struktur-aljabar-bab-6_4

8/20/2019 Struktur-Aljabar-Bab-6_4

1/9

BAB VI

Standard Kompetesi

6. Mahasiswa dapat menjelaskanteorema isomorfisma ring dan sifat-sifatnya serta dapat menerapkandalam kehidupan sehari-hari.


2/9

Kompetensi Dasar

Mahasiswa diharapkan dapat:

6.1 Menjelaskan teorema isomorfisma ring pertama.6.2 Menjelaskan teorema isomorfisma ring Kedua.6.3 Menjelaskan teorema isomorfisma ring Ketiga6.4 Menerapkan teorema isomorfisma ring pada bidang matematikayang lain.


3/9

BAB VI

TEOREMA ISOMORFISMA RING

6.1 Teorema Isomorfisma Ring Pertama

Materi bab ini merupakan kelanjutan Bab III yaitu tentanghomomorfisma ring. Topik ini diberikan secara terpisah karena di bab inimemerlukan konsep tentang ring kuosien yang harus dipelajari lebihdahulu. Sebagai penyegaran perlu diingat kembali pengertianhomomorfisma ring, yaitu pemetaan f dari ring R ke ring S disebuthomomorfisma ring jika untuk sebarang a,b . R berlaku:

1) f(a + b) = f(a) + f(b)2) f(ab) = f(a) f(b)

Sedangkan yang dimaksud dengan kernel dari suatu homomorfisma f,ditulis ker(f), adalah himpunan semua elemen dari R yang dipetakan oleh fke elemen nol dari S. Jadi ker(f) = {x . R : f(x) = 0S} dengan 0Smerupakan elemen nol dari S. Telah ditunjukkan di depan bahwa ker(f)

merupakan ideal dari R.Sebelum membahas Teorema Isomorfisma Ring Pertama, berikut iniakan dibahas karakteristik ring kuosien dikaitkan dengan konsephomomorfisma ring.

Teorema 6.1.1 Setiap ring kuosien dari ring R merupakan bayanganhomomorfik dari ring R.

Bukti: Misalkan S adalah sebarang ideal di dalam ring R dan R/S adalahring kuosien dari ring R oleh ideal S. Didefinisikan pemetaan f dari ring Rke ring kuosien R/S sebagai berikut:

f : R . R/S, dengan f(a) = S + a, .a . R.Dengan definisi ini, maka untuk sebarang a, b . R berlaku:

f(a + b) = S + (a+ b)

= (S + a) + (S + b)

= f(a) + f(b)


4/9

dan

f(ab) = S + ab

= (S + a) (S + b)

= f(a) f(b).

Jadi f merupakan homomorfisma ring.

Selanjutnya jika S + a merupakan sebarang elemen di R/S, maka amerupakan elemen di R dan berlaku f(a) = S + a. Ini berarti f pemetaansurjektif. Jadi f merupakan suatu epimorfisma (homomorfisma surjektif)dari ring R pada ring kuosien R/S. ¦

Selanjutnya akan dibahas Teorema Isomorfisma Ring Pertamasebagai generaliasasi dari Teorema Isomorfisma Grup Pertama.

Teorema 6.1.2 (Teorema Isomorfisma Ring (Pertama) Setiapbayangan homomorfik dari suatu ring isomorfik dengan suatu ring kuosien.

Bukti: Misalkan R dan S suatu ring dan f : R . S suatu homomorfismaring. Misalkan juga I = ker(f) dan R = im(f). Jelas bahwa I merupakan

ideal dari R dan R merupakan subring dari S. Akibatnya R/I merupakanring kuosien. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ring kuosien R/Iisomorfik dengan ring R = im(f).

Untuk membuktikan ini, yang pertama didefinisikan

. : R/I . R dengan .(I + a) = f(a).

Dalam rangka membuktikan bahwa . suatu pemetaan, diambil sebarang(I + a), (I + b) di R/I dengan I + a = I + b. Akibatnya

I + a = I + b . ( a b) . I

. f(a b) = 0

. f(a) f(b) = 0

. f(a) = f(b)

. .(I + a) = .(I + b).

Sekarang misalkan (I + a) dan (I + b) sebarang dua koset di dalamring kuosien R/I, maka berlaku

.[(I + a) + (I + b)] = .[I + (a + b)]


5/9

= f(a + b)

= f(a) + f(b)

= .(I + a) + .(I + b)

dan

.[(I + a) (I + b)] = .[I + (ab)]

= f(ab)

= f(a) f(b)

= .(I + a) .(I + b).

Ini berarti . merupakan homomorfisma ring.

Untuk membuktikan bahwa . pemetaan satu-satu, diambil sebarang(I + a) dan (I + b) di R/I dengan .(I + a) = .(I + b). Akibatnya

.(I + a) = .(I + b) . f(a) = f(b)

. f(a) f(b) = 0

. f(a b) = 0

. (a b) . I

. I + a = I + b.

Sekarang ditunjukkan bahwa . pada (surjektif), untuk ini diambilsebarang a . R = im(f). Karena f merupakan homomorfisma ring dari ringR pada R = im(f) maka terdapat elemen a di R sedemikian hingga f(a) =a , tetapi f(a) merupakan peta dari elemen (I + a) di dalam R/I, sehinggadiperoleh a = f(a) = .(I + a).

Dengan pembahasan di atas dapat disimpulkan bahwa . merupakanisomorfisma ring dari ring kuosien R/I ke R = im(f). Dengan kata lain, ringkuosien R/I isomorfik dengan ring R = im(f), dituliskan dengan

R/I . im(f). ¦

6.2 Teorema Isomorfisma Ring Kedua

Seperti halnya Teorema Isomorfisma Ring Pertama yang merupakanperumuman dari Teorema Isomorfisma Grup Pertama, maka Teorema


6/9

Isomorfisma Ring Kedua juga merupakan perumuman dari TeoremaIsomorfisma Grup Kedua.

Teorema 6.2.1 (Teorema Isomorfisma Ring Kedua) Misalkan Smerupakan ideal dari ring R dan T ideal dari ring R yang memuat ideal S,maka

.STSRTR///.

Bukti: Karena S merupakan ideal dari R, maka R/S merupakan ringkuosien, demikian juga karena T ideal dari R, maka R/T juga ring kuosien.Selanjutnya karena T merupakan ideal dari R yang memuat ideal S, makajelas bahwa S subring dari ring T. Juga karena S ideal dari R, maka

r . R dan s . S . rs . S dan sr . S.

Khususnya

r . T dan s . S . rs . S dan sr . S.

Ini berarti S merupakan ideal dari T, yang akibatnya T/S merupakan ringkuosien.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa T/S merupakan ideal dari R/S.Jika (S + a) sebarang elemen di T/S, maka

(S + a) . T/S . a . T

. a . R

. (S + a) . R/S.

Ini berarti T/S merupakan subset dari R/S.

Sekarang misalkan (S + a) dan (S + b) sebarang dua elemen di T/S,maka berlaku

(S + a) , (S + b) . T/S . a, b . T

. (a b) . T dan ab . T

. (S + (a b)) . T/S dan (S + ab) . T/S.

. [(S+a) (S+ b)] . T/S dan [(S + a)(S + b)] . T/S.

Ini berarti T/S merupakan subring dari R/S.


7/9

Selanjutnya untuk membuktikan bahwa T/S merupakan ideal dariR/S, diambil sebarang elemen (S + a) di T/S dan sebarang (S + r) di R/S,sehingga diperoleh

(S+a) . T/S dan (S+r) . R/S . a . T dan r . R

. ar . T dan ra . T

. (S+ar) . T/S dan (S+ra) . T/S.

. (S+a)(S+r) . T/S dan (S+r)(S+a) . T/S.

Ini berarti T/S merupakan ideal dari R/S dan akibatnya

merupakan ring kuosien.STSR//

Sekarang didefinisikan pengawanan f dari ring kuosien R/S ke ringkuosien R/T sebagai berikut:

f : R/S . R/T dengan f(S + r) = T + r, .r . R.

Untuk membuktikan bahwa f suatu pemetaan, diambil sebarang (S + a)dan (S + b) di R/S dengan (S + a) = (S + b). Akibatnya

S + a = S + b . ( a b) . S

. (a b) . T

. T + a = T + b

. f(S + a) = f(S + b).

Sekarang diambil sebarang (S + a) dan (S + b) di R/S, maka

f[(S + a) + (S + b)] = f[S + (a + b)]= T + (a + b)

= (T + a) + (T + b)

= f(S + a) + f(S + b),

dan

f[(S + a) (S + b)] = f[S + (ab)]

= T + (ab)

= (T + a) (T + b)

= f(S + a) f(S + b).

Jadi f homomorfisma ring dari ring kuosien R/S ke ring kuosien R/T.


8/9

Jika (T + a) sebarang elemen di ring kuosien R/T, maka a elemen diR. Akibatnya terdapat koset (S + a) di ring kuosien R/S sedemikian hinggaf(S + a) = T + a. Ini berarti pemetaan f surjektif.

Sejauh ini kita telah menunjukkan bahwa f merupakan epimorfisma(homomorfisma surjektif) dari R/S ke R/T, atau R/T merupakan bayanganhomomorfik dari R/S. Dengan menggunakan Teorema Isomorfisma RingPertama, untuk melengkapi bukti teorema ini tinggal dibuktikan bahwakernel dari epimorfisma f adalah T/S.

Berdasarkan definisi kernel, maka diperoleh

ker(f) = {(S + a) . R/S | f(S + a) = T + 0}

= {(S + a) . R/S | T + a = T}

= {(S + a) . R/S | a . T}

= T/S.

Berdasarkan Teorema Isomorfisma Ring Pertama dapat disimpulkan

. ¦

6.3 Teorema Isomorfisma Ring Ketiga

Teorema 6.3.1 (Teorema Isomorfisma Ring Ketiga) Jika S merupakanideal dari ring R dan T sebarang subring dari R, maka

(S + T)/S . T/(S.T).

Bukti: Diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. ¦

Latihan 6

1. Diketahui S subring dan I ideal dalam ring R. Didefinisikan T = S + I.

Buktikan bahwa T merupakan subring dari R yang memuat I dan

T/I . S/(S.I).

2. Buktikan Teorema 6.3.1!


9/9

struktur-aljabar-bab-6_4

Documents