te091346 dasar sistem p kriteria k...

Dasar Sistem Pengaturan - 07 1

TE091346 Dasar Sistem Pengaturan

Kriteria Kestabilan Routh

Ir. Jos Pramudijanto, M.Eng.Jurusan Teknik Elektro FTI ITS

Telp. 5947302 Fax.5931237Email: [email protected]


Objektif:

Konsep KestabilanKestabilan RouthProsedur Kestabilan Routh


Pengantar

• Masalah terpenting dalam sistem pengaturan linier berhubungan dengan kestabilan.

• Suatu sistem pengaturan dikatakan stabil jika dan hanya jika semua kutub loop tertutup berada pada setengah sebelah kiri bidang s.

• Kriteria kestabilan Routh memungkinkan kita untuk menentukan jumlah kutub loop tertutup yang berada pada setengah sebelah kanan bidang s .


Konsep stabil• Sistem pengaturan stabil semua kutub loop

tertutup berada pada setengah sebelah kiri bidang s.• CLTF sistem linier :

↔

)()(

....

....)()(

11

10

11

10sAsB

asasasabsbsbsb

sRsC

nnnn

mmmm

=++++

++++=

−−

−−

ai , bi adalah konstanta , nm ≤

kutub loop tertutup diperoleh dengan memfaktorkan polinomial A(s)

• Pers. karakteristik : 0.... 11

10 =++++ −−

nnnn asasasa


Kestabilan Routh

• Memberi informasi apakah terdapat akar positip pada persamaan polinomial s tanpa pemecahan atau pemfaktoran.

• Informasi tentang kestabilan mutlak dapat diperoleh secara langsung dari koefisien persamaan karakteristik.


Prosedur kestabilan Routh (1)1. Tulis persamaan karakteristik sistem :

0asa....sasa n1n1n

1n

0 =++++ −−

Anggap bahwa sehingga terdapat akar nol yang dihilangkan.

0a n ≠

2. Pastikan bahwa semua koefisien harus positip.Jika terdapat koefisien nol atau negatif makakoefisien positip terkecil adalah akar atau akarimajiner yang mempunyai bagian real positip. Dalamhal ini, sistem tidak stabil.


Prosedur kestabilan Routh (2)3.Jika semua koefisien positip, susun koefisien

polinomial dalam baris dan kolom sesuai pola berikutini :

sn a0 a2 a4 a6 ...sn-1 a1 a3 a5 a7 ...sn-2 b1 b2 b3 b4 ...sn-3 c1 c2 c3 c4 ...sn-4 d1 d2 d3 d4 ...... ... ... ...s2 e1 e2

s1 f1s0 g1


Prosedur kestabilan Routh (3)

• Koefisien b1, b2, b3, ...., dan seterusnya dihitungsebagai berikut :

1

30211 a

aaaab

−=

1

50412 a

aaaab

−=

1

70613 a

aaaab

−=

• Pola yang sama digunakan untuk perhitungan c’s,d’s, e’s dan seterusnya.

1

21311 b

baabc

−=

1

31512 b

baabc

−=

1

41713 b

baabc

−=

dan seterusnya sampai semua sisa nol

dst…


Prosedur kestabilan Routh (4)

• Proses ini diteruskan sampai baris ke-n secaralengkap.

• Susunan lengkap dari koefisien berbentuk segitiga(triangular)

4. Jumlah akar persamaan karakteristik dengan bagianreal positip sama dengan jumlah perubahan tandadari koefisien kolom pertama.

1

21211 c

cbbcd −=

1

31312 c

cbbcd

−= dst…


Contoh 1Terapkan kriteria kestabilan Routh untuk polinomial orde 4berikut : 05s4s3s2s 234 =++++

Susunan koefisiennya :s4 1 3 5s3 2 4 0s2 1 5s1 -6s0 5

Jumlah koefisien yang diubah tandanya pada kolom pertama ada dua. Ini berarti bahwa terdapat dua akar dengan bagian real positip.


Keadaan khusus (1)1. Apabila suku kolom pertama dalam suatu baris

adalah nol tetapi suku yang lain tidak nol atau tidak terdapat suku lain maka suku nol ini diganti dengan bilangan positip yang sangat kecil ( )• Apabila tanda dari koefisien di atas nol ( ) sama

dengan yang di bawah, maka terdapat pasangan akar imajiner

• Apabila tanda koefisien di atas nol ( ) berlawanandengan yang di bawah maka terdapat satuperubahan tanda (terdapat satu kutub looptertutup yang bagian realnya positip)

ε

ε

ε


Contoh 2Perhatikan persamaan berikut :

ε0 =

Susunan koefisiennyas3 1 1 0s2 2 2s1

s0 5

Tanda dari koefisien di atas sama dengan yang di bawah berarti terdapat pasangan akar imajiner.

02ss2s 23 =+++

ε

Akar persamaan : s1 = +j dan s2 = -j


Contoh 3Perhatikan persamaan berikut :

Susunan koefisiennyas3 1 -3 0

s2 2

s1

s0 5

Terdapat dua tanda perubahan di kolom pertama. Ini berarti terdapat dua akar dengan bagian real positip.

( ) ( ) 02s1s2s3s 23 =+−=+−

ε0 =

ε23 −−


Keadaan khusus (2)2. Apabila semua koefisien pada suatu baris adalah

nol maka terdapat dua akar real dengan besaran yang sama dan tandanya berlawanan sehingga dua akar konjugat imajiner.• Membentuk suatu suku banyak dengan koefisien

baris terakhir merupakan turunan koefisien darisuku banyak baris selanjutnya.

• Suatu akar yang besarnya sama dan tandanyaberlawanan dapat diperoleh dengan menyelesaikan suku banyak pembantu.Suku banyak derajat2n terdapat n pasang akar sama dan berlawanan


Contoh 3Tinjau persamaan berikut :

Susunan koefisiennyas5 1 24 -25

s4 2 48 -50

s3 0

050s25s48s24s2s 2345 =−−+++

suku banyak pembantu P(s)

Suku banyak pembantu : P(s) = 2s4 + 48s2 – 50

s96s8ds)s(dP 3 +=


Lanj. contoh 3Suku-suku dalam baris s3 merupakan koefisien dari turunan P(s)terhadap s yaitu 8 dan 96.

Susunan koefisiennyas5 1 24 -25s4 2 48 -50s3 8 96s2 24 -50s1 112,7 0 s0 -50

Terdapat satu perubahan tanda pada kolom pertama berarti persamaan asal mempunyai satu akar dengan bagian real positip


Contoh 4Penerapan kriteria kestabilan Routh untuk analisissistem kontrol.

Tinjau sistem berikut :

+

-Σ ( )( )2s1sss

K2 +++

R(s) C(s)

Selanjutnya akan kita tentukan daerah K untuk kestabilan.


Lanj. contoh 4

CLTF :

Susunan koefisiennya :s4 1 3 K

s3 3 2 0

s2 7/3 K

s

s0 5

Persamaan karakteristik :

( )( ) ( )( ) K2s1sss

KsRsC

2 ++++=

0Ks2s3s3s 234 =++++

K792 −


Lanj. contoh 4

0K914

>>

Apabila K = , maka sistem menjadi berisolasi dan secara matematis osilasi tersebut pada amplitudo tetap.

914

te091346 dasar sistem p kriteria k...

Documents