GRUP S IKL IK , GRUP

PERMUTASI DAN HOMOMORFISMA

S T K I P M U H A M M A DYA H PA G A R A L A M

Oleh:1.Sigit Winarso2.Rizen Handika3.Debi Hanggara

GRUP SIKLIKSuatu orde dari suatu grup yang setiap unsurnya dapat ditulis sebagai perpangkatan (positif atau negetif) atau perkalian dari suatu unsur tetap dari Grup tersebut. Grup yang seperti ini dinamakan Grup Siklik.• Definisi 4.1 : (terhadap perkalian)• Grup (G, .) disebut siklik, bila ada elemen a Î G sedemikian

hingga• G ={an | n Î Z}. Elemen a disebut generator dari grup siklik

tersebut.• Definisi 4.2 : (terhadap penjumlahan)• Grup (G,+) disebut siklik, bila ada elemen a Î G sedemikian

hingga• G ={na | n Î Z}.

• Definisi 4.3 :• Misalkan (G,*) adalah suatu Grup dan a Î G, maka generator a

yang membangun suatu Subgrup [a] dinamakan Subgrup Siklik dari (G,*). Jadi yang dimaksud dengan Subgrup Siklik yaitu suatu Subgrup yang dibangkitkan oleh satu unsur.• Definisi 4.4 :• Misalkan (G,*) adalah suatu Grup dan a Î G, maka generator a

yang membangun suatu Subgrup [a] dimana [a] = G, maka Subgrup tersebut dinamakan Grup Siklik.• Grup Siklik adalah Subgrup yang unsur-unsurnya merupakan

unsur-unsur dari Grup itu sendiri. Suatu Grup Siklik bisa beranggotakan terhingga banyaknya unsur, bisa juga beranggotakan tak hingga unsur-unsur.

• Contoh 4.1 :• Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu Grup terhadap operasi perkalian (G, .).• Tentukan Grup Siklik dari Grup tersebut.• Penyelesaian :• Generator dari G = {-1, 1} adalah -1 dan 1• [-1] = {(-1)n | n Î Z}• = {(-1)0, (-1)1, (-1)2, …}• = {-1, 1}• [1] = {(1)n | n Î Z}• = {(1)0, (1)1, (1)2, …}• = {1}• generator -1 adalah membangun suatu Grup Siklik, sehingga :• [-1] = {-1, 1}• generator 1 adalah membangun Subgrup Siklik, sehingga :• [1] = {1}.

GRUP PERMUTASI• Definisi 4.5 :• Suatu permutasi dari n unsur adalah suatu fungsi bijektif dari

himpunan n unsur ke himpunan itu sendiri.• Untuk memudahkan digunakan bilangan bulat (1, 2, 3, …, n)

untuk menyatakan himpunan n unsur.• Permutasi a disajikan :

• Contoh 4.6 :• Misalkan permutasi pada himpunan permutasi-permutasi

dari bilanganbilangan bulat (1, 2, 3, 4, 5) sehingga (1) = 2, (2) = 1, (3) = 4, (4) = 5 dan (5) = 3.

Ditulis permutasi ini :

Jika a dan b adalah dua permutasi, maka hasil kali dari a dan b didefinisikan ab(i) = a(b(i)) untuk setiap i = 1, 2, 3, …, n (yaitu a kali b, berarti pertama kita mengerjakan permutasi b kemudian mengerjakan permutasi a pada hasi kalinya).

• Contoh 4.7 :• Misalkan dan dua permutasi yang didefinisikan sebagai

berikut :

• dan

Tentukan dan !

HOSMOMORFISMA