PERTEMUAN 2

JOINT DISTRIBUTIONS(part 1)

Efri Diah Utami, M.StatMata Kuliah : Statistika Matematika ISekolah Tinggi Ilmu Statistik, Jakarta

JOINT DISCRETE DISTRIBUTIONDefinisi:Joint probability density function (joint pdf) dari random variabel diskret X didefinisikan

Untuk semua nilai yang mungkin xdari X

),...,,( 21 kXXX

],...,,[),...,,( 221121 kkk xXxXxXPxxxf

),...,,( 21 kxxx

Dalam konteks inimenyatakan irisan / interseksi dari k-event, yaitu

],...,,[ 2211 kk xXxXxX

][...][][ 2211 kk xXxXxX

JOINT DISCRETE DISTRIBUTIONDefinisi : Fungsi adalah joint distribusi peubah acak diskret X dan Y, jika1. untuk semua (x,y)2. 3. Untuk tiap daerah A di bidang xy,

JOINT DISCRETE DISTRIBUTIONContoh 1:Sebuah keranjang berisi 1000 bola yaitu 400 bola merah, 400 bola putih dan 200 bola pink. 10 bola dipilih acak tanpa pengembalian. Banyak bola merah dinyatakan dengan dan banyaknya bola putih dinyatakan dengan .Joint pdf bagi pasangan adalah

misal

10,0,0,

101000

10200400400

),( 21212121

21

xxxxxxxx

xxf

JOINT DISCRETE DISTRIBUTIONEkstended Hypergeometric DistributionAnggap terdapat sekelompok item sebanyak N dengan jenis yang berbeda: jenis 1 sebanyak , jenis 2 sebanyak dst. Diambil item tanpa pengembalian. Anggap adalah banyaknya item jenis- yang terambil. Vektor random variabel memiliki Ekstended Hypergeometric Distribution dengan joint pdf

nN

xM

xM

xM

xM

xxxf k

k

k

k

k1

1

2

2

1

1

21

...),...,,(

JOINT DISCRETE DISTRIBUTION

Ekstended Hypergeometric Distribution

Dapat juga dituliskan :

k

iik

k

iikii xnxMNMMx

11

11 dandimana,0 semuauntuk

JOINT DISCRETE DISTRIBUTIONDistribusi MultinomialAnggap terdapat kejadian yang mutually exclusive dan exhaustive: yang dapat terjadi pada beberapa trial atau eksperimen. Anggap untuk . Dalam independen trial dalam eksperimen, anggap adalah banyaknya kemunculan kejadian . Vektor dikatakan memiliki distribusi multinomial dengan joint pdf

121121

12121 ...

!!...!!),...,,(

kxk

xx

kk ppp

xxxnxxxf

k

iik

k

iiki ppxnxnx

11

11 1dandimana,0 semuauntuk

Dapat di tuliskan :𝐗 Mult (n , p1 , p2 ,…, pk )

JOINT DISCRETE DISTRIBUTIONTeorema :Sebuah fungsi adalah joint pdf dari beberapa nilai vektor random variabel jika dan hanya jika memenuhi sifat

dan),...,,(mungkinyangnilaisemuauntuk0),...,,( 2121 kk xxxxxxf

1

1),...,,(... 21x x

kk

xxxf

JOINT DISCRETE DISTRIBUTIONContoh 2:

Joint probabilities sbb:

Note :

0 1 2 3

0 0,0080 0,0480 0,0960 0,0640 0,21601 0,0480 0,1920 0,1920 0,0000 0,43202 0,0960 0,1920 0,0000 0,0000 0,28803 0,0640 0,0000 0,0000 0,0000 0,0640

0,2160 0,4320 0,2880 0,0640 1,0000

Joint probability

Marginal Probability

JOINT DISCRETE DISTRIBUTIONContoh 3:Misal ingin diketahui berapa peluang tanpa memandang berapapun nilai

Inilah yang disebut sebagai marginal probability

DISCRETE MARGINAL PDF

Definisi:Jika pasangan random variabel diskret memiliki joint pdf , maka marginal PDF dari dan adalah dan

),( 21 XX),( 21 xxf 1X 2X

2

),()( 2111x

xxfxf 1

),()( 2122x

xxfxf

JOINT CDF

Definisi:Joint cumulative distribution function dari random variabel adalah sebuah fungsi yang didefinisikan sebagai

kXXX ,...,, 21

],...,[),...,( 111 kkk xXxXPxxF

JOINT CDFTeorema :Sebuah fungsi adalah bivariat CDF jika dan hanya jika untuk semua untuk semua

, untuk semua dan untuk semua dan

Latihan 1

1. Bila distribusi peluang gabungan X dan Y berbentuk untuk x = 0,1,2,3; y = 0,1,2Cari :

Latihan 12. Lima kartu diambil tanpa pengembalian dari setumpuk kartu

remi. Anggap X menyatakan banyaknya kartu as. Y menyatakan banyaknya kartu king, dan Z menyatakan banyaknya kartu queen yang terambil. Tentukan:

a. Tuliskan pernyataan untuk joint pdf dari X, Y dan Z

Latihan 13. Suppose that and are discrete random variables with joint

pdf of the form

and zero otherwise. Find the constant c.4. Two card are drawn at random without replacement from

an ordinary deck. Let X be the number of heart and Y the number of black card obtained.a. Write an expression for joint pdf, b. Find the marginal pdf’s, and

5. Rework number 4., assuming that the cards are drawn with replacement

JOINT CONTINUOUS DISTRIBUTIONSDefinisi :Fungsi adalah joint distribusi random variabel kontinyu X dan Y jika1. untuk semua dan

3. Untuk setiap daerah A di bidang xy

JOINT CONTINUOUS DISTRIBUTIONS

Definisi :Sebuah vektor random variabel Xdikatakan kontinyu jika ada sebuah fungsiyang disebut joint pdf dari X, sehingga joint CDF nya dapat ditulis sebagai

Untuk semua x

),...,,( 21 kXXX

),...,,( 21 kxxxf

kx x

kkk dtdtttfxxxF1

...),...,(...),...,,( 1121

),...,( 1 kxx

JOINT CONTINUOUS DISTRIBUTIONS

Teorema :Sebuah fungsi adalah joint pdf dari random variabel dengan dimensi-k jika dan hanya jika untuk semua dan

JOINT CONTINUOUS DISTRIBUTIONSContoh 4:Diketahui sebuah fungsi gabungan

a. Tunjukkan bahwa syarat 2 terpenuhib. Cari , bila A daerah

JOINT CONTINUOUS DISTRIBUTIONS

Contoh 5 :Anggap joint pdf diberikan sbb . Joint CDF diberikan sbg

; ,

JOINT CONTINUOUS DISTRIBUTIONS

Contoh 6:

CONTINUOUS MARGINAL PDF

Definisi:Jika pasangan random variabel kontinyu memiliki joint pdf , maka marginal PDF dari dan adalah

dan

),( 21 XX),( 21 xxf

1X 2X

22111 ),()( dxxxfxf

12122 ),()( dxxxfxf

CONTINUOUS MARGINAL PDF

Contoh 7:Dari contoh 4, tentukan marginal pdf untuk dan

MARGINAL CDF

Definisi :Jika X adalah sebuah random variabel berdimensi-k dengan joint CDF , maka marginal CDF dari adalah

),...,,( 21 kXXX),...,,( 21 kxxxF

Lebih jauh, jika X diskret, maka marginal pdf nya

Jika X kontinyu, marginal pdf nya

Latihan 2

1. Nasabah dapat mendapatkan uang tunai dari suatu bank melalui pelayanan manusia dan mesin. Pada suatu hari yang dipilih secara acak, misalkanlah X dan Y masing-masing menyatakan proporsi waktu pelayanan manusia dan mesin digunakan dan misalkan joint distribusinya berbentuk

a. Cari marginal pdf dari Xb. Cari marginal pdf dari Yc. Cari peluangnya bahwa pelayanan manusia sibuk kurang

dari setengah waktu

Latihan 22. Suatu perusahaan coklat mengirim berkotak-kotak coklat

dengan campuran krim, tofe dan kacang. Misalkanlah berat tiap kotak 1 kg, tetapi berat tiap krim, tofe dan kacang beragam dari kotak ke kotak. Untuk kotak yang dipilih secara acak, misalkan X dan Y masing-masing menyatakan berat krim dan tofe dan misalkan bahwa fungsi padat gabungan kedua peubah ini berbentuk

a. Cari peluangnya bahwa dalam suatu kotak tertentu berat kacang lebih dari ½ kg

b. Cari marginal pdf dari berat krim

Latihan 2

3. Suppose the joint pdf of lifetime of a certain part and a spare is given by, and zero otherwise. Find each of the following:a. The marginal pdf’s and b. The joint CDF,

c. P[X+Y>2]

Latihan 2

4. Bila X, Y, dan Z mempunyai joint pdf

a. Carilah nilai b. Hitung P

Latihan 2

5. Fungsi peluang gabungan peubah acak X, Y dan Z adalah

a. Carilah fungsi marginal gabungan Y dan Zb. Carilah fungsi marginal Y