taylor
TRANSCRIPT
MetodeNumerik
AnwarMutaqin
Deret Taylor
Galat/Error
Metode Numerik
Anwar Mutaqin
Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA
10 Maret 2010
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA)Metode Numerik 10 Maret 2010 1 / 16
MetodeNumerik
AnwarMutaqin
Deret Taylor
Galat/Error
Deret Taylor
Ekspansi Taylor
Misalkan f 2 C∞ [a, b] dan x0 2 [a, b], maka untuk nilai-nilai xdi sekitar x0 dan x 2 [a, b], f dapat dinyatakan dalam deretTaylor
f (x) = f (x0) +f 0 (x0)
1!(x� x0) +
f 00(x0)
2!(x� x0)
2 + � � �
+f (n) (x0)
n!(x� x0)
n + � � �
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA)Metode Numerik 10 Maret 2010 2 / 16
MetodeNumerik
AnwarMutaqin
Deret Taylor
Galat/Error
Deret Taylor
Ekspansi Maclaurin
Untuk x0 = 0, maka deretnya dinamakan Deret Maclaurin
f (x) = f (0) +f 0 (0)
1!x+
f 00 (0)2!
x2 + � � �+ f (n) (0)n!
xn + � � �
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA)Metode Numerik 10 Maret 2010 3 / 16
MetodeNumerik
AnwarMutaqin
Deret Taylor
Galat/Error
Deret Taylor
Contoh
Ekspansikan fungsi f (x) = cos x di sekitar x = π2 !
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA)Metode Numerik 10 Maret 2010 4 / 16
MetodeNumerik
AnwarMutaqin
Deret Taylor
Galat/Error
Deret Taylor
Contoh
f 0 (x) = � sin x f 0�
π2
�= �1
f00(x) = � cos x f
00 �π2
�= 0
f000(x) = sin x f
000 �π2
�= 1
f (4) (x) = cos x f (4)�
π2
�= 0
f (5) (x) = � sin x f (5)�
π2
�= �1
f (6) (x) = � cos x f (6)�
π2
�= 0
cos x = ��
x� π
2
�+
�x� π
2
�3
3!��x� π
2
�5
5!+ � � �
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA)Metode Numerik 10 Maret 2010 5 / 16
MetodeNumerik
AnwarMutaqin
Deret Taylor
Galat/Error
Deret Taylor
Contoh
Ekspansi fungsi f (x) = sin x, f (x) = cos x, f (x) = ex, danf (x) = ln (x+ 1) di sekitar 0
sin x = x� x3
3!+
x5
5!� x7
7!+ � � �
cos x = 1� x2
2!+
x4
4!� x6
6!+ � � �
ex = 1+ x+x2
2!+ � � �
ln (1+ x) = x� x2
2+
x3
3� x4
4+ � � �
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA)Metode Numerik 10 Maret 2010 6 / 16
MetodeNumerik
AnwarMutaqin
Deret Taylor
Galat/Error
Deret Taylor
Latihan
Ekspansikan fungsi-fungsi berikut di sekitar 0 :
1. f (x) = ex2
2. f (x) =p
1+ x3. f (x) = 1
1�x
4. Hitunglah0.4R0
p1+ x4dx
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA)Metode Numerik 10 Maret 2010 7 / 16
MetodeNumerik
AnwarMutaqin
Deret Taylor
Galat/Error
Galat/Error
Galat Eksak
� Galat Mutlak:ε = jx� bxj
� Galat Relatif:
εR =ε
xatau εR =
ε
x.100%
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA)Metode Numerik 10 Maret 2010 8 / 16
MetodeNumerik
AnwarMutaqin
Deret Taylor
Galat/Error
Galat/Error
Galat Eksak
� Galat Mutlak:ε = jx� bxj
� Galat Relatif:
εR =ε
xatau εR =
ε
x.100%
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA)Metode Numerik 10 Maret 2010 8 / 16
MetodeNumerik
AnwarMutaqin
Deret Taylor
Galat/Error
Galat/Error
Galat Hampiran
εRA =xr+1 � xr
xr+1
Proses iterasi dihentikan jika
jεRAj < toleransi
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA)Metode Numerik 10 Maret 2010 9 / 16
MetodeNumerik
AnwarMutaqin
Deret Taylor
Galat/Error
Galat/Error
Contoh
� Soal: Hitunglah akar persamaan x3 + 6x� 3 = 0!
� Jawab:
xn+1 =�x3
n + 36
, x1 = 0, 5
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA)Metode Numerik 10 Maret 2010 10 / 16
MetodeNumerik
AnwarMutaqin
Deret Taylor
Galat/Error
Galat/Error
Contoh
� Soal: Hitunglah akar persamaan x3 + 6x� 3 = 0!� Jawab:
xn+1 =�x3
n + 36
, x1 = 0, 5
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA)Metode Numerik 10 Maret 2010 10 / 16
MetodeNumerik
AnwarMutaqin
Deret Taylor
Galat/Error
Galat/Error
Sumber Galat
1 Galat Bawaan (inheren): Galat dalam nilai datadisebabkan oleh ketidakpastian dalam pengukuran atauoleh perlunya pendekatan untuk menyatakan suatubilangan yang angkanya tidak secara tepat dapatdinyatakan dengan banyaknya angka yang tersedia
2 Galat Pemotongan: Galat yang timbul karena penggunaanaproksimasi sebagai pengganti metode eksak
3 Galat Pembulatan: Galat yang timbul karena keterbatasan(komputer) menyajikakn bilangan real
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA)Metode Numerik 10 Maret 2010 11 / 16
MetodeNumerik
AnwarMutaqin
Deret Taylor
Galat/Error
Galat/Error
Sumber Galat
1 Galat Bawaan (inheren): Galat dalam nilai datadisebabkan oleh ketidakpastian dalam pengukuran atauoleh perlunya pendekatan untuk menyatakan suatubilangan yang angkanya tidak secara tepat dapatdinyatakan dengan banyaknya angka yang tersedia
2 Galat Pemotongan: Galat yang timbul karena penggunaanaproksimasi sebagai pengganti metode eksak
3 Galat Pembulatan: Galat yang timbul karena keterbatasan(komputer) menyajikakn bilangan real
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA)Metode Numerik 10 Maret 2010 11 / 16
MetodeNumerik
AnwarMutaqin
Deret Taylor
Galat/Error
Galat/Error
Sumber Galat
1 Galat Bawaan (inheren): Galat dalam nilai datadisebabkan oleh ketidakpastian dalam pengukuran atauoleh perlunya pendekatan untuk menyatakan suatubilangan yang angkanya tidak secara tepat dapatdinyatakan dengan banyaknya angka yang tersedia
2 Galat Pemotongan: Galat yang timbul karena penggunaanaproksimasi sebagai pengganti metode eksak
3 Galat Pembulatan: Galat yang timbul karena keterbatasan(komputer) menyajikakn bilangan real
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA)Metode Numerik 10 Maret 2010 11 / 16
MetodeNumerik
AnwarMutaqin
Deret Taylor
Galat/Error
Galat/Error
Galat Pemotongan
� Deret Taylor memiliki suku tak hingga buah
f (x) = f (x0) +(x� x0)
1!f 0 (x0) +
(x� x0)2
2!f 00(x0) + � � �
+(x� x0)
n
n!f (n) (x0) + � � �
� Karena keterbatasan alat, maka dilakukan pemotongan
f (x) = f (x0) +(x� x0)
1!f 0 (x0) +
(x� x0)2
2!f 00(x0) + � � �
+(x� x0)
n
n!f (n) (x0) + � � �+ Rn (x)
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA)Metode Numerik 10 Maret 2010 12 / 16
MetodeNumerik
AnwarMutaqin
Deret Taylor
Galat/Error
Galat/Error
Galat Pemotongan
� Deret Taylor memiliki suku tak hingga buah
f (x) = f (x0) +(x� x0)
1!f 0 (x0) +
(x� x0)2
2!f 00(x0) + � � �
+(x� x0)
n
n!f (n) (x0) + � � �
� Karena keterbatasan alat, maka dilakukan pemotongan
f (x) = f (x0) +(x� x0)
1!f 0 (x0) +
(x� x0)2
2!f 00(x0) + � � �
+(x� x0)
n
n!f (n) (x0) + � � �+ Rn (x)
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA)Metode Numerik 10 Maret 2010 12 / 16
MetodeNumerik
AnwarMutaqin
Deret Taylor
Galat/Error
Galat/Error
Galat Pemotongan
f (x) = Pn (x) + Rn (x)
dengan
Rn (x) =(x� x0)
n+1
(n+ 1)!f (n+1) (x0) , x0 < c < x
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA)Metode Numerik 10 Maret 2010 13 / 16
MetodeNumerik
AnwarMutaqin
Deret Taylor
Galat/Error
Galat/Error
Rumus
Besarnya Galat Pemotongan pada Deret Taylor adalah:
jRn (x)j < maxx0<c<x
���f (n+1) (c)��� (x� x0)
n+1
(n+ 1)!
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA)Metode Numerik 10 Maret 2010 14 / 16
MetodeNumerik
AnwarMutaqin
Deret Taylor
Galat/Error
Galat/Error
Contoh
� Soal: Gunakan deret Taylor orde 4 di sekitar 0 untukmenghitung ln (1, 1) dan berikan taksiran untuk galatpemotongan maksimum yang dibuat!
� Jawab:
ln (1+ x) = x� x2
2+
x3
3� x4
4+ R4 (x)
ln (1.1) = 0.1� 0.12
2+
0.13
3� 0.14
4+ R4 (x)
= 9. 530 8� 10�2 + R4 (x)
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA)Metode Numerik 10 Maret 2010 15 / 16
MetodeNumerik
AnwarMutaqin
Deret Taylor
Galat/Error
Galat/Error
Contoh
� Soal: Gunakan deret Taylor orde 4 di sekitar 0 untukmenghitung ln (1, 1) dan berikan taksiran untuk galatpemotongan maksimum yang dibuat!
� Jawab:
ln (1+ x) = x� x2
2+
x3
3� x4
4+ R4 (x)
ln (1.1) = 0.1� 0.12
2+
0.13
3� 0.14
4+ R4 (x)
= 9. 530 8� 10�2 + R4 (x)
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA)Metode Numerik 10 Maret 2010 15 / 16
MetodeNumerik
AnwarMutaqin
Deret Taylor
Galat/Error
Galat/Error
Contoh
R4 (1.1) < max0<c<0.1
���24.c5��� .(0.1� 0)5
5!
Anwar Mutaqin (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA)Metode Numerik 10 Maret 2010 16 / 16