stabilitas numerik model numerik elemen hingga petrov-galerkin untuk penyelesaian persamaan angkutan...

Stabilitas Numerik Model Numerik Elemen Hingga Petrov-Galerkin Untuk Penyelesaian Persamaan Angkutan Konveksi-Difusi (Hartana)

137

STABILITAS NUMERIK MODEL NUMERIK ELEMEN HINGGA

PETROV-GALERKIN UNTUK PENYELESAIAN PERSAMAAN ANGKUTAN KONVEKSI-DIFUSI

Hartana

ABSTRAKSI Stabilitas numerik merupakan permasalahan yang sangat penting dalam setiap penggunaan model numerik. Penelitian ini bertujuan untuk mencari batasan-batasan stabilitas numerik penggunaan metode elemen hingga Petrov-Galerkin untuk penyelesaian persamaan konveksi-difusi agar hasil hitungan memberikan hasil yang mengarah kepada penyelesaian yang benar. Analisis stabilitas dilakukan pada problem 1 dimensi. Batasan-batasan yang akan diambil sebagai analisis adalah angka Courant (Cr) dan koefisien upwinding () pada kasus konveksi murni, sedangkan pada kasus konveksi-difusi adalah angka Peclet (Pe).

Hasil analisis menunjukkan bahwa skema numerik elemen hingga Petrov-Galerkin untuk persamaan konveksi murni stabil pada nilai Cr maksimal 0,23 dengan nilai tertentu. Sedangkan pada kasus yang melibatkan suku konvektif dan difusif skema numerik elemen hingga Petrov-Galerkin stabil pada nilai Cr maksimal 0,23 dan Pe tertentu untuk nilai optimum sama dengan nilai Cr-nya.

Kata kunci : stabilitas numerik, metode elemen hingga Petrov-Galerkin, konveksi-difusi

1. PENDAHULUAN Dewasa ini model numerik semakin banyak digunakan untuk menyelesaikan

persamaan yang tidak dapat diselesaikan secara analitis ataupun persamaan yang membutuhkan hitungan yang banyak. Permasalahan stabilitas numerik merupakan permasalahan yang sangat penting dalam setiap penggunaan model numerik, karena kestabilan model numerik akan membawa hasil hitungan mengarah kepada penyelesaian yang benar dan menghindari terjadinya divergensi hasil hitungan. Dari penelitian ini diharapkan akan diketahui batasan-batasan stabilitas numerik penggunaan metode elemen hingga Petrov-Galerkin untuk memecahkan secara numeris persamaan angkutan.

Model numerik angkutan disusun dalam program komputer menggunakan Bahasa Fortran. Formulasi Petrov-Galerkin dipilih karena dengan memasukkan nilai koefisien upwinding () yang sesuai akan memberikan akurasi yang lebih tinggi dalam penyelesaian persamaan angkutan dibandingkan dengan formulasi metode elemen hingga yang lain, seperti Metode Taylor-Galerkin, Metode Galerkin (Standard Galerkin) ataupun Metode Classical Upwind (Brooks, et.all, 1982).

Volume 6 No. 2, April 2006 : 137 - 143 138

2. PERSAMAAN ANGKUTAN KONVEKSI-DIFUSI Persamaan angkutan diturunkan berdasarkan pada persamaan umum angkutan massa.

Unsur-unsur dinamika angkutan dapat dibedakan menjadi unsur angkutan dan unsur sebaran. Persamaan angkutan dan sebaran (konveksi-difusi) suatu material mengikuti persamaan berikut.

=

+

xk

xxu

t (1)

dengan k adalah koefisien difusi dan u adalah kecepatan.

3. FORMULASI NUMERIK ELEMEN HINGGA DAN PENYUSUNAN PROGRAM KOMPUTER

Dalam metode elemen hingga, sistem persamaan yang diselesaikan diberlakukan pada elemen-elemen sehingga diperoleh formulasi dalam bentuk hubungan nilai-nilai yang dicari di elemen-elemen tersebut. Penerapan Metode Sisa Berbobot ke dalam sistem persamaan angkutan dan dengan memasukkan fungsi interpolasi ke variabel-variabel dalam sistem persamaan menghasilkan persamaan diskret sebagai berikut.

[ ] [ ] { } 0BKt

M^

l

^

l

l

^

=++

(2)

dimana :

[ ]M adalah matriks massa, [ ] =

dNNM ji

[ ]K adalah matriks kekakuan,

[ ]

=

dx

Nx

N2h

udx

Nx

Nkd

x

NNUK ljljlj

{ }B adalah vektor kondisi batas, { }

= d

x

NNkB lj

i, j, l = 1,2,3,,M; M adalah jumlah titik hitungan.

Persamaan (2) di atas didapatkan dengan menggunakan fungsi pembobot pada Metode Petrov-Galerkin yang diberikan dalam persamaan berikut.

M,...,2,1j;x

Nu

u

2hNWNW jjj

~

jj =

++= (3)

dengan M adalah jumlah titik hitungan, h adalah interval jarak titik hitungan, dan adalah koefisien upwinding.


139

Sistem persamaan diskret (2) dapat diekspresikan dalam bentuk deferensi hingga (finite difference) sebagai berikut.

[ ] [ ] { } 0B)1(Kt

Mn^^

n^

1n^

n^1n^

=+

+

+

+

+

(4)

dengan adalah suatu besaran skalar. Jika =1 maka sistem persamaan adalah dalam skema implisit; jika =0,5 dipakai dalam skema Crank-Nicholson dan jika =0 maka sistem persamaan dalam skema eksplisit.

Berdasarkan pada formulasi elemen hingga yang diperoleh disusun program komputer dengan Bahasa Fortran. Bagan Alir dapat penyusunan program komputer dapat dilihat pada Gambar 1.

Pembentukan Matriks Massa : Integrasi Numerik d

jNiN

Mulai

Baca Data Input : Data Geometri Mesh Hitungan Data Parameter Fisik Hitungan

Perakitan matriks massa dari koordinat lokal ke dalam koordinat global

Selesai

Hitungan Berulang Tiap Langkah Waktu

Pembentukan matriks kekakuan : Integrasi numerik

d

x

lNUx

jN2h

-dx

lN

x

jNkd

x

lNjUN

Pembentukan vektor ruas kanan

Perkalian matriks kekakuan dengan vektor nilai hasil hitungan pada langkah hitungan sebelumnya

Penerapan kondisi batas hilir hitungan : integrasi numerik

^n

ldnx

lNjNk

Penyelesaian persamaan matriks dan vektor

Perakitan matriks kekakuan dari koordinat lokal Ke dalam koordinat global

Gambar 1. Bagan Alir Penyusunan Program Komputer

Volume 6 No. 2, April 2006 : 137 - 143 140

4. ANALISIS STABILITAS NUMERIK Analisis stabilitas numerik dimaksudkan untuk mencari batasan-batasan agar model

numerik memberikan hasil yang mengarah kepada penyelesaian yang benar. Batasan-batasan

yang akan diambil sebagai analisis adalah angka Courant (x

tuCr

= ) dan koefisien upwinding () pada kasus konveksi murni, sedangkan pada kasus konveksi-difusi adalah angka Peclet (

k2xuPe = ), dengan u adalah kecepatan, t adalah interval waktu x adalah panjang elemen,

dan k adalah koefisien difusi. Analisis stabilitas dilakukan pada problem 1 dimesi pada persamaan angkutan dengan

kondisi awal berupa distribusi Gauss. Daerah ruang dibagi dalam 400 elemen dengan panjang elemen, x, adalah 1 m. Langkah waktu (x) yang diambil adalah sebesar 0,25 detik.

5. HASIL DAN PEMBAHASAN Dalam problem konveksi murni (nilai koefisien difusi nol) pada kasus dimana =0

atau dengan kata lain suku Petrov-nya ditiadakan, hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa selalu terjadi osilasi hasil hitungan walaupun pada angka Courant yang kecil, baik untuk skema eksplisit (=0) maupun skema implisit (=1), seperti disajikan pada Gambar 2.

(a) (b) Gambar 2. Hasil hitungan pada Cr = 0,01 menggunakan

skema eksplisit (a) dan skema implisit (b)

Pemakaian formulasi Petrov-Galerkin dengan memasukkan koefisien upwinding () dapat menghindari adanya osilasi. Pada penelitian ini dicari batasan-batasan nilai untuk angka Courant tertentu agar hitungan numerik mencapai kestabilan. Pada Gambar 3 berikut ditunjukkan hasil hitungan untuk beberapa nilai Cr dan .

Terlihat dari Gambar 3 di atas bahwa pada nilai Cr=0,15 dan =0,422 hasil hitungan stabil, namun pada nilai Cr=0,15 dan =0,45 terjadi osilasi hitungan. Pada nilai Cr=0,15 terdapat nilai batas atas dan batas bawah nilai sehingga memberikan hasil hitungan yang stabil, yaitu = 0,422 sebagai batas bawah dan =0,192 sebagai batas bawah. Selanjutnya dicari nilai-nilai Cr yang lain untuk mencari batasan nilai yang memberikan kestabilan numerik. Dari hasil running program untuk berbagai nilai Cr diperoleh data batasan nilai seperti ditunjukkan pada Gambar 4.

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0 5 10 15 20 25 30 35

Jarak

Nila

i Hitu

nga

n

t=0 t=80 t=160t=240 t=320 t=400

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0 5 10 15 20 25 30 35

Jarak

Nila

i Hitu

nga

n

t=0 t=80 t=160t=240 t=320 t=400


141

(a) (b) Gambar 3. Hasil hitungan pada Cr=0,15 dan ====0,422(a)Cr=0,15 dan ====0,45 (b)

Gambar 4. Batasan nilai yang memberikan kestabilan numerik

Dari analisis di atas dapat diketahui bahwa semakin besar nilai Cr maka range nilai semakin kecil. Dari data tersebut dapat diambil kesimpulan bahwa untuk mencapai kestabilan numerik, nilai harus lebih besar dari nilai Cr sampai batas nilai tertentu. Namun demikian semakin besar nilai semakin besar tingkat difusifitasnya walaupun pada kasus ini adalah problem konveksi murni. Oleh karena itu untuk mendapatkan nilai yang optimum maka diambil nilai yang paling minimal namun masih memberikan kestabilan numerik.

Untuk menentukan batasan kestabilan numerik dilakukan pemodelan pada beberapa pasangan nilai Cr dan Pe. Pada Gambar 5 berikut ditunjukkan keluaran program yang menunjukkan kestabilan numerik pada beberapa pasang nilai Cr dan Pe.

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,125 0,15 0,175 0,2 0,225 0,25

Angka Courant (Cr)

Koef.

upw

indi

ng

batas atas batas baw ah

0

0,1

0,2

0,3

0 50 100 150 200 250 300 350 400Jarak

Nila

i Hitu

nga

n

t=0t=80t=160t=240t=320t=400

-0,3

-0,2

-0,1

00,1

0,2

0,3

0 50 100 150 200 250 300 350 400JarakN

ilai H

itun

gan

t=0 t=80t=160 t=240t=320 t=400

osilasi

Volume 6 No. 2, April 2006 : 137 - 143 142

Gambar 5. Keluaran program pada berbagai nilai Cr dan Pe

Hitungan selanjutnya dilakukan untuk pasangan nilai Cr dan Pe yang lain. Dari berbagai pasang nilai Cr dan Pe tersebut, dapat digambarkan garis yang merupakan batas kestabilan numerik. Seperti yang ditunjukkan pada Gambar 6, daerah yang diarsir adalah daerah dimana pasangan nilai Cr, Pe, dan yang memberikan stabilitas numerik.

Gambar 6. Batas Kestabilan Numerik untuk berbagai nilai Cr, Pe dan

Dari analisis di atas dapat ditunjukkan bahwa nilai yang optimal adalah sama dengan nilai Cr-nya itu sendiri, karena pada nilai kurang dari nilai Cr, hitungan sudah tidak stabil lagi.

Cr = = 0,16; Pe = 3,8

-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Jarak

Nila

i Hitu

nga

nt=0t=80t=160t=240t=320t=400

Cr = = 0,16; Pe = 3,9

-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Jarak

Nila

i Hitu

nga

n

t=0t=80t=160t=240t=320t=400

Cr = = 0,23; Pe = 3,9

-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Jarak

Nila

i Hitu

nga

n

t=0t=80t=160t=240t=320t=400

Cr = = 0,23; Pe = 16,4

-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

0 50 100 150 200 250 300 350 400

JarakNi

lai H

itunga

n

t=0t=80t=160t=240t=320t=400

osilasi

osilasi

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0 5 10 15 20

A ngka Peclet (Pe)

An

gka

Co

ura

nt (C

r) =

K

oef.

u

pwin

din

g ()

S T A B I L


143

6. KESIMPULAN Dari analisis yang sudah dilakukan dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut.

1. Penyelesaian persamaan konvektif menggunakan formulasi Petrov-Galerkin dengan memasukkan koefisien upwinding () dapat menghindari adanya osilasi hasil hitungan.

2. Skema numerik elemen hingga Petrov-Galerkin untuk persamaan konveksi murni stabil pada angka Courant (Cr) maksimal 0,23 dengan nilai koefisien upwinding () tertentu.

3. Skema numerik elemen hingga Petrov-Galerkin yang melibatkan suku konvektif dan difusif stabil pada nilai angka Courant (Cr) maksimal 0,23 dan angka Peclet (Pe) tertentu untuk nilai optimum sama dengan nilai Cr-nya.

DAFTAR PUSTAKA Akin, J. E., 1994, Finite Element for Analysis and Design, Academic Press Limited Brooks, A.N., Hughes, Th.J.R., 1982, Streamline Upwind/Petrov-Galerkin Formulations for

Convection Dominated flows with Particular Emphasis on The Incompressible Navier-Stokes Equations, an International Journal for Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 32, North Holland

Burnett, David S., 1987, Finite Element Analysis, Addison-Wesley Publishing Company Donea, Jean, 1984, A Taylor-Galerkin Method For Convective Transport Problem, an

International Journal for Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol 20

Farlow, S.J., 1982, Partial Differential Equations, John Wiley & Sons Hartana, 1997, Model Numerik elemen Hingga 3D Untuk Sebaran Gelembung Udara Dalam

Air, Tesis, Program Pascasarjana UGM, Yogyakarta Zienkiwicz, O.C., Taylor, R.L., 1991, The Finite Element Method vol 2 : Solid and fluid

Mechanics Dynamics and Nonlinearity, Mc Graw Hill Book Company

RIWAYAT PENULIS Hartana, ST, M.T, adalah staf pengajar Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas

Mataram, Mataram NTB.

stabilitas numerik model numerik elemen hingga petrov-galerkin untuk penyelesaian persamaan angkutan...

Documents