1. y} + {2y} ^ {'} -3y=¿

Persamaan Karakteristiknya:

λ2+2 λ−3=0

( λ−1 ) ( λ+3 )

λ1=1 λ2=−3

λ1≠ λ2

yh=c1 ex+c2 e

−3x

2. y ' '+7 y=0

Persamaan karakteristiknya :

λ2+7=0

λ2=−7

λ12=±√−7=±i √7

λ1=i √7, λ2=−i √7

yh=e0 (B sin√7 x+A cos√7 x )

¿(B sin√7 x+A cos√7 x )

3. y”− y '−2 y=8

y= yh+ y p

y} - {y} ^ {'} -2y=¿

Persamaan Karakteristiknya:

λ2−λ−2=0

( λ+1 ) ( λ−2 )

λ1=−1 λ2=2

λ1≠ λ2

yh=c1 e− x+c2 e

2x

Untuk y p :

y p=k1

y p'=0

y p}} = ¿¿

Subtitusi ke soal : y} - {y} ^ {'} -2y=¿

0−0−2k 1=8

k 1=−4

Jadi, y p=k1

y p=−4

y= yh+ y p

y=c1 e− x+c2 e

2x−4

4. 3 y} - {2y} ^ {'} -y=2x-¿

y= yh+ y p

3 y} - {2y} ^ {'} -y=¿

Persamaan Karakteristiknya:

3 λ2−2λ−1=0

(3 λ+1 ) ( λ−1 )

λ1=−13λ2=1

λ1≠ λ2

yh=c1 e−13 x+c2e

x

Untuk y p :

y p=k1 x−k2

y p'=k 1

y p}} = ¿¿

Subtitusi ke soal : 3 y} - {2y} ^ {'} -y=2x-¿

0−2k1−(k1 x−k2 )=2 x−3−2k1−k1 x+k 2+3=2 x

−k 1 x+(−2k1+k2+3 )=2 x→dibagi x−k1=2k 1=−2−2k1+k 2=−3(−2 ) x (−2 )+k2=−3

k 2=−3−4k 2=−7

jadi, y p=−2x+7 y= yh+ y p

y=c1 e−13 x+c2e

x−2x+7

5. y ' '−4 y'+3 y=x+e2x

y= yh+ y p

y ' '−4 y'+3 y=0

Persamaan karakteristiknya :

λ2−4 λ+3=0

( λ−1 ) ( λ−3 )=0

λ1=1, λ2=3

yh=c1 ex+c2 e

3 x

Untuk y p :

y p=x+e2x

y1=k1 x+k2 ........... (1) y2=e2x→ce2x

y1'=k1 ........... (2)

y1' '=4 e2x ............ (3)

(1),(2),(3) ke persamaan awal : y ' '−4 y'+3 y=x

0−4 (k1 )+3 (k1 x+k2 )= x

4 (k1 )+3k 1 x+3k2=x →dibagi x

3k1=1

k 1=13

4 (k1 )+k2=0

k 2=−4

3

jadi, y p=x+e2x

y p=13x−4

3+c e2 x

y= yh+ y p

y=(c1 ex+c2e

3x )+( 13x−4

3+ce2x )