Pertemuan 1: Pengintegralan dengan subsitusi, pengintegralan parsial, dan

pengintegralan beberapa fungsi trigonometri.

TEKNIK INTEGRASI

Pengintegralan Dengan Substitusi

Teorema 1: Misalkan g suatu fungsi yang terdiferensialkan apada selang I dan F adalah antiturunan dar fungsi f pada I. Jika u=g(x), maka

CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()(')('))((

Diskusikan ! 1. Buktikan teorema1 di atas

2. Hitunglah dxxx5

0

29

Teorema 2: Jika g mempunyai turunan yang kontinu pada selang [a,b] dan f kontinu pada daerah nilai dari g, maka

b

a

Bg

ag

duufdxxgxgf

)(

)(

)()()(

Diskusikan ! 1. Buktikan teorema2 di atas

2. Hitunglah 1

0

313 dxx

Latihan 1:

Hitunglah integral berikut:

1. 256

72 xx

dx

2. dxx

x2sin1

cos

3. xe

exdx294

6. dxx

x4

3

0 1

1cos

4. dxx

x24lncos

7.

e

dxx

x

1

ln

5. dxxx5

2

2 4

8. dxee

eexx

xx1

022

22

Pengintegralan Parsial

Teorema 3: Jika u dan v adalah suatu fungsi dengan perubah x, maka ∫udv=uv-∫vdu atau ∫uv′dx=uv-∫vu′dx

Bukti: Jika y=uv, u dan v suatu fungsi dengan perubah x, maka diferensiasi dari y adalah dy=udv+vdu

Dengan mengintegralkan kedua ruas persamaan tersebut, diperoleh

∫dy=∫udv+∫vdu

y=∫udv+∫vdu

uv=∫udv+∫vdu

Dengan demikian diperoleh, ∫udv=uv-∫vdu ….(1)

Karena u dan v suatu fungsi dengan perubah bebas x, maka du=u’dx dan dv=v’dx. Dari bentuk (1) diperoleh ∫uv’=uv-∫vu′dx.

Arti geometri pengintegralan parsial:

U

u(b) u=h(v)

u(a)

V v(a) v(b)

b

a

udv

b

a

vdu

b

a

b

a

b

a

b

a

vduuvvduavaubvbuudv )()()()(

Teorema 4: Jika u dan v adalah suatu fungsi dengan variabel x, maka

b

a

ba

b

a

vduuvudv

Diskusikan! Tentukan integral berikut:

1.

2.

Latihan 2:

1. Hitunglah dxxgxf ' dan xxf sin' dan 2xxg . Hitunglah

xdgxf , jika xexf dan xxg cos .

2. Hitunglah

a. dx2ln

b. dxxlnsin

c. 2

4

2csc xdxx

Pengintegralan Beberapa Fungsi Trigonometri

A. Pengintegralan Fungsi Sinus dan Fungsi Kosinus

Kasus 1:

Bentuk xdxnsin dan xdxncos dengan Nn , n ganjil

Untuk menyelesaikannya gunakan rumus:

xx 22 sin1cos

xx 22 cos1sin

Kasus 2:

Bentuk xdxnsin dan xdxncos , dengan Nn , n genap

Penyelesaiannya gunakan rumus:

xx 2cos2

1

2

1cos2

xx 2cos2

1

2

1sin 2

Diskusikan! Tentukan integral berikut:

xdx3cos.1

xdx2cos.2

Teorema 5 (rumus rekursif):

(a) Nnxdxn

nxx

nxdx nnn ,cos

1sincos

1cos 21

(b) Nnxdxn

nxx

nxdx nnn ,sin

1coscos

1sin 21

Diskusikan!

1. Buktikan teorema 5 di atas (Petunjuk: gunakan pengintegalan parsial)

2. Tentukanlah

Kasus 3:

Bentuk dxxx nm cossin , dengan salah satu m atau n bilangan asli ganjil,

lainnya boleh sebarang.

Penyelesaian bentuk integral tersebut, sama seperti penyelesaian bentuk (1), yaitu menggunakan rumus

xx 22 sin1cos

xx 22 cos1sin

Kasus 4:

Bentuk m dan n dua-duanya bilangan asli genap.

Penyelesaiannya seperti bentuk (2), yaitu menggunakan rumus:

Kasus 5: Bentuk

Penyelesaiannya gunakan rumus:

Diskusikan! Tentukanlah integral berikut:

xdxx 43 cossin.1

Teorema 6 (Pengintegralan lainnya):

(a) (b) (c) (d)

Kasus 1:

Bentuk dan dengan n Penyelesaiannya gunakan identitas:

Diskusikan! 1. Buktikan teorema 6 diatas (Petunjuk: gunakan substitusi) 2. Tentukan

Teorema 7 (Teorema Rekursif)):

(1) (2)

(3)

(4)

Diskusikan! 1. Buktikan teoema 7 diatas. 2. Gunakan teorema di atas untuk mementukan

Kasus 2:

Bentuk dan dengan n bilangan asli genap dan m bilangan sebarang

Penyelesaiannya gunakan identitas:

Kasus 3:

Bentuk dan dengan m bilangan asli ganjil dan n bilangan sebarang

Penyelesaiannya gunakan identitas:

Diskusikan! Dengan menggunakan kasus 2 dan 3, tentukan integral berikut:

1. 2.

Latihan 3:

Tentukanlah integral berikut:

1. 2. 3. 4. 5.

6. 7.

8.

9. –

10.