soal dan pembahasan olimpiade matematika vektor nasional 2013 smp (omvn 2013) babak penyisihan...

www.siap-osn.blogspot.com @ Juli 2014

SD.A 2 SMPN 1 Tambelangan

Soal dan Pembahasan OMVN 2013 SMP Babak Penyisihan /

Download Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SMP Lainnya di “ www.siap-osn.blogspot.com ”

SOAL DAN PEMBAHASAN

OLIMPIADE MATEMATIKA VEKTOR NASIONAL 2013 SMP (OMVN 2013)

BABAK PENYISIHAN ( BAGIAN 1 DAN BAGIAN 2 )

BAGIAN 1

1-10. Sudah dipostingkan di : www.siap-osn.blogspot.com

11. Suatu fungsi 𝑓 didefinisikan sebagai 𝑓 𝑥 = 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑑𝑖𝑔𝑖𝑡 𝑥 , sebagai contoh 𝑓 4 = 1 , 𝑓 222 = 3.

Berapakah 𝑓 22013 + 𝑓 52013 = ⋯

Pembahasan :

𝑈𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓 𝑥,𝑦 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑓 𝑥 = 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑑𝑖𝑔𝑖𝑡 𝑥 ,𝑑𝑎𝑛 𝑓 𝑦 = 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑑𝑖𝑔𝑖𝑡 𝑦

𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑏𝑒𝑟𝑙𝑎𝑘𝑢 ∶ 𝑓 𝑥 + 𝑓 𝑦 ≥ 𝑓 𝑥 .𝑦

𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑏𝑒𝑟𝑖𝑘𝑢𝑡 ∶

𝑓 1𝑛 + 𝑓 10𝑛 𝑓 2𝑛 + 𝑓 5𝑛 𝑓 2𝑛 . 5𝑛 = 𝑓 10𝑛

𝑓 11 + 𝑓 101 = 1 + 2 = 3 𝑓 21 + 𝑓 51 = 1 + 1 = 2 𝑓 101 = 2

𝑓 12 + 𝑓 102 = 1 + 3 = 4 𝑓 22 + 𝑓 52 = 1 + 2 = 3 𝑓 102 = 3

𝑓 13 + 𝑓 103 = 1 + 4 = 5 𝑓 23 + 𝑓 53 = 1 + 3 = 4 𝑓 103 = 4

𝑓 14 + 𝑓 104 = 1 + 5 = 6 𝑓 24 + 𝑓 54 = 2 + 3 = 5 𝑓 104 = 5

𝑓 15 + 𝑓 105 = 1 + 6 = 7 𝑓 25 + 𝑓 55 = 2 + 4 = 6 𝑓 105 = 6

𝑓 16 + 𝑓 106 = 1 + 7 = 8 𝑓 26 + 𝑓 56 = 2 + 5 = 7 𝑓 106 = 7

⋮ ⋮ ⋮

𝑓 12013 + 𝑓 102013 = 1 + 2014 = 2015 𝑓 22013 + 𝑓 52013 = ? 𝑓 102013 = 2014

𝐷𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒𝑕 ∶ 𝑓 2𝑛 + 𝑓 5𝑛 ≥ 𝑓 2𝑛 . 5𝑛 𝑑𝑎𝑛 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑓 1𝑛 + 𝑓 10𝑛 > 𝑓 2𝑛 + 𝑓 5𝑛

𝑖𝑛𝑖 𝑚𝑒𝑛𝑢𝑛𝑗𝑢𝑘𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑎𝑕𝑤𝑎 𝑕𝑎𝑟𝑢𝑠𝑙𝑎𝑕 ∶ 𝑓 2𝑛 + 𝑓 5𝑛 = 𝑓 2𝑛 . 5𝑛

𝑆𝑒𝑕𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 ∶

𝑓 22013 + 𝑓 52013 = 𝑓 22013 . 52013

= 𝑓 102013

= 2014

𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑓 22013 + 𝑓 52013 = 2014

http://www.siap-osn.blogspot.com/






12. 𝐴 dan 𝐵 berturut-turut merupakan titik potong diagonal pada persegi kecil dan persegi besar. Titik-titik 𝐴 , 𝐵 , 𝑆 ,

dan 𝑁 terletak pada garis lurus. Agar daerah yang diarsir memiliki luas setengah dari luas persegi kecil, jarak titik

𝐴 dan 𝐵 haruslah …

Pembahasan :

𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑔𝑎𝑚𝑏𝑎𝑟 𝑏𝑒𝑟𝑖𝑘𝑢𝑡 ∶

𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖 𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 ∶

𝐿𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖 𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 = 4 .4 = 16

𝐿𝑎𝑟𝑠𝑖𝑟𝑎𝑛 =1

2 . 𝐿𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖 𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙

=1

2 . 16

= 8

𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑒𝑟𝑎𝑕 𝑎𝑟𝑠𝑖𝑟𝑎𝑛 ∶

𝐶𝑆 = 𝐶𝑁 = 𝐿𝑎𝑟𝑠𝑖𝑟𝑎𝑛

= 8

𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑆𝐶𝑁 ∶

𝑆𝑁 = 𝐶𝑆2 + 𝐶𝑁2

= 8 2

+ 8 2

= 8 + 8

= 16

= 4

𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝐿𝑀𝑁 ∶

𝐿𝑁 = 𝐿𝑀2 +𝑀𝑁2

= 42 + 42







= 16 + 16

= 32

= 16 .2

= 4 2

𝐴𝑁 =1

2 . 𝐿𝑁

=1

2 .4 2

= 2 2

𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑆𝑇𝑈 ∶

𝑆𝑈 = 𝑆𝑇2 + 𝑇𝑈2

= 102 + 102

= 100 + 100

= 200

= 100 .2

= 10 2

𝑆𝐵 =1

2 . 𝑆𝑈

=1

2 .10 2

= 5 2

𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝐴, 𝑆,𝑁,𝑑𝑎𝑛 𝐵 ∶

𝐴𝐵 = 𝐴𝑁 + 𝑆𝐵 − 𝑆𝑁

= 2 2 + 5 2− 4

= 7 2− 4

𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝐵 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕 7 2− 4

13. Tentukan semua bilangan asli 𝑛 , sehingga 28 + 211 + 2𝑛 merupakan kuadrat sempurna!

Pembahasan :

28 + 211 + 2𝑛 = 28 + 23+8 + 2𝑛

= 28 + 23 . 28 + 2𝑛

= 1 . 28 + 8 . 28 + 2𝑛

= 9 . 28 + 2𝑛

= 32 . 28 + 2𝑛 𝑕𝑎𝑟𝑢𝑠 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑡𝑟𝑖𝑝𝑙𝑒 𝑝𝑕𝑦𝑡𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎𝑠

→ 32 . 28 + 42 . 28 = 32 + 42 𝑡𝑟𝑖𝑝𝑙𝑒 𝑝𝑕𝑦𝑡𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎 𝑠

. 28

= 52 𝑡𝑟𝑖𝑝𝑙𝑒 𝑝𝑕𝑦𝑡𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎𝑠

. 28

= 52 . 28 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑚𝑝𝑢𝑟𝑛𝑎







𝐷𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒𝑕 ∶

2𝑛 = 42 . 28

2𝑛 = 22 2 . 28

2𝑛 = 24 . 28

2𝑛 = 24+8

2𝑛 = 212 → 𝑛 = 12

𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎𝑠𝑙𝑖 𝑛 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑢𝑕𝑖 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕 12

14. Ada berapa bilangan dari 1000 sampai 9999 yang digit-digitnya memiliki urutan naik atau turun? (contoh naik :

1234, contoh turun : 4321)

Pembahasan :


𝑈𝑟𝑢𝑡𝑎𝑛 𝐵𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐵𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛

𝑁𝑎𝑖𝑘

1234

12

2345

3456

4567

5678

6789

𝑇𝑢𝑟𝑢𝑛

9876

8765

7654

6543

5432

4321

𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑚𝑖𝑙𝑖𝑘𝑖 𝑢𝑟𝑢𝑡𝑎𝑛 𝑛𝑎𝑖𝑘 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛 𝑎𝑑𝑎 12

15. Titik pusat dari lingkaran-lingkaran kongruen yang berdiameter 24 pada gambar di bawah terletak pada titik-titik

sudut bidang datar tak beraturan. Keliling daerah yang diarsir adalah …







Pembahasan :


𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑎𝑛𝑔𝑢𝑛 𝑑𝑎𝑡𝑎𝑟 𝐴,𝐵,𝐶,𝐷,𝐸,𝑑𝑎𝑛 𝐹 ∶

𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎𝑕 𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑏𝑎𝑛𝑔𝑢𝑛 𝐴 = 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎𝑕 𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑏𝑎𝑛𝑔𝑢𝑛 𝐵 = 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎𝑕 𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑏𝑎𝑛𝑔𝑢𝑛 𝐶

= 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎𝑕 𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑏𝑎𝑛𝑔𝑢𝑛 𝐷

= 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎𝑕 𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑏𝑎𝑛𝑔𝑢𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖 𝑒𝑚𝑝𝑎𝑡

= 360𝑜

𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎𝑕 𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑏𝑎𝑛𝑔𝑢𝑛 𝐸 = 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎𝑕 𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑏𝑎𝑛𝑔𝑢𝑛 𝐹

= 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎𝑕 𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑏𝑎𝑛𝑔𝑢𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎

= 180𝑜

𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎𝑕 𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑏𝑎𝑛𝑔𝑢𝑛 𝐴,𝐵,𝐶,𝐷,𝐸,𝑑𝑎𝑛 𝐹 = 4 . 360𝑜 + 2 . 180𝑜

= 1440𝑜 + 360𝑜

= 1800𝑜

𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎𝑕 𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑠𝑖𝑟 = 12. 𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑛𝑢𝑕 − 1800𝑜

= 12. 360𝑜 − 1800𝑜

= 4320𝑜 − 1800𝑜

= 2520𝑜

𝐾𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑑𝑎𝑒𝑟𝑎𝑕 𝑎𝑟𝑠𝑖𝑟𝑎𝑛 =2520𝑜

12 .360𝑜 .2 .𝜋 . 𝑟

𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝑎𝑟𝑠𝑖𝑟𝑎𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛

+ 12 . 2 . 𝑟 𝑎𝑟𝑠𝑖𝑟𝑎𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠𝑖 𝑜𝑙𝑒𝑕 𝑑𝑢𝑎 𝑗𝑎𝑟𝑖 𝑗𝑎𝑟𝑖

=2520𝑜

4320𝑜 .2 .𝜋 .12 + 12 . 2 .12

=7

12 .2 .

22

7 .12 + 288

= 44 + 288

= 332

𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑑𝑎𝑒𝑟𝑎𝑕 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑠𝑖𝑟 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕 332







16. Banyak cara perjalanan tercepat seekor marmut dari bidang V menuju bidang R jika bidang K terlewati maka

bidang T tidak boleh terlewati dan jika bidang T terlewati maka bidang K tidak boleh terlewati adalah …

𝐸 𝑂 𝐸 𝑂 𝐸 𝑅

𝑂 𝐸 𝑂 𝑻 𝑂 𝐸

𝐸 𝑲 𝐸 𝑂 𝐸 𝑂

𝑂 𝐸 𝑂 𝐸 𝑂 𝐸

𝑉 𝑂 𝐸 𝑂 𝐸 𝑂

Pembahasan :


𝐸 𝑂 𝐸 𝑂 𝐸 𝑅

𝑂 𝐸 𝑂 𝑻 𝑂 𝐸

𝐸 𝑲 𝐸 𝑂 𝐸 𝑂

𝑂 𝐸 𝑂 𝐸 𝑂 𝐸

𝑉 𝑂 𝐸 𝑂 𝐸 𝑂

𝑃𝑒𝑟𝑗𝑎𝑙𝑎𝑛𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑎𝑡

( 𝑚𝑒𝑙𝑎𝑙𝑢𝑖 6 𝑏𝑖𝑑𝑎𝑛𝑔 )

𝐵𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑐𝑎𝑟𝑎

𝑝𝑒𝑟𝑗𝑎𝑙𝑎𝑛𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑎𝑡

𝑉 − 𝐸 − 𝐸 − 𝑇 − 𝐸 − 𝑅

5

𝑉 − 𝑂 − 𝑂 − 𝑂 − 𝑂 − 𝑅

𝑉 − 𝐸 − 𝑂 − 𝑂 − 𝑂 − 𝑅

𝑉 − 𝐸 − 𝐸 − 𝑂 − 𝑂 − 𝑅

𝑉 − 𝐸 − 𝐸 − 𝑇 − 𝑂 − 𝑅

𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑗𝑎𝑙𝑎𝑛𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑎𝑡 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑏𝑖𝑑𝑎𝑛𝑔 𝑉 𝑘𝑒 𝑏𝑖𝑑𝑎𝑛𝑔 𝑅 𝑎𝑑𝑎 5

17. Jika nilai 150𝐴 = 1502 + 1492 + 1482 − 1472 − 1462 − 1452 +⋯+ 42 − 32 − 22 − 12 maka nilai A

adalah …

Pembahasan :

150𝐴 = 1502 + 1492 + 1482 − 1472 − 1462 − 1452 +⋯+ 42 − 32 − 22 − 12

150𝐴 = 1502 + 1492 + 1482 − 1472 − 1462 − 1452 +⋯+ 62 + 52 + 42 − 32 − 22 − 12

150𝐴 = 1502 − 1472 + 1492 − 1462 + 1482 − 1452 +⋯+ 62 − 32 + 52 − 22 + 42 − 12

150𝐴 = 150− 147 . 150 + 147 + 149− 146 . 149 + 146 + 148− 145 . 148 + 145 +⋯

+ 6− 3 . 6 + 3 + 5 − 2 . 5 + 2 + 4− 1 . 4 + 1







150𝐴 = 3 . 150 + 147 + 3 . 149 + 146 + 3 . 148 + 145 +⋯+ 3 . 6 + 3 + 3 . 5 + 2 + 3 . 4 + 1

150𝐴 = 3 . 150 + 147 + 149 + 146 + 148 + 145 +⋯+ 6 + 3 + 5 + 2 + 4 + 1

150𝐴 = 3 . 150 + 149 + 148 + 147 + 146 + 145 +⋯+ 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1

150𝐴 = 3 . 150 . 150+1

2

150𝐴 = 3 . 150 .151

2

150𝐴 =3 .150 .151

2

𝐴 =3 .150 .151

2

150

𝐴 =3 .151

2

𝐴 =453

2

𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝐴 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕 453

2

18. Tentukan nilai dari

𝑉 =2013

2+ 2+

2013

3 2+2 3+⋯+

2013

2013 2012+2012 2013

Pembahasan :

𝑉 =2013

2+ 2+

2013

3 2+2 3+⋯+

2013

2013 2012+2012 2013

=2013

2 1+1 2+

2013

3 2+2 3+

2013

4 3+3 4+⋯+

2013

2013 2012+2012 2013

= 2013 . 1

2 1+1 2+

1

3 2+2 3+

1

4 3+3 4+⋯+

1

2013 2012+2012 2013

= 2013 . 1

2 1+1 2 .

2 1−1 2

2 1−1 2+

1

3 2+2 3 .

3 2−2 3

3 2−2 3+

1

4 3+3 4 .

4 3−3 4

4 3−3 4+⋯

+1

2013 2012+2012 2013 .

2013 2012−2012 2013

2013 2012−2012 2013

= 2013 . 2 1−1 2

2 1 2− 1 2

2 +3 2−2 3

3 2 2− 2 3

2 +4 3−3 4

4 3 2− 3 4

2 +⋯+2013 2012−2012 2013

2013 2012 2− 2012 2013

2

= 2013 . 2 1−1 2

22 .1−12 .2+

3 2−2 3

32 .2−22 .3+

4 3−3 4

42 .3−32 .4+⋯+

2013 2012−2012 2013

2013 2 .2012−20122 .2013

= 2013 . 2 1−1 2

1 .2 . 2−1 +

3 2−2 3

2 .3 . 3−2 +

4 3−3 4

3 .4 . 4−3 +⋯+

2013 2012−2012 2013

2012 .2013 . 2013−2012

= 2013 . 2 1−1 2

1 .2 .1+

3 2−2 3

2 .3 .1+

4 3−3 4

3 .4 .1+⋯+

2013 2012−2012 2013

2012 .2013 .1

= 2013 . 2 1−1 2

1 .2+

3 2−2 3

2 .3+

4 3−3 4

3 .4+⋯+

2013 2012−2012 2013

2012 .2013

= 2013 . 2 1

1 .2−

1 2

1 .2+

3 2

2 .3−

2 3

2 .3+

4 3

3 .4−

3 4

3 .4+⋯+

2013 2012

2012 .2013−

2012 2013

2012 .2013







= 2013 . 1

1− 2

2+ 2

2− 3

3+ 3

3− 4

4+⋯+

2012

2012− 2013

2013

= 2013 . 1

1− 2

2+ 2

2 0

− 3

3+ 3

3 0

− 4

4+ 4

4 0

−⋯− 2012

2012+ 2012

2012 0

− 2013

2013

= 2013 . 1

1− 2013

2013

= 2013 . 1

1− 2013 .

2013

2013

= 2013 .1− 2013

= 2013− 2013

19. Ada berapa cara seseorang berjalan dari titik A ke titik B, melalui titik C, dengan lintasan terpendek?

Pembahasan :


𝐵𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑙𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑘 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝐴 𝑘𝑒 𝐶 = 𝐶7 3 = 35

𝐵𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑙𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑘 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝐶 𝑘𝑒 𝐵 = 𝐶6 2 = 15

𝐵𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑙𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑘 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝐴 𝑘𝑒 𝐵 = 35 .15 = 525

𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑠𝑒𝑠𝑒𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑒𝑟𝑗𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝐴 𝑘𝑒 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝐵,𝑚𝑒𝑙𝑎𝑙𝑢𝑖 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝐶 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠𝑎𝑛

𝑡𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑘 𝑎𝑑𝑎 525







20. Tentukan semua bilangan bulat positif 𝑚 , 𝑛 dengan 𝑛 bilangan ganjil yang memenuhi

1

𝑚+

4

𝑛=

1

12

Pembahasan :

1

𝑚+

4

𝑛=

1

12

1

𝑚=

1

12−

4

𝑛

1

𝑚=

1 .𝑛

12 .𝑛−

4 .12

12 .𝑛

1

𝑚=

𝑛

12 .𝑛−

48

12 .𝑛

1

𝑚=

𝑛−48

12 .𝑛

𝑚

1=

12 .𝑛

𝑛−48

𝑚 =12 .𝑛

𝑛−48

𝐷𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒𝑕 ∶ 𝑚 =12 .𝑛

𝑛−48 𝑑𝑎𝑛 𝑛 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 ,𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑘𝑒𝑚𝑢𝑛𝑔𝑘𝑖𝑛𝑎𝑛 𝑛 = 49, 51, 53,…

𝑛 = 49 → 𝑚 =12 .𝑛

𝑛−48

=12 .49

49−48

=588

1

= 588 → 𝑚, 𝑛 = 588, 49

𝑛 = 51 → 𝑚 =12 .𝑛

𝑛−48

=12 .51

51−48

=12 .51

3

= 204 → 𝑚, 𝑛 = 204, 51

𝑛 = 53 → 𝑚 =12 .𝑛

𝑛−48

=12 .53

53−48

=12 .53

5 (𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑢𝑕𝑖 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑏𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡)

𝑛 = 55 → 𝑚 =12 .𝑛

𝑛−48

=12 .55

55−48

=12 .55








𝑛 = 57 → 𝑚 =12 .𝑛

𝑛−48

=12 .57

57−48

=12 .57

9

= 76 → 𝑚,𝑛 = 76, 57

𝑛 = 59 → 𝑚 =12 .𝑛

𝑛−48

=12 .59

59−48

=12 .59


𝑛 = 61 → 𝑚 =12 .𝑛

𝑛−48

=12 .61

61−48

=12 .61


𝑛 ≥ 61 𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑑𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒𝑕 𝑛 − 48 > 12 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑚𝑢𝑛𝑔𝑘𝑖𝑛 𝑚 𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑚𝑒𝑛𝑔𝑕𝑎𝑠𝑖𝑙𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡

𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑢𝑕𝑖 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕 𝑚,𝑛 = 588, 49 , 204, 51 , 76, 57

BAGIAN 2

Berikan jawaban sejelas mungkin!

1. Tentukan semua tripel 𝑥, 𝑦, 𝑧 yang memenuhi bahwa salah satu bilangan jika ditambahkan dengan hasil kali

kedua bilangan yang lain hasilnya adalah 2.

Pembahasan :

𝑥,𝑦, 𝑧 𝑕𝑎𝑟𝑢𝑠 𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑢𝑕𝑖 ∶

𝑥 + 𝑦𝑧 = 2𝑦 + 𝑥𝑧 = 2𝑧 + 𝑥𝑦 = 2

𝑥,𝑦, 𝑧 𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑢𝑕𝑖 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑗𝑖𝑘𝑎 ∶ 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 𝑝

𝑆𝑒𝑕𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 ∶ 𝑥 + 𝑦𝑧 = 2

𝑝 + 𝑝 .𝑝 = 2

𝑝 + 𝑝2 = 2

𝑝2 + 𝑝 − 2 = 0

𝑝 + 2 . 𝑝 − 1 = 0

𝑝 = −2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑝 = 1

𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = −2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 1







𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑡𝑟𝑖𝑝𝑒𝑙 𝑥,𝑦, 𝑧 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑢𝑕𝑖 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕 −2,−2,−2 , 1, 1, 1

2. Tentukan banyaknya cara membagikan 7 pisang dan 6 jeruk kepada 4 orang dengan syarat setiap orang

memperoleh minimal 1 pisang.

Pembahasan :

7 𝑝𝑖𝑠𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑎𝑛 6 𝑗𝑒𝑟𝑢𝑘 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑝𝑎𝑑𝑎 4 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔, 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑚𝑖𝑘𝑖𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑝𝑖𝑠𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑎𝑛

𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑗𝑒𝑟𝑢𝑘 𝑕𝑎𝑟𝑢𝑠 𝑕𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑝𝑎𝑑𝑎 4 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡


𝐶𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑎𝑔𝑖𝑘𝑎𝑛 7 𝑝𝑖𝑠𝑎𝑛𝑔

𝑂𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐼 𝑂𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐼𝐼 𝑂𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐼𝐼𝐼 𝑂𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐼𝑉 𝐵𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑐𝑎𝑟𝑎

𝑚𝑒𝑚𝑏𝑎𝑔𝑖𝑘𝑎𝑛

4 1 1 1 4!

3!= 4

3 2 1 1 4!

2!= 12

2 2 2 1 4!

3!= 4

𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑎𝑔𝑖𝑘𝑎𝑛 7 𝑝𝑖𝑠𝑎𝑛𝑔 20

𝐶𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑎𝑔𝑖𝑘𝑎𝑛 6 𝑗𝑒𝑟𝑢𝑘

𝑂𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐼 𝑂𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐼𝐼 𝑂𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐼𝐼𝐼 𝑂𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐼𝑉 𝐵𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑐𝑎𝑟𝑎

𝑚𝑒𝑚𝑏𝑎𝑔𝑖𝑘𝑎𝑛

6 0 0 0 4!

3!= 4

5 1 0 0 4!

2!= 12

4 2 0 0 4!

2!= 12

4 1 1 0 4!

2!= 12

3 3 0 0 4!

2! .2!= 6

3 2 1 0 4! = 24

3 1 1 1 4!

3!= 4

2 2 2 0 4!

3!= 4

2 2 1 1 4!

2! .2!= 6

𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑎𝑔𝑖𝑘𝑎𝑛 6 𝑗𝑒𝑟𝑢𝑘 84

𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑎𝑔𝑖𝑘𝑎𝑛 7 𝑝𝑖𝑠𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑎𝑛 6 𝑗𝑒𝑟𝑢𝑘 𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕 20 .84 = 1680



soal dan pembahasan olimpiade matematika vektor nasional 2013 smp (omvn 2013) babak penyisihan...

Education