soal soal non rutin

Smart Mathematics 2011

1

Kelas X

STANDAR KOMPETENSI:

Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat.

KOMPETENSI DASAR :

Menggunakan sifat dan aturan tentang persamaan dan pertidaksamaan kuadrat.

MATERI HARI INI SOAL PENILAIAN MATERI AKAN DATANG

Pertemuan 1 (2 x 45 menit)

Dengan diskusi dan tanya jawab

dibahas bentuk umum persamaan

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 dimana

𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 dan 𝑎 ≠ 0


dibahas cara menentukan akar-akar

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, untuk 𝑎 = 1

dengan memfaktorkan.

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat:

1. 2𝑥2 – 12𝑥 + 16 = 0

2. 3𝑥2 + 10𝑥 – 8 = 0

3. 3

2 𝑥2 +

1

2 𝑥 – 1 = 0

Petunjuk pengerjaan:

- Sederhanakan persamaan jika memungkinkan

dan diperlukan.

- Lakukan manipulasi aljabar sesuai keperluan.

- Lakukan pengerjaan seperti kasus 𝑎 = 1




persamaan kuadrat dengan rumus

persamaan kuadrat.

Secara kelompok siswa

mengerjakan soal latihan

Tujuan Soal:

- Untuk mengetahui pemahaman siswa menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan

- Untuk mengukur kemampuan siswa melakukan menipulasi aljabar untuk melakukan pemfaktoran, dan menuntun siswa mampu

mengidentifikasi suatu persamaan kuadrat yang dapat diselesaikan dengan pemfaktoran atau cara yang lain


2




persamaan kuadrat dengan

Memfaktorkan dan melengkapkan

bentuk kuadrat sempurna.

Secara kelompok siswa mengerjakan

soal latihan

4. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat:

−4𝑥2 + 7𝑥 – 3

2 = 0


Tetapkan nilai 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 terlebih dahulu.

Substitusi nilai 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 ke 𝑥1,2 =

−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎 dan selesaikan.

5. Tentukan penyelesaian dari:

−3𝑥2 + 5𝑥 + 2 ≤ 0

6. Keliling sebuah persegi panjang sama

dengan 20 cm. Jika luas persegi panjang itu

tidak kurang dari 21 cm2, tentukan batas-

batas nilai panjang dari persegi panjang

tersebut.


Tentukan titik nol pertidaksamaan

Uji interval yang terbentuk

Susunlah model matematika dari soal cerita

yang diberikan

Selesaikan persamaan atau pertidaksamaan

yang terbentuk.



dibahas cara menentukan

penyelesaian pertidaksamaan

kuadrat.

Dengan penugasa siswa

mengerjakan soal penyelesaian

pertidaksamaan kuadrat.


3

Tujuan Soal:

Untuk mengukur kemampuan siswa menggunakan rumus persamaan kuadrat, dan mengarahkan siswa untuk berpikir cara lain

untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang bentuknya tidak bias difaktorkan.

Mengarahkan siswa untuk mempersiapkan diri untuk masuk pada materi berikutnya, yaitu pertidaksamaan kuadrat.

Pembahasan Soal

entukan akar-akar persamaan kuadrat:

1. 2𝑥2 – 12𝑥 + 16 = 0

Jawaban:

2𝑥2 – 12𝑥 + 16 = 0

⟺ 2𝑥2 – 12𝑥 + 16 = 0

⟺ (𝑥 − 2)(𝑥 − 4) = 0

⟺ (𝑥 − 2) = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 (𝑥 − 4) = 0

⟺ 𝑥 = 2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 4

Jadi akar persamaan kuadrat 2𝑥2 – 12𝑥 + 16 = 0 adalah

𝒙 = 𝟐 atau 𝒙 = 𝟒

2. 3𝑥2 + 10𝑥 – 8 = 0

Jawaban:

3𝑥2 + 10𝑥 – 8 = 0 ⟺ 3𝑥2 + 12𝑥 – 2𝑥 – 8 = 0

⟺ 3𝑥(𝑥 + 4) − 2(𝑥 + 4) = 0

⟺ (3𝑥 − 2)(𝑥 + 4) = 0

⟺ (3𝑥 − 2) = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 (𝑥 + 4) = 0

⟺ 𝑥 =2

3𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 4

Jadi akar persamaan kuadrat 3𝑥2 + 10𝑥 – 8 = 0 adalah

𝒙 = 𝟐

𝟑 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝒙 = 𝟒

3. 3

2 𝑥2 +

1

2 𝑥 – 1 = 0

Jawaban:

3

2 𝑥2 +

1

2 𝑥 – 1 = 0 ⟺ 3𝑥2 + 𝑥 – 2 = 0

⟺ 𝑥2 + 3𝑥 – 2𝑥 – 2 = 0

⟺ 3𝑥(𝑥 + 1) – 2(𝑥 + 1) = 0

⟺ (3𝑥 − 2)(𝑥 + 1) = 0

⟺ (3𝑥 − 2) = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 (𝑥 + 1) = 0

⟺ 𝑥 = 2

3 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = −1

Jadi akar persamaan kuadrat 3

2 𝑥2 +

1

2 𝑥 – 1 = 0 adalah

𝑥 = 2

3 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = −1


4

4. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat:

−4𝑥2 + 7𝑥 – 3

2 = 0

Jawaban:

Dari −4𝑥2 + 7𝑥 – 3

2 = 0 diperoleh:

𝑎 = −4, 𝑏 = 7, 𝑐 = − 3

2

𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

⟺ 𝑥1,2 =−7 ± √(7)2 − 4(−4)(−

32)

2(−4)

⟺ 𝑥1,2 =−7 ± √49 − 24

−8

⟺ 𝑥1,2 =−7 ± √25

−8

⟺ 𝑥1,2 =−7 ± 5

−8

⟺ 𝑥 =−7 + 5

−8=

−2

−8 atau 𝑥 =

−7− 5

8=

−12

−8

⟺ 𝑥 =1

4 atau 𝑥 =

3

2

Jadi akar persamaan kuadrat −4𝑥2 + 7𝑥 – 3

2 = 0 adalah

𝒙 =𝟏

𝟒 atau 𝒙 =

𝟑

𝟐

5. Tentukan himpunan penyelesaian dari dari pertidaksamaan

kuadrat −3𝑥2 + 5𝑥 + 2 ≤ 0

Jawaban:

Nilai-nilai nol −3𝑥2 + 5𝑥 + 2 = 0 adalah:

(3𝑥 + 1)(−𝑥 + 2) = 0 ⟺ 𝑥 = − 1

3 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 2

Nilai-nilai nol dan tanda-tanda intervalnya seperti pada

gambar di berikut:

.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah:

𝐻𝑃 = {𝒙│𝒙 ≤ − 𝟏

𝟑 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝒙 ≥ 𝟐}

a. Keliling sebuah persegi panjang sama dengan 20 𝑐𝑚. Jika

luas persegi panjang itu tidak kurang dari 21 𝑐𝑚2, tentukan

batas-batas nilai panjang dari persegi panjang tersebut.

Jawaban:

Misalkan panjang dan lebar persegi panjang tersebut berturut-

turut adalah x cm dan y cm.

Keliling 𝐾 = 2𝑥 + 2𝑦 = 20 ⟺ 𝑥 + 𝑦 = 10 ⟺ 𝑦 = 10 – 𝑥

Luas persegi panjang: 𝐿 = 𝑥 . 𝑦 ⟺ 𝐿 = 𝑥 (10 – 𝑥) ⟺ 𝐿 = 10𝑥 – 𝑥2

Luas persegi panjang itu tidak kurang dari 21 𝑐𝑚2, ini berarti

𝐿 ≥ 21 10𝑥 – 𝑥2 ≥ 21 ⟺ – 10𝑥 + 𝑥2 ≤ −21 ⟺ 𝑥2 – 10𝑥 + 21 ≤ 0 ⟺ (𝑥 – 3)(𝑥 – 7) ≤ 0

⟺ 3 ≤ 𝑥 ≤ 7 Jadi batas-batas nilai panjang dari persegi panjang itu adalah

dari 𝟑 𝒄𝒎 sampai dengan 𝟕 𝒄𝒎.

- 1

3 2

- 1

3 2

+ − +


5

Kelas XI

Standar Kompetensi:

Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi

Kompetensi dasar:

1. Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi

2. Menentukan invers suatu fungsi

MATERI YANG DIAJARKAN PENILAIAN MATERI AKAN DATANG

Pertemuan 1 (2 x 45 Menit):

2. Dengan diskusi dan tanya jawab,

diberikan masalah menentukan

fungsi komposisi.

3. Secara kelompok siswa membahas

soal latihan dan mengumpulkan

hasilnya.

1. Jika 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1, dan

𝑓𝑜𝑔(𝑥) = 6𝑥 − 7, tentukan rumus fungsi

𝑔(𝑥).

2. Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3, dan

𝑔𝑜𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 4𝑥 − 3, tentukan, (𝑓𝑜𝑔)(1)

Petunjuk Pengerjaan:

Misal 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, dan

𝑓𝑜𝑔(𝑥) = 𝑐𝑥 + 𝑑

Maka 𝑔(𝑥) =𝑐𝑥+𝑑−𝑏

𝑎

Misal 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑛

Gantikan 𝑥 =𝑥−𝑛

𝑚

Maka 𝑔(𝑥) = (𝑚.𝑥−𝑛

𝑚+ 𝑛) = 𝑐 (

𝑥−𝑛

𝑚)



dibahas bagaimana menentukan

rumus fungsi jika salah satu fungsi

dan fungsi komposisinya diketahui.



hasilnya.


6

Tujuan Pemberian soal:

Untuk mengetahui pemahaman siswa dalam menentukan rumus fungsi jika salah satu fungsi dan fungsi komposisinya diketahui.

MATERI YANG DIAJARKAN PENILAIAN MATERI AKAN DATANG



dibahas bagaimana menentukan rumus

fungsi jika salah satu fungsi dan fungsi

komposisinya diketahui.



hasilnya.

3. Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1, dan

𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 3, tentukan (𝑓𝑜𝑔)−1(𝑥)


𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 1, tentukan (𝑓𝑜𝑔)−1(8)


Misal: (𝑓𝑜𝑔)−1(𝑥) = 𝑔−1𝑜 𝑓−1(𝑥)

Selanjutnya selesaiakn seperti biasa


4. Dengan tanya jawab dijelaskan

bagaimana menentukan fungsi invers

dari fungsi komposisi.



hasilnya.

Tujuan Pemberian Soal:

Untuk mengetahui pemahaman siswa dalam menentukan fungsi invers dari fungsi komposisi


7

PENYELESEAIAN

1. Jika 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1, dan

𝑓𝑜𝑔(𝑥) = 6𝑥 − 7, tentukan rumus fungsi 𝑔(𝑥)

Diketahui:

𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 dan 𝑓𝑜𝑔(𝑥) = 6𝑥 − 7

Berdasarkan petunjuk yang ada maka diperoleh :

𝑓[𝑔(𝑥)] = 6𝑥 − 7

2[𝑔(𝑥)] + 1 = 6𝑥 − 7

2[𝑔(𝑥)] = 6𝑥 − 7 − 1

𝑔(𝑥) =6𝑥 − 8

2= 3𝑥 − 4


𝑔𝑜𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 4𝑥 − 3, tentukan, (𝑓𝑜𝑔)(1)

Diketahui:

𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3 dan 𝑔𝑜𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 4𝑥 − 3


𝑔 𝑜𝑓(𝑥) = 𝑔[𝑓(𝑥)] = 𝑔(𝑥 + 3) = 2𝑥2 + 4𝑥 − 3

𝑔 (1.𝑥−3

1+ 3) = 2 (

𝑥−3

1)

2

+ 4(𝑥−3

1) − 3

⇔ 𝑔(𝑥) = 2(𝑥 − 3)2 + 4(𝑥 − 3) − 3

⇔ 𝑔(1) = 2(1 − 3)2 + 4(1 − 3) − 3 = −3

𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓𝑜𝑔(1) = 𝑓[𝑔(1)] = 𝑓(−3) = (−3) + 3 = 0


8

3. Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1, dan

𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 3, tentukan (𝑓𝑜𝑔)−1(𝑥)

Diketahui:

𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1 dan 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 3


𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1

⇔ (𝑓𝑜𝑓−1)(𝑥) = 𝑥

⇔ 𝑓[𝑓−1(𝑥)] = 𝑥

⇔ [𝑓−1(𝑥)] − 1 = 𝑥

Maka 𝑓−1(𝑥) = 𝑥 + 1

𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 3

⇔ (𝑔𝑜𝑔−1)(𝑥) = 𝑥

⇔ 𝑔[𝑔−1(𝑥)] = 𝑥

⇔ 2[𝑔−1(𝑥)] + 3 = 𝑥

Maka 𝑔−1(𝑥) =𝑥−3

2

Selanjutnya ditentukan (𝑓𝑜𝑔)−1(𝑥)

(𝑓𝑜𝑔)−1(𝑥) = (𝑔−1𝑜 𝑓−1)(𝑥) =𝑥 + 1 − 3

2=

𝑥 − 2

2


𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 1, tentukan (𝑓𝑜𝑔)−1(8)

Diketahui:

𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 dan 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 1


𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1

⇔ (𝑓𝑜𝑓−1)(𝑥) = 𝑥

⇔ 𝑓[𝑓−1(𝑥)] = 𝑥

⇔ [𝑓−1(𝑥)] + 1 = 𝑥

Maka 𝑓−1(𝑥) = 𝑥 − 1

𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 1

⇔ (𝑔𝑜𝑔−1)(𝑥) = 𝑥

⇔ 𝑔[𝑔−1(𝑥)] = 𝑥

⇔ 2[𝑔−1(𝑥)] − 1 = 𝑥

Maka 𝑔−1(𝑥) =𝑥+1

2

Selanjutnya ditentukan (𝑓𝑜𝑔)−1(8)

(𝑓𝑜𝑔)−1(𝑥) =𝑥 − 1 + 1

2=

𝑥

2

(𝑓𝑜𝑔)−1(8) =8

2= 4


9

Kelas XII

Standar Kompetensi :

Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah sederhana.

Kompetensi Dasar:

1. Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu

2. Menghitung integral tak tentu dan integral tentu fungsi aljabar

MATERI HARI INI SOAL PENILAIAN MATERI AKAN DATANG



dirancang aturan integral tak tentu dari

aturan turunan.

7. Secara kelompok siswa membahas soal

latihan dan mengumpulkan hasilnya.

Tentukanlah nilai dari:

5. ∫ (3𝑥2 − 2𝑥 + 5)1

−1𝑑𝑥

6. ∫1

𝑥 √𝑥23 𝑑𝑥8

0


Misal ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥).

Maka ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)



dibahas integral tertentu sebagai luas

daerah di bidang datar.



hasilnya.

Tujuan Soal:

Untuk mengetahui pemahaman siswa tentang konsep integral tak tentu dan mengarahkan siswa dalam mempersiapkan diri untuk

masuk pada materi integral tentu.


10



dibahas integral tertentu sebagai luas

daerah di bidang datar.



hasilnya.

Tentukanlah nilai dari

1. ∫6𝑥2

√𝑥3+1𝑑𝑥

2

0

2. ∫(4 − 2 𝐶𝑜𝑠 𝛼)3. 𝑆𝑖𝑛 𝛼 𝑑𝑥


Ubahlah bentu soal di atas menjadi bentuk:

∫ 𝑓(𝑥) = ∫ 𝑔(𝑢)𝑑𝑢

𝑑𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑔(𝑢)𝑑𝑢.

Selanjutnya selesaiakn seperti biasa


5. Dengan tanya jawab dijelaskan cara

menghitung integral dengan metode

substitusi



hasilnya.

Tujuan Soal:

Untuk mengetahui pemahaman siswa tentang konsep integral tentu dan mengarahkan siswa dalam mempersiapkan diri untuk masuk

pada materi manghitung integral dengan metode substitusi.

Pembahasan Soal:

1. ∫ (3𝑥2 − 2𝑥 + 5)1

−1𝑑𝑥

= 𝑥3 − 𝑥2 + 5𝑥|−11

= (13 − 12 + 5(1)) − ((−1)3 − (−1)2 + 5(−1))

= 5 − (−7)

= 12

2. ∫1

𝑥 √𝑥23 𝑑𝑥8

0= ∫ 𝑥−1. 𝑥−

2

3𝑑𝑥8

0= ∫ 𝑥−

5

3𝑑𝑥8

0

=1

−53 + 1

𝑥−53

+1|

0

8

= −3

2𝑥−

23|

0

8

= −3

2((8)−

23 − 0)

= −3

2(

1

4)

= −3

8


11

3. ∫6𝑥2

√𝑥3+1𝑑𝑥

1

0

Misalkan 𝑢 = 𝑥3 + 1, dimana 𝑥 = 1 ⇒ 𝑢 = 2

𝑥 = 0 ⇒ 𝑢 = 1

Maka 𝑑𝑢

𝑑𝑥= 2𝑥2 ⇔ 𝑑𝑥 =

𝑑𝑢

2𝑥2. Sehingga

∫6𝑥2

√𝑥3 + 1𝑑𝑥 = ∫

1

√𝑢. 6𝑥2

𝑑𝑢

2𝑥2

2

1

1

0

= ∫ 3𝑢−12. 𝑑𝑢

2

1

=3

−12

+ 1𝑢−

12

+1|

1

2

= 6√𝑢|1

2

= 6(√2 − 1)

4. ∫(4 − 2𝐶𝑜𝑠 𝛼)3. 𝑆𝑖𝑛 𝛼 𝑑𝑥

Misalkan 𝑢 = 4 − 2𝐶𝑜𝑠 𝛼

Maka 𝑑𝑢

𝑑𝑥= 2𝑆𝑖𝑛 𝛼 ⇔ 𝑑𝑥 =

𝑑𝑢

2𝑆𝑖𝑛 𝛼. Sehingga

∫(4 − 2𝐶𝑜𝑠 𝛼)3. 𝑆𝑖𝑛 𝛼 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢3. 𝑆𝑖𝑛 𝛼 𝑑𝑢

2𝑆𝑖𝑛 𝛼

= ∫1

2𝑢3𝑑𝑢

=1

2.1

4𝑢4

=1

8(4 − 2𝐶𝑜𝑠 𝛼)4

soal soal non rutin

Education