Distribusi Frekuensi dan Jenis GrafikSalah satu cara untuk mengatur atau menyusun

data adalah dengan mengelompokkan data-data berdasarkan ciri-ciri penting dari sejumlah besar data, ke dalam beberapa kelas dan kemudian dihitung banyaknya pengamatan yang masuk ke dalani setiap kelas. Susunan demikian ini dalam bentuk tabel, disebut Distribusi frekuensi.

Berdasarkan jenis data yang digolongkan didalamnya distribusi frekuensi dibagi menjadi dua yaitu, distribusi frekuensi bilangan (numerical frequency distribution) dan distribusi frekuensi kategoris (categorical frequency distribution).

Distribusi frekuensi bilangan adalah distribusi frekuensi yang berisikan data berupa angka-angka, dimana data itu dibagi atas golongan-golongan yang dinamakan kelas-kelas, menurut besamya bilangan.

Tabel 1 Distribusi Frekuensi BilanganJumlah Orang yang diterima

frekuensi

21-32 2

33-42 5

43-52 3

53-62 1

63-72 0

73-82 1

Dari Lulusan Banyaknya

SMA 301

D3 102

S1 82

Distribusi frekuensi kategoris adalah distribusi frekuensi yang berisikan data bukan angka, dimana data itu dibagi atas golongan-golongan yang dinamakan kelas-kelas, berdasarkan sifat lain. Tabel 2. Distribusi frekuensi Kategoris

Mamba array / data terurut•21•25•34•34•34•34•40•43•45•45•54•76•Menentukan Range ( jangkauan ) : selisih antara nilai yang terbesar dan yang terkecil R = Xmax – Xmin

R= 76 – 21 = 55•Menentukan banyaknya kelas dengan mempergunakan rumus Sturges. K = 1 + 3,3 log N dimana K = banyaknya kelas dan N = jumlah data yang diobservasi. K= 1 + 3,3 log 12 ; K = 4,561298112•Menentukan interval kelas : I = R/K I = 55/4.56 = 12.06•Menentukan batas-batas kelas Tepi bawah kelas = batas bawah kelas – 0,5 ( skala terkecil )

Kelas Batas Kelas Titik Tengah frekuensi21-32 20,5-32,5 26,5 233-42 32,5-42,5 37,5 543-52 42,5-52,5 47,5 353-62 52,5-62,5 57,5 163-72 62,5-72,5 67,5 073-82 72,5-82,5 77,5 1

TOTAL 12

Tepi atas kelas = batas atas kelas + 0,5 ( skala terbesar )•Menentukan titik tengahnya½ x ( batas atas kelas + batas bawah kelas )Tabel Distribusi Frekuensinya

Distribusi frekuensi dapat juga disajikan dalam bentuk grafik. Dimana jenis-jenis grafik adalah :•Grafik garisGrafik garis terdiri dari dua jenis, yaitu single line chart dan multiple line chart Dari data di atas dapat dibuat single line chart :

•Grafik Batang/Balok

•Grafik Lingkaran

Ukuran Gejala Pusat Data Belum DikelompokkanDengan x1= 45, x2= 40, x3= 76, x4= 54, x5= 34, x6= 34, x7=

25, x8= 43, x9= 34, x10= 45, x11= 34, x12= 21Maka Rata-rata hitungnya adalahX = (X1 + X2 +……+ Xn)/n X = rata- rata hitungn = banyaknya dataX1 = banyaknya tiap-tiap dataX = (45 + 40 + 76 + 54 + 34 + 34 + 25 + 43 + 34 + 45 +

34 + 21)/ 12 = 485/12= 40,417Rata-rata ukurnya adalahG= G= = = 1,674Rata-rata harmonisnya adalahRh = N / Σ1/xi = 12 / (1/45 + 1/40 + 1/76 + 1/54 +1/34

+1/34 +1/25 +1/43 +1/34 + 1/45 + 1/34 +1/ 21)Rh = 12/(159,88/485) = 12. 485/159,88 = 36,40

Modus ( nilai yang sering muncul ) = 34Median (nilai yang ditengah dari data terurut) Data genap = mean dari dua data yang di tengah = 34 +

40 / 2 = 74 / 2= 37Data ganjil = nilai yang ada ditengahKuartil adalah fraktil yang membagi seperangkat data

menjadi empat bagian yang samaKuartil kesatu Q1= 1. (n + 1) / 4 = 1.(12+1)/4= 13/4=

3,25Q1 = x1 + 3,25 . (x2 – x3) = 21 + 0,25 . (25-21) = 21+1= 22Kuartil kedua Q2= 2. (n + 1) / 4 = 2.(12+1)/4= 26/4= 6,5Q2 = x3 + 0,5 . (x4 – x5) = 34 + 0,5 . (34-34) = 34Kuartil ketiga Q3 = 3. (n + 1) / 4 = 3.(12+1)/4= 39/4=

9,75Q3= x5 + 0,75 . (x6 – x5) = 34 + 0,75 . (34-34) = 34

Desil adalah fraktil yang membagi seperangkat data menjadi sepuluh bagian yang sama

Desil kelima = D5 = 5.(12+1)/10 = 5.13/10 = 6,5

D5 = x3 + 0,5 (x4-x3) = 34 + 0,5 (34-34) = 34Persentil adalah fraktil yang membagi

seperangkat data menjadi seratus bagian yang sama

Persentil ke-40P40 = 40.(12+1)/100 = 40.13/100 = 5,2

P40 = x2 + 0,2 (x3-x4) = 25 + 0,2 (34-34) = 25

Ukuran Gejala Pusat Data Dikelompokkan

Kelas frekuensi Titik Tengah Frekuensi ≤

21-32 2 26,5 2

33-42 5 37,5 7

43-52 3 47,5 10

53-62 1 57,5 11

63-72 0 67,5 11

73-82 1 77,5 12

Total 12

Rata-rata hitung X= Σfi.mi/Σfi = 518/12 = 446,96MedianMed ≈Lm/ fm +N/2-∑f. cKeterangan Lm = tepi bawah kelas medianN = jumlah frekuensi∑f = frekuensi kumulatif diatas kelas medianFm = frekuensi kelas medianc = interval kelas median Kelas median = 12 / 2 = 6 Med ≈ 32,5 + 12/2-(6-2).12 ≈ 414

ModusMod = Lmo +d1/d1 + d2.c

 KeteranganLmo = tepi bawah kelas modusd1 = selisih antara frekuensi kelas modus

dengan frekuensi kelas sebelum modusd2 = selisih antara frekuensi kelas modus

dengan frekuensi kelas setelah modusc = interval kelas modusKelas modus = frekuensi terbesar = 5Mod = 32,5 + 3 / 3 + 2 . 12 = 397,2

Fraktil adalah nilai-nilai data yang membagi seperangkat data yang telah terurut menjadi beberapa bagian yang sama

Kuartil ke-1Kelas kuartil = i.N/4 = 1.12/4 = 3

Q1 ≈ Lm +

1.N ∑f

4 . i

fm

Q 1 = 32,5 + 3-2/ 5 . 12 = 392,4

Ukuran Penyebaran DataSimpangan rata-rata, merupakan jumlah nilai

mutlak dari selisih semua nilai dengan nilai rata-rata dibagi banyaknya data

~ Data tidak berkelompok Sr = 1 ∑ |x – x| nSr= 1/12 . 485 – 446,96 = 3,04~ Data dikelompokkan Sr = 1 ∑f |x – x| nSr = 1/12 . 456,48 = 36,52

Standar deviasi , merupakan akar pangkat dua dari variasi simpangan baku-> S = √ S2

S = √36,522 = 1.333,71Jangkauan KuartilDisebut juga simpangan kuartil atau rentang

semi antar kuartil atau deviasi kuartil JK= ½ . (Q3-Q1) = ½ . (399,6 – 392,4) = 3,6Jangkauan PersentilJP10-90 = P90 – P10 = 639,6 – 260,4 = 379,2

Ukuran Penyebaran DataKemiringan Distribusi Data, merupakan

derajat atau ukuran dari ketidaksimetrisan suatu distribusi data

Kemiringan distribusi data terdapat 3 jenis, yaitu

~ Simetris : menunjukkan letak nilai rata-rata hitung, median dan modus berhimpit

~ Miring ke kanan : mempunyai nilai modus paling kecil dan rata-rata hitung paling besar

~ Miring ke kiri : mempunyai nilai modus paling besar dan rat-rata hitung paling kecil

Rumus menghitung derajat Kemiringan Distribusi data (α3)

a.Rumus Pearsonα = 1/S (x-mod) atau α = 3/S (x-med) -> α = 1/36,52 (446,96 – 397,2) = 0,03 . 49,76 = 1,4928

b. Rumus Momen~ Data tidak berkelompok = α3 = 1 Σ(xi – x)3 = 1

c. Rumus Bowley α3 = Q3 – Q1 – 2Q2 = 34 – 22 – 2.34 / 34-22 = -4,667 Q3 – Q1

•Keruncingan Distribusi data , merupakan derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu disribusi data terhadap distribui normalnya. Ini disebut juga kurtosis. Ada tiga jenis derajat keruncingan, yaitu :~ Leptokurtosis = distribusi data yang puncaknya relatif tinggi~ Mesokurtis = distribusi data yang puncaknya normal

~ Platikurtis = distribusi data yang puncaknya terlalu rendah dan terlalu mendatar

Derajat Keruncingan data dapat dihitung dengan rumus

Data tidak berkelompok = α4 = 1 Σ(xi – x)4

nS4 Data berkelompok = α4 = 1/ nS4 Σf (mi-x)4 =

1/ 12.36,524 . 52 (37,52446,96)4 = 187.446

Angka Indeks Tertimbang dan Tidak Tertimbang

Jenis produk

Harga per unit (P) Jumlah produk (Q) Harga relative Pn / Po

Quantity relative Qn / Qo

P9.Q11 P11.Q11 P9.Q9 P11.Q9

2009 2010 2011 2009 2010 2011

Cabai 6000 6500 7000 40 15 35 1.17 0.87 210000 245000 240000 280000

Wortel 3000 3600 4200 25 40 50 1.4 2 150000 210000 75000 105000

bawang 6500 7500 9000 15 20 30 1.38 2 195000 270000 97500 135000

jumlah 15500 17600 20200 80 75 115 ∑ = 3.95 ∑ = 4.87 ∑ =555000

∑ =725000

∑ =412500

∑ =520000

Indeks harga tidak tertimbang Metode angka relative Harga Cabai tahun 2011 Ihr = Pn x 100 % Po

Ihr = P11 x 100 % P9

Ihr = 7000 x 100 % 6000Ihr = 116.67 % Quantity Cabai tahun 2011 Ihr = Qn x 100 % Qo

Ihr = Q11 x 100 % Q9

Ihr = 35 x 100 % 40Ihr = 87.5 %

Indeks harga terimbangIndeks harga agretatif tertimbangIndeks laspeyres L = ∑ Pt Qo x 100 %

∑ Po Qo

L = 520000 x 100% 412500L = 126.1 %

Regresi dan Korelasi Regresi dan Kolerasi digunakan untuk mempelajari pola dan

mengukur hubungan statistik antara dua atau lebih variabel. Gagasan perhitungan ditetapkan oleh Sir Francis Galton (1822-

1911)   • Persamaan regresi : Persamaan matematik yang memungkinkan

peramalan nilai suatu peubah takbebas (dependent variable) dari nilai peubah bebas (independent variable)

Diagram Pencar = Scatter Diagram Diagram yang menggambarkan nilai-nilai observasi peubah

takbebas dan peubah bebas.   Nilai peubah bebas ditulis pada sumbu X (sumbu horizontal)

Nilai peubah takbebas ditulis pada sumbu Y (sumbu vertikal) Jenis-jenis Persamaan Regresi : a. Regresi Linier : - Regresi Linier Sederhana - Regresi Linier Berganda b. Regresi Nonlinier - Regresi

Eksponensial

Regresi Linier - Bentuk Umum Regresi Linier Sederhana - > Y = a + bXY : peubah tak bebasX : peubah bebasa : konstantab : kemiringan - Bentuk Umum Regresi Linier Berganda -> Y = a + b1X1

+ b2X2 + ...+ bnXn

Y : peubah tak bebas a : konstanta

X1 : peubah bebas ke-1 b1 : kemiringan ke-1X2 : peubah bebas ke-2 b2 : kemiringan ke-2Xn : peubah bebas ke-n bn : kemiringan ke-n  • Regresi Non Linier - Bentuk umum Regresi Eksponensial -> Y = abx

log Y = log a + (log b) x

Berikut adalah data Biaya Promosi dan Volume Penjualan PT BIMOLI perusahaan Minyak Goreng.

Tahunx = Biaya Promosi

y = Volume

Penjualan x.y x² y²(Juta

Rupiah)(Ratusan

Juta Liter)1992 2 5 10 4 251993 4 6 24 16 361994 5 8 40 25 641995 7 10 70 49 1001996 8 11 88 64 121

TTotal Σx = 26 Σy = 40

Σxy = 232 Σx² =158 Σy² = 346

n = 5b = nΣxy – ΣxΣy = (5 . 232) – (26 . 40) = 1160 – 1040 = 120 = 1,0526 = 1,053

nΣx2 – (Σx)2 (5 . 158) – (26)2 790 – 676 114

a = y – bx = Σy - b Σx = 40 – (1,0526 . 26) = 8 – (1,0526 . 5,2) = 2,530 n n 5Y = a + b X → Y = 2.530 + 1.053 X

~ Trend Merupakan suatu gerakan kecenderungan naik atau turun dalam jangka

panjang yang diperoleh dari rata-rata perubahan dari waktu ke waktu dan nilainya cukup rata atau mulus

Bentuk trend Trend positif = trend meningkat

Y = a + b.X Trend negatif = trend menurun

Y = a – b.X Metode Analisa Trend

Metode Semi Average (setengah rata-rata)

Tahun Penjualan (Ribuan Dus) Rata-ratanilai X tahun

2000 2005

2000 150 -2 -6

2001 140 -1 -5

2002 125 131 0 -4

2003 110 1 -3

2004 130

2004 130 2 -2

2005 150 3 -1

2006 156 152,8 4 0

2007 160 5 1

2008 168 6 2

Langkah :Kelompokan data menjadi dua kelompok Hitung rata – rata hitung dan letakkan di tengah kelompok ( K1 dan K2), menjadi nilai konstanta (a) dan letak tahun merupakan tahun dasar Untuk Nilai (a) 2002 = 131.02006 = 152.8Untuk Nilai (b)= (152.8 – 131.0)/(2006 – 2002)= 5.45Maka persamaan trend -> Tahun dasar 2002 : Y’ = 131+ 5.45 (X)Tahun dasar 2006: Y’ = 152.8 + 5.45 (X)Peramalan tahun 2009 : Y’ = 131+ 5.45 (7)= 169.15

Metode Moving Average Rata-rata bergerak sederhanaMetode yang sering digunakan untuk meratakan deret berkala yang bergelombang adalah metode rata-rata bergerak. Metode ini dibedakan atas dasar jumlah tahun yang digunakan untuk mencari rata-ratanya. Jika digunakan 3 tahun sebagai dasar pencarian rata-rata bergerak,teknik tersebut dinamakan Rata-rata Bergerak per 3 tahun.Prosedur menghitung rata-rata bergerak sederhanaper 3 tahun sebagai berikut :1. Jumlahkan data selama 3 tahun berturut-turut.Hasilnya diletakkan di tengah-tengah tahuntersebut.2. Bagilah dengan banyaknya tahun tersebut (3) untuk mencari nilai rata-rata hitungnya.3. Jumlahkan data berikutnya selama 3 tahun berturut-turut dengan meninggalkan tahun yang pertama. Hasilnya diletakkan di tengah-tengah tahun tersebut dan bagilah dengan banyaknya tahun tersebut (3) dan seterusnya sampai selesai.

Tahun Penjualan (Ribuan Dus)

Jumlah bergerak selama 3

tahun

Rata-rata

Bergerak per 3 tahun

2000 150 2001 140 415 138,3332002 125

2001 140 2002 125 375 1252003 110

Rata-rata Bergerak TertimbangUmumnya timbangan yang digunakan bagi rata-rata bergerak ialah Koefisien Binomial. Rata-rata bergerak per 3 tahun harus diberi koefisien 1, 2, 1 sebagai timbangannya.• Prosedur menghitung rata-rata bergerak tertimbang per 3 tahun sebagai berikut :1. Jumlahkan data tersebut selama 3 tahun berturut-turut secara tertimbang.2. Bagilah hasil penjumlahan tersebut dengan faktor pembagi 1+2+1 = 4. Hasilnya diletakkan di tengah-tengah tahun tersebut.3. Dan seterusnya sampai selesai

TahunPenjualan

(Ribuan Dus)

Jumlah bergerak tertimbang

rata-rata bergerak

selama 3 tahuntertimbang per

3 tahun

2000 150 2001 140 415 103,752002 125

2001 140 2002 125 375 942003 110

Metode Least Square Metode ini paling sering digunakan untuk meramalkan Y, karena perhitungannya lebih teliti.Persamaan garis trend yang akan dicari ialah Y ‘ = a0 + bx ; a = (SY) / n; b = (SYx) / Sx2

dengan : Y ‘ = data berkala (time series) = taksiran nilai trend. a0 = nilai trend pada tahun dasar. b = rata-rata pertumbuhan nilai trend tiap tahun. x = variabel waktu (hari, minggu, bulan atau tahun). Untuk melakukan penghitungan, maka diperlukan nilai tertentu pada variabel waktu (x) sehingga jumlah nilai variabel waktu adalah nol atau Sx = 0.a = 1289/9 = 143,222 ; b = (1289 x 9)/81 = 143,222Y’ = 143,222 + 143,222x