suharyadi purwanto_statistika_12 bab 12 teori pendugaan statistik
DESCRIPTION
Materi ini merupakan bahan ajar sebagai pelengkap e-materi mata kuliah statistika bisnis.Suharyadi&Purwanto (2011). Statistika Untuk Ekonomi Dan Keuangan.Jakarta: Penerbit Salemba Empat.TRANSCRIPT
Bab 12 Teori Pendugaan Statistik
Konsep Dasar Persamaan SimultanMemilih Ukuran Sampel
Bagian I Statistik Induktif
Metode dan Distribusi Sampling
Teori Pendugaan Statistik
Pengujian Hipotesa Sampel Besar
Pengujian Hipotesa Sampel Kecil
Analisis Regresi dan Korelasi Linier
Analisis Regresi dan Korelasi Berganda
Pengertian Teori dan KegunaanPendugaan
Pendugaan Interval
Kesalahan Standar dari Rata-rata HitungSampel
Menyusun Interval Keyakinan
Interval Keyakinan Rata-rata dan Proporsi
Interval Keyakinan Selisih Rata-rata danProporsi
OUTLINE
Pendugaan Titik Parameter
f( 1)
f( 2)
f( 3)
s2 = 1 (Xi - ) 2
n - 1
s2 = 1 {(X1 - ) 2 + (X2 - x)2 + … + (Xn - ) 2}
n - 1X X
X
X
X
X
XX
Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Pendugaan Titik Paraneter
PENDUGA TUNGGAL SEBAGAI FUNGSI UNSUR POPULASI
atau S = f( X1, X2, …, X n)
di mana:
= 1 Xi
n
= 1 (X1 + X2 + … + X n)
n
X
X
X
SIFAT-SIFAT PENDUGA
4
Penduga Tidak Bias
• Unbiased
estimator
Penduga Efisien
• Efficient estimator
Penduga Konsisten
• Consistent estimator
Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Pendugaan Titik Paraneter
penduga tidak bias
5
Penduga Tidak Bias
• Jika di dalam sampel
random yang
berasal dari
populasi, rata-rata
atau nilai harapan
(expexted value, )
dari statistik sampel
sama dengan
parameter populasi
() atau dapat
dilambangkan
dengan E( ) =
X
X
E( ) =X
E( ) X
Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Pendugaan Titik Paraneter
Penduga efisien
6
Penduga yang efisien adalah penduga yang tidak bias dan mempunyai
varians terkecil (sx2) dari penduga-penduga lainnya.
Penduga Efisien
sx12 < sx2
2
sx12
sx22
Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Pendugaan Titik Paraneter
Penduga Konsisten
7
Penduga yang konsisten adalah nilai dugaan ( ) yang semakin mendekati
nilai yang sebenarnya dengan semakin bertambahnya jumlah sampel
(n).
Penduga Konsisten
X
n tak terhingga
n sangat besar
n besar
n kecil
Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Pendugaan Titik Paraneter
Pendugaan interval
Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Pendugaan Interval
Pendugaan interval menyatakan jarak di dalam
mana suatu parameter populasi mungkin berada.
Rumus interval pendugaan
9
(s – Zsx < P < s + Zsx ) = C
S : statistik yang merupakan penduga parameter populasi (P)
P : parameter populasi yang tidak diketahui
Sx : standar deviasi distribusi sampel statistik
Z : suatu nilai yang ditentukan oleh probabilitas yang berhubungan
dengan pendugaan interval, Nilai Z diperoleh dari tabel luas
di bawah kurva normal
C : Probabilitas atau tingkat keyakinan yang dalam praktek sudah
ditentukan dahulu
s – Zsx : nilai batas bawah keyakinan
s + Zsx : nilai batas atas keyakinan
Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Pendugaan Interval
Menentukan jumlah sampel tiap stratum
Pada gambar terlihat untuk interval keyakinan 95% terhubungkan dengan
nilai Z antara –1,96 sampai 1,96. Ini dapat diartikan juga bahwa 95% dari
rata-rata hitung sampel akan terletak di dalam 1,96 kali standar
deviasinya. Sedangkan untuk keyakinan 99%, maka rata-rata hitungnya
juga akan terletak di dalam 2,58 kali standar deviasinya. Interval
keyakinan juga dapat dituliskan untuk C= 0,95 adalah 1,96x dan
untuk C=0,99 adalah 2,58sx.
Z =2,58Z =-2,58 0=
0.50
Z=1,96Z=-1,96
0,50
X
XXX
XXXXXX
XXX XXX
XXXX
X
95%
99%
Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Pendugaan Interval
Menentukan jumlah sampel tiap stratum
11
Luas kurva adalah 1 dan simetris yaitu sisi kanan dan kiri luasnya sama yaitu 0,5.
Nilai C= 0,95 apabila dibagi menjadi dua bagian simetris maka menjadi 0,4750 yang
diperoleh dari 0,95/2. Apabila digunakan tabel luas di bawah kurva normal untuk
probabilitas 0,4750 maka akan diperoleh nilai Z sebesar 1,96. Begitu juga untuk
C= 0,99, maka probabilitasnya adalah 0,99/2 = 0,4950, nilai probabilitas ini
terhubung dengan nilai Z= 2,58.
Setelah menemukan nilai Z dan standar deviasinya, maka dapat dibuat interval
keyakinan dengan mudah misalnya untuk C= 0,95 adalah P( – 1,96sx < m < +
1,96sx) = 0,95 sedang untuk C= 0,99 adalah P( – 2,58sx < m < + 2,58sx) = 0,99.
0.50
Z=1,96Z=-1,96
0,50
0,47500,95/2 = 0,47500,95/2 =
0,50/2 = 0,025 0,50/2 = 0,025
Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Pendugaan Interval
Menentukan jumlah sampel tiap stratum
1212
Pada gambar di atas terlihat bahwa interval 1 dengan nilai rata-rata interval 95
dengan rata-rata 95 mengandung nilai parameternya yaitu dan hanya 96
sampai 100 atau 5% interval saja yang tidak dari statistik mengandung .
Jadi interval keyakinan C= 95 dapat diartikan bahwa sebanyak 95% interval
mengandung nilai parameter aslinya yaitu dan hanya 5% interval saja yang tidak
mengandung parameternya.
x = –1,96sxx = –1,96sx
x1 = interval 1 mengandung µ
x2 = interval 1 mengandung µ x95 = interval 95 mengandung µ
x95 = interval 95—100 tidak mengandung µ
Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Pendugaan Interval
Kesalahan standar
Kesalahan standar dari rata-rata hitung sampel adalah standar deviasi
distribusi sampel dari rata-rata
Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Kesalahan Standar dari Rata-rata HitungSampel
Rumus kesalahan standar
14
n
=sx
Untuk populasi yang tidak
terbatas n/N < 0,05:
1-
-=
N
nN
n
Untuk populasi yang
terbatas n/N > 0,05:
sx
: Standar deviasi populasi
sx : Standar error/kesalahan
standar dari rata-rata
hitung sampel
n : Jumlah atau ukuran
sampel
N : Jumlah atau ukuran
populasi
Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Kesalahan Standar dari Rata-rata HitungSampel
Rumus interval keyakinan rata-rata hitung
Untuk populasiyang terbatas, faktorkoreksi menjadi (N–n)/N-1. Nilai merupakanrata-rata darisampel, sedangkan nilai Z untukbeberapa
nilai C
X Z /2s/n
Interval keyakinan rata-rata hitung
TingkatKeyakinan
C/2 Nilai Terdekat Nilai Z
0,99 0,495 0,4951 2,58
0,98 0,490 0,4901 2,53
0,95 0,475 0,4750 1,96
0,90 0,450 0,4505 1,65
0,85 0,425 0,4251 1,44
0,80 0,400 0,3997 1,28
Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Menyusun Interval Keyakinan
Interval keyakinan rata-rata hitung
16
Berdasarkan pada nilai Z dan diasumsikan bahwa n>30 maka dapat disusun interval beberapa keyakinansebagai berikut:
• 2,58 s/n99%
• 2,33 s/n98%
• 1,96 s/n95%
• 1,65 s/n99%
• 1,44 s/n98%
Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Menyusun Interval Keyakinan
Interval keyakinan rata-rata hitung
17
Interval keyakinan tersebut dapat juga digambarkan sebagai berikut:
1 -
/2 /2
-Z /2 Z /2
Batas bawahBatas atas
Nilai parameter yang sebenarnya diharapkan akan terdapat pada interval
1 - dengan batas bawah -Z /2 dan batas atas Z /2.
Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Menyusun Interval Keyakinan
Mulai Identifikasi
masalah
Menentukan
sampel (n) dan
nilai rata-rata
Populasi Tidak Terbatas
Z/2 s/n
Menentukan Keyakinan(C
atau = (1 – C) dan Nilai Z
Populasi Terbatas
Z/2 s/(N - n)/N-1
X
X
X
SKEMA PROSES INTERVAL KEYAKINAN
Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Interval Keyakinan Rata-rata dan Proporsi
Probabilitas ( – Z/2 x < < ( Z/2 s/(N – n)/N – 1n sx ) = C
atau
Probabilitas ( Z/2 sx ) = C
: Rata-rata dari sampel
Z/2 : Nilai Z dari tingkat kepercayaan
: Rata-rata populasi yang diduga
x : Standar error / kesalahan standar dari rata-rata
hitung sampel
C : Tingkat keyakinan
: (1 – C)
XX
X
X
DISTRIBUSI & STANDAR DEVIASI POPULASI
Distribusi Sampling: NormalStandar Deviasi Populasi: Diketahui
Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Interval Keyakinan Rata-rata dan Proporsi
Distribusi & standar deviasi populasi
20
Standar error untuk populasi
tidak terbatas
Distribusi t dengan n=25
Distribusi normal standar
Distribusi t dengan n=15
n
SSx =
1-
-=
N
nN
n
SS
x
Standar error untuk populasi yang
terbatas dan n/N > 0,05:
Distribusi Sampling: NormalStandar Deviasi Populasi: Tidak Diketahui
Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Interval Keyakinan Rata-rata dan Proporsi
Distribusi t dengan n=5
( – t/2 sx< < ( + t/2 sx )
: Rata-rata dari sampel
t/2 : Nilai t dari tingkat kepercayaan
: Rata-rata populasi yang diduga
sx : Standar error/kesalahan standar dari rata-rata
hitung sampel
C : Tingkat keyakinan
: 1 – C
X
X
Distribusi & standar deviasiDistribusi Sampling: Mendekati Normal Standar Deviasi Populasi: Tidak Diketahui
X
Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Interval Keyakinan Rata-rata dan Proporsi
Distribusi & standar deviasi
22
Untuk populasi yang tidak terbatas
Untuk populasi yang terbatas
Rumus pendugaan proporsi populasi
Probabilitas (p - Z/2.Sp<P< p + Z/2.Sp)
p : Proporsi sampel
Z/2: Nilai Z dari tingkat keyakinan
P :Proporsi populasi yang diduga
Sp : Standar error/kesalahan dari proporsi
C :Tingkat keyakinan
:1 – C
11
1
-
-
-
-=
N
nN
n
ppSp
)(
1
)1(
-
-=
n
ppSp
Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Interval Keyakinan Rata-rata dan Proporsi
Interval keyakinan untuk selisih rata-rata
Probabilitas(( - ) - Z/2. x1-x2) < ( - ) < ( - ) + Z/2. x1-x2)
Di mana standar error dari nilai selisih rata-rata adalah:
Apabila standar deviasi dari populasi tidak ada, maka dapat diduga dengan
standar deviasi sampel yaitu:
Di mana:
x1-x2 : Standar deviasi selisih rata-rata populasi
sx1-x2 : Standar error selisih rata-rata
sx1, sx1: Standar deviasi sampel dari dua populasi
n1, n2: Jumlah sampel setiap populasi
2
22
2
1
1
21 nn
xx
xx
=
=-
2
22
2
1
1
21 n
s
n
ss
xx
xx ==-
X2X1 X2X1 X2X1
Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Interval Keyakinan Rata-rata Selisih dan Proporsi
Interval keyakinan untuk selisih proporsi
Probabilitas
Probabilitas ((p1-p2) - Z/2. sp1-p2) <(P1-P2) < (p1-p2) + Z/2. sp1-p2)
Di mana standar error dari nilai selisih proporsi adalah:
p1, p2 : Proporsi sampel dari dua populasi
Sp1, sp1: Standar error selisih proporsi dari dua populasi
n1, n2 : Jumlah sampel setiap populasi
1
)1(
1
)1(
2
2211
1
21 -
-
-
-=
=-n
pp
n
pps pp
Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Interval Keyakinan Rata-rata Selisih dan Proporsi
25
FAKTOR UKURAN SAMPEL
Tingkat keyakinan yang dipilih
Kesalahan maksimum yang diperbolehkan
Variasi dari populasi
Faktor yang memengaruhi jumlah sampel:
Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Memilih Ukuran Sampel
26
Rumus jumlah sampel dalam populasi dirumuskan sebagai berikut:
Rumus tersebut diturunkan dari interval keyakinan sebagaimana
diuraikan sebagai berikut:
P (–Za/2 < Z < Za/2 ) = C = 1 – a
(–Za/2 < ( – m)/(s/Ön) < Za/2)
(–Za/2 (s/Ön) < ( – m) < Za/2(s/Ön))
(x – m) < Za/2(s/Ön); ingat bahwa error e = – m
e < Za/2(s/Ön);
e2 = (Za/2)2(s2/n);
n = [(Za/2.s)/e]2
RUMUS JUMLAH SAMPEL UNTUK MENDUGA RATA-RATA POPULASI
n = [(Za/2.s)/e]2
Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Memilih Ukuran Sampel
27
Untuk mendapatkan rumus jumlah sampel dalam pendugaan proporsi populasi dapat diturunkan sebagai berikut:
P (–Z/2 < Z < Z/2 ) = C = 1 –
(–Z/2 < (p1 – p2)/(/n) <Z/2)
(–Z/2([(p(1 – p)]/n – 1) < (p1 – p2) < Z/2([p(1– p)]/n–1)
(p1 – p2) < Z/2([(p(1 – p)]/n – 1); ingat bahwa error e = p1 – p2
e < Z/2([(p(1 – p)]/n – 1); dikuadratkan kedua sisi menjadi
e2 = (Z/2)2[(p(1 – p)]/n – 1; dipindahkan n – 1 ke sisi kiri
n –1 = (Z/2.)2 p(1 – p) sehingga n menjadi
e2
n = (Z/2.)2 p(1 – p) + 1
e2
RUMUS JUMLAH SAMPEL UNTUK MENDUGA RATA-RATA POPULASI
Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Memilih Ukuran Sampel