LATIHAN SOAL SMAA. TEORI BILANGAN

1. Uji Bilangan Habis Dibagi, Bilangan Prima dan Bilangan Kuadrat a. Suatu bilangan dibagi 4 dan 5 sisanya berturut-turut adalah 1 dan 3. Tentukan

sisanya jika bilangan tersebut dibagi 20.b. (IMO 1989) Bilangan berangka enam berikut a1989b habis dibagi 72. Tentukan a

dan b

c. (IMO 1990)Tentukan angka satuan pada bilangan 19971991

d. (OSK 2004) Untuk dua bilangan bulat a dan b, penulisan a × b menyatakan sisa tak negtif ab jika dibagi 5. Nilai (−3 ) × 4=¿

e. Banyaknya pasangan bilangan asli berbeda yang selisih kuadratnya 2012 adalah2. FPB, KPK, Persamaan Diophantine, dan Fungsi Tangga

a. (OSK 2008) Diketahui FPB (a,2008)=251. Jika aa>2008 maka nilai terkecil yang mungkin bagi a adalah...

b. (OSP 2003) Misalkan x,y,z tiga bilangan asli berbeda. Faktor persekutuan terbesar ketiganya adalah 12, sedangkan kelipatan persekutuan terkecil ketiganya adalah 840. Berapakah nilai terbesar bagi x+y+z

c. (OSK 2006) Banyaknya solusi pasangan bilangan bulat positif persamaan 3 x+5 y=501 adalah

d. Tentukan penyelesaian umum persamaan diophantine 754 x+221 y=13.

e. (IMO1990) Tentukan semua pasangan bilangan asli a dan b sehingga a2−b2=1991.

f. (OSK 2002) Berapa banyak pasang bilangan bulat positif (a,b) yang memnuhi 1a+ 1

b=1

6g. (OSK 2004) Jika x dan y dua bilangan asli dan x+y+xy=34. Maka nilai x+y=..h. (OSP 2004) Berapa banyaknya barisan bilangan bulat tak negatif (x,y,z) yang

memenuhi persamaan x+y+z=99i. (OSP 2005) Barisan bilangan asli (a,b,c) dengan a ≥ b≥ c, yang memenuhi

sekaligus kedua persamaan ab+bc=44 dan ac+bc=23B. ALJABAR

1. (OSP 2012) Cari semua pasangan bilangan real (x , y , z) yang memenuhi sistem persamaan

x=1+√ y−z2

y=1+√z−x2

z=1+√ x− y2

2. (OSK 2012) Banyaknya tripel bilangan bulat (x , y , z) yang memenuhi

x2+ y2+z2−xy− yz−zx=x3+ y3+z3

3. (OSP 2012) Tuliskan semua pasangan bilangan bulat tak negatif (a ,b , x , y) yang memenuhi sistem persamaan

a+b=xyx+ y=ab

4. (OSK 2012) Banyaknya bilagan bulat n yang memenuhi

(n−1 ) ( n−3 ) (n−5 ) (n−2013 )=n (n+2 ) (n+4 ) (n+2012 )adalah..

5. (OSK 2012) Banyaknya pasangan bilangan asli berbeda yang selisih kuadratnya 2012 adalah..

6. (OSK 2012) Ada berapa faktor positif dari 27 355372 yang merupakan kelipatan 6?7. (OSK 2008) Banyaknya faktor positif dari 5! adalah8. (OSK 2015) Banyaknya faktor positif dari 2015 adalah9. Jika hasil kali tiga bilangan ganjil berurutan sama dengan 7 kali jumlah ketiga bilangan

itu, maka jumlah kuadrat ketiga bilangan itu adalah..10. (OSP 2012) Jika p ,q , dan r akar-akar dari x3−x2+ x−2+0, maka p3+q3+r3=… 11. (OSP 2012) Banyaknya bilangan bulat positif n yang memnuhi n ≤ 2012 dan

merupakan bilangan kuadrat sempurna atau kubik atau pangkat 4 atau pangkat 5 atau...atau pangkat 10, ada sebanyak.

C. KOMBINATORIK DAN PELUANG1. (OSP 20060 Banyaknya bilangan 7 angka berbeda yang dapat dibentuk dengan cara

mengubah susunan angka 2504224 adalah2. (OSK 2005) Seorang siswa mempunyai dua celana berwarna biru dan abu-abu, tiga

kemeja berwarna putih, merah, dan kuning, serta dua pasag sepatu berwarna hitam dan coklat. Banyaknya cara siswa tersebut memakai pakaian dan sepatu adalah...

3. (OSK 2008) Bilangan 4 angka dibentuk dari angka 1,4,7,8 dimana masing-masing angka digunakan tepat satu kali. Jika semua bilangan 4 angka yang diperoleh dengan cara ini dijumlahkan, maka jumlah ini mempunyai angka satuan

4. (OSP 2003) Empat pasang suami istri menonton perggelaran orchestra. Tempat duduk mereka harus dipisah antara kelompok suami dan kelompok istri. Untuk masing-masing kelompok disediakan 4 buah tempat duduk bersebelahan dalam satu barisan. Ada berapa banyak cara memberikan tempat duduk kepada mereka?

5. (OSP 2008) Cara menyusun huruf-huruf MATEMATIKA dengan kedua T tidak berdekatan ada sebanyak..

6. (OSP 2004) Dari antara 6 buah kartu bernomor 1 sampai 6 diambil secara acak. Berapakah peluang terambilnya dua kartu yang jumlah nomornya adalah 6

7. (OSK 2004) Delegasi Indonesia ke suatu pertemuan pemuda internasional terdiri dari 5 orang. Ada 7 orang pria dan 5 orang wanita yang mencalonkan diri untuk menjadi anggota delegasi. Jika dipersyaratkan bahwa paling sedikit seorang anggota itu harus wanita, banyaknya cara memilih anggota delegasi adalah..

8. (OSK 2015) Satu dadu ditos sebanyak 6 kali. Probabilitas jumlah mata dadu yang muncul 9 adalah