olimpiade primagama madura mencari juara 2015 matematika smp kode soal 15333 (babak penyisihan)
TRANSCRIPT
www.siap-osn.blogspot.com @ Desember 2014
SD.A 2 SMPN 1 Tambelangan
www.siap-osn.blogspot.com Pembahasan Olimpiade PMMJ 2015 Matematika SMP (Babak Penyisihan) / Page 1 Blog tentang : “Soal Matematika dan Pembahasannya untuk SD, SMP, SMA atau Sederajat”
PEMBAHASAN
OLIMPIADE PRIMAGAMA MADURA MENCARI JUARA 2015
MATEMATIKA SMP KODE SOAL 15333 (BABAK PENYISIHAN NO.1-30)
( versi penulis : www.siap-osn.blogspot.com )
1. Jawaban : 𝐶. 8 4 − 𝜋 𝑐𝑚2
Pembahasan :
𝑃𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑔𝑎𝑚𝑏𝑎𝑟 𝑏𝑒𝑟𝑖𝑘𝑢𝑡 ∶
𝐾𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑂𝑃𝑄 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑘𝑢 − 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑑𝑎𝑛 ∠𝑃𝑂𝑄 = 45𝑜 𝑚𝑎𝑘𝑎 ∶
𝑃𝑄 = 𝑂𝑃 = 8 𝑐𝑚
𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑂𝑃𝑄 =1
2 .𝑂𝑃 .𝑃𝑄
=1
2 .8 .8
= 32
𝐿𝑗𝑢𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑃𝑂𝑅 =∠𝑃𝑂𝑄
360𝑜 .𝜋 .𝑂𝑃2
=45𝑜
360𝑜 .𝜋 . 82
=1
8 .𝜋 . 82
= 8 𝜋
𝐿𝑎𝑟𝑠𝑖𝑟𝑎𝑛 = 𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑂𝑃𝑄 − 𝐿𝑗𝑢𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑃𝑂𝑅
= 32 − 8 𝜋
= 8 4 − 𝜋 𝑐𝑚2 𝐶
2. Jawaban : 𝐵. 30
Pembahasan :
22020−22016−90
22015−3=
25+2015 −21+2015−90
22015−3
=25 .22015 −21 .22015−90
22015−3
=32 .22015 −2 .22015−90
22015 −3
=30 .22015 −90
22015 −3
=30 . 22015 −3
22015 −3
= 30 𝐵
www.siap-osn.blogspot.com @ Desember 2014
SD.A 2 SMPN 1 Tambelangan
www.siap-osn.blogspot.com Pembahasan Olimpiade PMMJ 2015 Matematika SMP (Babak Penyisihan) / Page 2 Blog tentang : “Soal Matematika dan Pembahasannya untuk SD, SMP, SMA atau Sederajat”
3. Jawaban : 𝐶. 729
Pembahasan :
𝑥1
6 =7
3− 2− 2
𝑥1
6 =7
3− 2 .
3+ 2
3+ 2− 2
𝑥1
6 =7 . 3+ 2
32− 2 2 − 2
𝑥1
6 =7 . 3+ 2
9−2− 2
𝑥1
6 =7 . 3+ 2
7− 2
𝑥1
6 = 3 + 2 − 2
𝑥1
6 = 3
𝑥 = 36
𝑥 = 729 𝐶
4. Jawaban : 𝐵. 72 𝑘𝑚 𝑗𝑎𝑚
Pembahasan :
𝑉1 = 60
𝑠1
𝑡1= 60
𝑠
60= 𝑡1 → 𝑡1 =
𝑠
60
𝑉2 = 90
𝑠2
𝑡2= 90
𝑠
90= 𝑡2 → 𝑡2 =
𝑠
90
𝑉𝑟𝑎𝑡𝑎 −𝑟𝑎𝑡𝑎 =𝑠1+𝑠2
𝑡1+𝑡2
=𝑠+𝑠𝑠
60+
𝑠
90
=2𝑠
3𝑠+2𝑠
180
=2𝑠5𝑠
180
= 2𝑠 .180
5𝑠
=360𝑠
5𝑠
= 72 𝑘𝑚 𝑗𝑎𝑚 𝐵
5. Jawaban : 𝑁. 16
Pembahasan :
𝐵𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑘𝑎𝑙𝑖𝑎𝑛 𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎 𝑏𝑒𝑟𝑏𝑒𝑑𝑎 = 2𝑛
www.siap-osn.blogspot.com @ Desember 2014
SD.A 2 SMPN 1 Tambelangan
www.siap-osn.blogspot.com Pembahasan Olimpiade PMMJ 2015 Matematika SMP (Babak Penyisihan) / Page 3 Blog tentang : “Soal Matematika dan Pembahasannya untuk SD, SMP, SMA atau Sederajat”
𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑘𝑎𝑙𝑖𝑎𝑛 4 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎 𝑏𝑒𝑟𝑏𝑒𝑑𝑎 = 24
= 16 𝑁
6. Jawaban : 𝐴. 5
18
Pembahasan :
𝑀𝑒𝑟𝑎 = 3
𝑃𝑢𝑡𝑖 = 4
𝐵𝑖𝑟𝑢 = 2
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 3 + 4 + 2 = 9
𝐶𝑎𝑟𝑎 𝐼 ∶
𝑃 2 𝑘𝑒𝑙𝑒𝑟𝑒𝑛𝑔 𝑏𝑒𝑟𝑤𝑎𝑟𝑛𝑎 𝑠𝑎𝑚𝑎 = 𝑃 2 𝑀𝑒𝑟𝑎 + 𝑃 2 𝑃𝑢𝑡𝑖 + 𝑃 2 𝐵𝑖𝑟𝑢
=3
9 .
2
8+
4
9 .
3
8+
2
9 .
1
8
=6
72+
12
72+
2
72
=20
72
=5
18 𝐴
𝐶𝑎𝑟𝑎 𝐼𝐼 ∶
𝑃 2 𝑘𝑒𝑙𝑒𝑟𝑒𝑛𝑔 𝑏𝑒𝑟𝑤𝑎𝑟𝑛𝑎 𝑠𝑎𝑚𝑎 = 𝑃 2 𝑀𝑒𝑟𝑎 + 𝑃 2 𝑃𝑢𝑡𝑖 + 𝑃 2 𝐵𝑖𝑟𝑢
=𝐶3 2
𝐶9 2+
𝐶4 2
𝐶9 2+
𝐶2 2
𝐶9 2
=3
36+
6
36+
1
36
=10
36
=5
18 𝐴
7. Jawaban : 𝐶. 110
Pembahasan :
4𝑥 + 4−𝑥 = 23
22 𝑥 + 22 −𝑥 = 23
22𝑥 + 2−2𝑥 = 23
2𝑥 + 2−𝑥 2 = 2𝑥 + 2−𝑥 . 2𝑥 + 2−𝑥
= 2𝑥 . 2𝑥 + 2𝑥 . 2−𝑥 + 2−𝑥 . 2𝑥 + 2−𝑥 . 2−𝑥
= 2𝑥+𝑥 + 2𝑥+ −𝑥 + 2−𝑥+𝑥 + 2−𝑥+ −𝑥
= 22𝑥 + 20 + 20 + 2−2𝑥
= 22𝑥 + 1 + 1 + 2−2𝑥
= 22𝑥 + 2−2𝑥 + 2
= 23 + 2
= 25
2𝑥 + 2−𝑥 = 25
www.siap-osn.blogspot.com @ Desember 2014
SD.A 2 SMPN 1 Tambelangan
www.siap-osn.blogspot.com Pembahasan Olimpiade PMMJ 2015 Matematika SMP (Babak Penyisihan) / Page 4 Blog tentang : “Soal Matematika dan Pembahasannya untuk SD, SMP, SMA atau Sederajat”
2𝑥 + 2−𝑥 = 5
22𝑥 + 2−2𝑥 . 2𝑥 + 2−𝑥 = 23 .5
22𝑥 . 2𝑥 + 22𝑥 . 2−𝑥 + 2−2𝑥 . 2𝑥 + 2−2𝑥 . 2−𝑥 = 115
22𝑥+𝑥 + 22𝑥+ −𝑥 + 2−2𝑥+𝑥 + 2−2𝑥+ −𝑥 = 115
23𝑥 + 2𝑥 + 2−𝑥 + 2−3𝑥 = 115
23𝑥 + 5 + 2−3𝑥 = 115
23𝑥 + 2−3𝑥 + 5 = 115
23 𝑥 + 23 −𝑥 = 115 − 5
8𝑥 + 8−𝑥 = 110 𝐶
8. Jawaban : 𝐴. 4
6𝑚−3
Pembahasan :
log 124 = 𝑚 +1
2
log 3 .44 = 𝑚 +1
2
log 34 + log 44 = 𝑚 +1
2
log 322+ 1 = 𝑚 +
1
2
1
2 . log 32 = 𝑚 +
1
2− 1
1
2 . log 32 = 𝑚 −
1
2
log 32 = 2 . 𝑚 −1
2
log 32 = 2𝑚 − 1
log 23 =1
2𝑚−1
log 1627 = log 2433
=4
3 . log 23
=4
3 .
1
2𝑚−1
=4
6𝑚−3 𝐴
9. Jawaban : 𝐷. 𝑆𝑖𝑘𝑢 − 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑘𝑎𝑘𝑖
Pembahasan :
𝐴 2 𝑥1
, 3 𝑦1
𝑑𝑎𝑛 𝐵 8 𝑥2
, 5 𝑦2
𝐴𝐵 = 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2 − 𝑦1
2
= 8 − 2 2 + 5 − 3 2
= 62 + 22
= 36 + 4
= 40
www.siap-osn.blogspot.com @ Desember 2014
SD.A 2 SMPN 1 Tambelangan
www.siap-osn.blogspot.com Pembahasan Olimpiade PMMJ 2015 Matematika SMP (Babak Penyisihan) / Page 5 Blog tentang : “Soal Matematika dan Pembahasannya untuk SD, SMP, SMA atau Sederajat”
𝐵 8 𝑥1
, 5 𝑦1
𝑑𝑎𝑛 𝐶 6𝑥2
, 11 𝑦2
𝐵𝐶 = 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2 − 𝑦1
2
= 6 − 8 2 + 11 − 5 2
= −2 2 + 62
= 4 + 36
= 40
𝐴 2 𝑥1
, 3 𝑦1
𝑑𝑎𝑛 𝐶 6𝑥2
, 11 𝑦2
𝐴𝐶 = 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2 − 𝑦1
2
= 6 − 2 2 + 11 − 3 2
= 42 + 82
= 16 + 64
= 80
𝐷𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 40 𝑖𝑛𝑖 𝑚𝑒𝑛𝑢𝑛𝑗𝑢𝑘𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑘𝑎𝑘𝑖 𝑑𝑎𝑛 𝐴𝐶 = 80 , 𝑠𝑒𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 ∶
𝐴𝐶 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2
= 40 2
+ 40 2
= 40 + 40
= 80 𝑖𝑛𝑖 𝑚𝑒𝑛𝑢𝑛𝑗𝑢𝑘𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑘𝑢 − 𝑠𝑖𝑘𝑢
𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐴𝐵𝐶 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑆𝑖𝑘𝑢 − 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑘𝑎𝑘𝑖 𝐷
10. Jawaban : 𝐷. 24𝜋 + 18 3 𝑐𝑚2
Pembahasan :
𝑃𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑔𝑎𝑚𝑏𝑎𝑟 𝑏𝑒𝑟𝑖𝑘𝑢𝑡 ∶
𝐴𝐶 = 6 𝑐𝑚
𝐴𝐵 = 6 𝑐𝑚
𝐴𝐷 =1
2 .𝐴𝐵 =
1
2 .6 = 3 𝑐𝑚
𝑃𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑘𝑢 − 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝐴𝐶𝐷 ∶
𝐶𝐷 = 𝐴𝐶2 − 𝐴𝐷2
= 62 − 32
www.siap-osn.blogspot.com @ Desember 2014
SD.A 2 SMPN 1 Tambelangan
www.siap-osn.blogspot.com Pembahasan Olimpiade PMMJ 2015 Matematika SMP (Babak Penyisihan) / Page 6 Blog tentang : “Soal Matematika dan Pembahasannya untuk SD, SMP, SMA atau Sederajat”
= 36 − 9
= 27
= 9 .3
= 3 3
𝐷𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒 ∶ 𝐴𝐶 = 6 𝑐𝑚 ,𝐴𝐷 = 3 𝑐𝑚 ,𝐶𝐷 = 3 3 𝑐𝑚 , 𝑠𝑒𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑚𝑒𝑛𝑔𝑔𝑢𝑛𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑏𝑎𝑛𝑑𝑖𝑛𝑔𝑎𝑛
𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑘𝑢 − 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑑𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒 𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑠𝑒𝑏𝑎𝑔𝑎𝑖 𝑏𝑒𝑟𝑖𝑘𝑢𝑡 ∶
𝐴𝐶 ∶ 𝐴𝐷 ∶ 𝐶𝐷 = 6 ∶ 3 ∶ 3 3 = 2 ∶ 1 ∶ 3 → ∠𝐴𝐷𝐶 ∶ ∠𝐴𝐶𝐷 ∶ ∠𝐶𝐴𝐷 = 90𝑜 ∶ 30𝑜 ∶ 60𝑜
𝑃𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐴𝐶𝐷 𝑑𝑎𝑛 𝑗𝑢𝑟𝑖𝑛𝑔 𝐴𝐶𝐵 ∶
∠𝐴𝐶𝐵 = 2 .∠𝐴𝐶𝐷 = 2 . 30𝑜 = 60𝑜
𝑃𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑗𝑢𝑟𝑖𝑛𝑔 𝐴𝐶𝐵 ∶
𝐿𝑗𝑢𝑟𝑖𝑛𝑔 𝐴𝐶𝐵 =∠𝐴𝐶𝐵
360𝑜 .𝜋 .𝐴𝐶2
=60𝑜
360𝑜 .𝜋 . 62
=1
6 .𝜋 . 62
= 6𝜋
𝑃𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑘𝑢 − 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝐴𝐶𝐷 𝑑𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐴𝐶𝐵 ∶
𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐴𝐶𝐵 = 2 . 𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐴𝐶𝐷
= 2 .1
2 .𝐶𝐷 .𝐴𝐷
= 2 .1
2 .3 3 .3
= 9 3
𝑃𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑚𝑏𝑒𝑟𝑒𝑛𝑔 𝐴𝐵 ∶
𝐿𝑡𝑒𝑚𝑏𝑒𝑟𝑒𝑛𝑔 𝐴𝐵 = 𝐿𝑗𝑢𝑟𝑖𝑛𝑔 𝐴𝐶𝐵 − 𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐴𝐶𝐵
= 6𝜋 − 9 3
𝑃𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑝𝑢𝑠𝑎𝑡 𝐶 ∶
𝐿𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 𝐶 = 𝜋 .𝐴𝐶2
= 𝜋 . 62
= 36𝜋
𝐿𝑎𝑟𝑠𝑖𝑟𝑎𝑛 = 𝐿𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 𝐶 − 2 . 𝐿𝑡𝑒𝑚𝑏𝑒𝑟𝑒𝑛𝑔 𝐴𝐵
= 36𝜋 − 2 . 6𝜋 − 9 3
= 36𝜋 − 12𝜋 + 18 3
= 24𝜋 + 18 3 𝑐𝑚2 𝐷
www.siap-osn.blogspot.com @ Desember 2014
SD.A 2 SMPN 1 Tambelangan
www.siap-osn.blogspot.com Pembahasan Olimpiade PMMJ 2015 Matematika SMP (Babak Penyisihan) / Page 7 Blog tentang : “Soal Matematika dan Pembahasannya untuk SD, SMP, SMA atau Sederajat”
11. Jawaban : 𝐷. ± 24
Pembahasan :
𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 ∶ 3𝑥 + 4𝑦 = 𝑝
𝑇𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑝𝑜𝑡𝑜𝑛𝑔 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑥 ∶
𝑦 = 0 → 3𝑥 + 4𝑦 = 𝑝
3𝑥 + 4 . 0 = 𝑝
3𝑥 = 𝑝
𝑥 =𝑝
3 →
𝑝
3, 0
𝑇𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑝𝑜𝑡𝑜𝑛𝑔 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑦 ∶
𝑥 = 0 → 3𝑥 + 4𝑦 = 𝑝
3 . 0 + 4𝑦 = 𝑝
4𝑦 = 𝑝
𝑦 =𝑝
4 → 0,
𝑝
4
𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 =1
2 .𝑎 . 𝑡
24 =1
2 .𝑝
3 .𝑝
4
24 =𝑝2
24
24 .24 = 𝑝2
± 24 .24 = 𝑝
±24 = 𝑝
𝑝 = ±24 𝐷
12. Jawaban : 𝑁. 4 3
Pembahasan :
𝑃𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑔𝑎𝑚𝑏𝑎𝑟 𝑏𝑒𝑟𝑖𝑘𝑢𝑡 ∶
𝐾𝑂 = 6
𝑁𝑂 = 5
𝑀𝑂 = 37
𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 ∶
𝐷𝑁 = 𝐵𝐾 = 𝐴𝑂 = 𝑎
𝐴𝑁 = 𝐶𝑀 = 𝐷𝑂 = 𝑏
𝐴𝐾 = 𝐶𝐿 = 𝐵𝑂 = 𝑐
𝐵𝐿 = 𝐷𝑀 = 𝐶𝑂 = 𝑑
www.siap-osn.blogspot.com @ Desember 2014
SD.A 2 SMPN 1 Tambelangan
www.siap-osn.blogspot.com Pembahasan Olimpiade PMMJ 2015 Matematika SMP (Babak Penyisihan) / Page 8 Blog tentang : “Soal Matematika dan Pembahasannya untuk SD, SMP, SMA atau Sederajat”
𝑃𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑘𝑢 − 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑂𝐷𝑁 ∶
𝐷𝑁2 + 𝐷𝑂2 = 𝑁𝑂2
𝑎2 + 𝑏2 = 52
𝑎2 + 𝑏2 = 25 … (1)
𝑃𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑘𝑢 − 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑂𝐴𝐾 ∶
𝐴𝑂2 + 𝐴𝐾2 = 𝐾𝑂2
𝑎2 + 𝑐2 = 62
𝑎2 + 𝑐2 = 36 … (2)
𝑃𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑘𝑢 − 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑂𝐵𝐿 ∶
𝐵𝑂2 + 𝐵𝐿2 = 𝐿𝑂2
𝑐2 + 𝑑2 = 𝐿𝑂2
𝑐2 + 𝑑2 = 𝐿𝑂2 … (3)
𝑃𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑘𝑢 − 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑂𝐶𝑀 ∶
𝐶𝑀2 + 𝐶𝑂2 = 𝑀𝑂2
𝑏2 + 𝑑2 = 37 2
𝑏2 + 𝑑2 = 37 … (4)
𝐸𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑠𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 1 𝑑𝑎𝑛 2 ∶
𝑎2 + 𝑏2 = 25
𝑎2 + 𝑐2 = 36
𝑏2 − 𝑐2 = −11 … (5)
𝐸𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑠𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 (4) 𝑑𝑎𝑛 (5) ∶
𝑏2 + 𝑑2 = 37
𝑏2 − 𝑐2 = −11
𝑑2 + 𝑐2 = 48 … (6)
𝐸𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑠𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 (6) 𝑑𝑎𝑛 (3) ∶
𝑑2 + 𝑐2 = 48
𝑐2 + 𝑑2 = 𝐿𝑂2
0 = 48 − 𝐿𝑂2
𝐿𝑂2 = 48
𝐿𝑂 = 48
𝐿𝑂 = 16 .3
𝐿𝑂 = 4 3 𝑁
www.siap-osn.blogspot.com @ Desember 2014
SD.A 2 SMPN 1 Tambelangan
www.siap-osn.blogspot.com Pembahasan Olimpiade PMMJ 2015 Matematika SMP (Babak Penyisihan) / Page 9 Blog tentang : “Soal Matematika dan Pembahasannya untuk SD, SMP, SMA atau Sederajat”
13. Jawaban : 𝐶. 𝑡 30
Pembahasan :
𝑝 = 5𝑡
𝑙 = 2𝑡
𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑟𝑢𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑎𝑙𝑜𝑘 = 𝑝2 + 𝑙2 + 𝑡2
= 5𝑡 2 + 2𝑡 2 + 𝑡2
= 25𝑡2 + 4𝑡2 + 𝑡2
= 30𝑡2
= 𝑡 30 𝐶
14. Jawaban : 𝐵. 𝑥 = 5 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 =1
2
Pembahasan :
𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 ∶
𝑥 = 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑘𝑠𝑢𝑑
2𝑥 +5
𝑥= 11
𝑥 . 2𝑥 +5
𝑥 = 𝑥 . 11 𝑟𝑢𝑎𝑠 𝑘𝑖𝑟𝑖 𝑑𝑎𝑛 𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛 𝑑𝑖𝑘𝑎𝑙𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑥
2𝑥2 + 5 = 11𝑥
2𝑥2 − 11𝑥 + 5 = 0
1
2 . 2𝑥 − 10 . 2𝑥 − 1 = 0
1
2 . 2 . 𝑥 − 5 . 2𝑥 − 1 = 0
𝑥 − 5 . 2𝑥 − 1 = 0
𝑥 = 5 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 =1
2 𝐵
15. Jawaban : 𝐴. 𝑅𝑝. 61.000,−
Pembahasan :
𝑃𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑏𝑒𝑟𝑖𝑘𝑢𝑡 ∶
𝐺𝑎𝑗𝑖 𝑎𝑤𝑎𝑙 𝐵𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑘𝑒𝑛𝑎𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑔𝑎𝑗𝑖
260000 15
100 . 260000 = 39000
370000 15
100 . 370000 = 55500
470000 15
100 . 470000 = 70500
650000 10
100 . 650000 = 65000
750000 10
100 . 750000 = 75000
www.siap-osn.blogspot.com @ Desember 2014
SD.A 2 SMPN 1 Tambelangan
www.siap-osn.blogspot.com Pembahasan Olimpiade PMMJ 2015 Matematika SMP (Babak Penyisihan) / Page 10 Blog tentang : “Soal Matematika dan Pembahasannya untuk SD, SMP, SMA atau Sederajat”
𝑅𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑘𝑒𝑛𝑎𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑔𝑎𝑗𝑖 =39000 +55500 +70500 +65000 +75000
5=
305000
5= 61000 𝐴
16. Jawaban : 𝑁. 868
Pembahasan :
𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑟𝑎 1 − 100 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 4 ∶
4 + 8 + 12 + ⋯+ 100 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑡 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎 ∶
𝑛=100
4=25
𝑎=4𝑈25 =100
=𝑛
2 . 𝑎 + 𝑈𝑛 =
25
2 . 4 + 𝑈25 =
25
2 . 4 + 100 =
25
2 . 104 = 1300
𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑟𝑎 1 − 100 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 3 𝑑𝑎𝑛 4 ∶
12 + 24 + 36 + ⋯+ 96 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑡 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎 ∶
𝑛=96
12=8
𝑎=12𝑈8=96
=𝑛
2 . 𝑎 + 𝑈𝑛 =
8
2 . 12 + 𝑈8 =
8
2 . 12 + 96 =
8
2 . 108 = 432
𝐽𝑎𝑑𝑖 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑟𝑎 1 − 100 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 4 𝑡𝑒𝑡𝑎𝑝𝑖 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 3
𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎 1300 − 432 = 868 𝑁
17. Jawaban : 𝐴. 915
Pembahasan :
𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 ∶
𝑎𝑏𝑐 = 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑘𝑠𝑢𝑑
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 15 … 1
𝑐𝑏𝑎 = 𝑎𝑏𝑐 − 396
100𝑐 + 10𝑏 + 𝑎 = 100𝑎 + 10𝑏 + 𝑐 − 396
100𝑐 + 10𝑏 + 𝑎 − 100𝑎 − 10𝑏 − 𝑐 = −396
99𝑐 − 99𝑎 = −396
𝑐 − 𝑎 = −4 … 2 (𝑟𝑢𝑎𝑠 𝑘𝑖𝑟𝑖 𝑑𝑎𝑛 𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 99)
𝑎𝑐𝑏 = 𝑎𝑏𝑐 + 36
100𝑎 + 10𝑐 + 𝑏 = 100𝑎 + 10𝑏 + 𝑐 + 36
100𝑎 + 10𝑐 + 𝑏 − 100𝑎 − 10𝑏 − 𝑐 = 36
−9𝑏 + 9𝑐 = 36
−𝑏 + 𝑐 = 4 … 3 (𝑟𝑢𝑎𝑠 𝑘𝑖𝑟𝑖 𝑑𝑎𝑛 𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 9)
𝐸𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑠𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 1 , 2 𝑑𝑎𝑛 3 ∶
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 15
𝑐 − 𝑎 = −4
−𝑏 + 𝑐 = 4
3𝑐 = 15
www.siap-osn.blogspot.com @ Desember 2014
SD.A 2 SMPN 1 Tambelangan
www.siap-osn.blogspot.com Pembahasan Olimpiade PMMJ 2015 Matematika SMP (Babak Penyisihan) / Page 11 Blog tentang : “Soal Matematika dan Pembahasannya untuk SD, SMP, SMA atau Sederajat”
𝑐 =15
3
𝑐 = 5
𝑐 = 5 → 𝑐 − 𝑎 = −4 … 2
5 − 𝑎 = −4
5 + 4 = 𝑎
9 = 𝑎
𝑎 = 9
𝑐 = 5 → −𝑏 + 𝑐 = 4 … 3
−𝑏 + 5 = 4
5 − 4 = 𝑏
1 = 𝑏
𝑏 = 1
𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑎𝑏𝑐 = 915 𝐴
18. Jawaban : 𝐶. 1 𝑎𝑡𝑎𝑢 5
Pembahasan :
𝑥 − 3 2 = −2 𝑥 − 3 + 8
𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 ∶ 𝑥 − 3 = 𝑝 𝑠𝑒𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 ∶
𝑝2 = −2𝑝 + 8
𝑝2 + 2𝑝 − 8 = 0
𝑝 − 2 . 𝑝 + 4 = 0
𝑝 = 2 𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑢 𝑖
𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑝 = −4 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑢 𝑖
𝑝 = 2 → 𝑥 − 3 = 𝑝
𝑥 − 3 = 2 → 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 − 3 = + → 𝑥 − 3 = 2
𝑥 = 2 + 3
𝑥 = 5
→ 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 − 3 = − → − 𝑥 − 3 = 2
−𝑥 + 3 = 2
3 − 2 = 𝑥
1 = 𝑥
𝑥 = 1
𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑠𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎 1 𝑎𝑡𝑎𝑢 5 𝐶
www.siap-osn.blogspot.com @ Desember 2014
SD.A 2 SMPN 1 Tambelangan
www.siap-osn.blogspot.com Pembahasan Olimpiade PMMJ 2015 Matematika SMP (Babak Penyisihan) / Page 12 Blog tentang : “Soal Matematika dan Pembahasannya untuk SD, SMP, SMA atau Sederajat”
19. Jawaban : 𝐵. 1
5
Pembahasan :
𝑛 𝑆 = 40
𝑛 𝑁𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑆𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑒 = 24
𝑛 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑚𝑎𝑡𝑖𝑐𝑠 = 13
𝑛 𝐿𝑖𝑘𝑒 𝑏𝑜𝑡 = 5
𝑛 𝐷𝑖𝑠𝑙𝑖𝑘𝑒 𝑏𝑜𝑡 = 𝑛 𝑆 − 𝑛 𝑁𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑆𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑒 + 𝑛 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑚𝑎𝑡𝑖𝑐𝑠 − 𝑛 𝐿𝑖𝑘𝑒 𝑏𝑜𝑡
= 40 − 24 + 13 − 5
= 40 − 32
= 8
𝑃 𝐷𝑖𝑠𝑙𝑖𝑘𝑒 𝑏𝑜𝑡 =𝑛 𝐷𝑖𝑠𝑙𝑖𝑘𝑒 𝑏𝑜𝑡
𝑛 𝑆
=8
40
=1
5 𝐵
20. Jawaban : 𝐵. 64
Pembahasan :
𝑃𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑏𝑒𝑟𝑖𝑘𝑢𝑡 ∶
𝐵𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 ∶
301 − 999 𝑅𝑎𝑡𝑢𝑠𝑎𝑛 𝑃𝑢𝑙𝑢𝑎𝑛 𝑆𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛
𝐾𝑒𝑚𝑢𝑛𝑔𝑘𝑖𝑛𝑎𝑛
𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑝𝑖𝑙𝑖
3 2 3
5 3 5
6 5 7
7 6 9
9 7
9
𝐵𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘
𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑝𝑖𝑙𝑖
5 − 1 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑏𝑜𝑙𝑒 𝑏𝑒𝑟𝑢𝑙𝑎𝑛𝑔
= 4 6 − 2 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑏𝑜𝑙𝑒 𝑏𝑒𝑟𝑢𝑙𝑎𝑛𝑔
= 4 4
𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑦𝑢𝑠𝑢𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎 4 .4 .4 = 64 𝐵
21. Jawaban : 𝐷. 20,25 𝑐𝑚2
Pembahasan :
𝑃𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑔𝑎𝑚𝑏𝑎𝑟 𝑏𝑒𝑟𝑖𝑘𝑢𝑡 ∶
𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 𝐷𝐸 = 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖 = 9 𝑐𝑚
www.siap-osn.blogspot.com @ Desember 2014
SD.A 2 SMPN 1 Tambelangan
www.siap-osn.blogspot.com Pembahasan Olimpiade PMMJ 2015 Matematika SMP (Babak Penyisihan) / Page 13 Blog tentang : “Soal Matematika dan Pembahasannya untuk SD, SMP, SMA atau Sederajat”
𝑃𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐷𝐴𝐻 𝑑𝑎𝑛 𝐷𝐵𝑂 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑒𝑏𝑎𝑛𝑔𝑢𝑛 ∶
𝐵𝑂
𝐴𝐻=
𝐵𝐷
𝐴𝐷
𝐵𝑂
9=
9+9
9+9+9
𝐵𝑂
9=
18
27
𝐵𝑂 =18
27 .9
𝐵𝑂 = 6
𝑃𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐷𝐴𝐻 𝑑𝑎𝑛 𝐷𝐶𝑃 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑒𝑏𝑎𝑛𝑔𝑢𝑛 ∶
𝐶𝑃
𝐴𝐻=
𝐶𝐷
𝐴𝐷
𝐶𝑃
9=
9
9+9+9
𝐶𝑃
9=
9
27
𝐶𝑃 =9
27 .9
𝐶𝑃 = 3
𝑃𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐺𝐸𝐷 𝑑𝑎𝑛 𝐺𝐹𝑄 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑒𝑏𝑎𝑛𝑔𝑢𝑛 ∶
𝐹𝑄
𝐷𝐸=
𝐹𝐺
𝐸𝐺
𝐹𝑄
9=
9
9+9
𝐹𝑄
9=
9
18
𝐹𝑄 =9
18 .9
𝐹𝑄 =9
2
𝑃𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝐵𝐺 ∶
𝑂𝐺 = 𝐵𝐺 − 𝐵𝑂 = 9 − 6 = 3
𝑃𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝐶𝐹 ∶
𝑃𝑄 = 𝐶𝐹 − 𝐶𝑃 − 𝐹𝑄 = 9 − 3 −9
2=
3
2
𝑃𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐷𝑂𝐺 𝑑𝑎𝑛 𝐷𝑃𝑄 ∶
𝐿𝑎𝑟𝑠𝑖𝑟𝑎𝑛 = 𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐷𝑂𝐺 − 𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐷𝑃𝑄
= 1
2 .𝑂𝐺 .𝐵𝐷 −
1
2 .𝑃𝑄 .𝐶𝐷
= 1
2 .3 . 9 + 9 −
1
2 .
3
2 .9
= 1
2 .3 .18 −
1
2 .
3
2 .9
=54
2−
27
4
=108
4−
27
4
=81
4
= 20,25 𝑐𝑚2 𝐷
www.siap-osn.blogspot.com @ Desember 2014
SD.A 2 SMPN 1 Tambelangan
www.siap-osn.blogspot.com Pembahasan Olimpiade PMMJ 2015 Matematika SMP (Babak Penyisihan) / Page 14 Blog tentang : “Soal Matematika dan Pembahasannya untuk SD, SMP, SMA atau Sederajat”
22. Jawaban : 𝐷. 60 7
Pembahasan :
𝑃𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑔𝑎𝑚𝑏𝑎𝑟 𝑏𝑒𝑟𝑖𝑘𝑢𝑡 ∶
𝐴𝐵 = 4 𝑐𝑚
𝐵𝐶 = 8 𝑐𝑚
𝐴𝐶 = 4 2 𝑐𝑚
𝐴𝐷 = 15 𝑐𝑚
𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 ∶
𝐵𝑇 = 𝑥
𝐶𝑇 = 𝐵𝐶 − 𝐵𝑇 = 8 − 𝑥
𝑃𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑘𝑢 − 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝐴𝑇𝐵 ∶
𝐴𝑇2 = 𝐴𝐵2 − 𝐵𝑇2
𝐴𝑇2 = 42 − 𝑥2
𝐴𝑇2 = 16 − 𝑥2
𝐴𝑇2 = 16 − 𝑥2 … (1)
𝑃𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑘𝑢 − 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝐴𝑇𝐶 ∶
𝐴𝑇2 = 𝐴𝐶2 − 𝐶𝑇2
𝐴𝑇2 = 4 2 2− 8 − 𝑥 2
𝐴𝑇2 = 16 .2 − 64 − 16𝑥 + 𝑥2
𝐴𝑇2 = 32 − 64 + 16𝑥 − 𝑥2
𝐴𝑇2 = −32 + 16𝑥 − 𝑥2 … (2)
𝑆𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑠𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 2 𝑘𝑒 1 ∶
𝐴𝑇2 = 16 − 𝑥2
−32 + 16𝑥 − 𝑥2 = 16 − 𝑥2
16𝑥 = 16 − 𝑥2 + 32 + 𝑥2
16𝑥 = 48
𝑥 =48
16
𝑥 = 3
𝑥 = 3 → 𝐴𝑇2 = 16 − 𝑥2 … 1
𝐴𝑇2 = 16 − 32
𝐴𝑇2 = 16 − 9
www.siap-osn.blogspot.com @ Desember 2014
SD.A 2 SMPN 1 Tambelangan
www.siap-osn.blogspot.com Pembahasan Olimpiade PMMJ 2015 Matematika SMP (Babak Penyisihan) / Page 15 Blog tentang : “Soal Matematika dan Pembahasannya untuk SD, SMP, SMA atau Sederajat”
𝐴𝑇2 = 7
𝐴𝑇 = 7
𝐿𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 𝐴𝐵𝐶 .𝐷𝐸𝐹 = 𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 . 𝑡𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎
= 1
2 .𝐵𝐶 .𝐴𝑇 .𝐴𝐷
= 1
2 .8 . 7 .15
= 60 7 𝐷
23. Jawaban : 𝐴. 52 𝑚 (𝑏𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑐𝑚)
Pembahasan :
𝑃𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑔𝑎𝑚𝑏𝑎𝑟 𝑏𝑒𝑟𝑖𝑘𝑢𝑡 ∶
𝑀𝐴 = 𝐵𝐶 − 𝐷𝑀 = 26 − 12 = 14
𝐴𝐸 = 𝐶𝐷 − 𝐵𝐸 = 36 − 24 = 12
𝑀𝐿 + 𝐾𝐽 + 𝐼𝐻 + 𝐺𝐹 = 𝐴𝐸 = 12
𝐸𝐹 + 𝐺𝐻 + 𝐼𝐽 + 𝐾𝐿 = 𝑀𝐴 = 14
𝐾𝑟𝑢𝑚𝑎 = 𝐴𝑀 + 𝐴𝐸 + 𝑀𝐿 + 𝐾𝐽 + 𝐼𝐻 + 𝐺𝐹 + 𝐸𝐹 + 𝐺𝐻 + 𝐼𝐽 + 𝐾𝐿
= 14 + 12 + 12 + 14
= 52 𝑚 (𝑏𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑐𝑚) 𝐴
24. Jawaban : 𝐷. 21
2
Pembahasan :
2𝑥 − 𝑎 >𝑥−1
2+
𝑎𝑥
3 𝑚𝑒𝑚𝑖𝑙𝑖𝑘𝑖 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑠𝑖 𝑥 > 3
2𝑥 − 𝑎 >𝑥−1
2+
𝑎𝑥
3
2𝑥 − 𝑎 >3 . 𝑥−1
6+
2 .𝑎𝑥
6
2𝑥 − 𝑎 >3𝑥−3
6+
2𝑎𝑥
6
2𝑥 − 𝑎 >3𝑥−3+2𝑎𝑥
6
6 . 2𝑥 − 𝑎 > 3𝑥 − 3 + 2𝑎𝑥
12𝑥 − 6𝑎 > 3𝑥 − 3 + 2𝑎𝑥
12𝑥 − 3𝑥 − 2𝑎𝑥 > −3 + 6𝑎
www.siap-osn.blogspot.com @ Desember 2014
SD.A 2 SMPN 1 Tambelangan
www.siap-osn.blogspot.com Pembahasan Olimpiade PMMJ 2015 Matematika SMP (Babak Penyisihan) / Page 16 Blog tentang : “Soal Matematika dan Pembahasannya untuk SD, SMP, SMA atau Sederajat”
9𝑥 − 2𝑎𝑥 > −3 + 6𝑎
9 − 2𝑎 𝑥 > −3 + 6𝑎
𝑥 >−3+6𝑎
9−2𝑎
𝐷𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒 𝑥 >−3+6𝑎
9−2𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝑥 > 3 , 𝑖𝑛𝑖 𝑚𝑒𝑛𝑢𝑛𝑗𝑢𝑘𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑎𝑤𝑎 ∶
−3+6𝑎
9−2𝑎= 3
−3 + 6𝑎 = 3 . 9 − 2𝑎
−3 + 6𝑎 = 27 − 6𝑎
6𝑎 + 6𝑎 = 27 + 3
12𝑎 = 30
𝑎 =30
12
𝑎 =5
2
𝑎 = 21
2 𝐷
25. Jawaban : 𝐵. 99
Pembahasan :
𝑥2 − 10𝑥 + 2015 = 0 𝑚𝑒𝑚𝑖𝑙𝑖𝑘𝑖 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑠𝑖 𝑝 𝑑𝑎𝑛 𝑞
𝑥2 − 10𝑥 + 2015 𝑎=1
𝑏=−10𝑐=2015
= 0 → 𝑝 + 𝑞 =−𝑏
𝑎=
− −10
1= 10
𝑥 = 𝑝 → 𝑥2 − 10𝑥 + 2015 = 0
𝑝2 − 10𝑝 + 2015 = 0
𝑝2 = 10𝑝 − 2015
𝑝2 + 10𝑞 + 2014 = 10𝑝 − 2015 + 10𝑞 + 2014
= 10𝑝 + 10𝑞 − 1
= 10 . 𝑝 + 𝑞 − 1
= 10 . 10 − 1
= 100 − 1
= 99 𝐵
26. Jawaban : 𝐶. 2017
Pembahasan :
𝑀𝑒𝑛𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑒𝑏𝑖 𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 1 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑥2 − 2𝑥 + 9 ∶
𝑥2 − 2𝑥 + 9 < 𝑥2
𝑥2 − 2𝑥 + 9 < 𝑥
𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = 2015 → 𝑥2 − 2𝑥 + 9 < 𝑥
𝑥2 − 2𝑥 + 9 < 2015
www.siap-osn.blogspot.com @ Desember 2014
SD.A 2 SMPN 1 Tambelangan
www.siap-osn.blogspot.com Pembahasan Olimpiade PMMJ 2015 Matematika SMP (Babak Penyisihan) / Page 17 Blog tentang : “Soal Matematika dan Pembahasannya untuk SD, SMP, SMA atau Sederajat”
𝑀𝑒𝑛𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑒𝑏𝑖 𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 1 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 4𝑥2 + 4𝑥 + 9 ∶
4𝑥2 + 4𝑥 + 1 < 4𝑥2 + 4𝑥 + 9
2𝑥 + 1 2 < 4𝑥2 + 4𝑥 + 9
2𝑥 + 1 < 4𝑥2 + 4𝑥 + 9
𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = 2015 → 2𝑥 + 1 < 4𝑥2 + 4𝑥 + 9
2 .2015 + 1 < 4𝑥2 + 4𝑥 + 9
4030 + 1 < 4𝑥2 + 4𝑥 + 9
4031 < 4𝑥2 + 4𝑥 + 9
𝐷𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒 𝑥2 − 2𝑥 + 9 < 2015 𝑑𝑎𝑛 4031 < 4𝑥2 + 4𝑥 + 9 𝑖𝑛𝑖 𝑚𝑒𝑛𝑢𝑛𝑗𝑢𝑘𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑎𝑤𝑎 ∶
𝑥2 − 2𝑥 + 9 < 2015 ≤ ⋯ ≤ 4031 < 4𝑥2 + 4𝑥 + 9
𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑎𝑟𝑎 𝑥2 − 2𝑥 + 9 𝑑𝑎𝑛 4𝑥2 + 4𝑥 + 9
𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎 4031 − 2015 + 1 = 2017 𝐶
27. Jawaban : 𝐶. 94,5
Pembahasan :
𝑃𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑔𝑎𝑚𝑏𝑎𝑟 𝑏𝑒𝑟𝑖𝑘𝑢𝑡 ∶
𝐴𝐷 = 𝐴𝐵 = 4 𝑐𝑚
𝐴𝐹 = 3,5 𝑐𝑚
𝐿𝑎𝑟𝑠𝑖𝑟𝑎𝑛 = 4 . 𝐿𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐴𝐷𝐸𝐹 + 𝐿𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛
= 4 .𝐴𝐷 .𝐴𝐹 + 𝜋 .𝐴𝐹2
= 4 . 4 .3,5 +22
7 . 3,52
= 56 + 38,5
= 94,5
𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑎𝑒𝑟𝑎 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠𝑖 𝑜𝑙𝑒 𝑙𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠𝑎𝑛 𝑘𝑢𝑐𝑖𝑛𝑔 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎 94,5 𝐶
28. Jawaban : 𝐴. 12
Pembahasan :
𝑓 𝑥 +1
𝑥 .𝑓 −𝑥 = 𝑥 + 6
www.siap-osn.blogspot.com @ Desember 2014
SD.A 2 SMPN 1 Tambelangan
www.siap-osn.blogspot.com Pembahasan Olimpiade PMMJ 2015 Matematika SMP (Babak Penyisihan) / Page 18 Blog tentang : “Soal Matematika dan Pembahasannya untuk SD, SMP, SMA atau Sederajat”
𝑥 = 2 → 𝑓 𝑥 +1
𝑥 .𝑓 −𝑥 = 𝑥 + 6
𝑓 2 +1
2 .𝑓 −2 = 2 + 6
𝑓 2 +1
2 .𝑓 −2 = 8
2 . 𝑓 2 +1
2 .𝑓 −2 = 2 . 8 (𝑟𝑢𝑎𝑠 𝑘𝑖𝑟𝑖 𝑑𝑎𝑛 𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛 𝑑𝑖𝑘𝑎𝑙𝑖𝑘𝑎𝑛 2)
2 . 𝑓 2 + 𝑓 −2 = 16 … (1)
𝑥 = −2 → 𝑓 𝑥 +1
𝑥 . 𝑓 −𝑥 = 𝑥 + 6
𝑓 −2 +1
−2 .𝑓 − −2 = −2 + 6
𝑓 −2 −1
2 .𝑓 2 = 4
2 . 𝑓 −2 −1
2 .𝑓 2 = 2 . 4 (𝑟𝑢𝑎𝑠 𝑘𝑖𝑟𝑖 𝑑𝑎𝑛 𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛 𝑑𝑖𝑘𝑎𝑙𝑖𝑘𝑎𝑛 2)
2 .𝑓 −2 − 𝑓 2 = 8
−𝑓 2 + 2 .𝑓 −2 = 8 … (2)
𝐸𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑠𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 1 𝑑𝑎𝑛 2 ∶
2 .𝑓 2 + 𝑓 −2 = 16 → 4 .𝑓 2 + 2 .𝑓 −2 = 32 (𝑟𝑢𝑎𝑠 𝑘𝑖𝑟𝑖 𝑑𝑎𝑛 𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛 𝑑𝑖𝑘𝑎𝑙𝑖𝑘𝑎𝑛 2)
−𝑓 2 + 2 .𝑓 −2 = 8 → −𝑓 2 + 2 .𝑓 −2 = 8
5 . 𝑓 2 = 24
𝑓 2 =24
5
𝑥 = 3 → 𝑓 𝑥 +1
𝑥 .𝑓 −𝑥 = 𝑥 + 6
𝑓 3 +1
3 .𝑓 −3 = 3 + 6
𝑓 3 +1
3 .𝑓 −3 = 9
3 . 𝑓 3 +1
3 .𝑓 −3 = 3 . 9 (𝑟𝑢𝑎𝑠 𝑘𝑖𝑟𝑖 𝑑𝑎𝑛 𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛 𝑑𝑖𝑘𝑎𝑙𝑖𝑘𝑎𝑛 3)
3 . 𝑓 3 + 𝑓 −3 = 27 … (3)
𝑥 = −3 → 𝑓 𝑥 +1
𝑥 . 𝑓 −𝑥 = 𝑥 + 6
𝑓 −3 +1
−3 .𝑓 − −3 = −3 + 6
𝑓 −3 −1
3 .𝑓 3 = 3
3 . 𝑓 −3 −1
3 .𝑓 3 = 3 . 3 (𝑟𝑢𝑎𝑠 𝑘𝑖𝑟𝑖 𝑑𝑎𝑛 𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛 𝑑𝑖𝑘𝑎𝑙𝑖𝑘𝑎𝑛 3)
3 .𝑓 −3 − 𝑓 3 = 9
−𝑓 3 + 3 .𝑓 −3 = 9 … (4)
𝐸𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑠𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 (3) 𝑑𝑎𝑛 (4) ∶
3 .𝑓 3 + 𝑓 −3 = 27 → 9 .𝑓 3 + 3 .𝑓 −3 = 81 (𝑟𝑢𝑎𝑠 𝑘𝑖𝑟𝑖 𝑑𝑎𝑛 𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛 𝑑𝑖𝑘𝑎𝑙𝑖𝑘𝑎𝑛 3)
−𝑓 3 + 3 .𝑓 −3 = 9 → −𝑓 3 + 3 .𝑓 −3 = 9
10 . 𝑓 3 = 72
𝑓 3 =72
10
www.siap-osn.blogspot.com @ Desember 2014
SD.A 2 SMPN 1 Tambelangan
www.siap-osn.blogspot.com Pembahasan Olimpiade PMMJ 2015 Matematika SMP (Babak Penyisihan) / Page 19 Blog tentang : “Soal Matematika dan Pembahasannya untuk SD, SMP, SMA atau Sederajat”
𝑓 3 =36
5
𝑓 2 + 𝑓 3 =24
5+
36
5
=60
5
= 12 𝐴
29. Jawaban : 𝐵. 160 𝜋
Pembahasan :
𝑃𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑔𝑎𝑚𝑏𝑎𝑟 𝑏𝑒𝑟𝑖𝑘𝑢𝑡 ∶
𝑟 = 8 𝑐𝑚
𝐿𝑎𝑟𝑠𝑖𝑟𝑎𝑛 =3 .360−180
360 .𝜋 . 𝑟2
=1080−180
360 .𝜋 . 82
=900
360 .𝜋 .64
= 160 𝜋 𝐵
30. Jawaban : 𝐷. −1
2 2 𝑎𝑡𝑎𝑢 2
Pembahasan :
𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 ∶
1 +1
𝑥 1 +
1
𝑥 1 +
1
𝑥 1 +
1
𝑥 … = 𝑝
1 +1
𝑥 1 +
1
𝑥 1 +
1
𝑥 1 +
1
𝑥 … = 𝑝
1 +1
𝑥 1 +
1
𝑥 1 +
1
𝑥 1 +
1
𝑥 … = 𝑝2
1
𝑥 1 +
1
𝑥 1 +
1
𝑥 1 +
1
𝑥 … = 𝑝2 − 1
www.siap-osn.blogspot.com @ Desember 2014
SD.A 2 SMPN 1 Tambelangan
www.siap-osn.blogspot.com Pembahasan Olimpiade PMMJ 2015 Matematika SMP (Babak Penyisihan) / Page 20 Blog tentang : “Soal Matematika dan Pembahasannya untuk SD, SMP, SMA atau Sederajat”
1 +1
𝑥 1 +
1
𝑥 1 +
1
𝑥 … = 𝑥 . 𝑝2 − 1
𝑝 = 𝑥 . 𝑝2 − 1
𝑝 = 𝑥 .𝑝2 − 𝑥
0 = 𝑥 .𝑝2 − 𝑝 − 𝑥
𝑥 .𝑝2 − 𝑝 − 𝑥 = 0
𝑥 = 2 → 𝑥 .𝑝2 − 𝑝 − 𝑥 = 0
2 .𝑝2 − 𝑝 − 2 𝑎= 2𝑏=−1
𝑐=− 2
= 0
𝑝1,2 =−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑝1,2 =− −1 ± −1 2−4 . 2 . − 2
2 . 2
𝑝1,2 =1± 1+8
2 . 2
𝑝1,2 =1± 9
2 . 2
𝑝1,2 =1±3
2 . 2
𝑝 =1−3
2 . 2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑝 =
1+3
2 . 2
𝑝 =−2
2 . 2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑝 =
4
2 . 2
𝑝 =−2
2 . 2 . 2
2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑝 =
4
2 . 2 . 2
2
𝑝 =−2 2
2 .2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑝 =
4 2
2 .2
𝑝 = −1
2 2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑝 = 2
𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑟𝑖 1 +1
𝑥 1 +
1
𝑥 1 +
1
𝑥 1 +
1
𝑥 … 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎 −
1
2 2 𝑎𝑡𝑎𝑢 2 𝐷
"𝑆𝑒𝑚𝑜𝑔𝑎 𝑏𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑓𝑎𝑎𝑡"
"𝑆𝐷.𝐴"