NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

Pengertian nilai eigen dan vektor eigen

Diketahui matriks berukuran .

Bilangan real disebut nilai eigen jika terdapat vektor tak nol di

sehingga memenuhi

Vektor tak nol yang memenuhi persamaan tersebut dinamakan vector

eigen.

Terbentuk Sistem Persamaan Linear Homogen.

Agar SPL homogen itu mempunyai solusi nontrivial syaratnya adalah

Persamaan tersebut dinamakan persamaan karakteristik.

Himpunan vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan disebut ruang

eigen, yaitu

Contoh :

Akan dicari nilai eigen dan vektor eigen untuk matriks berikut.

Sistem persamaan linear homogen yang terjadi adalah

SPL akan mempunyai solusi nontrivial jika

yaitu atau berarti juga atau .

Untuk diperoleh

atau

artinya untuk suatu bilangan real .

Jadi vektor-vektor eigen (ruang eigen) untuk adalah :

Untuk diperoleh

atau

artinya .

Jadi vektor-vektor eigen (ruang eigen) untuk adalah :

Diagonalisasi

Matriks bujursangkar dikatakan dapat didiagonalkan jika terdapat

matriks invertible sehingga

dengan adalah matriks diagonal. Proses ini disebut diagonalisasi.

Jika matriks dapat didiagonalkan, maka

dan selanjutnya

Secara umum

Syarat perlu dan cukup suatu matriks dapat didiagonalkan

Teorema :

Matriks bujursangkar dapat didiagonalkan

jika dan hanya jika

mempunyai vektor eigen yang bebas linear.

Pembentukan matriks

Misalnya matriks mempunyai vektor-vektor eigen yang bebas linear

yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen (tidak harus

berbeda) .

Misalkan vektor-vektor tersebut adalah

,

,

Dibentuk matriks invertible sebagai berikut:

Contoh :

Akan diselidiki apakah matriks berikut dapat didiagonalkan

Ambil dua vector eigen yang bebas linear, yaitu

Kemudian dibentuk matriks invertible berikut

dan

Akibatnya adalah hasil kali matriks-matriks berikut berupa matriks

diagonal :