Untuk Siswa SMA / yang sederajat se- Jawa Bali terbuka

MATEMATIKABerfikir Ilmiah, Menantang Dunia

BABAK PENYISIHAN

OLMIPA 2014Olimpiade Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

UNIVERSITAS BRAWIJAYA

PETUNJUK UMUMOLMIPA UB 2014 BIDANG MATEMATIKA

1. Sebelum mengerjakan soal, telitilah dahulu jumlah dan nomor halaman yang terdapatpada naskah soal. Naskah soal ini terdiri dari 30 soal pilihan ganda dan 5 soal essay.

2. Tulislah identitas peserta dengan jelas pada lembar jawaban yang disediakan, sesuaipetunjuk pengawas.

3. Pada soal pilihan ganda pilihlah jawaban yang benar, dengan menghitamkan salahsatu jawaban yang ada pada lembar jawaban. Untuk soal essay, jawablah pertanyaandengan jelas secara lengkap beserta langkah-langkah penyelesaian.

4. Selama perlombaan berlangsung, peserta tidak diperbolehkan membawa kalkulatordan alat bantu hitung lainnya.

5. Selama perlombaan berlangsung, peserta tidak diperbolehkan menggunakan alatkomunikasi dalam bentuk apapun.

6. Selama perlombaan berlangsung, peserta tidak diperbolehkan untuk keluar masukruang perlombaan, kecuali dengan ijin pengawas.

7. Selama perlombaan, peserta tidak diperkenankan bertanya atau meminta penjelasanmengenai soal-soal yang diujikan kepada siapa pun, kecuali kepada pengawas ujian.

8. Untuk keperluan coret mencoret, harap menggunakan tempat yang kosong padanaskah soal ini dan jangan pernah menggunakan lembar jawaban karena akanmengakibatkan jawaban Anda tidak terbaca.

9. Waktu yang disediakan untuk mengerjakan soal adalah 120 menit.

10. Sistem penilaian :Soal pilihan ganda1. Soal dijawab dan benar mendapat nilai +42. Soal dijawab tetapi salah mendapat nilai -13. Soal tidak dijawab mendapat nilai 0

Untuk soal Essay, setiap langkah benar akan mendapat poin dengan nilai maksimal 10untuk setiap soal. Tanpa ada pengurangan nilai apabila jawaban salah.

1

PILIHAN GANDA

1. In a college football training session, the defensive coordinator needs to have 10players standing in a row. Among these 10 players, there are 1 freshman, 2sophomores, 4 juniors, and 3 seniors. How many different ways can they be arrangedin a row if only their class level will be distinguished ?

a) 24b) 288c) 1200d) 12600e) 12800

2. Tersedia 16 kunci berbeda dan hanya ada 1 kunci yang dapat digunakan untukmembuka suatu pintu. Kunci tersebut diambil satu persatu tanpa pengembalian.Berapakah peluang pada pengambilan ke-7 kunci yang terambil dapat digunakanuntuk membuka pintu tersebut ?

a) 1/2b) 1/4c) 1/8d) 1/16e) 1/32

3. Find the value of12 + 20 12 + 320 12 + 920 12 + 2720a) 1/2b) 1/4c) 1/8d) 1/16e) 1/32

4. Jika ( ) = + 3 + (2 − ) + 4 dibagi dengan ( − 1) sisanya 10sedangkan jika dibagi dengan ( + 2) sisanya 2. Nilai a dan b berturut –turut adalah…

a) 4/3 dan 1b) 3/4 dan 1c) 1 dan 4/3d) 1 dan 3/4e) 4/3 dan 3/4

5. Sebuah keranjang buah berisi apel, pisang dan jeruk. Berapa jumlah paling sedikitdari buah tersebut jika di dalam keranjang harus berisi paling sedikit 8 apel ataupaling sedikit 6 pisang atau paling sedikit 9 jeruk ?

2

a) 20b) 21c) 22d) 23e) 24

6. Let ∈ , then the maximum value of= tan + − tan + + cos +a) √2b) √2c) √3d) √3e) √6

7. Triangle ABC is inscribed in a unit circle. The three bisectors of angle A, B, and C areextended to intersect the circle at A1, B1, and C1 respectively.Then the value of = ⋯

a) 2b) 4c) 6d) 8e) 10

8. Berapakah nilai terbesar agar 2 | 3 – 1 ?a) 11b) 12c) 13d) 14e) 15

9. Jika log ( + 2 ) + log ( − 2 ) = 1 maka nilai minimum dari | | − | | adalah …a) 2b) √2c) √3

3

d) 3e) 1

10. Sebuah kerucut tegak tanpa alas diletakkan terbalik. Sebuah bola berdiameter 16 cmdimasukkan ke dalam kerucut sehingga semua bagian bola masuk ke dalam kerucut.Kerucut dengan volume terkecil yang mungkin mempunyai ukuran tinggi (cm) …

a) 8√2b) 24c) 8√3d) 32e) 16√3

11. For every positive integer and for every real number ≠ π/2m (m=0,1,2,.., ; aninteger)Find the value of+ + +⋯+ = ⋯

a) cosec 2x − tan2b) cot 2 − 2c) 2 + 2d) 2 − 2e) 2 − 2

12. Berapa banyak bilangan real yang memenuhi agar dua polynomial + + 1 dan+ + memiliki sedikitnya satu akar yang sama ?a) 0b) 1c) 2d) 3e) 4

13. Himpunan Penyelesaian persamaan 0162742

2

xx

xx adalah ....

a) HP = )22(),22(),2(),1(

b) HP = )23(),22(),2(),0(

c) HP = )23(),23(),3(),1(

d) HP = )33(),33(),3(),1(

e) HP = )53(),53(),3(),1(

4

14. Perhatikan gambar berikut.

DEB adalah tali busur suatu lingkaran dengan DE = 3 cm dan EB = 5 cm.

Misalkan O adalah pusat lingkaran. Hubungkan OE dan perpanjangan OE memotong

lingkaran di titik C. Diketahui EC = 1 cm. Tentukan radius lingkaran tersebut !

a) 7 cm

b) 8 cm

c) 9 cm

d) 10 cm

e) 11 cm

15. Di antara pernyataan-pernyataan berikut, mana yang benar ?a) Untuk a ∈ bilangan bulat, a, a+2, a+4 habis dibagi 3b) 8 membagi habis 52n + 7 untuk n ∈ bilangan bulat.c) Jika a membagi habis bc dan FPB dari a dan b adalah 2, maka a membagi

habis c.d) Jika a dan b adalah bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0, terdapat tunggal

bilangan bulat q dan r sedemikian sehingga a = qb +r untuk 0 ≤ r < |b|e) Jika c | (a + b) maka c|a dan c|b untuk a, b, c bilangan bulat

16. Jika −7 ≤ ≤ 9 dan −3 ≤ ≤ 5 maka pernyataan berikut yang benar adalaha) 40 ≤ − ≤ 56b) 0 ≤ − < 56c) 40 ≤ − < 56d) 0 ≤ − ≤ 56e) Tidak ada jawaban yang benar

5

17. Berapa banyak pasangan bilangan bulat positif x dan y yang memenuhi 25x + 33y =2013?

a) 0b) 2c) 4d) 6e) Tak hingga penyelesaian

18. Berapa banyak bilangan positif yang lebih kecil dari 1000 sedemikian hingga samadengan 6 kali jumlah digit-digitnya ?

a) 0b) 1c) 2d) 3e) 12

19. Jika adalah bilangan bulat positif terkecil dengan kondisi habis dibagi 20,adalah bilangan kubik, adalah bilangan kuadrat. Maka nilai dari +1234567 =

a) 2234567b) 2334567c) 2344567d) 2345567e) 2345577

20. Jika diketahui( )+ log (1 − ) − log( ) = 1 dan hasil darilog (1 − ) adalah suatu bilangan bulat, maka berapa banyak nilai a yang

memenuhi ?a) 0b) 1c) 2d) 3e) Tidak ada jawaban yang benar

21. Andi memilih 5 bilangan dari himpunan {1,2,3,4,5,6,7}. Jika ia memberitahu hasilkali bilangan tersebut pada Meri, Meri tidak akan mendapat cukup informasi untukmenentukan bahwa jumlah bilangan-bilangan tersebut genap atau ganjil. Berapakahhasil kali bilangan-bilangan tersebut ?

a) 2520b) 420c) 180d) 210e) 920

6

22. Jika log + (log ) + (log ) +(log ) +… = 2. Maka nilai dari adalaha) 8b) 4/9c) 22/3

d) 2/3e) 4

23. Diberikan susunan bilangan berikut :1

2 3 45 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16Bilangan 2014 akan terletak pada baris ke-

a) 30b) 35c) 40d) 45e) 47

24. One bag contains 4 white balls and 3 black balls, and a second bag contain 3 whiteballs and 5 black balls. One ball drawn from the first bag and placed unseen in thesecond bag. What is probability that a ball now drawn from the second bag is black ?

a) 10/56

b) 40/56

c) 24/56

d) 35/63

e) 38/63

25. Dari 12 Lembar karton akan di warnai sehingga 3 di antaranya berwarna hijau, 2

berwarna merah dan 2 berwarna biru dan sisanya berwarna coklat. Hitunglah banyak

cara pengecatan karton tersebut..

a) 166.320

b) 166.230

c) 163.620

d) 163.260

e) 160.326

7

26. Bila (2 ) + = 2 maka nilai = ⋯a) −b) −c) 1d)

e)

27. Alas bidang empat D.ABC berbentuk segitiga siku-siku sama kaki dengan ∠ =90°. Proyeksi D pada segitiga ABC adalah E sehingga E merupakan titik tengah BC.Jika AB = AC = p dan DE = 2p, maka AD =

a) √2b) √3c) 3d) √8e) √5

`

28. Hasil dari( )!. . …( )( ) adalah

a) 1b) (1 2)c) !d) 2e) (2 − 1)!

29. Let be integer such that 1 + 12 + 13 +⋯+ 123 = 23!Compute the remainder when is divided by 13

a) 4b) 5c) 7d) 9e) 11

8

30. Berapakah banyaknya bilangan bulat , , yang memenuhi sistem persamaan3 = + + = + +a) 0b) 1c) 2d) 3e) 4

ESSAY

1. Tentukan hasil dari∑ (−1) !2. Buktikan bahwa sin4 A = − cos(2 ) + cos(4 ) !

3. Untuk nilai berapakah agar + ( ) + ( ) +⋯ memiliki suatu

jumlah ? Carilah jumlahnya.

4. Prove that for every integer the number15 + 13 + 715Is integer

5. Solve the system of equation − 9( − 3 + 3) = 0− 9( − 3 + 3) = 0− 9( − 3 + 3) = 0

9