soal dan pembahasan olimpiade matematika tingkat sma

8/11/2019 Soal Dan Pembahasan Olimpiade Matematika Tingkat Sma

1/4

SOAL DAN PEMBAHASAN OLIMPIADE MATEMATIKATINGKAT SMA

1. Carilah semua bilangan bulat positif yang kurang dari 1000 sedemikianhingga jumlah digit pertama dan digit terakhirnya 10

Jawab :Karena jumlah angka pertama dan angka terakhirnya adalah 10, maka pasanganangka pertama dan angka terakhir yang mungkin adalah (1,9), (2,8), (3,7),(4,6), dan (5,5)Untuk (1,9)a. Tanpa angka tengah 2 angka yaitu 19 dan 91

b. Satu angka ditengah 20 angka, yaitu 109 199 (10 angka) dankebalikanya (10 angka)c. Dua angka tengah : banyaknya sesuai jumlah kombinasi 2 angka dariangka 0 sampai 9 yaitu 10! : 2! = 10 x 9 = 90 dikurangi dengan 10 pasangangka yang sama yaitu 00, 11, 99. Sehingga jumlahnya adalah 80.Total jumlah semua bilangan untuk kombinasi dua angka ditengah adalah 160 (dikali 2, karena satu bentuk berawal 1 dan berakhir 9 dan bentuk lainyamerupakan kebalikannya)Sehingga keseluruhannya adalah 182 angka.

Dengan cara yang sama kita dapatkan pula banyak kombinasi angka untukpasangan (2,8), (3,7), (4,6), dan (5,5)Dan akhirnya kita akan dapatkan total keseluruhan banyak bilangan adalah :182 + 182 + 182 + 182 + 91 = 819 (ingat : pasangan (5,5) hanya dihitungsekali saja)

2. Hitunglah hasil dari 1222+ 3242+ 5262+ . + 2009220102+20112

Jawab :1222dapat diubah menjadi (1 2) (1 + 2) = 1 2, 3242dapat diubahmenjadi (3 4)(3 + 4) = 3 4, dan seterusnya.Sehingga bentuk tersebut dapat diubah menjadi :-1. -2, -3, -4, -5, -7, , -2009, -2010, 20112, atau :- (1 + 2 + 3 + 4 + + 2009 + 2010) + 20112- x 2010 x 2011 + 20112


2/4

2011 (-1005 + 2011)2011 x 1006 = 2023066

3. Manakah yang merupakan bilangan prima ?

1111

11, 77

7, 55

5,333, 222

Jawab :111111 = 11 (11101) bukan prima (bisa dibagi 11)777 = 7 (761) bukan prima (bisa dibagi 7)555 = 5 (541) bukan prima (bisa dibagi 5)333 = 3 (321) bukan prima (bisa dibagi 3)222 = 2 (2 1) = 2 prima

4. Carilah seluruh pasangan bilangan yang mempunyai FPB 4 dan KPK 120

Jawab :FPB 4 berarti bersama yang tekecil dari kedua bilangan adalah 22KPK 120 berarti faktor-faktor terbesar dari kedua bilangan adalah 23. 3 . 5,Maka pasangan bilangannya adalah22 dengan 23. 3 . 5 4 dengan 12022 . 3 dengan 23. 5 12 dengan 4022 . 5 dengan 23. 3 20 dengan 2422 . 3. 5 dengan 23 60 dengan 8

5. Berapa digit satuan dari 17103+ 5?

Jawab :Karena yang diminta hanya angka satuanya saja, maka kita cukup hanyamemperhatikan angka terakhir dari 7103Jika kita urutkan mulai dari 71, 72, 73, 74, dan seterusnya, maka kita akandapatkan pola angka satuanya sebagai berikut :7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, dengan pola yang berulang 7, 9, 3, 1Dan jika kita tambahkan dengan 5, maka kita dapatkan pola angka satuansebagai berikut :2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, dengan pola pengulangan angka 2, 4, 8, 6


3/4

Yang artinya untuk pangkat yang tepat habis dibagi 4, maka angka satuannya =2, jika bersisa 1, maka angka satuannya 4, jika bersisa 2, maka angkasatuanya 8, dan jika bersisa 3, maka angka satuanya 6Dan karena pangkatnya 103, serta 103 = 25 x 4 + 3, maka angka terakhirnya

adalah 6

6. Dengan menggunakan digit-digit 0, 1, 2, 3, , 9, masing-masing hanyasekali. Buatlah dua buah bilangan bulat positif 5 angka yang berbedasedemikian hingga selisih positif dari kedua bilangan itu paling kecil

Jawab :Karena kedua bilangan berbeda dan angka-angka penyusunya juga berbeda,maka selisih paling kecil adalah 11111

Yang salah satunya dipenuhi oleh 59731 dan 48620, sedangkan angka-angkalain dapat diperoleh dengan membolak-balikan susunan angka tersebut.

7. Jika 1998 = psqtru, dengan p, q, dan r bilangan prima, hitunglah p + q + r +s + t + u?

Jawab :1998 = 2. 33. 37Sehingga p + q + r + s + t + u = 2 + 3 + 37 + 1 + 3 + 1 = 47

8. Jika m bilangan bulat positif, tentukan nilai m yang menyebabkan 2002 :(m22) juga merupakan bilangan bulat positif

Jawab :Karena 2002 = 2. 7. 11. 13, maka m22 harus sama dengan nilai salah satufaktor atau hasil kali sebagian atau seluruh faktor tersebut.Dan yang memenuhi m sebagai bilangan bulat positif adalah :m22 = 2, dengan m = 2m22 = 7, dengan m = 3

m22 = 14, dengan m = 4


4/4

9. Tentukan sisa pembagian 132011oleh 10

Jawab :Karena dibagi 10, maka sisa pembagiannya adalah angka satuan dari bilangan

tersebut. Dan untuk mendapatkan angka satuannya, kita cukup denganmemperhatikan angka satuan dari 32011.Untuk itu perhatikan pola angka satuan dari 3, 32, 33, 34, 35, sebagaiberikut :3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, dengan pola pengulangan 3, 9, 7, 1Karena 2011/4 = 502 bersisa 3, maka sebagaimana pada pembahasan soalnomor 5 di atas, kita dapatkan angka satuannya adalah 1Berarti sisa pembagianya adalah 1

10. Hasil kali angka-angka dari bilangan dua digit N adalah M.Tentukan N, jika M + N = 118.

Jawab :Misalkan N adalah bilangan dengan asebagai digit puluhan dan bsebagai digitsatuanM = abN = 10a+ bM + N = 118ab+ 10a+ b= 118karena adan badalah digit satuan yang merupakan bilangan bulat positif mulaidari 0 hingga 9 dan atidak nol, maka kita tinggal mencari mana yang cocok.Jika a= 1, maka b= 45 tidak cocokJika a= 2, maka b= 32,67 tidak cocokJika a= 3, maka b= 22 tidak cocokJika a= 4, maka b= 15,6 tidak cocokJika a= 5, maka b= 11,33 tidak cocokJika a= 6, maka b= 8,28 tidak cocokJika a= 7, maka b= 6 cocok

Maka N adalah 76

soal dan pembahasan olimpiade matematika tingkat sma

Documents