B x

B x B x

B B

x

f y dy y D u x dy y u dy

D u x y dy u y dy

D u x y x dy u y x dy

D u x x y dy

u x y dy x y dy y x

x

dy

2 1

1 1

1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

x

x

D u x x y d x y

u x y d x y x y d x y

y x d y x

17

22

2 22

( )( )

2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) .

2 2

y

y

y y x y

y y y x

x yD u x

x y x y y xu

x x x xD u x u

Untuk ,x

1 12

( ) \ ( )

1 12

( ) \ ( )

1 12

(0) \ (0)

2 1

1 1 1

( ) ( )

( )

( ) .

( ) ( )

( ) ( ) ( )

B x B x

B x B x

B B

x

x

f y dy y D u x dy y u dy

D u x y dy u y dy

D u x y x dy u y x dy

D u x y x dy

u x y dy y x dy y x

2 1

1 1

1

22

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( )

2

( ) ( ) ( )

x

x

y

y

y x y y

y y x y

dy

D u x y x d y x

u x y d x y y x d y x

y x d y x

y xD u x

x y y x y xu

2 22 ( ) ( ) ( ) ( )

( ) .2 2

x x x xD u x u

Dengan demikian,

1( ) ( ).y f y L

■

Berdasarkan Lemma 4.1, integral pada persamaan (4.7) terdefinisi dengan baik.

18

Lemma 4.2 Fungsi 1( , ) ( , ) ( )x y g x y L dengan

1 2

1

( ) , ( , ) ( ),( , )

2 ( ) ( ) ( ) , ( , ) \ ( ).

y D u x x y B xg x y

y u x u x y u x y x y B x

Bukti. Karena ( ),uS maka untuk setiap ,x

2 2 2 2

2 2

1 ( ) sup 1 ( ) ,

1 ( ) sup 1 ( ) .

z

z

x D u x z D u z

x u x z u z

Oleh karena itu, terdapat 0K sedemikian sehingga untuk setiap ,x

12 2

12 22 2

1 ( ) ( ) 1 ,

1 ( ) ( ) 1 .

x u x K u x K x

x D u x K D u x K x

Jika 1tan ,y x maka tan y x sehingga

2

2

2

2

1

2

tan

sec 1

1

sec

1

1 tan

1

1

1tan .

1

d dy x

dx dx

dyy

dx

dy

dx y

dy

dx y

dy

dx x

dx

dx x

Akibatnya,

1

2

1

2

2 2

1 1 1

1tan

1

1tan

1

1 1

11

tan lim tan lim tan

.2 2 2 2

b a

dx dx dx

dx x

x dxx

dx dxxx

x b a

19

Jadi,

2 1( ) , ( ) ( ).u x D u x L

Berdasarkan Lemma 4.1,

12

( )

1

\ ( )

12

( )

1

\ ( )

1 12

( ) \ (

( , ) ( ) ( )

2 ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

4 ( ) ( )

( ) 4 ( )

B x

B x

B x

B x

B x B x

g x y dxdy D u x dx y y dy

u x u x y u x y dx y y dy

D u x dx y y dy

u x dx y y dy

D u x dx y dy u x dx y

)

12

(0)

1

\ (0)

( )

4 ( ) .

B

B

dy

D u x dx y x dy

u x dx y x dy

Dengan demikian,

1( , ) ( , ) ( ).x y g x y L

■

Dengan menggunakan Lemma 4.2 dan teorema Fubini,

1

1

( ) ( )( ) . . ( )

( ) 2 ( ) ( ) ( )

2

i x

u x u yC PV dy

x y

C u x u x y u x ye dydx

y

F

1

1

1

1

2 ( ) ( ) ( )( )

2

2 ( ) ( ) ( )( )

2

2 cos( ) sin( ) cos( ) sin( )( ) ( )

2

( ) 2 2cos( ) ( )

2

i x

i y i y

e u x u x y u x yCdxdy

y

u e u e uCdy

y

y i y y i yCdy u

y

C ydy u

y

F F F

F

F

1

1 cos( )( ) ( ).

yC dy u

y

F

(4.9)

20

Selanjutnya, kita tunjukkan bahwa

1

1

1 cos( ) ( )

ydy C

y

dengan

1

1

1 cos( ) .C d

Misalkan fungsi :I didefinisikan dengan

1

1 cos( ) .

yI dy

y

(4.10)

Jelas bahwa .I I Jika ,y dengan , ,y maka

1

1

1

1 cos

1 cos1

1 cos

I I

ydy

y

d

d

1( )C

(4.11)

Perhatikan bahwa, untuk (0)B dengan 0 yang cukup kecil, maka deret

Taylor fungsi ( ) cosh di sekitar 0 adalah

2

2

2

2

22

22

1 1 1 1

''(0)( ) (0) '(0)

2

cos(0)cos cos(0) ( sin(0))

2

cos 1 02

cos 12

1 cos2

1 cos 1

hh h h

21

dan, untuk \ (0),B

1 1

cos 1

cos 1

1 cos 1 1

1 cos 2

1 cos 2.

Lemma 4.3 Fungsi 1( ) ( )h L dengan

1

1

1, (0),

( )2

, \ (0).

B

h

B

Bukti. Perhatikan bahwa

1 1(0) \ (0)

0

1 1 1 10

01 1 1 1

0

02 2

0

1 2( )

1 1 2 2

( ) ( )

( ) ( ) 2( ) ( ) 2

( ) 2(

2 2

B Bh d d d

d d d d

d d d d

2 2

2

) 2

2 2

2 2

2 4.

2

Dengan demikian,

1( ) ( ).h L

■

Jadi, untuk 0 2,

1

( ) ( )( ) . . ( ) ( ).

u x u yC PV dy u

x y

F F

(4.12)

22

Selanjutnya, kita mengetahui bahwa

2

( ) ( ).u u F F

(4.13)

Berdasarkan (4.12) dan (4.13), kita dapat mendefinisikan

21

( ) ( )( , ) ( ) . .

u x u yu x t C PV dy

x y

sehingga

2 ( ) ( ).u u

F F

Akibatnya, persamaan (4.7) menjadi

2( , ) ( ) ( , ).u x t C u x tt

(4.14)

Persamaan (4.14) dinamakan persamaan superdifusi.

4.2 Penyelesaian Fundamental Persamaan Superdifusi

Bagian ini menjelaskan tentang penyelesaian fundamental dari persamaan

superdifusi. Tanpa mengurangi keumuman, perhatikan persamaan superdifusi

2( , ) ( , ), 0 2, ( ,0) ( ), .u x t u x t u x x x

t

(4.15)

Kemudian, dengan menggunakan transformasi Laplace dan Fourier, berdasarkan

persamaan (4.15), kita memperoleh

2

2

2

2

2

( , ) ( ) ( , ) ( ),

( , ) ( ) ( ,0) ( , ) ( ),

( , ) ( ) ( , ),

( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ),

( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ),

ˆ ( , ) 1

u x t s u x t st

s u x t s u x u x t s

su x s x u x s

su x s x k u x s k

su x s k x k u x s k

s k s ku

L L

L L

F F

F F F

F ( , ) ( ),

ˆ ˆ( , ) 1 ( , ),

u x s k

su k s k u k s

ˆ ˆ( , ) ( , ) 1,

ˆ ( , ) 1,

su k s k u k s

s k u k s

23

1ˆ ( , ) .u k ss k

(4.16)

Karena

0

0

10

10

( )

( 1)

( )

( 1)

( ) ( )!

( )!

( )

1, Re( ) .

npt

n

nn

n

n

nn

n

nn

pte

n

pt

n

p n

n s

p

s

s ps p

L L

L

maka

ˆ ( , ) .

k tu k t e

(4.17)

Selanjutnya, dengan menggunakan invers transformasi Fourier, dari persamaan

(4.17), kita memperoleh

( )

1( , )

2

1( )

2

1 ( )

2

( , ) ( )

k tik x

k tik x ik y

k tik x y

u x t e e dk

e e e y dydk

e e dk y dy

G x y t y dy

dengan

1( , ) .

2

k tik xG x t e e dk

(4.18)

Selanjutnya,

1

1( , ) ( , )

1

2

1

2

k t

k tik x

ktik x

G x t e x t

e e dk

e e dk

F

24

11

( ) 2

lil xtte e dl

1 1t K xt

(4.19)

dengan

1( ) .

2

kik yK y e e dk

Teorema 4.1 Jika ( , ),G x t

, 0,x t adalah fungsi yang didefinisikan oleh

persamaan (4.18), maka ( , )G x t memenuhi sifat :

1. simetris,

2. jika ,x maka ( , ) 0,G x t

3. positif,

4. normal.

Bukti.

1. Untuk membuktikan ( , )G x t

simetris, kita harus membuktikan

( , ) ( , ),G x t G x t untuk setiap .x Berdasarkan persamaan (4.19),

kita cukup membuktikan ( )K y

simetris, yaitu ( ) ( ),K y K y untuk

setiap .y Perhatikan bahwa

( )

( )

( )

1( )

2

1

2

1

2

kik y

lil y

lil y

K y e e dk

e e dl

e e dl

1

2

( ).

lil ye e dl

K y

Akibatnya, berdasarkan persamaan (4.19),

1 1

1

1

( , )G x t t K xt

t K y

t K y

25

1 1

( , ).

t K xt

G x t

Jadi,

( , )G x t simetris.

2. Misalkan barisan 0

( )NS k

dengan

0

( ) : .( 1)

jN

N

j

kS k

j

Barisan 0

( )NS k

adalah barisan tak turun dan merupakan barisan fungsi

terintegralkan di (0) : ,B k k

(0) (0)0

(0)0

(0)0

0

( ) ( 1)

( 1)

1

( )

1

( )

jN

NB B

j

jN

Bj

Nj

Bj

Nj

j

kS k dk dk

j

kdk

j

k dkj j

k dkj j

0

00

0

00

01 1

0 0

1

0

1( )

( )

1( ) ( )

( )

1 ( )

( ) 1 1

1 2.

( ) 1

Nj j

j

Nj j

j

j jN

j

jN

j

k dk k dkj j

k d k k dkj j

k k

j j j j

j j j

Perhatikan bahwa

0

( ) : .( 1)

jN

k

N

j

kS k e

j

Berdasarkan teorema kekonvergenan monoton, k

e

terintegralkan di

(0).B Sekarang, misalkan

(0)( ) , 0.

k

BI e dk

26

Menurut Podlubny (1999), jika 0 2,

1

1

( ) , , arg 2 .(1 ) 2 2

jpp

j

zE z O z z z

j

Perhatikan bahwa 0k

(bilangan kompleks dengan arg ),

maka untuk 0 2,

1 1

( 1)0, .

(1 ) (1 )

j jjp pk

j j

k ke k

j j

Untuk ,p q

(0)\ (0) (0)\ (0)( ) ( ) 0, , .

q p q p

k k

B B B BI p I q e dk e dk p q

Jadi, ( )I barisan Cauchy. Dengan kata lain,

( ) , .k

I e dk

Artinya, 1( ).k

e L

Akibatnya, dengan menggunakan teorema Riemann-

Lebesgue, kita mempunyai

lim ( ) 0.x

K x

Karena 1( )k

e L

dan 1

( ) .2

kik yK y e e dk

Dengan demikian,

1 1lim ( , ) lim ( ) 0.x x

G x t t K xt

3. Selanjutnya, kita akan memeriksa kenonnegatifan ( , ).G x t Pada Pollard

(1948), telah dibuktikan bahwa, untuk 0 1, ( )E z fungsi monoton

lengkap, yakni, untuk , 0,z z

( 1) ( ) 0, 0,1,2, .n

n

n

dE z n

dx

Jadi,

0k

e

sehingga ( , ) 0.G x t

27

4. Terakhir, kita akan membuktikan, untuk 0,t ( , )G x t normal. Perhatikan

bahwa

1( , ) ( , )

1

2

1

2

k tik x

k tix k

G t G x t dx

e e dkdx

e dx e dk

1

0

0

1

( )

( 0)

1.

k t

k t

k t

t

e dk

k e dk

k e dk

e

e

F

Jadi, ( , )G x t normal. ■

28

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan diperoleh kesimpulan sebagai

berikut.

1. Persamaan superdifusi yang diturunkan melalui proses gerak acak dengan

menggunakan peluang arah lompatan adalah

2( , ) ( ) ( , )u x t C u x tt

dengan 2

menyatakan operator Laplace fraksional dan ( )C

menyatakan koefisien superdifusi yang didefinisikan dengan

1

1

1 cos( ) ;C d

2. Penyelesaian fundamental dari persamaan superdifusi adalah fungsi Gaussian

yang diperumum, yaitu

1( , ) , 0 2, 0, .

2

k tik xG x t e e dk t x

Selanjutnya, sifat-sifat penyelesaian persamaan superdifusi meliputi :

a. sifat simetris, yaitu ( , ) ( , ),G x t G x t untuk setiap ;x

b. sifat di ketakberhinggaan, yaitu jika ,x maka ( , ) 0;G x t

c. sifat positif, yaitu ( , ) 0,G x t untuk setiap ;x

d. sifat normal, yaitu 1

( , ) 1.G t

5.2 Saran

Penelitian ini membahas tentang penurunan model salah satu proses difusi

anomali, yaitu persamaan superdifusi, beserta penyelesaian fundamentalnya dan

sifat-sifat penyelesaian di . Sebagai kelanjutan dari penelitian ini, penulis

menyarankan agar penelitian selanjutnya membahas tentang kajian numerik

proses difusi anomali.

29

DAFTAR PUSTAKA

Adams, E. E. and Gelhar, L. W. Field Study of Dispersion in a Heterogeneous

Aquifer 2. Spatial Moments Analysis. Water Resources Research, Vol. 28

No 12, 3293-3307, 1992.

Apostol, T. M. (1974). Mathematical Analysis. Addison-Wesley Publishing

Company, Inc.

Berberian, S. K. (1999). Fundamentals of Real Analysis. Springer.

Berkowitz, B., et. al. Modelling Non-Fickian Transport in Geological Formations

as a Continuous Time Random Walk. Reviews of Geophysics, 44 RG2003,

1-49, 2006.

Birkhoff, G. (1948). Lattice Theory. Vol 2, American Mathematical Society.

Cameron, R. H., Martin, W. T. An Unsymmetric Fubini Theorem, 1941. The

Massachusetts Institute of Technology.

Chechkin, A. V., Gorenflo, R., and Sokolov, I. M. Retarding Subdiffusion and

Accelerating Superdiffusion by Distributed Order Fractional Diffusion

Equations, Phys. Rev. E66 (2002), 046129/1-7.

Churchill, R. V. and Brown, J. W. (2009). Complex Variables and Applications.

Vol 8, McGraw-Hill.

Evans, L. (2010). Partial Differential Equations. Vol 19, American Mathematical

Society.

Fraleigh, J. B. (2000). A first Course in Abstract Algebra. Vol 7, Pearson

Education Asia Pte Ltd.

Gorenflo, R. and Mainardi, F. Fractional Diffusion Process: Probability

Distribution and Continuous Time Random Walk. Fracalmo Pre-print

2000, www.fracalmo.org.

Hatano, Y. and Hatano, N. Dispersive Transport of Ions in Column Experiments:

An Explanation of Long-tailed Profiles. Water Resources Research, Vol.

34 No. 5, 1027-1033, 1998.

Hejazi, H. A. (2014). Finite volume methods for simulating anomalous transport.

Thesis. Queensland, Queensland University of Technology.

Hogg, R. V., McKean, J. W., and Craig, A. T. (2005). Introduction to

Mathematical Statistics. Vol 6, Pearson Prentice Hall.

Jacob, B. (1990). Linear Algebra. New York: W. H. Freeman and Company.

30

Janett, P. (2010). Diffusion on Fractals and Space-fractional Diffusion Equations.

Dissertation. Chemnitz, Chemnitz University of Technology.

Judson, T. W. (2009). Abstract Algebra Theory and Applications. Stephen F.

Austin State University.

Kilbas, A. A., Srivastava, H. M., and Trujillo, J. J. (2006). Theory and

Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam: Elsevier.

King, A. C., Billingham, J., and Otto, S. R. (2003). Differential Equations.

Cambridge University Press.

Kirkwood, J. R. (1995). An Introduction to Analysis, Second Edition. Boston:

PWS Publishing.

Kos, M. (2009). The Generalised Riemann Integral. Amsterdam University.

Kreyszig, E. (2011). Advanced Engineering Mathematics, Tenth Edition. New

York: Laurie Rosatone.

Kruse, K. and Iomin, A. Superdiffusion of Morphogens by Receptor-mediated

Transport. Physics, Vol. 10, 15 February 2008.

Labbẻ, R. and Bustamante, G. Extreme Statistics, Gaussian Statistics, and

Superdiffusion in Global Magnitude Fluctuations in turbulence. Physics of

Fluids; Oct 2012, Vol. 24 Issue 10, p105103.

Laffaldano, G., Caputo, M., and Martino, S. Experimental and Theoretical

Memory Diffusion of Water in Sand. Hydrol. Earth Sys. Sci. Discuss., 2,

1329-1357, 2005.

Mainardi, F., Mura, A., and Pagnini, G. The M-Wright Function in Time-

Fractional Diffusion Process: A Tutorial Survey. Hindawi publishing

corporation, Vol. 2010, 2010.

Metzler, R. and J. Klafter. The Random Walk's Guide to Anomalous Diffusion:

Fractional Dynamics Approach, Physical Report 339, 1-77, 2000.

Murray, J. D. (2002). Mathematical Biology, I: An Introduction. Third Edition.

Berlin: Springer-Verlag.

Pederson, T. Diffusional Protein Transport within the Nucleus: a Message in the

Medium. Nat. Cell Biol. 2, E73-E74, 2000.

Podlubny, I. (1999). Fractional Differential Equations. Academic Press 198.

Pollard, H. The Completely Monotonic Character of the Mittag-Leffler Function

( ).E x Bull. Amer. Math. Soc., 54(12), 1115-1116, 1948.

31

Rudin, W. (1976). Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill.

Schechter, M. (2002). Principles of Functional Analysis, Second Edition. Vol 36,

American Mathematical Society.

Schmäche, C. (2013). An Obstacle Problem for a fractional power of the Laplace

Operator. Thesis. Leipzig, Leipzig University.

Stauffer, D., et. al. Superdiffusion in a Model for Diffusion in a Molecularly

Crowded Environment. J Biol Phys. 2007 Aug; 33(4): 305-312.

Stein, E. M. (1970). Singular Integrals and Differentiability Properties of

Functions. London: Princeton University Press.

Strauss, W. A. (2008). Partial Differential Equations, Second Edition. John Wiley

& Sons, Inc.

Valdinoci, E. From the Long Jump Random Walk to the Fractional Laplacian,

Bol. Soc. Esp. Mat. Apl. 49, 33-44, 2009.

Vretblad, A. (2003). Fourier Analysis and its Applications. New York: Springer-

Verlag.

Zeidler, E. (1995). Applied Functional Analysis Applications to Mathematical

Physics. New York: Springer.

Zill, D. G. (2012). A first Course in Differential Equations with Modeling

Applications, Tenth Edition. Boston: Richard Stratton.

32

RIWAYAT HIDUP

Nama : Irfan Nurhidayat

NIM : H1B012034

Tempat, Tanggal Lahir : Majalengka, 9 Oktober 1994

Alamat asal : Jalan Kapur, Dusun 01, RT. 002 RW. 001, Desa

Sutawangi, Kecamatan Jatiwangi, Kabupaten

Majalengka, 45454, Jawa Barat

Telepon : 082 324 302 099/081 222 493 430

Motto : Cleverness is more expensive than the treasures

Email : irfannurhidayat09@gmail.com

Bidang Kajian : Murni Analisis

Riwayat Pendidikan :

SD : 2000 – 2006 SDN 1 Sutawangi

SMP : 2006 – 2009 SMPN 2 Jatiwangi

SMA : 2009 – 2012 SMAN 1 Jatiwangi

Matematika Unsoed : 2012 – 2016

33

Prestasi :

Juara I penulisan artikel ilmiah, “Aljabar Max-Plus Bilangan Fuzzy”, Dies-16,

Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,

Universitas Jenderal Soedirman, Purwokerto, 22 Mei 2015.

Artikel Prosiding Seminar :

Nurhidayat, I., dkk., 2015, Aplikasi Teori Kekongruenan untuk Menentukan Hari

Saptawara dan Pancawara Pada Tanggal Hijriyah Tertentu, Seminar Nasional

Matematika dan Pendidikan Matematika Universitas Diponegoro Tahun 2015,

Semarang.

Pengalaman :

1. Asisten Tutorial Kalkulus II pada semester II tahun akademik 2013/2014.

2. Asisten Tutorial Analisis Riil I pada semester V tahun akademik

2014/2015.

3. Asisten Tutorial Analisis Riil I pada semester V tahun akademik

2015/2016.

4. Asisten Tutorial Kalkulus II pada semester II tahun akademik 2015/2016.

5. Asisten Tutorial Analisis Riil I pada semester V tahun akademik

2016/2017.

6. Peserta Olimpiade Nasional Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Tingkat Perguruan Tinggi tahun 2014, IKIP PGRI Semarang, Jawa

Tengah.

7. Peserta Olimpiade Nasional Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Tingkat Perguruan Tinggi tahun 2015, IKIP PGRI Semarang, Jawa

Tengah.

8. Kerja lapangan tahun 2015 di Badan Meteorologi Klimatologi dan

Geofisika (BMKG), Kec. Jatiwangi, Kab. Majalengka, Jawa Barat.

9. Pengabdian kepada masyarakat tahun 2015 di Desa Gerduren, Kec.

Purwojati, Kab. Banyumas, Jawa Tengah.

10. Pengajar bimbingan belajar SMP dan SMA The Winner Institute tahun

2015, Baturraden, Jawa Tengah.

34

11. Koordinator bidang ilmu pengetahuan Himpunan Mahasiswa Majalengka

(HIMAKA) Purwokerto tahun 2014.

Seminar (Peserta) :

1. Seminar Nasional Matematika, “Seeing the World with Mathematics and

Statistics”, Purwokerto, 22 November 2014, Universitas Jenderal

Soedirman.

2. Seminar Nasional MaG-D, “Mathematical Analysis and Geometry Day”,

Bandung, 18 April 2015, Institut Teknologi Bandung.

3. Seminar Nasional Matematika, “Ilmu Matematika Sebagai Salah Satu

Penopang dalam Mendukung Kemajuan Teknologi dan Karakter Bangsa

Indonesia”, Semarang, 12 September 2015, Universitas Diponegoro.

4. Seminar Nasional Ekonomi, “Ekonomi Syari’ah MES Banyumas”,

Purwokerto, 30 September 2016, Universitas Jenderal Soedirman.

Pelatihan :

1. Pelatihan Pengembangan Karakter dan Kepribadian Mahasiswa (PKKM)

Mahasiswa Baru Unsoed, 4-5 September 2012.

2. Orientasi Studi Mahasiswa Baru (OSMB) Fakultas Sains dan Teknik

(FST) TA 2012/2013, 6-8 September 2012.

3. Pelatihan Program Kreativitas Mahasiswa (PKM) “Tuliskan Kreasi dan

Idemu dengan PKM”, 24 November 2012.

4. Workshop Kreasi PKM dan Kepenulisan (KPK) oleh Departemen

Penalaran UKMPR, 29 Desember 2013.

5. Pelatihan Asisten dan Tutorial “Upgrade Your Ability Share Your

Knowledge to be a Useful”, 14 Juni 2014.