soal matematika campur

SOAL MATEMATIKA

Luas daerah parkir 1.760 m2. Luas rata-rata

untuk mobil kecil 4 m2 dan mobil besar 20 m2.

Daya tampung maksimum hanya 200

kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp

1.000,00/jam dan mobil besar Rp 2.000,00/jam.

Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada

kendaraan pergi dan datang, maka hasil

maksimum tempat parkir itu adalah....

A. Rp 176.000,00

B. Rp 200.000,00

C. Rp 260.000,00

D. Rp 300.000,00

E. Rp 340.000,00

Pembahasan

Membuat model matematika dari soal cerita di

atas

Misal:

mobil kecil sebagai x, mobil besar sebagai y.

Luas parkir 1760 m2:

4x + 20 y ≤ 1760 disederhanakan menjadi

x + 5y ≤ 440.......(Garis I)

Daya tampung lahan parkir 200 kendaraan:

x + y ≤ 200 ..............(Garis II)

Fungsi objektifnya adalah hasil parkiran:

f(x, y) = 1000 x + 2000 y

Membuat Sketsa Garis 1 dan garis 2

Ubah tanda lebih besar atau lebih kecil menjadi

tanda sama dengan terlebih dahulu,

Garis 1

x + 5y = 440

Titik potong sumbu x, y = 0

x + 5(0) = 440

x = 440

Dapat titik (440, 0)

Titik potong sumbu y, x =0

0 + 5y = 440

y = 440/5 = 88

Dapat titik (0, 88)

Garis 2

x + y = 200

Titik potong sumbu x, y = 0

x + 0 = 200

x = 200


Titik potong sumbu y, x =0

0 + y = 200

y = 200


Menentukan titik potong garis 1 dan garis 2

Untuk menentukan titik potong bisa dengan

substitusi ataupun eliminasi.

x + 5y = 440

x + y = 200

____________ _

4y = 240

y = 60

x + y =200

x + 60 = 200

x = 140

Titik potong kedua garis aalah (140, 60)

Berikut lukisan kedua garis dan titik potongnya,

serta daerah yang diarsir adalah himpunan

penyelesaian kedua pertidaksamaan di atas.

Uji titik untuk mendapatkan fungsi obektif

maksimum:

Masukkan koordinat titik-titik uji / warna

merah ke f(x, y) = 1000 x + 2000 y

Titik (0,0) → f(x, y) = 1000 (0) + 200 (0) = 0

Titik (200,0) → f(x, y) = 1000 (200) + 2000 (0)

= 200 000

Titik (0, 88) → f(x, y) = 1000 (0) + 2000 (88) =

176 000

Titik (140,60) → f(x, y) = 1000 (140) + 2000

(60) = 260 000

Dari uji titik terlihat hasil parkiran maksimum

adalah Rp 260 000

Soal No. 2

Daerah yang diarsir pada gambar ialah

himpunan penyelesaian suatu sistem

pertidaksamaan linear.

Nilai maksimum dari f (x, y) = 7x + 6y

adalah....

A . 88

B. 94

C. 102

D. 106

E. 196

Pembahasan

Cari persamaan kedua garis untuk dapat

menentukan titik potongnya:

Cara pertama dalam membuat persamaan

garis

y − y1 = m (x − x1)

dengan

m = Δy/Δx

Persamaan garis yang melalui titik (12, 0) dan

(0, 20) adalah m = 20/−12 = − 5/3

y − 20 = − 5/3 (x − 0)

y − 20 = − 5/3 x

y + 5/3 x = 20

3y + 5x = 60

Persamaan garis yang melalui titik (18, 0) dan

(0, 15) :

m = 15/−18 = − 5/6

y − 15 = − 5/6 (x − 0)

y + 5/6 x = 15

6y + 5x = 90

Cara kedua dalam membuat persamaan

garis

bx + ay = ab

Untuk garis yang memotong sumbu x di 12 dan

y di 20 adalah:

20x + 12 y = 240 sederhanakan lagi

5x + 3y = 60

Untuk garis yang memotong sumbu x di 18 dan

y di 15 adalah:

15x + 18y = 270 sederhanakan lagi

5x + 6y = 90

Titik potong kedua garis:

6y + 5x = 90

3y + 5x = 60

_________ -

3y = 30

y = 10

3(10) + 5x = 60

5x = 30

x = 6

Titik potong kedua garis adalah (6, 10)

Uji titik: f (x, y) = 7x + 6y

Titik (0, 0) → f (x, y) = 7(0) + 6(0) = 0

Titik (12,0) → f (x, y) = 7(12) + 6(0) = 84

Titik (0, 15) → f (x, y) = 7(0) + 6(15) = 90

Titik (6, 10) → f (x, y) = 7(6) + 6(10) = 102

Nilai maksimum tercapai saat x = 6 dan y = 10

yaitu 102

Suatu perusahaan meubel memerlukan 18 unsur

A dan 24 unsur B per hari. Untuk membuat

barang jenis I dibutuhkan 1 unsur A dan 2 unsur

B, sedangkan untuk membuat barang jenis II

dibutuhkan 3 unsur A dan 2 unsur B. Jika

barang jenis I dijual seharga Rp 250.000,00 per

unit dan barang jenis II dijual seharga Rp

400.000,00 per unit, maka agar penjualannya

mencapai maksimum, berapa banyak masing-

masing barang harus dibuat?

A. 6 jenis I

B. 12 jenis II

C. 6 jenis I dan 6 jenis II

D. 3 jenis I dan 9 jenis II

E. 9 jenis I dan 3 jenis II

Pembahasan

Barang I akan dibuat sebanyak x unit

Barang II akan dibuat sebanyak y unit

Ilustrasi berikut untuk memudahkan pembuatan

model matematikanya:

x + 3y ≤ 18

2x + 2y ≤ 24

Fungsi objektifnya:

f(x, y) = 250000 x + 400000 y

Titik potong

x + 3y = 18 |x2|

2x + 2y = 24 |x 1|

2x + 6y = 36

2x + 2y = 24

____________ _

4y = 12

y = 3

2x + 6(3) = 36

2x = 18

x = 9

Titik potong kedua garis (9, 3)

Berikut grafik selengkapnya:

Uji Titik ke f(x, y) = 250000 x + 400000 y

Titik (0,0) f(x, y) = 250000 (0) + 400000 (0) = 0

Titik (12, 0) f(x, y) = 250000 (12) + 400000 (0)

= 3000 000

Titik (9, 3) f(x, y) = 250000 (9) + 400000 (3) =

3450 000

Titik (0, 6) f(x, y) = 250000 (0) + 400000 (6) =

2400 000

Dari uji titik terlihat hasil maksimum jika x = 9

dan y = 3 atau dibuat 9 barang jenis I dan 3

barang jenis II.

Soal No. 4

Seorang pedagang sepeda ingin membeli 25

sepeda untuk persediaan. Ia ingin membeli

sepeda gunung dengan harga Rp1.500.000,00

per buah dan sepeda balap dengan harga

Rp2.000.000,00 per buah. Ia merencanakan

tidak akan mengeluarkan uang lebih dari

Rp42.000.000,00. Jika keuntungan sebuah

sepeda gunung Rp500.000,00 dan sebuah

sepeda balap Rp600.000,00, maka keuntungan

maksimum yang diterima pedagang adalah…

A. Rp13.400.000,00

B. Rp12.600.000,00

C. Rp12.500.000,00

D. Rp10.400.000,00

E. Rp8.400.000,00

Pembahasan

Banyak sepeda maksimal 25

Uang yang tersedia 42 juta

Titik potong (i) dan (ii)

Keuntungan

Jawaban: A

Soal No. 5

Seorang pedagang gorengan menjual pisang

goreng dan bakwan. Harga pembelian untuk

satu pisang goreng Rp1.000,00 dan satu bakwan

Rp400,00. Modalnya hanya Rp250.000,00 dan

muatan gerobak tidak melebihi 400 biji. Jika

pisang goreng dijual Rp1.300,00/biji dan

bakwan Rp600,00/biji, keuntungan maksimum

yang diperoleh pedagang adalah…

A. Rp102.000,00

B. Rp96.000,00

C. Rp95.000,00

D. Rp92.000,00

E. Rp86.000,00

Pembahasan

Gorengan jadi x, bakwan jadi y

Modelnya:

1000x + 400y ≤ 250000, sederhanakan, bagi

100 dapat persamaan (i)

(i) 10x + 4y ≤ 2500

(ii) x + y ≤ 400

f(x,y) = 300x + 200y

Titik potong garis (i) dan (ii) dengan sumbu x

dan y masing-masing:

Grafik selengkapnya:

Uji titik A, B, C

Soal No. 6

Nilai minimum dari f(x,y) = 4x + 5y yang

memenuhi pertidaksamaan 2x + y ≥ 7, x + y ≥

5, x ≥ 0, dan y ≥ 0 adalah…

A. 14

B. 20

C. 23

D. 25

E. 35

Pembahasan

Langsung cari titik potongnya dulu:

2x + y = 7

x + y = 5

------------ −

x = 2

y = 3

Dapat titik A (2, 3)

Berikut grafik selengkapnya:

Uji titik

f(x, y) = 4x + 5y

A(2, 3) = 4(2) + 5(3) = 23

B(5, 0) = 4(5) + 5(0) = 20

C(0, 7) = 4(0) + 5(7) = 35

Terlihat nilai minimumnya adalah 20.

Rumus Penyelesaian PersamaanTrigonometri

Untuk sinus

Untuk kosinus

Untuk tangen

k diisi nilai 0, 1, 2, 3 dan seterusnya.

Contoh:

Soal No. 1

Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan

penyelesaian dari sin x = 1/2

Pembahasan

Dari:

sin x = 1/2

Untuk harga awal, sudut yang nilai sin

nya 1/2 adalah 30°.

Sehingga

sin x = 1/2

sin x = sin 30°

Dengan pola rumus yang pertama di atas:

(i) x = 30 + k ⋅ 360

k = 0 → x = 30 + 0 = 30 °

k = 1 → x = 30 + 360 = 390 °

(ii) x = (180 − 30) + k⋅360

x = 120 + k⋅360

x = 150 + k⋅360

k = 0 → x = 150 + 0 = 150 °

k = 1 → x = 150 + 360 = 510 °

Dari penggabungan hasil (i) dan hasil (ii),

dengan batas permintaan 0° ≤ x ≤ 360°, yang

diambil sebagai himpunan penyelesaiannya

adalah:

HP = {30°, 150°}

Soal No. 2


penyelesaian dari cos x = 1/2

Pembahasan1/2 adalah nilai cosinus dari 60°.

Sehingga

cos x = cos 60°

(i) x = 60° + k ⋅ 360°

k = 0 → x = 60 + 0 = 60 °

k = 1 → x = 60 + 360 = 420°

(ii) x = −60° + k⋅360

x = −60 + k⋅360

k = 0 → x = −60 + 0 = −60°

k = 1 → x = −60 + 360° = 300°

Himpunan penyelesaian yang diambil adalah:

HP = {60°, 300°}

Soal No. 3


penyelesaian dari sin (x − 30) = 1/2 √3

Pembahasan1/2 √3 miliknya sin 60°

Sehingga

sin (x − 30) = sin 60°

dan

Untuk 0° ≤ x ≤ 720°, HP = {90°, 150°, 450°,

510°}

Soal No. 4


penyelesaian dari

cos (x − 30°) = 1/2 √2

Pembahasan

Harga awal untuk 1/2 √2 adalah 45°

HP = {75°, 345°}

Soal No. 5

Himpunan penyelesaian persamaan:

cos 2x + sin x = 0

untuk 0 < x ≤ 2π adalah.....

A. {π/2, 4π/3, 5π/3}

B. {π/2, 7π/6, 4π/3}

C. {π/2, 7π/6, 5π/3}

D. {π/2, 7π/6, 11π/6}

E. {π/2, 5π/3, 11π/6}

Pembahasan

Dari rumus sudut rangkap dari pelajaran

sebelumnya:

cos 2x = cos2 x − sin2x

cos 2x = 2 cos2 x − 1

cos 2x = 1 − 2 sin2 x

cos 2x + sin x = 0

1 − 2 sin2 x + sin x = 0

− 2 sin2 x + sin x + 1 = 0

2 sin2 x − sin x − 1 = 0

Faktorkan:

(2sin x + 1)(sin x − 1) = 0

2sin x + 1 = 0

2sin x = −1

sin x = −1/2

x = 210° dan x = 330°

atau

sin x − 1 = 0

sin x = 1

x = 90°

Sehingga:

HP = {90°, 210°, 330°} dalam satuan derajat.

HP = {π/2, 7π/6, 11π/6} dalam satuan radian.

Jawaban : D.

Soal No. 6

Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + 5

sin x + 2 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah…

A. {2π/3,4π/3}

B. {4π/3, 5π/3}

C. {5π/6, 7π/6}

D. {5π/6, 11π/6}

E. {7π/6, 11π/6}

Pembahasan

Persamaan trigonometri:

Misalkan sin x sebagai P dan juga cos 2x = 1 −

2sin2 x

Soal No. 7

Himpunan penyelesaian persamaan 2cos 2x − 3

cos x + 1 = 0 untuk 0 < x < 2π adalah…

A. {π/6, 5π/6}

B. {π/6, 11π/6}

C. {π/3, 2π/3}

D. {π/3, 5π/3}

E. {2π/3, 4π/3}

Pembahasan

2cos 2x − 3 cos x + 1 = 0

Faktorkan:

(2cos x − 1)(cos x − 1) = 0

(2cos x − 1) = 0

2cos x = 1

cos x = 1/2

x = 60° = π/3 dan x = 300° = 5π/3

atau

(cos x − 1) = 0 cos x = 1

x = 0° dan x = 360° = 2π (Tidak diambil, karena

diminta 0 < x < 2π)

Jadi HP = {π/3, 5π/3}

Jawaban: D

Soal No. 8

Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 4x

+ 3 sin 2x = −1 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah…

A. {150°,165°}

B. {120°,150°}

C. {105°,165°}

D. {30°,165°}

E. (15°,105°)

Pembahasan

Ubah ke bentuk sin semua, dengan rumus sudut

rangkap, kemudian faktorkan:

cos 4x + 3 sin 2x = −1

Untuk faktor

Tidak Memenuhi, lanjut ke faktor

Diperoleh

Jadi HP = {105°,165°}

Soal No. 9

Himpunan penyelesaian dari 2 sin2 x − 3 sin x +

1 = 0 dengan 0° ≤ x ≤ 360° adalah....

A. {30°, 90°, 150°}

B. {30°, 120°, 240°}

C. {30°, 120°, 300°}

D. {30°, 150°, 270°}

E. {60°, 120°, 270°}

(UN Matematika SMA IPA 2014)

Pembahasan

Soal ini akan coba diselesaikan dengan cara

coba-coba. Ambil salah satu sudut dari pilihan

jawaban yang ada, untuk mengeliminir pilihan

lainnya. Dari yang mudah yaitu 30° atau 90°.

Nilai sin 30° adalah 1/2, jika sudut ini termasuk

jawaban maka akan sama dengan nol seperti

permintaan soal.

Persamaan di soal:

2 sin2 x − 3 sin x + 1 = ?

30° → 2 sin2 (30°) − 3 sin (30°) + 1 = ?

= 2 (1/2)2 − 3 (1/2) + 1

= 0 (Benar, jadi jawaban harus memuat angka

30°, pilihan E salah karena tidak memuat 30

derajad.)

Berikutnya coba 90°, tentunya sudah tahu sin

90° = 1

2 sin2 x − 3 sin x + 1 = ?

90° → 2 sin2 90° − 3 sin 90° + 1 = ?

= 2 (1)2 − 3 (1) + 1

= 2 − 3 + 1

= 0 (Benar, Jawaban harus memuat 90° jadi B,

C, D, dan E salah, A dipastikan benar tanpa

dilakukan pengecekan pada 150°, tentunya

kalau soalnya ndak error)

Soal No. 10

Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x − 2

sin x = 1; 0 ≤ x < 2π adalah....

A. {0, π, 3π/2, 2π}

B. {0, π, 4π/3, 2π}

C. {0, 2π/3; π, 2π}

D. {0, π, 2π}

E. {0, π, 3π/2}

Pembahasan

Soal ini lebih mudah lagi, syaratnya adalah 0 ≤

x < 2π , maka x tidak boleh memuat 2π, karena

tandanya adalah lebih kecil dari 2π bukan lebih

kecil atau sama dengan. Jadi pilihan yang ada

2π nya salah, hanya E yang tidak memuat 2π.

Jadi jawabnya yang E, soal di atas dari soal UN,

namun soal seperti ini jarang-jarang ada.

Soal No. 1Dalam sebuah kotak terdapat 8 buah bola kecil sebesar kelereng terdiri dari 5 buah bola berwarna merah dan 3 bola berwarna putih.

Dari dalam kotak diambil satu buah bola secara

acak.

Tentukan peluang terambilnya satu bola

berwarna merah!

Pembahasan

Data:

Jumlah bola semuanya ada 8.

Jumlah bola warna merah ada 5.

Peluang terambilnya satu bola warna merah

adalah:

P(1 bola merah) = 5/8

Soal No. 2

Dalam sebuah kotak terdapat 8 buah bola kecil

sebesar kelereng terdiri dari 5 buah bola

berwarna merah dan 3 bola berwarna putih.

Dari dalam kotak diambil satu buah bola secara

acak.

Tentukan peluang terambilnya satu bola

berwarna putih!

Pembahasan

Data:

Jumlah bola semuanya ada 8.

Jumlah bola warna putih ada 3.

Peluang terambilnya satu bola warna putih

adalah:

P(1 bola putih) = 3/8

Soal No. 3




Dari dalam kotak diambil 2 buah bola secara

acak.

Tentukan peluang terambilnya kedua bola

berwarna merah!

Pembahasan

Total jumlah bola ada 8.

Bola merah ada 5. Dikehendaki 2 bola

terambil keduanya berwarna merah.

Karena jumlah semua bola ada 8, maka jika

diambil 2 buah bola, banyak cara

pengambilannya ada:

Karena jumlah bola merah ada 5, maka jika

diambil 2 bola merah, banyak cara

pengambilannya ada:

Sehingga peluang terambilnya keduanya bola

warna merah adalah:

Soal No. 4





acak.

Tentukan peluang terambilnya kedua bola

berwarna putih!

Pembahasan

Jumlah semua bola ada 8

Bola putih ada 3

Dikehendaki 2 bola terambil keduanya putih

- Banyak Cara pengambilan 2 buah bola dari 8

bola yang ada:

- Banyak Cara pengambilan 2 bola warna putih

dari 3 bola putih yang ada

Sehingga peluang terambilnya dua bola

keduanya putih adalah

Soal No. 5





acak. Tentukan peluang yang terambil itu

adalah satu bola merah dan satu bola putih!

Pembahasan

Jumlah bola total ada 8.

Bola merah ada 5, bola putih ada 3.

Dikehendaki yang terambil itu 1 merah dan 1

lagi putih.

- Banyak Cara pengambilan 2 buah bola dari 8

bola yang ada:

- Banyak cara pengambilan 1 bola merah dari 5

bola merah dan 1 bola putih dari 3 bola putih

ada

Sehingga peluang yang terambil itu 1 bola

merah dan 1 bola putih adalah

Soal No. 6

Di dalam sebuah kotak terdapat 6 bola warna

putih, 3 bola warna merah dan 1 bola warna

kuning. Akan diambil 3 buah bola sekaligus

secara acak. Peluang terambilnya 2 bola warna

merah dan 1 warna kuning adalah...

A. 3/100

B. 6/100

C. 3/120

D. 9/120

E. 4/5

(Peluang - Ebtanas 2001 - Kunci : C. 3/120)

Soal No. 7

Dalam sebuah kotak berisi 7 kelereng merah

dan 5 kelereng putih. Dari kotak itu diambil 3

kelereng sekaligus secara acak. Peluang

terambil sekurang-kurangnya 1 kelereng putih

adalah...

A. 7/44

B. 10/44

C. 34/44

D. 35/44

E. 37/44

(Peluang - Soal ebtanas 1997 - Kunci : E. 37/44)

Soal No. 8

Dalam sebuah kotak terdapat 6 bola berwarna

merah dan 4 bola berwarna putih. Dari dalam

kotak tersebut diambil satu buah bola berturut-

turut sebanyak dua kali. Tentukan peluang

terambil kedua bola berwarna merah jika

pengambilan dilakukan tanpa pengembalian!

Pembahasan

Data soal:

Kasus bola dalam satu kotak dengan beberapa

kali pengambilan tanpa dikembalikan bola yang

sudah terambil.

Di sini ada 6 bola merah dan 4 bola putih, jadi

totalnya ada 10 buah bola.

Pengambilan Pertama

Peluang terambilnya 1 bola merah:

Bola merah 6, total bola ada 10.

P(A) = 6/10

Pengambilan Kedua

Peluang terambilnya 1 bola merah :

Bola merah tinggal 5, total bola jadi 9

P(B|A) = 5/9

Sehingga Peluang terambilnya bola merah pada

pengambilan pertama dan bola merah pada

pengambilan kedua (tanpa pengembalian)

adalah:

6/10 × 5/9 = 30 / 90 = 1/3

Soal No. 9

Dalam sebuah kantong terdapat 10 kelereng

berwarna hijau dan 5 kelereng berwarna kuning.

Dari dalam kantong tersebut diambil satu buah

kelereng berturut-turut sebanyak dua kali.

Tentukan peluang terambil kedua kelereng

berwarna kuning jika pengambilan dilakukan

tanpa pengembalian!

Pembahasan

Seperti nomor 8.

Total kelereng mula-mula 15 buah.

Pengambilan pertama terambil kuning.

P(A) = 5/15 = 1/3

Pengambilan kedua terambil kuning

Kelereng kuning tersisa 4, jumlah kelereng total

masih 14.

P(B|A) = 4/14 = 2/7

Sehingga peluangnya adalah:

1/3 × 2/7 = 2/21

Soal No. 1Hitung dan sederhanakan bentuk akar berikut ini:a) √2 + 3√2 + 5√2

b) 5√3 + 3√3 − √3

c) 8√3 + 6 √2 + 12√3 − 4√2

Pembahasan

a) √2 + 3√2 + 5√2

= (1 + 3 + 5)√2 = 9√2

b) 5√3 + 3√3 − √3

= (5 + 3 − 1)√3 = 7√3

c) 8√3 + 6 √2 + 12√3 − 4√2

= 8√3 + 12√3 + 6√2 − 4√2 = (8 + 12)√3 + (4 −

2)√2 = 20√3 + 2√2

Soal No. 2

Hitung dan sederhanakan:

a) √2 + √4 + √8 + √16

b) √3 + √9 + √27

c) 2√2 + 2√8 + 2√32

Pembahasan

a) √2 + √4 + √8 + √16

= √2 + √4 + √4 √ 2 + √16 = √2 + 2 + 2√2 + 4 =

2 + 4 + √2 + 2√2 = 6 + 3√2

b) √3 + √9 + √27

= √3 + √9 + √9 √3 = √3 + 3 + 3√3 = 3 + 4√3

c) 2√2 + 2√8 + 2√32

= 2√2 + 2√4 √2 + 2√16 √2 = 2√2 + 2 (2)√2 +

2(4)√2 = 2√2 + 4√2 + 8√2 = 14√2

Soal No. 3

Sederhanakan :

5√24 + 3√3(√18 + 2√32)

Pembahasan

5√24 + 3√3(√18 + 2√32)

= 5√4 √6 + 3√3 √18 + 3√3 . 2√32

=5.2 √6 + 3√3 √9√2 + 3√3 .2√16√2

= 10√6 + 3√3 .3√2 + 3√3 . 2 .4√2

= 10√6 + 9√6 + 24√6 = 43√6

Soal No. 4

Sederhanakan:

(1 + 3√2) − (4 − √50)

Pembahasan

(1 + 3√2) − (4 − √50)

= 1 + 3√2 − 4 + √50

= 1 + 3√2 − 4 + √25 √2

= 1 + 3√2 − 4 + 5√2

= − 3 + 8√2 atau = 8√2 − 3

Soal No. 5

Sederhanakan bentuk berikut:

a) 5/√3

b) 20/√5

Pembahasan

a) 5/√3

5 √3 5

= _____ x ___ = ___ √3

√3 √3 3

b) 20/√5

20 √5 20

= _____ x ___ = _____ √5 = 4 √5

√5 √5 5

Soal No. 6


a).

b).

Pembahasan

a).

a).

Catatan:

Untuk mempercepat perkalian, ingat kembali

rumus:

(a + b)(a − b) = a2 − b2

sehingga

(√2 + √3)(√2 − √3) = (√2)2 − (√3)2 = 2 − 3 = − 1

Soal No. 7


Pembahasan

Soal No. 8

Sederhanakan bentuk akar berikut:

(Untuk soal b, tanda plusnya diganti minus saja

ya!!!!)

Pembahasan

Arahkan soal ke bentuk berikut:

dengan nilai a > dari nilai b

Sehingga:

= 2√2 − √5

Soal No. 9

Berapa hasilnya?

Pembahasan

Dimisalkan dulu, kita namakan p saja

Kuadratkan ruas kiri, kuadratkan ruas kanan.

Yang ruas kiri jadi p kuadrat, yang ruas kanan

jadi hilang akar yang paling depan.

Diruas kanan terlihat bentuk 12 +...., dimana

muncul lagi bentuk yang persis dengan p yang

kita misalkan tadi, jadi kasih nama p lagi juga.

Terus susun yang bagus, jadi persamaan

kuadrat, kemudian faktorkan seperti waktu

kelas 2 atau 3 smp dulu.

Jadi, hasilnya adalah 4.

Soal No. 10

Berapa hasilnya?

Pembahasan

Seperti sebelumnya, misalkan sebagai p dulu

Kuadratkan ruas kiri-kanan, kiri jadi p kuadrat,

kanan hilang akar paling luar, setelah itu

ketemu persamaan kuadrat, faktorkan:

Jadi hasilnya:

p = 0 tidak dipakai (tidak memenuhi).

Dengan menggunakan rumus penjumlahan dua

sudut tentukan nilai dari:

a) sin 75°

b) cos 75°

c) tan 105°

Pembahasan

a) Rumus jumlah dua sudut untuk sinus

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

sin 75° = sin (45° + 30°)

= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°

= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/2 √2 ⋅ 1/2

= 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4 (√6 + √2)

b) Rumus jumlah dua sudut untuk cosinus

cos (a + B) = cos A cos B − sin A sin B

cos 75° = cos (45° + 30°)

= cos 45° ⋅ cos 30° − sin 45° ⋅ sin 30°

= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/2 √2 ⋅ 1/2

= 1/4 √6 − 1/4 √2 = 1/4 (√6 − √2)

c) Rumus jumlah dua sudut untuk tan

tan 105° = tan (60° + 45°)

Soal No. 2

Dengan menggunakan rumus selisih dua sudut

tentukan nilai dari:

a) sin 15°

b) cos 15°

c) tan (3x − 2y)

Pembahasan

a) Rumus selisih dua sudut untuk sinus

sin (A − B) = sin A cos B − cos A sin B

sin 15° = sin 45° − 30°)

= sin 45° ⋅ cos 30° − cos 45° ⋅ sin 30°

= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/2 √2 ⋅ 1/2

= 1/4 √6 − 1/4 √2 = 1/4(√6 − √2)

b) Rumus selisih dua sudut untuk cosinus

cos (A − B) = cos A cos B + sin A sin B

cos 15° = cos (45° − 30°)

= cos 45° ⋅ cos 30° + sin 45° ⋅ sin 30°

= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/2 √2 ⋅ 1/2

= 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4(√6 + √2)

c) Rumus selisih sudut untuk tan

Sehingga

Soal No. 3

Diberikan dua buah sudut A dan B dengan nilai

sinus masing-masing adalah sin A = 4/5 dan sin

B = 12/13. Sudut A adalah sudut tumpul

sedangkan sudut B adalah sudut lancip.

Tentukan:

A. sin (A + B)

B. sin (A − B)

Pembahasan

Gambar segitiga untuk cek nilai sin dan cos

kedua sudut, tentunya setelah itu aplikasikan

rumus phytagoras untuk mendapatkan panjang

sisi-sisi segitiga, seperti gambar berikut:

Nilai sin dan cos "sementara" untuk masing-

masing sudut terlihat dari segitiga di atas.

Dibilang sementara karena setelah itu kita harus

tentukan positif atau negatifnya. Setelah

dicocokkan dengan kuadrannya barulah didapat

nilai sin atau cos yang benar.

sin A = 4/5

cos A = 3/5

sin B =12/13

cos B = 5/13

Periksa ulang,

Sudut A tumpul sehingga berada di kuadran II (antara 90

dan 180) . Lihat ilustrasi di bawah, untuk kuadran II nilai

sin adalah positif, sehingga sin A benar 4/5. Sementara

untuk cos A, karena dikuadran II, nilainya negatif, jadi cos

A = − 3/5

Sudut B lancip, sehingga berada di kuadran I (antara 0 dan

90). Baik nilai sin atau cos dikuadran 1 adalah positif,

sehingga data di atas bisa langsung digunakan.

a) dari data sin dan cos yang telah diperoleh

didapatkan

b) dari data sin dan cos yang telah diperoleh

didapatkan

Soal No. 4

Diberikan dua buah sudut A dan B dengan nilai

sinus masing-masing adalah sin A = 3/5 dan sin

B = 12/13. Sudut A dan sudut B adalah sudut

lancip. Tentukan nilai dari cos (A + B)

Pembahasan

Cek nilai sin dan cos dengan segitiga seperti

sebelumnya

sin A = 3/5, cos A = 4/5

sin B = 12/13, cos B = 5/13

Kedua sudut adalah lancip hingga baik sin

ataupun cos adalah positif semua.

Dari data yang telah diperoleh masukkan rumus

untuk cos jumlah sudut

Soal No. 5

Diketahui Δ PQR dengan ∠ P dan ∠ Q lancip.

Jika tan P = 3/4 dan tan Q = 1/3, tentukan nilai

dari cos R

Pembahasan

Cek sin cos kedua sudut P dan Q

sin P = 3/5, cos P = 4/5

sin Q = 1/√10, cos Q = 3/√10

P + Q + R = 180 atau R = 180 - (P + Q)

cos R = cos (180 - (P + Q))

ingat cos (180 - x) = - cos x

Soal No. 6

Jika tan α = 1, tan β = 1/3 dengan α dan β sudut

lancip maka sin (α − β) =....

A. 2/3 √5

B. 1/5 √5

C. 1/2

D. 2/5

E. 1/5

(UN 2007-2008)

Pembahasan

tan α = 1, jika digambarkan dalam sebuah

segitiga seperti berikut:

Dari gambar terlihat:

sin α = 1/ √2

cos α = 1/ √2

tan β = 1/3, jika digambarkan dalam sebuah

segitiga akan diperoleh nilai sin dan cosnya:

Diperoleh

sin β = 1/√10

cos β = 3/√10

Kembali ke soal, diminta sin (α − β) =....

Dengan rumus selisih dua sudut:

Jadi sin (α − β) = 1/5 √5

Soal No. 7

Jika A + B = π/3 dan cos A cos B = 5/8, maka

cos (A − B) =....

A. 1/4

B. 1/2

C. 3/4

D. 1

E. 5/4

un hal 102

Pembahasan

Dari rumus selisih dua sudut untuk cosinus:

cos (A + B) = cos A cos B − sin A sin B

Masukkan data soal

1/2 = 5/8 − sin A sin B

sin A sin B = 5/8 − 1/2 = 1/8

Diminta cos (A − B) =....

cos (A − B) = cos A cos B + sin A sin B

= 5/8 + 1/8 = 6/8 = 3/4

Soal No. 8

ABC adalah sebuah segitiga. Jika sin A = 3/5

dan cotan B = 7, maka ∠C = .....

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

E. 135°

Pembahasan

Dari data sin A = 3/5 dan cotan B = 7 (atau

kalau dari tan nya, tan B = 1/7), diperoleh

sin A = 3/5

cos A = 4/5

sin B = 1/5√2

cos B = 7/5√2

Jumlah sudut dalam suatu segitiga adalah 180,

jadi A + B + C = 180° atau bisa juga C = 180 −

(A + B)

Kembali ke soal, diminta ∠C, kita cari sin C

dulu:

sin C = sin [180 − (A + B)]

sin C = sin (A + B), ingat kembali ada rumus

sin (180 − x) = sin x

sin C = sin A cos B + cos A sin B

Sudut yang nilai sin nya 1/2 √2 adalah 45°

Soal-Soal Dasar

a) Tentukan nilai dari

32 x 23

b) Tentukan nilai dari

C. Tentukan nilai dari

d. Tentukan nilai dari

e. Tentukan nilai dari

f. Tentukan nilai dari

Pembahasan

a) 32 x 23 = 9 x 8 = 72

b) Alternatif cara perhitungan sebagai berikut

C. Alternatif cara menjawab sebagai berikut

d. Alternatif jawaban

e. Alternatif cara perhitungan

f. Alternatif cara perhitungan

Soal Menyederhanakan Pangkat

Sederhanakan bentuk akar dan pangkar berikut

ini:

Pembahasan

Contoh lain pelajari disini tentang

menyederhanakan bentuk akar.

Soal Terapan

Tentukan nilai p yang memenuhi persamaan

berikut:

Pembahasan

Selanjutnya pelajari contoh-contoh berikut:

Soal No. 1

Jika a = 4, b = 3, dan c = 2, tentukan nilai dari:

a) .

b).

Pembahasan

a) Masukkan angka yang diminta soal seperti

berikut

b) Ubah dulu bentuk pangkatnya menjadi

pangkat yang positif biar lebih mudah, baru

dimasuk angkanya.

Caranya membuat pangkat dari positif menjadi

negatif atau dari negatif menjadi positif :

“Yang tadinya di atas, pindahkan ke bawah”

“Yang tadinya di bawah, pindahkan ke atas”

Sudah jadi pangkat positif, sehingga:

Soal No. 2

Ubah bentuk pangkatnya menjadi positif

semua!

Pembahasan

y dan z perlu dipindah, x biarkan saja karena

sudah positif

Soal No. 3

Ubah bentuk pangkatnya menjadi negatif

semua!

Pembahasan

Hanya x pangkat 5 yang harus dipindahkan,

tadinya di atas, pindahkan ke bawah

Soal No. 4

Bentuk sederhana dari adalah....

A. (3ab)2

B. 3(ab)2

C. 9 (ab)2

D. 3/(ab)2

E. 9/(ab)2

(un mtk 010)

Pembahasan

Strategi:

Kalikan semua pangkat dengan − 1 seperti

permintaan soal, kemudian sederhanakan

pangkat dari koefisien yang pada sama.

Soal No. 5

Bentuk sederhana dari adalah....

A. 61/4

B. 63/4

C. 63/2

D. (2/3)3/4

E. (3/2)3/4

Pembahasan

Sifat yang digunakan adalah

axay = ax + y dan

ax : ay = ax − y.

Soal No. 6

Jika a = 2, x = 10, y = 5, dan z = 12 tentukan

nilai dari

Pembahasan

Perkalian dan pembagian bentuk pangkat

Soal No. 7

Ditentukan nilai a = 9, b = 16 dan c = 36. Nilai

adalah...

A. 3

B. 6

C. 9

D. 12

E. 18

Pembahasan

Bentuk pangkat dan akar

Soal No. 8

Bentuk sederhana dari (1 + 3√2) − (4 − √50)

adalah...

A. −2√2 − 3

B. −2√2 + 5

C. 8√2 − 3

D. 8√2 + 3

E. 8√2 + 5

Pembahasan

Hilangkan tanda kurungnya dulu, jika ada tanda

minus di depan kurung, kalikan masuk, jadinya

(1 + 3√2) − (4 − √50)

= 1 + 3√2 − 4 + √50

√50 sama saja dengan √25 × √ 2 jadi sama

dengan 5√2, tinggal disederhanakan:

= 1 + 3√2 −4 + 5√2

= 1 − 4 + 3√2 + 5√2

= −3 + 8√2

= 8√2 −3

Soal No. 9

Ubah bentuk akar berikut ke bentuk pangkat!

Pembahasan

Jadikan satu akar saja, kalikan seperti ini, baru

ubah ke bentuk perpangkatan

Soal No. 10

Nyatakan bentuk berikut dalam pangkat positif

dan bentuk akar

A. (√x − √y) / xy

B. (√y − √x) / xy

C. (√x + √y) / xy

D. xy(√x + √y)

E. xy(√x − √y)

(Dari Soal SPMB 2004)

Pembahasan

Ubah pangkat ke positif, dan pangkat 1/2 ke

bentuk akar, lantas samakan penyebut bagian

atas dulu:

Sampai di sini sudah selesai, tapi di opsi

jawaban belum terlihat, di modif lagi, kalikan

sekawan.

Soal No. 11

Bentuk sederhana dari (3√3 - 2√2)(2√3 -

√2)=.....

A. 22 + √6

B. 14 + √6

C. 22 - √6

D. 22 - 7√6

E. 14 - 7√6

(Bentuk akar - un 2013)

Pembahasan

Menyederhanakan bentuk akar, kalikan saja:

(3√3 - 2√2)(2√3 - √2)

= 18 - 3√6 - 4√6 + 4

= 22 - 7√6

Soal No. 12

Bentuk sederhana dari

adalah...

A. – 4 – 3√6

B. – 4 – √6

C. – 4 + √6

D. 4 – √6

E. 4 + √6

Pembahasan

Merasionalkan bentuk akar, kalikan dengan

sekawannya:

Berikut dua soal UN 2014 tentang pangkat dan

akar yang bisa dipelajari:

Soal No. 13


adalah….

Pembahasan

Menyederhanakan bentuk pangkat

Soal No. 14


A. 16√3 − 8√11

B. 16√3 − √11

C. 16√3 + √11

D. 16√3 + 4√11

E. 16√3 + 8√11

Pembahasan

Menyederhanakan bentuk akar

Soal No. 1

Dua buah matriks A dan B masing-masing

berturut-turut sebagai berikut:

Tentukan A − B

Pembahasan

Operasi pengurangan matriks:

Soal No. 2

Dari dua buah matriks yang diberikan di bawah

ini,

Tentukan 2A + B

Pembahasan

Mengalikan matriks dengan sebuah bilangan

kemudian dilanjutkan dengan penjumlahan:

Soal No. 3

Matriks P dan matriks Q sebagai berikut

Tentukan matriks PQ

Pembahasan

Perkalian dua buah matriks

Soal No. 4

Tentukan nilai a + b + x + y dari matriks-

matriks berikut ini

Diketahui bahwa P = Q

Pembahasan

Kesamaan dua buah matriks, terlihat bahwa

3a = 9 → a = 3

2b = 10 → b = 5

2x = 12 → x = 6

y = 6

y = 2

Sehingga:

a + b + x + y = 3 + 5 + 6 + 2 = 16

Soal No. 5

Tentukan determinan dari matriks A berikut ini

Pembahasan

Menentukan determinan matriks ordo 2 x 2

det A = |A| = ad − bc = (5)(2) − (1)(−3) = 10 + 3

= 13

Soal No. 6

Diberikan sebuah matriks

Tentukan invers dari matriks P

Pembahasan

Invers matriks 2 x 2

Soal No. 7

Tentukan tranpose dari matriks A berikut ini

Pembahasan

Transpose sebuah matriks diperoleh dengan

mengubah posisi baris menjadi kolom seperti

contoh berikut:

Soal No. 8

Diketahui persamaan

matriks

Nilai a + b + c + d =....

A. − 7

B. − 5

C. 1

D. 3

E. 7

Pembahasan

Jumlahkan dua matriks pada ruas kiri,

sementara kalikan dua matriks pada ruas kanan,

terakhir gunakan kesamaan antara dua buah

matriks untuk mendapatkan nilai yang diminta.

2 + a = −3

a = − 5

4 + b = 1

b = − 3

d − 1 = 4

d = 5

c − 3 = 3

c = 6

Sehingga

a + b + c + d = −5 − 3 + 6 + 5 = 3

Soal No. 9

Diketahui matriks

Apabila B − A = Ct = transpos matriks C, maka

nilai x .y =....

A. 10

B. 15

C. 20

D. 25

E. 30

(UN 2007)

Pembahasan

Transpos C diperoleh dengan mengubah posisi

baris ke kolom, B − A adalah pengurangan

matriks B oleh A

Akhirnya, dari kesamaan dua matriks:

y − 4 = 1

y = 5

x + y − 2 = 7

x + 5 − 2 = 7

x + 3 = 7

x = 4

x . y = (4)(5) = 20

Soal No. 10

Jika

maka x + y =....

A. − 15/4

B. − 9/4

C. 9/4

D. 15/4

E. 21/4

(Soal UMPTN Tahun 2000)

Pembahasan

Masih tentang kesamaan dua buah matriks

ditambah tentang materi bentuk pangkat, mulai

dari persamaan yang lebih mudah dulu:

3x − 2 = 7

3x = 7 + 2

3x = 9

x = 3

4x + 2y = 8

22(x + 2y) = 23

22x + 4y = 23

2x + 4y = 3

2(3) + 4y = 3

4y = 3 − 6

4y = − 3

y = − 3/4

Sehingga:

x + y = 3 + (− 3/4) = 2 1/4 = 9/4

Soal No. 11

Invers dari matriks A adalah A−1.

Jika

tentukan matriks (A−1)T

Pembahasan

Invers matriks dan tranpos sebuah matriks.

Misalkan:

Sehingga:

Soal No. 12

Tentukan nilai x agar matrik

merupakan sebuah matriks yang tidak memiliki

invers!

Pembahasan

Matriks yang tidak memiliki invers, disebut

matriks singular. Determinan dari matriks

singular sama dengan nol.

det P = ad − bc = 0

(2)(x) − (3)(5) = 0

2x − 15 = 0

2x = 15

x = 15/2

Soal No. 13

Diketahui matriks

,

dan

Jika A = B, maka a + b + c =....

A. − 7

B. − 5

C. − 1

D. 5

E. 7

(UN Matematika Tahun 2010 P37 Matriks)

Pembahasan

Kesamaan dua matriks:

4a = 12

a = 3

3a = − 3b

−3a = − 3b

−3(3) = − 3b

−9 = − 3b

b = 3

3c = b

3c = 3

c = 1

a + b + c = 3 + ( 3) + ( 1) = 7

Soal No. 14

Diketahui matriks

memenuhi AX = B, tentukan matriks X

Pembahasan

Jika AX = B, maka untuk mencari X adalah

X = A−1 B

Cari invers matriks A terlebih dahulu, setelah

ketemu kalikan dengan matriks B

Catatan:

AX = B maka X = A−1 B

XA = B maka X = B A−1

Penggunaan rumus dasar integral trigonometri

untuk penyelesaian soal, sinus, cosinus dan

secan.

Soal-Soal:

Tentukan:

1) ∫ 5 cos x dx

2) ∫ − 6 sin x dx

3) ∫ 7 sec2 x dx

4) ∫ −( 8/cos 2

x ) dx

5) ∫ (10 cos x − 9 sin x) dx

6) ∫ 2 cos x tan x dx

7) ∫ ( 4/1 − sin 2

x ) dx

8) ∫ √(16 − 16 sin2 x) dx

Teori Singkat

Cermati rumus-rumus dasar integral untuk

fungsi-fungsi trigonometri berikut:

Pembahasan

1) Dengan rumus (1), keluarkan angka 5 dari

integral didapat hasil :

2) Keluarkan -6 dari integral, kemudian

pergunakan rumus (2):

3) Gunakan rumus (3):

4) Ingat kembali bahwa cos x adalah kebalikan

dari sec x, kemudian masuk ke pola (3):

5) Gabungan integral untuk sin x dan cos x:

6) tan x tidak ada pada pola kita di atas, ingat

kembali bahwa

tan x = sin x / cos x

7) Ingat identitas trigonometri berikut :

sin2 x + cos 2 x = 1

Sehingga

1 - sin 2 x = cos 2 x dan cos x adalah kebalikan

dari sec x

Soal No. 1

Sebuah dadu dilemparkan satu kali. Tentukan

peluang munculnya angka genap atau angka

lebih besar dari 3.

Pembahasan

Ada dua kejadian, namakan kejadian A dan

kejadian B dengan ruang sampel pada

pelemparan satu dadu.

A = kejadian munculnya angka genap.

B = kejadian munculnya angka lebih besar dari

3.

Selengkapnya data-datanya terlebih dahulu

adalah:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

n(S) = 6

A = {2, 4, 6}

n(A) = 3

maka peluang kejadian A

P (A) = n (A) / n(S) = 3 / 6

B = {4, 5, 6}

n(B) = 3

maka peluang kejadian B

P (B) = n(B) / n(S) = 3 / 6

Kelihatan ada dua angka yang sama dari A dan

B yaitu angka 4 dan 6, jadikan irisannya, A ∩ B

A ∩ B = {4, 6}

n(A ∩ B) = 2

Sehingga peluang A ∩ B

P (A ∩ B) = n (A ∩ B) / n (S) = 2 / 6

Rumus peluang kejadian "A atau B"

P (A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

= 3/6 + 3/6 − 2/6

= 4/6 = 2/3

Soal No. 2

Dua buah dadu dilemparkan bersama-sama satu

kali. Peluang muncul jumlah angka kedua dadu

sama dengan 3 atau 10 adalah....

A. 2/36

B. 3/36

C. 4/36

D. 5/36

D. 6/36

Pembahasan

Dua kejadian pada pelemparan dua buah dadu,

n(S) = 36,

A = jumlah angka adalah 3

B = jumlah angka adalah 10

Dari ruang sampel pelemparan dua buah dadu,

diperoleh

A = {(1, 2), (2, 1)}

B = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)}

n (A) = 2 → P(A) = 2/36

n (B) = 3 → P(B) = 3/36

Tidak ada yang sama antara A dan B, jadi n (A

∩B) = 0

Sehingga peluang "A atau B" adalah

P (A ∪ B) = P(A) + P(B)

= 2/36 + 3/36

= 5/36

Soal No. 3

Sebuah kantong berisi 4 bola merah, 3 bola

putih, dan 3 bola hitam. Diambil sebuah bola

secara acak, peluang terambil bola merah atau

hitam adalah....

A. 4/5

B. 7/10

C. 3/6

D. 2/6

E. 1/10

Pembahasan

Jumlah semua bola yang ada dalam kantong

adalah

4 + 3 + 3 = 10 bola. Dari 10 bola diambil satu

bola.

A = kejadian terambil bola merah.

B = kejadian terambil bola hitam.

Bola merah ada 4, sehingga peluang terambil

bola merah:

P(A) = 4/10

Bola hitam ada 3, sehingga peluang terambil

bola hitam:

P(B) = 3/10

Peluang terambil bola merah atau hitam:

P(A∪B) = P(A) + P(B)

= 4/10 + 3/10

= 7/10

Catatan:

Untuk

P (A ∪ B) = P(A) + P(B)

Dinamakan kejadian saling asing atau saling

lepas.

Soal No. 4

Dalam sebuah kelompok 30 siswa, 10 orang

suka matematika, 15 orang suka Fisika dan 5

orang suka kedua-duanya. Jika dipilih satu

orang dari kelompok tersebut, tentukan peluang

yang terpilih itu:

a) suka matematika dan fisika

b) suka matematika atau fisika

Pembahasan

A = kejadian yang terpilih suka matematika

B = kejadian yang terpilih suka fisika

P(A) = 10/30

P(B) = 15/30

a) suka matematika dan fisika

yang suka matematika dan fisika ada 5 orang,

dari 30 anak

P(A∩B) = 5/30

b) suka matematika atau fisika

P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)

= 10/30 + 15/30 − 5/30

= 20/30

Soal No. 5

Kotak I berisi 2 bola merah dan 3 bola putih.

Kotak II berisi 5 bola merah dan 3 bola putih.

Dari masing-masing kotak diambil 1 bola.

Peluang bola yang terambil bola merah dari

kotak I dan bola putih dari kotak II adalah....

A. 1/40

B. 3/20

C. 3/8

D. 2/5

E. 31/40

Pembahasan

P(A) = peluang terambil bola merah dari kotak

I.

Dalam kotak I ada 2 bola merah dari 5 bola

yang ada di kotak A. Sehingga peluang

terambilnya bola merah dari kotak I adalah

P(A) = 2/5

P(B) = peluang terambil bola putih dari kotak

II.

Dalam kotak II ada 3 bola putih dari 8 bola

yang ada di kotak II. Sehingga peluang

terambilnya bola putih dari kotak II adalah

P (B) = 3/8

Peluang bola yang terambil bola merah dari

kotak I dan bola putih dari kotak II adalah

P(A∩B) = P(A) × P(B)

= 2/5 × 3/8

= 6/40

= 3/20

Penjelasan panjangnya sebagai berikut:

Isi kotak I adalah 2 merah, 3 putih. Beri nama

sebagai:

M1, M2, P1, P2, P3.

Isi kotak II adalah 5 merah, 3 putih:

m1, m2, m3, m4, m5, p1, p2, p3 (biar beda hurufnya

kecil)

Menentukan Ruang sampelnya

Jumlah titik sampelnya ada 40, jadi n(S) = 40.

Dapatnya dari 5 x 8 = 40. Diagram pohonnya

jika perlu seperti berikut:

M1, M2, P1, P2, P3 di kotak I dan pasangannya

dari kotak II:

S ={(M1, m1), (M1, m2), (M1, m3), (M1, m4), (M1,

m5), (M1, p1), (M1, p2), (M1, p3), (M2,

m1),..............., (P3, p2), (P3, p3) }

n(S) = 40

A = terambil bola merah dari kotak I.

A = {(M1, m1), (M1, m2), (M1, m3), (M1, m4),

(M1, m5), (M1, p1), (M1, p2), (M1, p3), (M2, m1),

(M2, m2), (M2, m3), (M2, m4), (M2, m5), (M2, p1),

(M2, p2), (M2, p3) }

n(A) = 16

Sehingga P(A) = 16/40

B = terambil bola putih dari kotak II

B = {(M1, p1), (M1, p2), (M1, p3), (M2, p1), (M2,

p2), (M2, p3), (P1, p1), (P1, p2), (P1, p3), (P2, p1),

(P2, p2), (P2, p3), (P3, p1), (P3, p2), (P3, p3)}

n(B) = 15

Jadi P(B) = 15/40

Irisan antara A dan B (yang sama):

A ∩ B = {(M1, p1), (M1, p2), (M1, p3), (M2, p1),

(M2, p2), (M2, p3}

n(A ∩ B ) = 6

Sehingga P(A ∩ B ) = 6/40 = 3/20

Catatan:

Untuk

P (A ∩ B) = P(A) × P(B)

Dinamakan kejadian saling bebas.

Soal No. 6

Sebuah dadu dan sekeping uang logam

dilemparkan sekali bersama-sama di atas meja.

Peluang munculnya mata dadu lima dan angka

pada uang logam adalah...

A. 1/24

B. 1/12

C. 1/8

D. 2/3

E. 5/6

(Modifikasi ebtanas 1994)

Pembahasan

A = kejadian munculnya angka 5 pada

pelemparan dadu.

Ruang sampel pada pelemparan dadu S = {1, 2,

3, 4, 5, 6}

Diperoleh

n(S) = 6

n(A) = 1

Sehingga P(A) = 1/6

B = kejadian munculnya angka pada

pelemparan uang logam.

Ruang sampel pada pelemparan dadu S = {A,

G} dengan A = angka, G = Gambar

n(S) = 2

n(B) = 1

Sehingga P(B) = 1/2

Peluang munculnya mata dadu lima dan angka

pada uang logam dengan demikian adalah

P(A∩B) = P(A) × P(B)

= 1/6 × 1/2 = 1/12

Soal No. 7

Dalam sebuah keranjang A yang berisi 10 buah

jeruk, 2 buah jeruk diantaranya busuk,

sedangkan dalam keranjang B yang berisi 15

buah salak, 3 diantaranya busuk. Ibu

menghendaki 5 buah jeruk dan 5 buah salak

yang baik, peluangnya adalah....

A. 16/273

B. 26/273

C. 42/273

D. 48/273

E. 56/273

(Teori peluang - un 2006)

Pembahasan

10 buah jeruk di keranjang A, 2 buah busuk,

artinya 8 yang bagus.

15 buah salak di keranjang B, 3 buah busuk,

artinya 12 yang bagus.

A : kejadian terpilih 5 jeruk bagus dari

keranjang A.

B : kejadian terpilih 5 salak bagus dari

keranjang B.

Menentukan peluang dari kejadian A

Pengambilan 5 buah jeruk dari 10 buah jeruk

yang ada di keranjang A, menghasilkan banyak

cara (titik sampel) sejumlah

Sementara itu pengambilan 5 buah jeruk bagus

dari 8 jeruk bagus yang ada di keranjang A

menghasilkan cara sejumlah

Sehingga peluang terpilih 5 jeruk bagus dari

keranjang A

Menentukan peluang dari kejadian B

Pengambilan 5 buah salak dari 15 buah salak

yang ada di keranjang B, menghasilkan banyak

cara sejumlah

Sementara itu pengambilan 5 buah salak bagus

dari 12 salak bagus yang ada di keranjang A

menghasilkan cara sejumlah

Sehingga peluang terpilih 5 salak bagus dari

keranjang B

Sehingga peluang terpilih 5 jeruk bagus dari

keranjang A dan 5 salak bagus dari keranjang B

Soal No. 1a) Tentukan bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = (7, 8)

b) Tentukan bayangan dari

titik A (5, 10) oleh translasi

c) Tentukan bayangan dari titik A (1, 2) oleh translasi T = (1, 2) dilanjutkan oleh translasi U = (3, 4)

PembahasanBayangan dari titik A oleh suatu transformasi namakan A’ Dua model yang biasa dipakai sebagai berikut:

Hasilnya akan sama saja, hanya sedikit beda cara penulisan, sehingga:

a) Bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = (7, 8)

b) Bayangan dari titik A (5, 10) oleh translasi

c) Bayangan dari titik A (1, 2) oleh translasi T = (1, 2) dilanjutkan oleh translasi U = (3, 4)

Soal No. 2Disediakan suatu persamaan garis lurusY = 3x + 5Tentukan persamaan garis lurus yang dihasilkan oleh translasi T = (2, 1)

PembahasanAda beberapa cara diantaranya:Cara pertama:Posisi titik (x, y) oleh translasi T = (2, 1) adalah:x’ = x + 2 → x = x’ – 2 y’ = y + 1 → y = y’ – 1

Masukkan nilai x dan y yang baru ke persamaan asal y = 3x + 5(y’ – 1 ) = 3(x’ – 2) + 5Tinggal selesaikan, ubah lambang y’ dan x’ ke y dan x lagi:y – 1 = 3x – 6 + 5y = 3x – 6 + 5 + 1y = 3x

Cara kedua:Ambil dua buah titik dari persamaan y = 3x + 5Misal: Titik A, untuk x = 0 → y = 5 dapat titik A (0, 5) Titik B, untuk Y = 0 → x = – 5 /3 dapat titik B (– 5/3 , 0)

Translasikan Titik A dan B dengan T = (2,1)A’ (0 + 2, 5 +1) = A’ (2, 6)B’ (-5/3 + 2, 0 + 1) = A’ (1/3, 1)

Buat persamaan garis yang melalui kedua titik itu:

Cara ketiga

Dengan rumus yang sudah jadi atau rumus cepat:

ax + by = cTranslasi T (p, q)Hasil :ax + by = c + ap + bq

Rumus ini untuk bentuk seperti soal di atas, jangan terapkan pada bentuk-bentuk yang lain, nanti salah.y = 3x + 5 atau3x − y = − 5 oleh T = (2,1)

Hasil translasinya adalah:3x − y = − 5 + (3)(2) + (− 1)(1)3x − y = − 5 + 6 − 13x − y = 0atau y = 3x

Soal No. 3Titik A memiliki koordinat (3, 5). Tentukan koordinat hasil pencerminan titik A:a) Terhadap garis x = 10b) Terhadap garis y = 8

PembahasanPencerminan sebuah titik terhadap garis x = h atau y = ka) Terhadap garis x = 10 x = h(a, b) ----------> (2h − a, b)

x = h(3, 5) ----------> ( 2(10) − 3, 5) = (17, 5)

b) Terhadap garis y = 8 y = k(a, b) ----------> (a, 2k − b)

y = k(3, 5) ----------> ( 3, 2(8) − 5) = (3, 11)

Soal No. 4Titik A memiliki koordinat (3, 5). Tentukan koordinat hasil pencerminan titik A:a) Terhadap garis y = xb) Terhadap garis y = − x

Pembahasana) Terhadap garis y = x y = x(a, b) ----------> ( b, a)

y = x(3, 5) ----------> (5, 3)

b) Terhadap garis y = − x y = − x(a, b) ----------> ( − b, − a)

y = − x(3, 5) ----------> (− 5, − 3)

Soal No. 5Titik P (6√2, 10√2) diputar dengan arah berlawanan jarum jam sejauh 45° menghasilkan titik P'. Tentukan koordinat dari titik P'.

PembahasanRotasi sebuah titik dengan sudut sebesar α

Sehingga:

Catatan:sudut α positif → berlawanan arah jarum

jamsudut α negatif → searah jarum jam

Soal No. 6

Bayangan kurva y = x + 1 jika ditransformasikan oleh matriks

kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap sumbu X adalah....A. x + y − 3 = 0B. x − y − 3 = 0C. x + y + 3 = 0D. 3x + y + 1 = 0E. x + 3y + 1 = 0(UN Matematika Tahun 2010 P04)

Pembahasan

Transformasi oleh matriks

dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu x dengan matriksnya

Gabungan dua transformasi:

Terlihat bahway' = − yy = − y'

x' = x + 2yx' = x + 2(− y')x' = x − 2y'x = x' + 2y'

Jadi:x = x' + 2y' y = − y'

Masukkan ke persamaan awaly = x + 1(− y') = (x' + 2y' ) + 1x' + 3y' + 1 = 0

http://matematikastudycenter.com/

Sehingga bayangan kurva yang diminta adalah x + 3y + 1 = 0

Soal No. 7Koordinat bayangan titik P(6, 5) jika ditransformasikan oleh matriks

dan dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu X adalah....A. (−11, 6)B. (−6, 11)C. (−5, 11)D. (11, −5)E. (11, −6)

PembahasanTitik A, dengan transformasi matriks

akan menghasilkan titik A', yang koordinatnya:

Dilanjutkan lagi dengan pencerminan terhadap sumbu X akan menghasilkan titik A'', dimana titik A'' koordinatnya akan menjadi (11, −6), beda tanda minus saja pada ordinat atau y nya. Bisa juga dengan mengalikan memakai matriks pencerminan terhadap sumbu X.

Jadi A" koordinatnya adalah (11, −6)

Soal No. 8Lingkaran (x − 2)2 + (y + 3)2 = 25

ditransformasikan oleh matriks

dilanjutkan oleh matriks maka bayangan lingkaran itu adalah....A. x2 + y2 + 6x − 4x − 12 = 0B. x2 + y2 − 6x − 4x − 12 = 0C. x2 + y2 − 4x − 6x − 12 = 0D. x2 + y2 + 4x − 6x − 12 = 0E. x2 + y2 + 4x + 6x − 12 = 0

Pembahasan(x − 2)2 + (y + 3)2 = 25 adalah sebuah lingkaran yang berpusat di titik P (2, − 3)

dan berjari-jari r = √25 = 5. Ingat kembali topik persamaaan lingkaran.

Setelah diitransformasi, jari-jarinya tidak berubah, tetap r = 5, jadi cukup dengan transformasi titik pusatnya, kemudian dipasang lagi di persamaan umum lingkaran akan diperoleh hasilnya.

Titik P (2, − 3) oleh transformasi

akan menjadi P':

Titik P' ini oleh transformasi kedua

akan menjadi P" dengan koordinatnya tetap (3, 2). Kok tidak berubah, karena matriks yang kedua ini adalah matriks identitas, jika untuk mengali hasilnya tetap. Atau dihitung sajalah seperti ini:

Pusat lingkaran yang baru diperoleh adalah (3, 2) dengan jari-jari r = 5, hingga persamaan lingkarannya menjadi:

oal No. 1Perhatikan gambar berikut, PQ adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q

a) Nyatakan PQ dalam bentuk vektor kolomb) Nyatakan PQ dalam bentuk i, j (vektor satuan)

c) Tentukan modulus atau panjang vektor PQ

PembahasanTitik P berada pada koordinat (3, 1)Titik Q berada pada koordinat (7,4)a) PQ dalam bentuk vektor kolom

b) PQ dalam bentuk i, j (vektor satuan)PQ = 4i + 3j

c) Modulus vektor PQ

Soal No. 2Perhatikan gambar kubus dengan sisi sepanjang 10 satuan berikut:

Titik S tepat berada pada perpotongan kedua diagonal sisi alas kubus. Tentukan:a) Koordinat titik Sb) Koordinat titik Vc) Vektor SV dalam bentuk kolomd) SV dalam bentuk vektor satuane) Modulus atau panjang SV

Pembahasana) Koordinat titik Sx = 5y = 0z = 5(5, 0, 5)

b) Koordinat titik V

x = 10y = 10z = 0(10, 10, 0)

c) Vektor SV dalam bentuk kolom

d) SV dalam bentuk vektor satuanSV = 5i + 10j − k

e) Modulus atau panjang SV

Soal No. 3Diberikan dua buah vektor masing-masing a = 9 dan b = 4. Nilai cosinus sudut antara kedua vektor adalah 1/3 . Tentukan:a) |a + b|b) |a – b|

Pembahasana) |a + b|Jumlah dua buah vektor

b) |a – b|Selisih dua buah vektor

http://matematikastudycenter.com/

Soal No. 4Dua buah vektor masing-masing: p = 3i + 2j + k q = 2i – 4 j + 5k

Tentukan nilai cosinus sudut antara kedua vektor tersebut!

PembahasanJumlahkan dua buah vektor dalam i, j, k

Dengan rumus penjumlahan

Soal No. 5Diketahui vektor a = 2i – 6j – 3k dan b = 4i + 2j – 4k . Panjang proyeksi vektor a pada b adalah…..A. 4/3B. 8/9C. ¾D. 3/8E. 8/36(Soal Ebtanas Tahun 2000)

PembahasanPanjang masing-masing vektor, jika nanti diperlukan datanya:

Proyeksi vektor a pada vektor b, namakan c:

Soal No. 6Diketahui vektor a = 4i − 2j + 2k dan vektor b = 2 i − 6 j + 4k. Proyeksi orthogonal vektor a pada vektor b adalah.... A. i − j + kB. i − 3j + 2kC. i − 4j + 4kD. 2i − j + kE. 6i − 8j + 6k(Dari Soal UN Matematika Tahun 2011 Paket 12)

PembahasanProyeksi vektor a pada vektor b namakan c, hasil akhirnya dalam bentuk vektor (proyeksi vektor ortogonal).

Soal No. 7Besar sudut antara vektor a = 2i − j + 3k dan b = i + 3j − 2k adalah....

A. 1/8 πB. 1/4 πC. 1/3 π D. 1/2 π E. 2/3 π(Soal Ebtanas 1988)

PembahasanSudut antara dua buah vektor:

Soal No. 8Ditentukan A(4 , 7 , 0) , B(6 , 10 , –6) dan C(1 , 9 , 0). AB dan AC wakil-wakil dari vektor u dan v. Besar sudut antara u dan v adalah....A. 0B. 1/4 πC. 1/2 πD. 3/4 πE. π(Soal Ebtanas 1989 - Vektor)

PembahasanTentukan vektor u dan v terlebih dulu:u = AB = B − A = (6 , 10 , –6) − (4 , 7 , 0) = (2, 3, −6) → u = 2i + 3j − 6kv = AC = C − A = (1 , 9 , 0) − (4 , 7 , 0) = (− 3, 2, 0) → v = − 3i + 2j

Sudut dengan nilai cosinus nol adalah 90° atau 1/2 π

Soal No. 9

DiketahuiProyeksi skalar 2u + 3v pada v adalah....

A. 1/2

B. 1/2 √2C. 1/14√14D. 2√14E. 7/2√14

Pembahasan2u + 3v misalkan dinamakan r

Proyeksi vektor r pada v misal namanya s adalah

Soal No. 10Diberikan tiga buah vektor masing-masing:a = 6p i + 2p j − 8 kb = −4 i + 8j + 10 kc = − 2 i + 3 j − 5 k

Jika vektor a tegak lurus b, maka vektor a − c adalah.....A. − 58 i − 20 j − 3kB. − 58 i − 23 j − 3kC. − 62 i − 17 j − 3kD. − 62 i − 20 j − 3kE. − 62 i − 23 j − 3kPembahasanTentukan nilai p terlebih dahulu, dua vektor yang tegak lurus maka perkalian titiknya sama dengan nol. a dan b tegak lurus maka berlaku:a ⋅ b = 0(6p i + 2p j − 8 k)⋅ (−4 i + 8j + 10 k) = 0− 24p + 16p − 80 = 0− 8p = 80p = − 10

Dengan demikian vektor a adalah a = 6p i + 2p j − 8 ka = 6(− 10) i + 2(− 10) j − 8 ka = −60 i − 20 j − 8 k

a − c = ( −60 i − 20 j − 8 k) − (− 2 i + 3 j − 5 k) a − c = − 58 i − 23 j − 3k

soal matematika campur

Documents