STUDI PERBANDINGAN RESPON MODAL ANTARA

METODA ELEMEN HINGGA DAN KEKAKUAN DINAMIK

PADA STRUKTUR PORTAL BIDANG

TESIS

Karya tulis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister dari

Institut Teknologi Bandung

Oleh

DONALD ESSEN

NIM : 25005013

Program Studi Rekayasa Struktur

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG

2007

ABSTRAK

STUDI PERBANDINGAN RESPON MODAL ANTARA

METODA ELEMEN HINGGA DAN KEKAKUAN DINAMIK

PADA STRUKTUR PORTAL BIDANG

Oleh :

Donald Essen

NIM : 25005013

Pembimbing :

Prof. Dr. Ir. Bambang Budiono, ME

Analisis modal merupakan tahapan paling kritis dalam analisis dinamik. Kebanyakan analisis struktur saat ini dikerjakan menggunakan program-program berbasis metoda elemen hingga yang merupakan metoda diskrit. Akibatnya, massa hanya dapat direpresentasikan dalam nodal struktur dan agar dapat memodelkan distribusi massa yang kontinyu pada struktur, member struktur harus dibagi-bagi menjadi elemen-elemen yang lebih kecil dengan jumlah yang secara teoretis adalah tak berhingga. Respon modal struktur balok dan portal bidang telah dianalisis untuk mempelajari sensitivitasnya terhadap diskretisasi model elemen hingga dan dibandingkan dengan hasil dari metoda kekakuan dinamik. Diamati bahwa, pada struktur balok penggunaan 3xN elemen sebagai jumlah minimum elemen untuk mendapatkan respon modal yang akurat dimana N adalah ragam yang ditinjau, hanya tepat untuk frekuensi natural namun tidak akurat untuk faktor partisipasi modal ataupun perpindahan modal. Dengan demikian untuk struktur balok disarankan untuk membagi balok menjadi elemen-elemen yang lebih kecil sehingga respon modal dapat dihitung secara akurat. Untuk struktur portal bidang diperoleh bahwa jumlah elemen berkurang dengan meningkatnya rasio massa dari balok terhadap kolom dan mengacu kepada struktur portal bidang simetris-beraturan yang tereksitasi oleh beban gempa horisontal, tidak ada mesh yang diperlukan walaupun keakuratan respon modal dapat berkurang dengan makin bertambahnya jumlah ragam yang ditinjau. Untuk portal yang tidak-simetris beraturan dengan dan tanpa dinding geser, hasil analisis menunjukkan bahwa untuk ragam fundamental dan beberapa ragam yang rendah, respon modal yang dihitung sudah akurat tanpa adanya mesh namun tidak pada ragam-ragam tinggi yang berhubungan dengan goyangan samping portal. Kekompleksan bentuk vibrasi dan masalah mesh dalam analisis vibrasi struktur yang tidak simetris-beraturan dengan metoda elemen hingga menunjukkan pentingnya struktur gedung untuk sedapat mungkin memiliki konfigurasi yang simetris-beraturan. Kata-kata kunci: Metoda Elemen Hingga, Metoda Kekakuan Dinamik, Respon Modal, Diskretisasi

i

ABSTRACT

COMPARATIVE STUDY OF MODAL RESPONSE BETWEEN

FINITE ELEMENT AND DYNAMIC STIFFNESS METHODS

OF PLANE FRAME STRUCTURES

By :

Donald Essen

NIM : 25005013

Supervisor :

Prof. Dr. Ir. Bambang Budiono, ME

Modal analysis is the most critical phase in dynamic analyis. Many structural analysis nowadays are employed using programs that based on finite element method which is discrete method. Because of that, mass can only be represented in structural nodes and in order to get a continuos mass distribution on structure, structural members must be divided into a theoretically infinite number of smaller elements. Modal response of beam and plane frame structures has been analyzed to study its sensitivity to the finite element discretizations and has been compared to the results from dynamic stiffness method. It is observed that in beam structures, the use of 3xN elements as minimum number of element to get an accurate modal response where N is the mode being considered is only correct for natural frequency but not for modal participation factor or modal displacement. Thus for beam structure, it is suggested to divide the beam into many smaller elements as possible so the modal response can be calculated accurately. For plane frame structures, it is obtained that the number of element mesh is decreasing with the increase of beam to column mass ratio and with respect to symmetric-regular plane frame structures excited by horizontal earthquake load, no mesh is needed even though the accuracy of modal response might be decreasing with the increase of number of modes being considered. For unsymmetric-irregular frames with and without shearwalls, analysis result shows that for fundamental mode and few lower modes, modal responses being calculated are accurate enough without mesh but not for higher sidesway modes. The complexity of vibration modes and mesh problem in vibration analysis of unsymmetirc-irregular structure using finite element method shows the importance of building structures to posses as possible, a symmetric and regular configuration. Keywords: Finite Element Method, Dynamic Stiffness Method, Modal Response, Discretization

ii

STUDI PERBANDINGAN RESPON MODAL ANTARA

METODA ELEMEN HINGGA DAN KEKAKUAN DINAMIK

PADA STRUKTUR PORTAL BIDANG

Oleh

Donald Essen

NIM : 25005013

Program Studi Rekayasa Struktur

Institut Teknologi Bandung

Menyetujui,

Pembimbing

Tanggal ......................................

(Prof. Dr. Ir. Bambang Budiono, ME)

iii

PEDOMAN PENGGUNAAN TESIS

Tesis S2 yang tidak dipublikasikan terdaftar dan tersedia di Perpustakaan Institut

Teknologi Bandung, dan terbuka untuk umum dengan ketentuan bahwa hak cipta

ada pada pengarang dengan mengikuti aturan HAKI yang berlaku di Institut

Teknologi Bandung. Referensi kepustakaan diperkenankan dicatat, tetapi

pengutipan atau peringkasan hanya dapat dilakukan seizin pengarang dan harus

disertai dengan kebiasaan ilmiah untuk menyebutkan sumbernya.

Memperbanyak atau menerbitkan sebagian atau seluruh tesis haruslah seizin

Direktur Program Pascasarjana, Institut Teknologi Bandung.

iv

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa yang

telah melimpahkan kasih dan kuasa-Nya sehingga tesis ini dapat diselesaikan.

Penyelesaian tesis ini tidak terlepas dari bimbingan dan bantuan dari berbagai

pihak. Untuk itu melalui kesempatan yang baik ini, penulis ingin mengucapkan

banyak terima kasih kepada :

1. Prof. Dr. Ir. Bambang Budiono, ME, selaku dosen pembimbing.

2. Dr. Ir. Herlien D. Setio, selaku dosen penguji dan Ketua Program Studi

Teknik Sipil Institut Teknologi Bandung.

3. Ir. Made Suarjana, PhD, juga selaku dosen penguji.

4. Staf dosen dan karyawan Program Studi Rekayasa Struktur Institut Teknologi

Bandung.

5. Papa, mama, kekasih dan saudara-saudara tercinta yang dengan tulus telah

memberikan dukungan dan doa.

6. Ir. Daud Tegasan sebagai komisaris PT. Wiratman & Associates yang

membantu sebagian biaya studi.

7. Teman-teman angkatan 2005 S2 Magister Teknik Sipil dengan pengutamaan

rekayasa struktur di Institut Teknologi Bandung.

8. Serta pihak-pihak lain yang juga telah membantu dalam penyelesaian tesis ini

yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu

Akhir kata penulis tetap terbuka menerima saran dan kritik untuk perbaikan di

masa mendatang. Semoga tesis ini dapat bermanfaat sebagaimana mestinya.

Bandung, Juni 2007

Penulis

v

DAFTAR ISI

ABSTRAK .................................................................................................. i

ABSTRACT ................................................................................................ ii

HALAMAN PENGESAHAN ..................................................................... iii

PEDOMAN PENGGUNAAN TESIS ........................................................ iv

KATA PENGANTAR ................................................................................ v

DAFTAR ISI ............................................................................................... vi

DAFTAR LAMPIRAN ............................................................................... viii

DAFTAR GAMBAR .................................................................................. ix

DAFTAR TABEL ....................................................................................... xi

DAFTAR NOTASI ..................................................................................... xiv

Bab I Pendahuluan ....................................................................... 1

I.1 Latar Belakang ................................................................... 1

I.2 Tujuan ................................................................................ 3

I.3 Ruang Lingkup Pembahasan dan Batasan Masalah ........... 4

I.4 Metodologi Penelitian ........................................................ 5

I.5 Sistematika Penulisan ........................................................ 6

Bab II Dasar Teori dan Studi Literatur .......................................... 8

II.1 Prinsip Pemodelan Struktur Gedung................................... 8

II.2 Fundamental dari Metoda Elemen Hingga dan Kekakuan

Dinamik .............................................................................. 9

II.3 Perumusan Matrik Kekakuan Dinamik............................... 11

II.3.1 Gerak Lentur Balok Euler Bernoully ................................. 11

II.3.2 Gerak Longitudinal Balok Euler Bernoully........................ 13

II.4 Matrik Kekakuan Dinamik Struktur.................................... 13

II.5 Persamaan Gerak Bebas Sistem.......................................... 16

II.6 Prosedur Numerik Untuk Mendapatkan Modal Data.......... 17

II.6.1 Wittrick-Williams algorithm............................................... 17

II.6.2 Perhitungan Eigenvector dan Mode Shape......................... 20

II.6.3 Perhitungan Faktor Partisipasi Modal................................. 26

vi

II.7 Fungsi Bentuk dan Matrik Massa Pada Metoda Elemen

Hingga……………………................................................. 27

II.7.1 Fungsi Bentuk Statik Gerak Lentur Balok Euler-

Bernoully............................................................................. 28

II.7.2 Lumped Mass...................................................................... 28

II.7.3 Consistent Mass.................................................................. 29

Bab III Program dan Verifikasi ...................................................... 31

III.1 Input Model dan Bagan Alir Pemrograman ....................... 31

III.2 Verifikasi Program ............................................................. 28

III.3 Solusi Terhadap Masalah Dengan Mode Finding .............. 42

Bab IV Studi Kasus dan Analisis .................................................... 45

IV.1 Respon Modal dan Kriteria Penerimaan............................. 45

IV.1.1 Vibrasi Balok ..................................................................... 46

IV.1.2 Vibrasi Portal Bidang ......................................................... 64

IV.2 Keandalan Maupun Kelemahan Dari Metoda Elemen

Hingga dan Kekakuan Dinamik.......................................... 91

Bab V Kesimpulan dan Saran......................................................... 95

V.1 Kesimpulan......................................................................... 95

V.2 Saran.................................................................................... 98

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................. xvi

LAMPIRAN A ............................................................................................ A-1

LAMPIRAN B ............................................................................................ B-1

LAMPIRAN C ............................................................................................ C-1

LAMPIRAN D ............................................................................................ D-1

vii

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran A Persamaan Gerak Balok dan Perumusan Matrik

Kekakuan Dinamik

( )[ ] ( )*ωppJLampiran B ppmK *ωPenentuan , ppω dan

Lampiran C Bagan Alir dan Source Code Program

Lampiran D Tabel Hasil Analisis Studi Kasus

viii

DAFTAR GAMBAR

Gambar I.1 Bagan Alir Metodologi Penelitian …………………... 5

Gambar II.1 Transformasi Derajat Kebebasan Lokal ke Global untuk Portal Bidang ..................................................... 15

Gambar III.1 Bagan Alir Utama Program Metoda Kekakuan Dinamik .......................................................................

27

Gambar III.2 Balok Sederhana Jepit-Jepit yang Seragam ................. 33

Gambar III.3 Balok Sederhana Jepit-Sendi yang Seragam ............... 35

Gambar III.4 Balok Sederhana Jepit-Bebas yang Seragam .............. 37

Gambar III.5 Balok Sederhana Sendi-Sendi yang Seragam ............. 39

Gambar III.6 Balok Sederhana Sendi-Bebas yang Seragam ............. 41

Gambar III.7a Submembering Balok Jepit-Jepit dengan Lokasi Node di Tengah Bentang.............................................. 42

Gambar III.7b Submembering Balok Jepit-Jepit dengan Lokasi Node Sesuai Persamaan (III.25b)................................. 43

Gambar IV.1a Mode Shape Mode 1 Balok Jepit-Jepit........................ 49

Gambar IV.1b Mode Shape Mode 2 Balok Jepit-Jepit........................ 49

Gambar IV.1c Mode Shape Mode 4 Balok Jepit-Jepit........................ 50

Gambar IV.1d Mode Shape Mode 5 Balok Jepit-Jepit........................ 50

Gambar IV.1e Mode Shape Mode 7 Balok Jepit-Jepit........................ 51

Gambar IV.2a Mode Shape Mode 1 Balok Jepit-Sendi....................... 52

Gambar IV.2b Mode Shape Mode 2 Balok Jepit-Sendi....................... 53

Gambar IV.2c Mode Shape Mode 3 Balok Jepit-Sendi....................... 53

Gambar IV.2d Mode Shape Mode 5 Balok Jepit-Sendi....................... 54

Gambar IV.2e Mode Shape Mode 7 Balok Jepit-Sendi....................... 54

Gambar IV.3a Mode Shape Mode 1 Balok Jepit-Bebas...................... 56

Gambar IV.3b Mode Shape Mode 2 Balok Jepit-Bebas...................... 57

Gambar IV.3c Mode Shape Mode 4 Balok Jepit-Bebas...................... 57

Gambar IV.3d Mode Shape Mode 5 Balok Jepit-Bebas...................... 58

Gambar IV.3e Mode Shape Mode 7 Balok Jepit-Bebas...................... 58

Gambar IV.4a Mode Shape Mode 1 Balok Sendi-Sendi..................... 60

Gambar IV.4b Mode Shape Mode 2 Balok Sendi-Sendi..................... 61

Gambar IV.4c Mode Shape Mode 3 Balok Sendi-Sendi..................... 61

Gambar IV.4d Mode Shape Mode 5 Balok Sendi-Sendi..................... 62

ix

Gambar IV.4e Mode Shape Mode 7 Balok Sendi-Sendi..................... 62

Gambar IV.5 Model Portal 1 Lantai 1 Bentang……………………. 65

Gambar IV.6a Antisymmetrical UX-Symmetrical UZ Mode ............. 71

Gambar IV.6b Symmetrical UX-Antisymmetrical UX Mode ............ 71

Gambar IV.7 Model Portal 3 Lantai 3 Bentang................................. 73

Gambar IV.8 Mode ke-5 dari Portal 3 Lantai 3 Bentang .................. 78

Gambar IV.9 Sidesway Modes Portal 3 Lantai 3 Bentang dengan Rigid dan Flexible Girders ..........................................

81

Gambar IV.10 Model Portal 10 Lantai 3 Bentang (Portal A – Portal Tanpa Dinding Geser dan Portal B – Portal Dengan Dinding Geser) ............................................................

83

Gambar IV.11 Model Portal 10 Lantai Tidak Simetris dengan Vertical Setbacks .........................................................

87

Gambar IV.12 Sidesway Modes dari portal 10 lantai tidak beraturan antara model FEM(RF) dan DSM(FF) ........................

71

Gambar IV.13 Perbandingan Frekuensi Natural dan Kecepatan Komputasi antara Metoda Kekakuan Dinamik dan Metoda Elemen Hingga (Sumber: Referensi 14).........

93

Gambar A1 Elemen Diferensial Balok dengan Vibrasi Lateral (Deformasi Lentur) ......................................................

A-1

Gambar A2 Balok 3D dan Pasangan Gaya Deformasi ................... A-4

Gambar A3 Pasangan Gaya dan Deformasi pada Balok 2D dengan Vibrasi Lateral (Deformasi Lentur) ................

A-5

Gambar A4 Elemen Diferensial Balok dengan Vibrasi Longitudinal ................................................................

A-7

Gambar A5 Pasangan Gaya dan Deformasi Titik Kumpul Balok 2D dengan Vibrasi Longitudinal .................................

A-10

Gambar A6 Elemen Diferensial Balok dengan Deformasi Torsional ......................................................................

A-11

Gambar A7 Pasangan Gaya dan Deformasi pada Balok 2D dengan Vibrasi Torsional ............................................

A-13

Gambar A8 Elemen Diferensial Balok dengan Vibrasi Lateral (Deformasi Geser) .......................................................

A-14

Gambar A9 Pasangan Gaya dan Deformasi pada Balok 2D dengan Vibrasi Lateral (Deformasi Geser) .................

A-17

x

DAFTAR TABEL

Tabel III.1a Frekuensi Natural Gerak Aksial Balok Euler Bernoully 34(Jepit-Jepit) ........................................................................... Tabel III.1b Frekuensi Natural Gerak Lentur Balok Euler Bernoully

(Jepit-Jepit) ........................................................................... 34

Tabel III.2a Frekuensi Natural Gerak Aksial Balok Euler Bernoully (Jepit-Sendi) ......................................................................... 36

Tabel III.2b Frekuensi Natural Gerak Lentur Balok Euler Bernoully (Jepit-Sendi)…...................................................................... 36

Tabel III.3a Frekuensi Natural Gerak Aksial Balok Euler Bernoully (Jepit-Bebas)…..................................................................... 37

Tabel III.3b Frekuensi Natural Gerak Lentur Balok Euler Bernoully (Jepit-Bebas)…..................................................................... 38

Tabel III.4a Frekuensi Natural Gerak Aksial Balok Euler Bernoully (Sendi-Sendi)….....................................................................

39

Tabel III.4b Frekuensi Natural Gerak Lentur Balok Euler Bernoully (Sendi-Sendi)….....................................................................

40

Tabel IV.1 Modal Data dan Persen Perbedaan Balok Jepit-Jepit (3xN Elemen) ................................................................................

47

Tabel IV.2 Modal Data dan Persen Perbedaan Balok Jepit-Sendi (3xN Elemen) ................................................................................

51

Tabel IV.3 Modal Data dan Persen Perbedaan Balok Jepit-Bebas (3xN Elemen) ................................................................................

55

Tabel IV.4 Modal Data dan Persen Perbedaan Balok Sendi-Sendi (3xN Elemen) .......................................................................

59

Tabel IV.5 Jumlah Mesh Minimum Model K1 s.d K5 dengan Abs % Difference Kurang Dari 5% .................................................

67

Tabel IV.6 Jumlah Mesh Minimum Model M1 s.d M5 dengan Abs % Difference Kurang Dari 5% .................................................

69

Tabel IV.7 Kategori, MPF(UX) dan % Difference MPF(UX) Model A 74

Tabel IV.8 Perbandingan antara Model Lumped Mass dan Kekakuan Dinamik dengan Jumlah Mesh 30 Elemen untuk Model A

75

Tabel IV.9 Kategori, MPF(UX) dan % Difference MPF(UX) Model B 76

Tabel IV.10 Kategori, MPF(UX) dan % Difference MPF(UX) Model C 77

Tabel IV.11 Respon Modal Sidesway Modes Rigid Frame dengan Balok Fleksibel …………………………………………….

79

Tabel IV.12 Respon Modal Sidesway Modes Rigid Frame dengan Balok Kaku ………………………………………………...

80

Tabel IV.13a Nilai dan Persen Perbedaan ω & MPF(UX) dari Sidesway Modes antara Model FEM(RF) dengan FEM(FF) dan DSM(FF) untuk Portal-A .....................................................

84

Tabel IV.13b Nilai dan Persen Perbedaan ω & MPF(UX) dari Sidesway Modes antara Model FEM(RF) dengan FEM(FF) dan DSM(FF) untuk Portal-B .....................................................

84

xi

Tabel IV.14 Nilai dan Persen Perbedaan ω & MPF(UX) dari Sidesway Modes antara Model FEM(RF) dengan FEM(FF) dan DSM(FF) untuk Portal dengan Vertical Setbacks ................

88

Tabel - D1a Perbandingan dan % Perbedaan untuk Frekuensi Natural Balok Jepit-Jepit................................................................... D-1

Tabel - D1b Perbandingan dan % Perbedaan untuk Faktor Partisipasi Modal Balok Jepit-Jepit ....................................................... D-3

Tabel - D2a Perbandingan dan % Perbedaan untuk Frekuensi Natural Balok Jepit-Sendi................................................................ D-6

Tabel - D2b Perbandingan dan % Perbedaan untuk Faktor Partisipasi Modal Balok Jepit-Sendi ..................................................... D-8

Tabel - D3a Perbandingan dan % Perbedaan untuk Frekuensi Natural Balok Jepit-Bebas............................................................... D-10

Tabel - D3b Perbandingan dan % Perbedaan untuk Faktor Partisipasi Modal Balok Jepit-Bebas .................................................... D-13

Tabel - D4a Perbandingan dan % Perbedaan untuk Frekuensi Natural Balok Sendi-Sendi.............................................................. D-15

Tabel - D4b Perbandingan dan % Perbedaan untuk Faktor Partisipasi Modal Balok Sendi-Sendi ………………………………… D-17

Tabel - D5a Perbandingan dan % Perbedaan untuk Frekuensi Natural Model K1 (0.1 x I D-20

b) .............................................................. Tabel - D5b Perbandingan dan % Perbedaan untuk Faktor Partisipasi

Modal Model K1 (0.1 x I D-21b)....................................................

Tabel - D5c Perbandingan dan % Perbedaan untuk Perpindahan Modal Model K1 (0.1 x I D-21

b)............................................................... Tabel - D6a Perbandingan dan % Perbedaan untuk Frekuensi Natural

Model K2 (I D-22) ...................................................................... bTabel - D6b Perbandingan dan % Perbedaan untuk Faktor Partisipasi

Modal Model K2 (I D-23)............................................................. bTabel - D6c Perbandingan dan % Perbedaan untuk Perpindahan Modal

Model K2 (I D-24)........................................................................ bTabel - D7a Perbandingan dan % Perbedaan untuk Frekuensi Natural

Model K3 (10 x I D-24b) ...............................................................

Tabel - D7b Perbandingan dan % Perbedaan untuk Faktor Partisipasi Modal Model K3 (10 x I D-25)..................................................... b

Tabel - D7c Perbandingan dan % Perbedaan untuk Perpindahan Modal Model K3 (10 x I D-26

b)................................................................ Tabel - D8a Perbandingan dan % Perbedaan untuk Frekuensi Natural

Model K4 (50 x I D-27b) ...............................................................

Tabel - D8b Perbandingan dan % Perbedaan untuk Faktor Partisipasi Modal Model K4 (50 x I D-28)..................................................... b

Tabel - D8c Perbandingan dan % Perbedaan untuk Perpindahan Modal Model K4 (50 x I D-28

b)................................................................ Tabel - D9a Perbandingan dan % Perbedaan untuk Frekuensi Natural

Model K5 (100 x I D-29b) .............................................................

Tabel - D9b Perbandingan dan % perbedaan untuk Faktor Partisipasi Modal model K5 (100 x I D-30

b)................................................... Tabel - D9c Perbandingan dan % Perbedaan untuk Perpindahan Modal

Model K5 (100 x I D-31b)..............................................................

xii

Tabel - D10a Perbandingan dan % Perbedaan untuk Frekuensi Natural Model M1 (0.1 x sw D-32)........................................................... b

Tabel - D10b Perbandingan dan % Perbedaan untuk Faktor Partisipasi Modal Model M1 (0.1 x sw D-32) ............................................... b

Tabel - D10c Perbandingan dan % Perbedaan untuk Perpindahan Modal Model M1 (0.1 x sw D-33)........................................................... b

Tabel - D11a Perbandingan dan % Perbedaan untuk Frekuensi Natural Model M2 (sw D-34).................................................................... b

Tabel - D11b Perbandingan dan % Perbedaan untuk Faktor Partisipasi Modal Model M2 (sw D-35) ........................................................ b

Tabel - D11c Perbandingan dan % Perbedaan untuk Perpindahan Modal Model M2 (sw D-36).................................................................... b

Tabel - D12a Perbandingan dan % Perbedaan untuk Frekuensi Natural Model M3 (10 x sw D-36)............................................................ b

Tabel - D12b Perbandingan dan % Perbedaan untuk Faktor Partisipasi Modal Model M3 (10 x sw D-37) ............................................... b

Tabel - D12c Perbandingan dan % Perbedaan untuk Perpindahan Modal Model M3 (10 x sw D-38)............................................................ b

Tabel - D13a Perbandingan dan % Perbedaan untuk Frekuensi Natural Model M4 (50 x sw D-39)............................................................ b

Tabel - D13b Perbandingan dan % Perbedaan untuk Faktor Partispasi Modal Model M4 (50 x sw D-39) ............................................... b

Tabel - D13c Perbandingan dan % Perbedaan untuk Perpindahan Modal model M4 (50 x sw D-40)............................................................. b

Tabel - D14a Perbandingan dan % Perbedaan untuk Frekuensi Natural Model M5 (100 x sw D-41).......................................................... b

Tabel - D14b Perbandingan dan % Perbedaan untuk Faktor Partisipasi Modal Model M5 (100 x sw D-42) ............................................. b

Tabel - D14c Perbandingan dan % Perbedaan untuk Perpindahan Modal Model M5 (100 x sw D-42)......................................................... b

Tabel - D15a Perbandingan dan Persen Perbedaan untuk Frekuensi Natural Model A .................................................................

D-43

Tabel - D15b Perbandingan dan Persen Perbedaan untuk Faktor Partisipasi Modal model A .................................................. D-44

Tabel - D15c Perbandingan dan Persen Perbedaan untuk Perpindahan Modal Model A.................................................................... D-44

Tabel - D16a Perbandingan dan Persen Perbedaan untuk Frekuensi Natural Model B ..................................................................

D-44

Tabel - D16b Perbandingan dan Persen Perbedaan untuk Faktor Partisipasi Modal Model B .................................................. D-45

Tabel - D16c Perbandingan dan Persen Perbedaan untuk Perpindahan Modal Model B.................................................................... D-45

Tabel - D17a Perbandingan dan Persen Perbedaan untuk Frekuensi Natural Model C ................................................................. D-45

Tabel - D17b Perbandingan dan Persen Perbedaan untuk Faktor Partisipasi Modal Model C .................................................. D-46

Tabel - D17c Perbandingan dan Persen Perbedaan untuk Perpindahan Modal Model C.................................................................... D-46

xiii

DAFTAR NOTASI

Modulus elastisitas, N/mm2 E

Momen inersia, mm4 I

m Massa per satuan panjang, N.s2/mm2

( )txv , Respon perpindahan sebagai fungsi jarak dan waktu, mm

( )xφ Perpindahan modal atau variabel fungsi bentuk dari respon

perpidahan, mm

( )tf Variabel fungsi waktu dari respon perpindahan

Luas penampang, mm2 A

ω Frekuensi natural struktur, rad/det

[ ] Matrik kekakuan dinamik elemen pada sumbu lokal,

N/mm mS

[ ]mK Matrik kekakuan dinamik elemen pada sumbu global,

N/mm

[ ]mT Matrik transformasi

[ ]sK Matrik kekakuan statik struktur pada metoda elemen

hingga, N/mm

[ ]sM Matrik massa struktur pada metoda elemen hingga,

[ ]mM Matrik massa elemen pada sumbu lokal

λ Eigenvalue, rad2/det2

{ }X Eigenvector, mm

( )[ ]ωsK Matrik kekakuan dinamik atau Frequency dependent

stiffness matrix

Panjang member, mm L

Fixed chosen frequency pada Wittrick-Williams Algorithm *ω

( )*ωJ Jumlah frekuensi natural dibawah fixed chosen frequency

( )*ωoJ Jumlah frekuensi natural di bawah fixed chosen frequency

yang berhubungan dengan {

} 0=X

( )[ * ]ωsKs Jumlah frekuensi natural di bawah fixed chosen frequency

xiv

( ) 0* =ωKyang berhubungan dengan

( )*ωmJ Jumlah frekuensi natural dari member dengan kondisi

jepit-jepit di bawah fixed chosen frequency

( )*ωppJ Jumlah frekuensi natural dari member dengan kondisi

sendi-sendi di bawah fixed chosen frequency

( )[ ppmK * ]ω Matrik kekakuan dinamik elemen untuk kondisi sendi-

sendi

( )[ ppmKs * ]ω Jumlah frekuensi natural di bawah fixed chosen frequency

yang berhubungan dengan ( ) 0* =ppmK ω

( )[ ]*ωΔsK Matrik triangular atas dari matrik kekakuan dinamik

struktur dengan eliminasi Gauss

( )[ ]ppmK *ωΔ Matrik triangular atas dari matrik kekakuan dinamik

elemen dengan kondisi sendi-sendi dengan eliminasi

Gauss

Batas atas frekuensi natural dalam Yuan Algortihm uω

Batas bawah frekuensi natural dalam Yuan Algortihm lω

rN Jumlah frekuensi natural pada interal , lω uω

Jumlah frekuensi natural dari seluruh member pada kondisi

jepit-jepit pada interal roN

, lω uω

MPF Faktor partisipasi modal

FF Flexible Frame

RF Rigid Frame

DSM Dynamic Stiffness Method

CM Consistent Mass

LM Lumped Mass

xv